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第六章特殊平行四邊形
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．正方形OGHK繞邊長為10 cm的正方形ABCD的對角線的交點O旋轉到如圖所示的位置，則陰影部分的面積為( )
A．100 cm2 B．75 cm2 C．50 cm2 D．25 cm2
2．如圖，在中，，P為邊上一動點，于點E，于點F，則的最小值為（ ）
A．5 B．4 C． D．3
3．如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，則圖中的等腰三角形有（ ）
A．4個 B．6個 C．8個 D．10個
4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（ ）
A．BD=AB B．DC=AD C．∠ABC=90° D．OD=OC
5．如圖，四邊形是平行四邊形，對角線、交于點，下列條件能判斷四邊形是正方形的是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
6．如圖，在菱形CDEF中，CD=6，∠DCF=120°，動點Q從點D出發以1個單位長度秒的速度沿DE方向向點E運動，同時動點P從點F出發沿FD方向向點D運動，它們同時到達目的地，則運動到多少秒時，QP=QO （ ）
A． B．3 C． 或 3 D．3或
7．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OB的中點，連接AE，若AB=4，則線段AE的長為（ ）
A． B．3 C． D．
8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（　　）
A． B． C．4 D．
9．如圖，正方形OABC中，點，點D為AB邊上一個動點，連接CD，點P為CD的中點，繞點D將線段DP順時針旋轉90°得到線段DQ，連接BQ，當點Q在射線OB的延長線上時，點D的坐標為（ ）．
A． B． C． D．
10．如圖，菱形中ABCD，∠BCD=50°，BC的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接BF、DF，則∠DFC的度數是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
11．菱形具有而矩形不具有的性質是（ ）
A．對角相等 B．對角線互相平分 C．四邊相等 D．四角相等
12．如圖，下列條件能使平行四邊形是菱形的為（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、填空題
13．如圖，正方形的面積是4，E是的中點，P是對角線上的動點，的最小值是 ．

14．如圖，在矩形中，，是邊的中點，是線段上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的長度是 ，的最小值是 ．
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M為AB的中點，N為BC上一動點（不與點B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點B落在點E處，連接DE，CE，當△CDE為等腰三角形時，線段BN的長為 ．
16．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件 ，使四邊形AEDF是菱形．
17．如圖，在矩形中，，，是對角線上的一動點，作，垂足為，作，垂足為，連接．
（1）當是的中點時，線段的長度是 ；
（2）線段長度的最小值是 ．
三、解答題
18．如圖，你能用一根繩子檢查一個書架的側邊是否和上、下底都垂直嗎？為什么？
19．如圖，，，，分別是正方形各邊的中點．四邊形是什么四邊形？為什么？
20．一個長方形，長19cm，寬18cm，如果把這個長方形分割成若干個邊長為整數的小正方形，那么這些小正方形最少有多少個？如何分割？
21．一張矩形紙ABCD，將點B翻折到對角線AC上的點M處，折痕CE交AB于點E．將點D翻折到對角線AC上的點H處，折痕AF交DC于點F，折疊出四邊形AECF．
（1）求證：AFCE；
（2）當∠BAC＝　 　度時，四邊形AECF是菱形？說明理由．
22．如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法如圖1：
第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開如圖1．
第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時，得到了線段如圖2．
（1）求的度數；
（2）通過以上折紙操作，還得到了一些不同角度的角，請寫出除以外的兩個角及它們的度數；
（3）請你繼續折出15°大小的角，說出折紙步驟及得到的15°角．
23．如圖，點E是矩形ABCD的邊BC上一點，將△ABE繞點A逆時針旋轉至△AB1E1的位置，此時E、B1、E1三點恰好共線．點M、N分別是AE和AE1的中點，連接MN、NB1．
（1）求證：四邊形MEB1N是平行四邊形；
（2）延長EE1交AD于點F，若EB1＝E1F，，判斷△AE1F與△CB1E是否全等，并說明理由．
24．矩形中，是的中點，延長，交于點，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當平分時，求證：．
《第六章特殊平行四邊形》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D C C D C D
題號 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根據正方形的性質證明△AOE≌△BOF，得到陰影部分的面積=S正方形ABCD，即可得出答案.
