資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
選擇性必修3模擬卷（中等）
考試內容：選修性必修3 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高二下·天津南開·期中）下面是不同成對數據的散點圖，從左到右對應的樣本相關系數是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ）
A．B．C． D．
2．（24-25高二下·山東煙臺·期中）根據吸煙與患肺癌這兩個分類變量的樣本數據，計算得出，經查閱獨立性檢驗的小概率值和相應的臨界值，則下列說法正確的是（ ）
A．在100個吸煙的人中就會有99人患肺癌
B．若某人吸煙，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能為吸煙者
D．吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%
3．（24-25高二下·重慶·期中）從五個數字中任選3個數字，可組成無重復數字的三位數的個數為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
4．（24-25高二下·江西·階段練習）的展開式中常數項為（ ）
A． B．80 C． D．160
5．（24-25高二下·福建三明·期中）“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（ ）

A．第10行中第5個數最大
B．第2025行中從左往右第1012個數與第1013個數相等
C．
D．第12行中第8個數與第9個數之比為
6．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）用數字4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，在這個數能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·江西·階段練習）設隨機變量，函數在定義域上是單調遞增函數的概率為，則（ ）
附：若，則.
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·河南周口·期中）已知盒中裝有9個除顏色外其他完全相同的小球，其中有3個白球，6個紅球，每次從盒中隨機抽取1個小球，觀察顏色后再放回盒中，直到兩種顏色的球都取到，且取到的一種顏色的球比另一種顏色的球恰好多2個時停止取球，則停止取球時取球的次數為6的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得部分分，每題6分。3題共18分）
9．（24-25高二下·湖南長沙·期中）下列結論中，正確的有（ ）
A．數據4，1，6，2，9，5，8的第70百分位數為5
B．若隨機變量，則
C．若，且，則C，D相互獨立
D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到，依據小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
10．（2025·山東濟南）在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數項為120 B．各二項式系數的和為64
C．各項系數的和為1 D．各二項式系數的最大值為240
11．（24-25高二下·四川成都·期中）某醫院派出甲、乙、丙、丁四名醫生奔赴該市的四個區參加規培工作，下列選項正確的是（ ）
A．若四個區都有人去，則共有24種不同的安排方法.
B．若恰有一個區無人去，則共有144種不同的安排方法.
C．若甲不去區，乙不去區，且每區均有人去，則共有18種不同的安排方法.
D．若這4名醫生只能去兩個區參加工作，且這兩個區都必須有人去，則共有14種不同的安排方法.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·天津南開·期中）已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球(所有球除顏色外完全相同)，某學生先從甲箱中隨機取出1個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出2個球，記“從乙箱中取出的2個球都是黑球”為事件B，則 ．
13．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率.某射擊運動愛好者進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為，擊中目標兩次時停止射擊.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數，則 ， .
四、解答題（15題13分，16和17題各15分、18和19題各17分，共77分）
15．（24-25高二下·廣西防城港·期中）已知的展開式中所有二項式系數之和為
(1)求的展開式所有項的系數和；
(2)求的展開式中的系數；
(3)判斷的展開式中第幾項的系數的絕對值最大.
16．（重慶市沙坪壩區部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）為考察某種藥物預防和治療流感的效果，某藥物研究所用100只小白鼠進行了分組試驗，該分組試驗分兩個階段：第一階段為5天的觀察預防期，第二階段為10天的觀察治療期.第一階段結束時，統計數據如下：患病小白鼠的比例為，未服藥小白鼠的比例為，未服藥且未患病的小白鼠有20只.
(1)完成下面列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，推斷該藥物對預防流感是否有效.
藥物 流感 合計
未患病 患病
未服用
服用
合計
(2)第一階段結束時，若在患病的小白鼠中隨機抽取2只，用表示服藥的只數，求的分布列和數學期望.
(3)第二階段結束時，針對第一階段結束時的服藥且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服藥患病的小白鼠中有5%自愈，服藥未患病的小白鼠中有20%患病，未服藥未患病的小白鼠中有15%患病.用頻率估計概率，試驗結束后，從這100只小白鼠中任選1只，檢測是否患病后放回，若該操作進行5次，求選出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．（2025·河北）某短視頻平臺在2025年上半年推出了新一代的“AI推薦算法”，為了檢測受眾情況，該公司從點贊的用戶中隨機選取100名志愿者統計他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.
(1)估計這100名志愿者年齡的中位數（結果精確到0.01）和平均數；
(2)依據上述調研結果，按照各年齡段人數的比例，用分層隨機抽樣的方法從這100名志愿者中隨機選取20名志愿者參加座談會，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會的年齡在的人中隨機選出3人作為代表發言，設隨機變量表示代表年齡在的志愿者人數，求的分布列及期望.
