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第九章圖形的相似
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．如圖，在中，，、三等分，D、E在邊上，則其中的相似三角形有（ ）
A．1對 B．2對 C．3對 D．6對
2．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點在CD、AD上滑動，當DM為 時，△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似．
A． B． C．或 D．或
3．和三角形三個頂點相連后，一定能把三角形分成面積相等的三部分的是該三角形的
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．小敏的圓規擺放如圖所示，則幾個和小明的圓規形狀一樣的圓規中，與小明擺放的位似的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列圖形是相似圖形的是（ ）
A．所有矩形 B．所有菱形
C．所有直角三角形 D．所有正六邊形
6．如圖是與位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．如圖，在中，點D，E分別在，邊上，．若，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列敘述不正確的是（ ）
A．一個三角形必有三條中位線
B．一個三角形必有三條中線
C．三角形的一條中線分成的兩個三角形的面積相等
D．三角形的一條中位線分成的兩部分面積相等
9．下列兩個圖形不是位似圖形的是( )
A． B． C． D．
10．如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4．若AA'=1，則A'D等于（　　）

A．2 B．3 C． D．
11．已知兩個相似三角形的周長比為2：3，它們的面積之差為40cm2，那么它們的面積之和為（　　）
A．108cm2 B．104cm2 C．100cm2 D．80cm2
12．如圖，P為邊AB上一點且AP：：、F分別是的中點，、的面積分別為S和，則S和的關系式（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．如圖標記了△ABC和△DEF的邊，角的一些數據，請你添加一個條件，使△ABC∽△DEF，這個條件可以是 ．（只填一個即可）

14．已知三個數1，2，，請你添上一個數，使它們構成一個比例式，則這個數可以是 .
15．如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，，在的延長線上取一點E，連接交于點F已知，則 ．（用含m、n、k的代數式表示）
16．在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是 ．
17．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，則AD的長為 ．
三、解答題
18．如圖所示,已知△ABC與△ADE的邊BC,AD相交于O,且∠1=∠2=∠3,求證:
(1)△ABO∽△CDO;
(2)△ABC∽△ADE.
19．如圖，在7×7的正方形網格中，點A，B均在格點上，請你借助格點，僅用無刻度的直尺按要求作圖．（保留作圖痕跡）
　　　　　圖1　　　　　　　　　圖2
(1)如圖1，作出線段AB的中點P．
(2)如圖2，作出線段AB的三等分點Q．
20．如圖，已知，．
（1）若，求的長；
（2）求證：．
21．如圖，F為四邊形的邊上一點，連接并延長交的延長線于點E，已知．
(1)求證：；
(2)若四邊形為平行四邊形，，，求的長．
22．已知，求的值．
23．如圖，與位似，點O為位似中心．
(1)若與的相似比為，，求的長；
(2)若，，求的度數．
24．如果，求的值.
《第九章圖形的相似》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D D A D A A
題號 11 12
答案 B D
1．D
【分析】根據三角形內角和先計算出∠BAC=108°，再計算出∠BAD=∠DAE=∠CAE=36°，則∠BAE=∠CAD=72°，∠ADE=∠AED=72°，根據兩角相等的兩個三角形相似可判斷圖中有6對相似三角形．
【詳解】解：如圖，
∵∠B=∠C=36°，
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°，
∵AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠CAE=36°，
∴∠BAE=∠CAD=72°，∠ADE=∠AED=72°，
∴△ABC∽△DBA，△ABC∽△EAC，△DBA∽△EAC，△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA，有6對相似三角形．
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，以及相似三角形的判定，熟練掌握兩角相等的兩個三角形相似是解答本題的關鍵．
2．C
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE與以D． M、N為頂點的三角形相似，
∴①DM與AB是對應邊時，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+DM2=1，
解得DM= ；
②DM與BE是對應邊時，DM=DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= ．
∴DM為或時，△ABE與以D． M、N為頂點的三角形相似．
故選C．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質、正方形的性質以及勾股定理的應用，掌握相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵，注意分情況討論思想與數形結合思想在本題中的應用．
3．C
【分析】通過重心的性質和相似三角形得到S△OBC= S△ABC，同理可得S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC，問題得解.
