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第七章二次根式
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．使分式有意義的x的取值范圍在數軸上應表示為（　　）
A． B．
C． D．
2．下列式子中，為最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若有意義，則m能取的最小整數值是（　　）
A． B． C． D．
4．函數中，自變量x的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．實數在數軸上的位置如圖所示，化簡：（ ）
A． B． C． D．
6．估計的值在（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
7．下列各式計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若有意義，則a能取的最小整數為（ ）
A．0 B．1 C．－ D．－4
9．計算的結果估計在（　　）
A．與之間 B．與之間 C．與之間 D．與之間
10．下列各組二次根式中，不能合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
11．要使有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各數中，與的乘積為有理數的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．把根號外的因式移到根號內：＝ .
14．如果最簡二次根式和是同類二次根式，那么這兩個二次根式的和為 ．
15．當x＝4時，二次根式的值為 ．
16．寫出下列函數自變量的取值范圍．
（1）： ； （2） ﹔
（3）： ；（4） ﹔
（5）若某服裝店準備購進甲、乙兩種服裝共100件（兩種都需要有），總費用y（單位：元）與購進甲種服裝的數量x（單位：件）之間的函數關系式為，則自變量x的取值范圍為 ．
17．計算： ．
三、解答題
18．化簡.
(1)；
(2)
19．已知a，b，c為△ABC的三邊長，且（++）2=3（++），試說明這個三角形是什么三角形．
20．如果二次根式 與 能夠合并，能否由此確定a=1？若能，請說明理由；不能，請舉一個反例說明．
21．計算:
（1）
(2)
（3）
（4）
22．用※定義一種新運算：對于任意實數m和n，規定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范圍，并在所給的數軸上表示出解集．
23．計算：
（1）
（2）
24．計算：（1）；
（2）
《第七章二次根式》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C D D B A A C
題號 11 12
答案 A C
1．B
【分析】此題主要考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題關鍵；
根據二次根式有意義的條件和分式的分母不為0，列出不等式組，求解即可．
【詳解】解：由題意，得
，
解得．
在數軸上表示出來，如圖．
故選：B．
2．B
【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．
【詳解】A、原式，不符合題意；
B、是最簡二次根式，符合題意；
C、原式，不符合題意；
D、原式，不符合題意；
故選B．
【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式是解本題的關鍵．
3．C
【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于等于0，即可求解．
【詳解】由有意義，
則滿足2m-3≥0，解得m≥，
即m≥時，二次根式有意義．
則m能取的最小整數值是m=2．
故選C．
【點睛】主要考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式；性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
4．C
【分析】題目主要考查求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件，根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，求解即可．
【詳解】解：，
∴，
∴，
故選：C．
5．D
【分析】根據實數在數軸上的位置，得到，判斷，再由二次根式性質化簡，去絕對值后，運用整式加減運算法則求解即可得到答案．
【詳解】解：由實數在數軸上的位置，如圖所示：
，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查二次根式化簡，涉及利用數軸判斷代數式符號、二次根式性質化簡、去絕對值及整式加減運算等知識，根據實數在數軸上的位置判斷代數式符號去絕對值是解決問題的關鍵．
6．D
【分析】尋找小于26的最大平方數和大于26的最小平方數即可.
【詳解】解：小于26的最大平方數為25，大于26的最小平方數為36，故，即：
，故選擇D.
【點睛】本題考查了二次根式的相關定義.
7．B
【分析】根據二次根式的除法法則進行計算即可．
【詳解】解：．，選項不正確，不符合題意；
B．，選項正確，符合題意；
C．，選項不正確，不符合題意；
D．，選項不正確，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
8．A
【分析】根據二次根式的性質列出不等式求解，即可判斷．
【詳解】依題意可得4a+1≥0
解得a≥-
∴a能取的最小整數為0
故選A．
【點睛】此題主要考查二次根式的性質，解題的關鍵是熟知二次根式的被開方數為非負數．
9．A
【分析】先根據二次根式的乘法計算得到原式，進而估計即可．
【詳解】解：，
，
故選：．
【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算和無理數的估算，掌握二次根式的性質和運算法則是關鍵．
10．C
【分析】先根據二次根式的性質將各選項中的二次根式化簡，再進行判斷即可.
【詳解】解：A、，和能合并，故本選項不符合題意；
B、，，與能合并，故本選項不符合題意；
C、，，與不能合并，故本選項符合題意；
D、，，與能合并，故本選項不符合題意；
故選：C.
【點睛】本題考查了二次根式的性質和同類二次根式，正確理解題意、熟練掌握二次根式的性質是解題關鍵.
11．A
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．根據被開方數是非負數列式求解即可．
【詳解】解：由題可知，
當時，式子有意義，
解得．
故選：A．
12．C
【分析】利用二次根式乘法法則判斷即可．
【詳解】A．，不是有理數，不合題意；
B．，不是有理數，不合題意；
C．是有理數，符合題意；
D．，不是有理數，不合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式乘法，熟練掌握二次根式乘法法則是解答本題的關鍵．
13．
【分析】根據題意可得a－1＜0，原式可以化成，然后根據二次根式的乘法法則即可求解．
【詳解】由題意，得a－1＜0，
所以
.