18．（2025·湖南）我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創新、廣告宣傳和可靠售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面.下表為2017年—2024年（年份代碼分別記為：1，2，3，4，5，6，7，8）該品牌新能源汽車的科研經費投入和全球市場規模統計.
年份代碼i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研經費（單位：百億元） 2 3 6 10 13 15 18 21
市場規模（單位：百萬輛） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
參考數據：，，，.
參考公式：相關系數.
(1)根據樣本數據，推斷兩個變量是否線性相關，并計算樣本相關系數，推斷它們的線性相關程度（結果精確到0.01，當越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱）；
(2)已知在國內，新能源車主購買的新能源汽車為該品牌新能源汽車的概率為p（），從國內新能源車主中隨機抽取5人，記這5人中選擇購買該品牌的人數為隨機變量X，若，求隨機變量X的數學期望和方差
19．（2025·江西）DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎技術研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一經發布，引發全球轟動，其科技水準直接對標美國的OpenAI GPT-4.為提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并對員工進行了DeepSeek培訓.公司規定：只有培訓合格才能上崗，否則將補訓.
(1)若員工甲、乙、丙培訓合格的概率分別為 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率；
(2)為了激發員工的培訓積極性，提升員工使用DeepSeek的能力，M公司在培訓過后舉辦了一次 DeepSeek知識競賽.已知參加這次知識競賽員工的競賽成績 Z 近似服從正態分布N(90，9)，若該集團共有2000名員工，試估計這些員工中成績超過93分的人數；(結果精確到個位)
(3)參加了知識競賽的員工還可繼續參與第二輪答題贏重獎活動，活動規則如下：共有3道題，每答對1道題獎勵現金800元.已知參與知識競賽的員工甲答對每道題的概率均為 且每題答對與否都相互獨立，記甲獲得總獎金為X元，求X的分布列與數學期望E(X).
參考數據：若Z~N(μ，σ )，則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
選擇性必修3模擬卷（中等）
考試內容：選修性必修3 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高二下·天津南開·期中）下面是不同成對數據的散點圖，從左到右對應的樣本相關系數是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】由散點圖變化趨勢可知：且D的散點圖更集中，接近于一條直線，所以相對于更趨近于，所以.
故選：D.
2．（24-25高二下·山東煙臺·期中）根據吸煙與患肺癌這兩個分類變量的樣本數據，計算得出，經查閱獨立性檢驗的小概率值和相應的臨界值，則下列說法正確的是（ ）
A．在100個吸煙的人中就會有99人患肺癌
B．若某人吸煙，那么他有99%的可能患肺癌
C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能為吸煙者
D．吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%
【答案】D
【解析】由，得吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%，D正確；
卡方檢驗僅說明吸煙與患肺癌兩個變量間的關聯性，無法量化個體情況，這兩個變量間也無因果關系，ABC錯誤.
故選：D
3．（24-25高二下·重慶·期中）從五個數字中任選3個數字，可組成無重復數字的三位數的個數為（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】A
【解析】無重復數字的三位數的個數為，
故選：A.
4．（24-25高二下·江西·階段練習）的展開式中常數項為（ ）
A． B．80 C． D．160
【答案】C
【解析】因為，
其中展開式的通項為（且），
所以展開式中常數項為.
故選：C
5．（24-25高二下·福建三明·期中）“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（ ）

A．第10行中第5個數最大
B．第2025行中從左往右第1012個數與第1013個數相等
C．
D．第12行中第8個數與第9個數之比為
【答案】D
【解析】對于A，由楊輝三角性質得在第行里，有共個數，
所以第10行中正中間即第個數最大，故A錯誤，
對于B，由楊輝三角性質得第行第個數為，
則在第行中，第個數為，第1013個數為，
由組合數性質得，故B錯誤，
對于C，由組合數運算性質得，故C錯誤.
對于D，由已知得第12行中第8個數為，第9個數為，
則它們的比為，則第8個數與第9個數之比為，故D正確.
故選：D
6．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）用數字4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，在這個數能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】記事件從中任取一個數，這個數能被整除，
記事件從中任取一個數，這個數能被整除，
4、5、6、7、8中能被整除的為，被除余數為的有：、，被除余數為的有：、，
現考慮無重復數字的三位數能被整除，則所選的三個數應從、選擇一個，從、中選擇一個，必選，
4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，這個數能被整除，則個位數必然為，
所以，
無重復數字的三位數既能被整除，又能被整除的有：、、、，即，
由條件概率公式可得.
故選：C.
7．（24-25高二下·江西·階段練習）設隨機變量，函數在定義域上是單調遞增函數的概率為，則（ ）
附：若，則.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
若對任意實數恒成立，則，
所以，
又，所以，，，，，，
所以，，
則.
故選：B.
