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第八章一元二次方程
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．今年以來，某種食品不斷上漲，在9月份的售價為元，11月份的售價為10元．這種食品平均每月上漲的百分率約等于（ ）．
A． B． C． D．
2．若一元二次方程的一個根為，則（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，矩形中，，，動點E從A出發，以的速度沿向B運動，動點F從C出發，以的速度沿著CD向D運動，當點E到達點B時，兩個點同時停止．則的長為時點E的運動時間是（ ）
A． B． C．或 D．
4．在下列方程中，一元二次方程的個數是（　　）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．利用配方法解方程時，應先將其變形為（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程，下列變形正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．若關于x的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是（　　）
A． B．且 C． D．且
8．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
9．下列一元二次方程，沒有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．9 B．12 C．2或5 D．9或12
11．下面關于x的方程中：①ax2+x+2＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；⑤＝x﹣1．一元二次方程的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若為方程的兩根，且，則 ( )
A．－5 B．－4 C．1 D．3
二、填空題
13．已知，是方程x2﹣2x＋k＝0的兩個實數根，且2﹣＋＝5，則k的值為 ．
14．若關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是 ．
15．的三邊分別為、、，若，，按邊分類，則是 三角形
16．關于y的方程的解是 ．
17．卡塔爾足球世界杯小組賽，每兩隊之間進行一場比賽，小組賽共進行了6場比賽，則該小組有 支球隊．
三、解答題
18．解方程：＋－2－1＝0
19．用適當的方法解一元二次方程．
(1)x（x－3）＝－（x－3）
(2)x2＋4x－3＝0
20．畢業之際，某校九年級數學興趣小組的同學相約到同一家禮品店購買紀念品，每兩個同學都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數為多少？
21．設a、b、c是的三條邊，關于x的方程有兩個不相等實數根，方程
(1)試判斷的形狀；
(2)若a、b為方程的兩個根，求m的值
22．把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數以及常數項．
(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
(2)．
23．某商店代銷一種智能學習機，促銷廣告顯示“若購買不超過40臺學習機，則每臺售價800元，若超出40臺，則每超過1臺，每臺售價將均減少5元”，該學習機的進價與進貨數量關系如圖所示：
（1）當時，用含x的代數式表示每臺學習機的售價；
（2）當該商店一次性購進并銷售學習機60臺時，每臺學習機可以獲利多少元？
（3）若該商店在一次銷售中獲利4800元，則該商店可能購進并銷售學習機多少臺？
《第八章一元二次方程》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A B C A B C B
題號 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本題考查了一元二次方程的實際應用——增長率問題．設這種食品平均每月上漲的百分率為x，根據11月份的售價=9月份的售價×（1+增長率），列出方程求解即可，把相關數值代入后化簡即可．
【詳解】解：設這種食品平均每月上漲的百分率為x，
根據題意得：，
解得： ， (舍去)
故選：．
2．B
【分析】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．
根據一元二次方程的解的定義，將代入關于x的一元二次方程即可得到答案．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的一個根為，
∴滿足關于x的一元二次方程，
∴，即，
故選：B．
3．C
【分析】過E作于點M，當運動時間為秒時，，利用勾股定理解，可得關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論．
【詳解】解：如圖所示，過E作于點M，
由題意知，當運動時間為秒時，，，，
，
根據勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，，
的長為時點E的運動時間是或，
故選C．
【點睛】本題考查勾股定理以及解一元二次方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．本題作答方法不唯一，也可以通過分類討論求解．
4．A
【詳解】試題分析：本題根據一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小題正確；
②ax2+bx+c=0，a≠0時是一元二次方程，故本小題錯誤；
③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小題錯誤；
④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小題錯誤．
故選A．
考點：一元二次方程的定義．
5．B
【分析】先把方程兩邊都除以2，再配方即可.
【詳解】原方程可化為：
配方得：
即
故選：B
【點睛】本題考查了配方法，一般配方的步驟是：先化成一般式，把二次項系數化為1；加上一次項系數一半的平方，并減去這個數.
6．C
【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關鍵．
利用配方法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：C．
7．A
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，根據方程有實數根，得到，列出不等式進行求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
解得：，
故選：A．
8．B
【分析】直接用開平方法解方程即可．
【詳解】解：，
開平方得：，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準確進行計算．
9．C
【分析】分別計算各選項方程的根的判別式Δ=b2-4ac，然后根據計算的結果分別判斷根的情況．
【詳解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有兩個不相等，故A錯誤；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有兩個不相等，故B錯誤；
C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程沒有實數根，故C正確；
D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有兩個不相等，故D錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式Δ=b2-4ac．解題的關鍵是掌握當Δ>0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數根；當Δ<0，方程沒有實數根．
10．B
【分析】因式分解法求得方程的根，根據等腰三角形的性質，確定三邊，在三角形存在的前提下，計算周長．
【詳解】∵，
∴，
∴等腰三角形的三邊長為2，2，5，不滿足三邊關系定理，舍去；
或2，5，5，滿足三邊關系定理，
∴等腰三角形的周長為2+5+5=12，
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，三角形的三邊關系定理，等腰三角形的性質，熟練掌握一元二次方程的解法，三角形三邊關系定理是解題的關鍵．
11．B
【分析】根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．
【詳解】①ax2+x+2＝0，當a＝0時，該方程屬于一元一次方程，故錯誤；
②由原方程知2x2-56x+241=0，該方程符合一元二次方程的定義．故②是一元二次方程；
③x+3＝屬于分式方程，故錯誤；
④（a2+a+1）x2-a=0整理得[（a+）2+]x2-a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2-a=0是一元二次方程；
⑤＝x﹣1屬于無理方程，故錯誤；
故選B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數； ②只含有一個未知數； ③未知數的最高次數是2．
12．A
【分析】把方程整理后,利用因式分解法解方程求得兩個根,再由a>b即可求得a,b值,進而求得的值
【詳解】，
∴，
∴，
∴.