【詳解】解：如圖，點O是△ABC的重心，
作△OBC的高OG和△ABC的高AH，
∴OG∥AH，
∴△OGD∽△AHD，
∴，
∴S△OBC= S△ABC，
同理可得：S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC
∴S△OBC= S△OCA = S△OAB，
∴一定能把三角形分成面積相等的三部分的是該三角形的重心，
故選C.
【點睛】本題考查三角形重心的定義和相似三角形的判定和性質，利用數形結合的思想是解決問題的關鍵.
4．D
【詳解】∵位似是相似的特殊形式，
∴位似圖形的對應邊平行且對應頂點的連線交于一點．
據此判斷，只有D選項符合題意，
故選D．
5．D
【分析】根據相似圖形的定義，對應角相等，對應邊成比例的圖形，對各選項分析判斷后利用排除法解答．
【詳解】解：A、所有矩形四個角是直角，但對應邊不一定成比例，不一定相似，故本選項錯誤；
B、所有菱形對應邊成比例，對應角不一定相等，所以，不一定相似，故本選項錯誤．
C、直角三角形，只有一個直角相同，銳角不一定相等，故本選項錯誤；
D、所有正六邊形，六個角相等，對應邊一定成比例，故相似，故此選項正確；
故選D．
【點睛】此題主要考查了相似圖形，關鍵是掌握相似圖形的定義．
6．D
【分析】根據位似圖形的性質判斷即可．
【詳解】解：由位似圖形的畫法可得：4個圖形都是的位似圖形．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．
7．A
【分析】根據平行線分線段成比例，得到；
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵是找準對應線段．
8．D
【分析】A. 根據三角形中位線的定義可對A進行判斷；
B. 根據三角形中線的定義可對B進行判斷；
C. 因為三角形的一條中線分成的兩個三角形等底等高，根據三角形面積的計算方法，可對C進行判斷；
D. 根據三角形的中位線定理和相似三角形的性質可對D進行判斷.
【詳解】A. 根據三角形中位線的定義可得：一個三角形必有三條中位線，故A正確；
B. 根據三角形中線的定義可得：一個三角形必有三條中線，故B正確；
C. 因為三角形的一條中線分成的兩個三角形等底等高，根據三角形面積的計算方法，這兩個三角形面積相等，故C正確；
D. 如圖，
DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，故D不正確.
故選D.
【點睛】本題考查三角形的中線，三角形中位線定理.
9．A
【分析】根據位似圖形的概念對各選項逐一判斷，即可得出答案．
【詳解】對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形；
據此可得 B. C. D三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；
而A的對應頂點的連線不能相交于一點，故不是位似圖形.
故選A.
【點睛】本題考查位似圖形的識別，解題的關鍵是掌握位似圖形的定義和性質.
10．A
【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD為BC邊的中線知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根據△DA′E∽△DAB知，據此求解可得．
【詳解】解：如圖，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD為BC邊的中線，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，
∴A′EAB，
∴△DA′E∽△DAB，
則，
即，
解得A′D=2或A′D=-（舍），
故選A．
【點睛】本題主要平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質與三角形中線的性質、相似三角形的判定與性質等知識點．
11．B
【分析】根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，設此兩個三角形的面積分別為4xcm2，9xcm2，根據它們的面積之差為40cm2，列出方程，求解即可．
【詳解】解：∵兩個相似三角形的周長比為2：3，
∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，
∴它們的面積比為：4：9，
設此兩個三角形的面積分別為4xcm2，9xcm2，
∵它們的面積之差為40cm2，
∴
解得：x=8，
∴它們的面積之和是：
故選B．
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
12．D
【詳解】試題解析：∵E、F分別是PB，PC的中點，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴，即S△PBC=4S1，
∵AP：BP=1：2，
∴S△PBC：S△PAC=1：2，
∴S△PBC=2S1，
∴S=4S1+2S1=6S1，
即S1=S．
故選D．
13．DF＝6或∠C＝60°或∠B＝35°
【分析】利用三角形相似的條件即可進行解答.
【詳解】(1)當DF＝6時，利用SAS可證明.