8．（24-25高二下·河南周口·期中）已知盒中裝有9個除顏色外其他完全相同的小球，其中有3個白球，6個紅球，每次從盒中隨機抽取1個小球，觀察顏色后再放回盒中，直到兩種顏色的球都取到，且取到的一種顏色的球比另一種顏色的球恰好多2個時停止取球，則停止取球時取球的次數為6的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】從袋中有放回地取球，每次取到紅球的概率 ，取到白球的概率是 ，連續有放回地取 次，相當于次獨立重復試驗；
根據題意，知第6次時首次滿足：兩種顏色都取到；一種比另一種多2.
即：前5次不滿足“兩種都取到且差為2”；第6次后滿足“兩種都取到且差為2”.
可能的序列：
①第6次后4白2紅：前5次3白2紅（差1），第6次白；
②第6次后4白2紅：前5次4白1紅（差3），第6次紅；
③第6次后2白4紅：前5次2白3紅（差1），第6次紅；
④第6次后2白4紅：前5次1白4紅（差3），第6次白.
設所求的概率為,所以
.
故選：C.
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得部分分，每題6分。3題共18分）
9．（24-25高二下·湖南長沙·期中）下列結論中，正確的有（ ）
A．數據4，1，6，2，9，5，8的第70百分位數為5
B．若隨機變量，則
C．若，且，則C，D相互獨立
D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到，依據小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
【答案】BC
【解析】對于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位數據6，故A錯誤；
對于B，，
則，故B正確；
對于C，，
由條件概率公式得，得到，即C，D相互獨立，故選項C正確；
對于D，沒有充分證據推斷X與Y有關聯，故D錯誤．
故選：BC．
10．（2025·山東濟南）在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．常數項為120 B．各二項式系數的和為64
C．各項系數的和為1 D．各二項式系數的最大值為240
【答案】BC
【解析】對于二項式，根據二項式展開式的通項公式可得：
，.
令，則，解得.
將代入通項公式可得常數項為，所以選項A錯誤.
根據二項式系數和的性質，所以的各二項式系數的和為，選項B正確.
要求各項系數的和，可令，則，所以各項系數的和為，選項C正確.
因為，所以二項式系數最大的是中間項，即第項，其二項式系數為，選項D錯誤.
故選：BC.
11．（24-25高二下·四川成都·期中）某醫院派出甲、乙、丙、丁四名醫生奔赴該市的四個區參加規培工作，下列選項正確的是（ ）
A．若四個區都有人去，則共有24種不同的安排方法.
B．若恰有一個區無人去，則共有144種不同的安排方法.
C．若甲不去區，乙不去區，且每區均有人去，則共有18種不同的安排方法.
D．若這4名醫生只能去兩個區參加工作，且這兩個區都必須有人去，則共有14種不同的安排方法.
【答案】ABD
【解析】對于A中，若四個區都有人去，共有種不同的安排方法，所以A正確；
對于B中，若恰有一個區無人去，共有種不同的安排方法，所以B正確；
對于C中，由甲不去區，乙不去區，且每區均有人去，
若甲去區，則有種不同的安排方法；
若甲去區或區中的一個，此時乙有兩種選項，則有種不同的安排方法，
由分步計數原理得，共有種不同的安排方法，所以C不正確；
對于D中，將4名醫生分為兩組，一組1個一組3個或一組2個一組2個，
再安排到兩個區參加工作，共有，所以D正確.
故選：ABD.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·天津南開·期中）已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球(所有球除顏色外完全相同)，某學生先從甲箱中隨機取出1個球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出2個球，記“從乙箱中取出的2個球都是黑球”為事件B，則 ．
【答案】/0.48
【解析】記學生先從甲箱中取出的1個球恰有個紅球放入乙箱為事件，
.
學生先從甲箱中隨機取出1個黑球放入乙箱，則此時乙箱中有紅黑，此時.
學生先從甲箱中隨機取出1個紅球放入乙箱，則此時乙箱中有紅黑，此時，
則.
故答案為：.
13．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率.某射擊運動愛好者進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為，擊中目標兩次時停止射擊.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數，則 ， .
【答案】 /
【解析】由題意，，
當，則，而，所以，
由題設，.
故答案為：，
14．（2025·河南·三模）已知，則的值為 ．
【答案】255
【解析】由，
令，可得，
又，
上式二項展開的通項為：．令，可得．
∴．
故答案為:255.
四、解答題（15題13分，16和17題各15分、18和19題各17分，共77分）
15．（24-25高二下·廣西防城港·期中）已知的展開式中所有二項式系數之和為
(1)求的展開式所有項的系數和；
(2)求的展開式中的系數；
(3)判斷的展開式中第幾項的系數的絕對值最大.