∵為方程的兩根，且，
∴，
∴.
故選A.
【點睛】此題考查解一元二次方程-因式分解法，掌握運算法則是解題關鍵
13．－3
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可直接進行求解．
【詳解】解：由α，β是方程x2-2x+k＝0的兩個實數根，可得：
，α+β=2，
∵2﹣＋＝5，
∴，
∴-k+2=5，
∴k=-3，
故答案為：-3．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
14．且
【分析】依據一元二次方程的定義即形如求解即可．
【詳解】解：關于的方程是一元二次方程，
且，
解得：且．
故答案為：且．
【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．
15．等腰
【分析】將，代入中得到關系式，利用完全平方公式變形后，根據非負數的性質求出a與c的值，進而求出b的值，即可確定出三角形形狀．
【詳解】解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
則△ABC為等腰三角形．
故答案是：等腰．
【點睛】此題考查了配方法的應用，非負數的性質，以及等腰三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
16．，，
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握求解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
根據因式分解法求解即可．
【詳解】解：，
，
或，
解得，．
故答案為：，．
17．4
【分析】設該小組有x支球隊，根據每兩隊之間進行一場比賽，可知共比賽了場，由此列一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：設該小組有x支球隊，
由題意知：，
整理，得，
解得（舍去），，
即該小組有4支球隊．
故答案為：4．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據等量關系列出一元二次方程．
18．＝，＝．
【分析】利用公式變形，＋=，變形后，采用換元法求解即可．
【詳解】∵＋－2－1＝0，
∴－2－1＝0，
∴設x＋＝y，
則原方程變形為－2y－3＝0.
∴＝3，＝－1.
當y＝3時，x＋＝3，
整理，得－3x+1=0，
解得＝，＝．
當y＝－1時，x＋＝－1，
整理，得+x+1=0，
△=，
∴方程無實數解．
經檢驗，＝，＝都是原方程的根，
∴原方程的根為＝，＝．
【點睛】本題考查了換元法解分式方程，完全平方公式的變式，熟練進行公式變形，靈活選擇換元法求解是解題的關鍵．
19．(1)x1=-1，x2=3
(2)x1=-2+，x2=-2-
【分析】（1）利用移項法則、提公因式法把方程的左邊變形，進而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【詳解】（1）解：x(x-3)=-(x-3)
x(x-3)+(x-3)=0，
(x+1)(x-3)=0，
x1=-1，x2=3；
（2）解：x2+4x-3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
(x+2)2=7，
x+2=，
x1=-2+，x2=-2-．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方分解法、公式法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
20．該興趣小組的人數為6人．
【分析】設該小組有x人，每兩個同學都相互贈送一件禮品，即一個人送出（x-1）件，依次列方程解答即可.
【詳解】解：設該興趣小組的人數為x人，則每個同學需送出（x﹣1）件禮物，
依題意，得：x（x﹣1）＝30，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合題意，舍去）．
答：該興趣小組的人數為6人．
【點睛】此題考查一元二次方程的應用，正確理解題意列出方程是解題關鍵.
21．(1)等邊三角形
(2)
【分析】本題主要考查了一元二次方程的判別式與方程的解得定義，是一個比較簡單的問題．
（1）因為方程有兩個相等的實數根即，由△可以得到一個關于，的方程，再結合方程的根為，代入即可得到一關于，的方程，聯立即可得到關于，的方程組，可求出，的關系式；
（2）根據（1）求出的，的值，可以關于的方程，解方程即可求出．
【詳解】（1）有兩個相等的實數根，
，
整理得①，
又的根為，
②，
把②代入①得，
，
為等邊三角形；
（2），是方程的兩個根，
方程有兩個相等的實數根
，
即，
，．
當時，原方程的解為（不符合題意，舍去），
．
22．(1)5x2+x﹣4＝0，二次項系數為5；一次項系數為1；常數項為﹣4
(2)2x2+6x+1＝0，二次項系數為2；一次項系數為6；常數項為1
【分析】根據多項式的乘法化簡，再化為一元二次方程的一般形式，進而求得二次項系數、一次項系數以及常數項．
【詳解】（1）化簡后為5x2+x﹣4＝0，因此二次項系數為5；一次項系數為1；常數項為﹣4；
（2）化簡后為2x2+6x+1＝0，二次項系數為2；一次項系數為6；常數項為1．
【點睛】本題考查了多項式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．一元二次方程的一般形式是：（是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．
23．（1）；（2）120；（3）該商店可能購進并銷售學習機80臺或30臺
【分析】（1）根據如果超出40臺，則每超過1臺，每臺售價均減少5元，可列式；
（2）先根據待定系數法計算直線的解析式，在計算x=60時的進價和售價，可得利潤；
（3）分當x＞40,和當x≤40時，分別計算每臺的售價，列方程解出即可；
【詳解】（1）由題意可知當時，每臺學習機的售價為．
（2）設題圖中直線的解析式為．
把和代入得
解得
故直線解析式為．
當時，進價為（元），
售價為（元），
則每臺學習機可以獲利（元）．
（3）當時，每臺學習機的利潤是，則．
解得（舍去）．
當時，每臺學習機的利潤是，則，
解得（舍去）．
答：該商店可能購進并銷售學習機80臺或30臺．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用和函數圖形的知識點，準確理解是解題的關鍵．
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