(2)當∠C＝60°或∠B＝35°時，利用AAA可解答.
【點睛】本題考查三角形相似，掌握證明條件是解題關鍵.
14．或或
【分析】根據題意要求的數和其余三個數可以構成比例式，考慮要根據比例式的定義進行求解；設這個數為x，分別考慮x＜1，1＜x＜2和x＞2這三種情況列出比例式；
【詳解】可設所求數字為x（x≠0），只需從1、、2、x任選兩個做比值，使其等于另外兩個數的比值，求出x的值就可以解答此題．
令，可求出x=2；
令，得x=；
令得x=，
故答案為或或.
【點睛】本題重點考查比例的性質，解答本題的關鍵在于根據比例式的定義寫出關系式.
15．
【分析】作交于點M，首先證明OM是△ABC的中位線，求出OM，FM，再根據△OMF∽△EBF，可得，由此求出BE即可．
【詳解】解：如圖，過點O作交于點M．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得．
故答案為．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
16．5
【分析】根據相似三角形的性質確定兩直角邊的比值為1：2，以及6×6網格圖形中，最長線段為6，進行嘗試，可確定、、為邊的這樣一組三角形滿足條件．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2，
若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網格圖形中，最長線段為6，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此時△DEF的面積為：×2÷2=10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：5．
故答案為：5．
【點睛】本題考查了作圖-應用與設計、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
17．
【分析】先根據勾股定理求出AC的長，再根據DE垂直平分AC得出OA的長，根據相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵DE垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴，
即，
解得AD=
故答案為：．
【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質、垂直平分線的定義和勾股定理，掌握相似三角形的判定及性質、垂直平分線的定義和勾股定理是解決此題的關鍵．
18．(1)證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似，利用∠1=∠3，∠AOB=∠COD可判斷△ABO∽△CDO；
（2）根據相似三角形的性質得∠D=∠B，再由∠1=∠2可證∠BAC=∠DAE，則可判斷△ABC∽△ADE．
【詳解】(1) ∵∠1=∠3,∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO.
(2) ∵△ABO∽△CDO,
∴∠B=∠D.
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等是解答本題的關鍵.
19．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）取格點C，D，連接CD交AB于點P，點P即為所求；
（2）取格點E，F，M，N，連接EF，MN交AB于點Q，點Q′即可．
【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求；
∵AD∥CB，AD=5，CB=5，
∴，
∴點P是線段AB的中點；
（2）解：如圖，點Q或點Q′即為所求．
∵AE∥FB，AE=2，FB=4，
∴，
∴，
∴點Q是線段AB的三等分點；
同理，點Q′也是線段AB的三等分點．
【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．
20．（1）CD=6；（2）見解析
【分析】（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可證得∠DAB=∠ABF，即可證得AD∥BC，則得四邊形ABCD為平行四邊形，于是得到結論；
（2）由EC∥AB，可得，由AD∥BC，可得，等量代換得出，即OA2=OE OF．
【詳解】證明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB=6；
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴
∴，
即OA2=OE OF．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，平行線的性質，解題時要注意識圖，靈活應用數形結合思想．
21．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定及性質；
（1）由兩角對應相等的三角形相似得，即可得證；
（2）由平行四邊形的性質得，由相似三角形的性質得，即可求解；
平行四邊形的性質，相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：，
，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
由（1）知∶，
，
，
，
．
22．．
【分析】可以設，則，，，把這三個式子代入所要求的式子，進行化簡，即可求出式子的值．
【詳解】設，
則，，，代入可得，
．
【點睛】利用這個題目中的設法，把三個未知數的問題轉化為一個未知數的問題，是解題的關鍵．
23．(1)4
(2)
【分析】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的判定與性質，掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
（1）由與的相似比為，可得，再求的長即可；
（2）先求出的度數，再根據位似圖形的性質求解即可．
【詳解】（1）∵與的相似比為，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
∵與位似，點O為位似中心，
∴，
∴，
∴．
24．.
【分析】將原分式化簡即可解得結果.
【詳解】∵，
∴.
∴.
∴.
【點睛】本題重點考查的是比例的性質，解答本題的關鍵在于掌握運算法則.
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