【詳解】解：∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE=S△BOF，
∴陰影部分的面積=S正方形ABCD=×10×10=25 cm2，
故選D.
【點睛】本題考查了正方形的性質和三角形全等的判定和性質，證明得出陰影部分的面積=S正方形ABCD是解題關鍵.
2．C
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質，根據矩形的性質得到是解題的關鍵．根據勾股定理的逆定理可以證明為直角三角形，根據三個角都是直角的四邊形是矩形，根據矩形的對角線相等，得，則的最小值即為的最小值，根據垂線段最短，時，的值最小，由此即可得出結論．
【詳解】連接，如圖，
∵，
∴，
∴為直角三角形，，
∵于點E，于點F，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，當的值最小時，的值最小，
當時，的值最小，
此時，
∴的最小值為，
故選：C．
3．C
【詳解】試題分析：先根據正方形的四邊相等即對角線相等且互相平分的性質，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根據等腰三角形的定義即可得出圖中的等腰三角形的個數．
解：∵正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8個．
故選C．
考點：正方形的性質；等腰三角形的判定．
4．B
【分析】根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形添加條件．
【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，
∴要使其為正方形，只需要使矩形ABCD為菱形即可，
∴可添加DC=AD．
故選：B．
【點睛】本題是考查了正方形的判定，判別一個四邊形為正方形主要根據①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角來判斷．
5．D
【分析】本題考查正方形的判定，掌握特殊四邊形的判定方法是解題的關鍵．
根據正方形的判定方法對各個選項進行分析從而得到答案．
【詳解】解：A. 由且可判定是矩形，故此選項不符合題意；
B. 且可判定是菱形，故此選項不符合題意；
C. 且可判定是菱形，故此選項不符合題意；
D. 且可判定是正方形，故此選項不符合題意；
故選：D．
6．C
【分析】分點P與點O重合和不重合兩種情況求解．
【詳解】在菱形CDEF中，，，
在中，，
點P的運動速度為：．
①當點P與點O重合時，，此時，；
②如圖：當時，過點Q作于H，
，
∵在中，，，
∴
，
，
解得：．
故選C．
【點睛】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質和勾股定理，熟練掌握菱形性質，勾股定理，直角三角形的性質是解題的關鍵．
7．C
【分析】根據正方形的性質求得AO=BO=2，再根據勾股定理即可求解．
【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，
∴AC=BD=4，AC⊥BD，
∴AO=BO=2，
∵點E是OB的中點，
∴EO=，
在Rt△EOA中，EO=，AO=2，
∴AE=，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理，解題的關鍵是熟知正方形的對角線相等且垂直平分．
8．D
【分析】利用菱形的面積等于兩對角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等面積法求菱形的高即可．
【詳解】解：記AC與BD的交點為，
菱形,
菱形的面積
菱形的面積
故選D．
【點睛】本題考查的是菱形的性質，菱形的面積公式，勾股定理．理解菱形的對角線互相垂直平分和學會用等面積法是解題關鍵．
9．C
【分析】如圖，過作，交軸于點 過作軸于 過作平行于軸的直線交PN于M，交QE于F，交y軸于G，則DP=DQ，證明設再求解Q的坐標，再代入直線OB的解析式即可．
【詳解】解：如圖，過作，交軸于點 過作軸于 過作平行于軸的直線交PN于M，交QE于F，交y軸于G，則DP=DQ，
正方形OABC中，點，
設 而點P為CD的中點，
設OB的解析式為 而
解得：
OB的解析式為：
解得：
故選C
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，坐標與圖形，正比例函數的性質，正方形的性質，求解是解本題的關鍵．
10．D
【分析】首先求出∠CFB=130°，再根據對稱性可知∠CFD=∠CFB即可解決問題.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD=25°，
∵EF垂直平分線段BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根據對稱性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故選D．
【點睛】本題考查菱形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
11．C
【分析】根據矩形、菱形的性質分別判斷即可解決問題．
【詳解】A. 矩形、菱形的對角線都是相等的，故不符合.