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，正確理解題目中的隱含條件：a－1＜0是關鍵．
14．
【分析】本題考查了同類二次根式的知識，一元一次方程，注意掌握同類二次根式化為最簡二次根式后被開方數相同且根指數均為2．根據同類二次根式的被開方數相同可得出關于的方程，解出的值，再求和即可．
【詳解】解：∵最簡二次根式和是同類二次根式，
∴，
解得：．
故這兩個二次根式的和為，
故答案為：．
15．0
【分析】直接將，代入二次根式解答即可．
【詳解】解：把x＝4代入二次根式＝0，
故答案為0
【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，直接將代入求出，利用二次根式的性質直接開平方是解決問題的關鍵．
16． x可取任意實數 且x為整數
【分析】（1）根據含自變量的代數式為整式可得答案；
（2）根據分式有意義的條件可得答案；
（3）根據二次根式有意義的條件可得答案；
（4）根據分式，二次根式有意義的條件可得答案；
（5）根據自變量的實際意義可得答案；
【詳解】解：（1）的自變量的取值范圍為x可取任意實數；
故答案為： x可取任意實數；
（2）∵，
∴，
∴的自變量的取值范圍為﹔
故答案為：
（3）∵，
∴，
∴的自變量的取值范圍為；
故答案為：
（4）∵，
∴，
∴的自變量的取值范圍為﹔
故答案為：
（5）由題意可得：，
解得：，
∴的自變量x的取值范圍為且x為整數；
故答案為：且x為整數
【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍，不等式與不等式組的應用，二次根式有意義的條件；掌握基礎知識是解本題的關鍵．
17．
【分析】本題主要考查二次根式的乘除法，原式先化簡分子中的二次根式，再計算除法即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
18．(1)﹣1
(2)2﹣5．
【分析】（1）根據絕對值的性質以及二次根式的性質即可求出答案．
（2）根據絕對值的性質以及二次根式的性質即可求出答案．
【詳解】（1）解：
＝|3﹣m|﹣|m﹣2|，
∵m＞3，
∴3﹣m＜0，m﹣2＞0，
∴原式＝﹣（3﹣m）﹣（m﹣2）
＝﹣3+m﹣m+2
＝﹣1．
（2）解：∵2＜＜3，
∴﹣2＞0，﹣3＜0，
∴
＝|﹣2|﹣|﹣3|
＝﹣2+（﹣3）
＝﹣2+﹣3
＝2﹣5．
【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡、二次根式的加減，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質以及絕對值的性質，本題屬于基礎題型．
19．這個三角形為等邊三角形．理由見解析．
【分析】先將原式變形為（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，再根據非負數的性質即可得出a=b=c，進而可得結論．
【詳解】解：∵（++）2=3（++），
∴a+b+c+2+2+2﹣3﹣3﹣3=0，
∴a+b+c﹣﹣﹣=0，
∴2a+2b+2c﹣2﹣2﹣2=0，
∴（﹣）2+（﹣）2+（﹣）2=0，
∴﹣=0，﹣=0，﹣=0，
∴a=b=c，
∴這個三角形為等邊三角形．
【點睛】本題考查了二次根式的運算、多項式的因式分解、非負數的性質和等邊三角形的判定等知識，正確變形、熟練掌握基本知識是解題的關鍵．
20．見解析
【詳解】試題分析：由于二次根式與能夠合并，如果是最簡二次根式，由此可以得到3a-1=2，由此可以確定a=1，但不一定是最簡二次根式，所以還有其他的情況，由此即可求解．
試題解析：二次根式 與-3能夠合并，不能由此確定a=1．
當 是最簡二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；
當 不是最簡二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．
還有其他情況．
故不能確定a=1．
21．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用平方差公式計算；
（2）根據乘法分配律去括號后，再化簡二次根式計算；
（3）先化簡二次根式，再進行計算；
（4）先絕對值符號和括號，再進行計算．
【詳解】解：（1）
；
（2）
＝
；
（3）
＝
＝；
（4）
．
【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，熟練掌握二次根式的混合運算法則及運算順序是解題的關鍵．
22．(1)；(2)，圖見解析
【分析】（1）根據新定義規定的運算法則列式，再由有理數的運算法則計算可得；
（2）根據新定義列出關于x的不等式，解不等式即可得．
【詳解】解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
將解集表示在數軸上如下：
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合運算，解題的關鍵是根據新定義列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步驟
23．（1）；（2）
【分析】（1）分別化簡二次根式，再合并同類二次根式即可得到答案；
（2）先將變形為，然后利用平方差公式計算求解．
【詳解】（1）
（2）
故答案為（1）；（2）．
【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，積的乘方，平方差公式，合并同類二次根式，掌握以上知識是解題的關鍵．
24．（1）；（2）．
【分析】（1）分別根據化簡二次根式的法則、立方根的法則、絕對值的法則計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．
（2）分別根據化簡二次根式的法則、絕對值的法則、0指數冪計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．
【詳解】（1）原式．
（2）原式．
【點睛】本題考查的是實數的運算和二次根式的化簡，熟知數的開方法則、0指數冪的計算法則、立方根的法則、絕對值的法則是解答此題的關鍵．
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