B. 矩形、菱形的對角線都是互相平分的，故不符合.
C. 菱形的四邊相等，矩形的四邊不一定相等，故符合題意.
D. 矩形的四角相等，菱形的四角不一定相等，菱形不具有這個性質，故不符合.
故選C.
【點睛】此題考查菱形的性質、矩形的性質，解題關鍵在于掌握矩形的性質.
12．A
【分析】本題考查了菱形的判定：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形；一組對邊相等的平行四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形；根據菱形的判定進行判斷即可．
【詳解】解：①根據對角線相互垂直的平行四邊形是菱形知，平行四邊形是菱形，①滿足題意；
②根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形知，平行四邊形是矩形，②不滿足題意；
③根據一組對邊相等的平行四邊形是菱形知，平行四邊形是菱形，③滿足題意；
④根據對角線相等的平行四邊形是矩形知，平行四邊形是矩形，④不滿足題意；
故滿足題意的有①③；
故選：A．
13．
【分析】由于點B與點D關于對稱，所以如果連接，交于點P，那的值最小．在中，由勾股定理先計算出的長度，即為的最小值．
【詳解】解：連接，，．
∵四邊形是正方形，
∴點B與點D關于對稱，，，
∴，
∵，
∴當、、三點共線時，的值最小，如圖所示，
∴的長即為的最小值，
∵正方形的面積是4，
∴，
∵E是的中點，
∴，
在Rt中，．
即的最小值是．
故答案為：．
【點睛】此題考查了軸對稱最短路線問題，還考查了正方形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質并確定點P的位置是解題的關鍵．
14．
【分析】根據矩形的性質和勾股定理求出的長，再根據三角形的三邊關系進而得出的最小值．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴
∵是邊的中點
∴
∴
由折疊得
∵
∴
∴
∴的最小值是
故答案為：，．
【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，三角形的三邊關系等相關知識點，理解三角形三邊關系是解題的關鍵．
15．cm或2cm
【分析】分兩種情況：①如圖1，當DE=DC時，連接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性質得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=1，BG=BC+CG=3，由折疊的性質得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，證明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，證出D、E、N三點共線，設BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②如圖2，當CE=CD上，CE=CD=AD，此時點E與A重合，N與點C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（含CE=DE這種情況）.
【詳解】解：分兩種情況，
①如圖1，當DE=DC時，連接DM，作DG⊥BC于G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，
∴DE=AD=2，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG=90°-60°=30°，
∴CG=CD=1，
∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，
∵M為AB的中點，
∴AM=BM=1，
由折疊的性質得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，
在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，
∴△ADM≌△EDM（SSS），
∴∠A=∠DEM=120°，
∴∠MEN+∠DEM=180°，
∴D、E、N三點共線，
設BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，
由勾股定理得：，
解得：x=，即BN=cm；
②當CE=CD時，CE=CD=AD，此時點E與A重合，N與點C重合，如圖2所示：
CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2cm（符合題干要求）；
綜上所述，當△CDE為等腰三角形時，線段BN的長為cm或2cm；
故答案為cm或2cm．
【點睛】本題考查了折疊變換的性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質、三點共線、勾股定理、直角三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵.
16．DF∥AB
【分析】添加DF∥AB，根據DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據角平分線的性質和平行線的性質即可證明結論成立．
【詳解】解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴平行四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
【點睛】本題主要考查了添加條件，菱形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質，角平分線定義，菱形的判定，添加DF∥AB．
17．
【分析】本題考查了矩形的性質與判定，勾股定理，垂線段最短；
（1）連接，勾股定理求得，根據直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而根據，得出四邊形是矩形，根據矩形的對角線相等，即可求解；
（2）同（1）得出四邊形為矩形，當時，取最小值，即最小，根據等面積法即可求解．
【詳解】（1）連接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵是的中點，
∴，
∵，，，
∴四邊形是矩形
∴，
故答案為：．
（2）如圖，連接．
，，
．
在矩形中，，
四邊形為矩形，
，
的最小值即的最小值．
當時，取最小值．
在中，．
，
，即線段長度的最小值是．
故答案為：．
18．能，見解析．
【分析】先根據平行四邊形的判定方法，用測量邊長的方法判定書架是否為平行四邊形，再根據矩形的判定定理，測量書架的對角線判定平行四邊形是否為矩形，最后根據矩形的性質即可得．
【詳解】解：能．理由如下：
先用繩子量出書架的兩組對邊是否相等，若兩組對邊相等，則說明此書架為平行四邊形；再用繩子量出書架的對角線是否相等，若對角線相等，則說明書架是矩形；
由于矩形的四個角都是直角，說明書架的內角為直角，因此可以說明書架的側邊與上、下底都垂直，反之書架的側邊與上、下底就不垂直．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用這些知識點．
19．四邊形是正方形，理由見詳解
【分析】連接AC、BD，根據三角形中位線定理得到EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據正方形的判定定理解答．
【詳解】解：四邊形是正方形，理由如下：
連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴EF＝FG，EF⊥FG，
∴ EFGH是正方形．
【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、正方形的性質定理和判定定理是解題的關鍵．
20．7個，邊長從大到小依次為11、8、7、5、3.
【分析】先分成1個11×11的正方形，再分成1個8×8的正方形，再分成2個7×7的正方形，再分成2個5×5的正方形，剩下的部分是1個3×3的正方形.
【詳解】解：最少分割7個正方形，正方形邊長從大到小依次為11、8、7、5、3，分割方法如圖：
【點睛】本題考查了正方形的分割，一開始分邊的時候，兩邊盡量接近，由此逐步找出分割的方法．
21．（1）見解析；（2）30，理由見解析．
【分析】（1）證出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE；
（2）證出四邊形AECF是平行四邊形，再證出AF＝CF，即可得出四邊形AECF是菱形．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AFCE；
（2）解：當∠BAC＝30°時四邊形AECF為菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD，
由（1）得：AFCE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折疊的性質得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四邊形AECF是菱形；
故答案為：30．
【點睛】本題考查矩形的性質、平行線的判定、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
22．（1）30°；（2）還得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°；（3）見詳解
【分析】（1）連接AN，易證△ABN為等邊三角形，由等邊三角形的性質以及矩形的性質即可求出∠NBC的度數；
（2）利用互余得到∠BMN＝60°，根據折疊性質易得∠AMN＝120°；
（3）把30度的角對折即可折出15°大小的角．
【詳解】（1）解：由折疊性質可得，AB＝NB，EF垂直平分AB，如圖1，
連接AN，則NA＝NB，
∴AB＝NB＝NA，
∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN＝60°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠NBC＝∠ABC ∠ABN＝30°；
（2）通過以上折紙操作，還得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°等；
（3）如圖所示：
再一次折疊紙片，使點A落在BM上，并使折痕經過點B，得到折痕BH，則∠ABH＝15°．
【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質和等邊三角形的判定及其性質．
23．（1）見解析；（2）全等，理由見解析
【分析】（1）可證B1是EE1的中點，則EB1=EE1，根據M、N分別是AE和AE1的中點，則MN∥EB1，MN=EE1，即可證明；
（2）由S△EAF=S△FEC，可得AF=EC．然后通過SAS可證明結論．
【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△AB1E1是△ABE旋轉所得的，
∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，
∴B1是EE1的中點，
∴EB1=EE1，
∵M、N分別是AE和AE1的中點，
∴MN∥EB1，MN=EE1，
∴EB1=MN，
∴四邊形MEB1N為平行四邊形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
證明：連接FC，
∵EB1=B1E1=E1F，
∴=S△EAF，
同理，=SFEC，
∵=S△EB1C，
∴S△EAF=S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底邊AF上的高和△FEC底邊上的高相等．
∴AF=EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，以及全等三角形的判定與性質等知識，證明S△EAF=S△FEC是解題的關鍵．
24．(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
（1）證明得出，即可得出結論；
（2）證出是等腰三角形，得出，得出．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
．
是的中點，
．
在和中，
，
，
．
，
四邊形是平行四邊形；
（2）證明：平分，
．
∵四邊形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中點，
，
∴．
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