【答案】(1)1
(2)
(3)第3項
【解析】（1）因為所有二項式系數之和是128，所以，所以，
令，得，所以的展開式所有項的系數和為1；
（2）的展開式的通項，
令，得，
所以的展開式中的含的項為，
故的展開式中的系數為；
（3）展開式中系數的絕對值最大項相當于展開式中系數最大項，
而展開式的通項，
由得，因為r為整數，所以
所以的展開式中第3項的系數的絕對值最大．
16．（重慶市沙坪壩區部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）為考察某種藥物預防和治療流感的效果，某藥物研究所用100只小白鼠進行了分組試驗，該分組試驗分兩個階段：第一階段為5天的觀察預防期，第二階段為10天的觀察治療期.第一階段結束時，統計數據如下：患病小白鼠的比例為，未服藥小白鼠的比例為，未服藥且未患病的小白鼠有20只.
(1)完成下面列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，推斷該藥物對預防流感是否有效.
藥物 流感 合計
未患病 患病
未服用
服用
合計
(2)第一階段結束時，若在患病的小白鼠中隨機抽取2只，用表示服藥的只數，求的分布列和數學期望.
(3)第二階段結束時，針對第一階段結束時的服藥且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服藥患病的小白鼠中有5%自愈，服藥未患病的小白鼠中有20%患病，未服藥未患病的小白鼠中有15%患病.用頻率估計概率，試驗結束后，從這100只小白鼠中任選1只，檢測是否患病后放回，若該操作進行5次，求選出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)列聯表見解析，沒有充分證據表明該藥物對預防流感有效
(2)分布列見解析，數學期望為
(3)
【解析】（1）因為患病小白鼠的比例為，所以患病小白鼠有只，
則不患病的小白鼠有只，又未服藥小白鼠的比例為，
所以未服藥小白鼠有，從而完善列聯表，如下表：
藥物 流感 合計
未患病 患病
未服用 20 20 40
服用 35 25 60
合計 55 45 100
零假設為：該藥物對預防流感無關聯.
因為，顯然，
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，
沒有充分證據表明該藥物對預防流感有效.
（2）由題意X的所有可能取值為，
則，，
，
所以的分布列為：
0 1 2
所以的數學期望為.
（3）第二階段結束后，服藥且患病的小白鼠中有16%被治愈，
那么服藥且患病后仍患病的小白鼠的數量為，
未服藥患病的小白鼠中有5%自愈，
那么未服藥患病后仍患病的小白鼠的數量為，
服藥未患病的小白鼠中有20%患病，那么服藥未患病后患病的小白鼠的數量為，
未服藥未患病的小白鼠中有15%患病，那么未服藥未患病后患病的小白鼠的數量為，
所以第二階段結束后患病的小白鼠的總數量為，
所以從這100只小白鼠中任選1只，患病的概率為，
設表示選出的5只小白鼠中患病的只數，則，
“至少有2只患病”的對立事件為“0只患病”或“1只患病”，
所以.
17．（2025·河北）某短視頻平臺在2025年上半年推出了新一代的“AI推薦算法”，為了檢測受眾情況，該公司從點贊的用戶中隨機選取100名志愿者統計他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.
(1)估計這100名志愿者年齡的中位數（結果精確到0.01）和平均數；
(2)依據上述調研結果，按照各年齡段人數的比例，用分層隨機抽樣的方法從這100名志愿者中隨機選取20名志愿者參加座談會，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會的年齡在的人中隨機選出3人作為代表發言，設隨機變量表示代表年齡在的志愿者人數，求的分布列及期望.
【答案】(1)估計這100名志愿者年齡的中位數和平均數分別為和
(2)的分布列為：
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：因為前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以中位數位于區間中，
中位數的估計值為；
由頻率分布直方圖可知：樣本平均數的估計值為.
故估計這100名志愿者年齡的中位數和平均數分別為和.
（2）由題可知從中選取的20名志愿者中，年齡在的有人，其中年齡在的有人.
由題知年齡在的志愿者人數服從超幾何分布，的所有可能取值為，，，，
，，
，，
所以的分布列為：
的期望.
18．（2025·湖南）我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創新、廣告宣傳和可靠售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面.下表為2017年—2024年（年份代碼分別記為：1，2，3，4，5，6，7，8）該品牌新能源汽車的科研經費投入和全球市場規模統計.
年份代碼i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研經費（單位：百億元） 2 3 6 10 13 15 18 21
市場規模（單位：百萬輛） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
參考數據：，，，.
參考公式：相關系數.
(1)根據樣本數據，推斷兩個變量是否線性相關，并計算樣本相關系數，推斷它們的線性相關程度（結果精確到0.01，當越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱）；
(2)已知在國內，新能源車主購買的新能源汽車為該品牌新能源汽車的概率為p（），從國內新能源車主中隨機抽取5人，記這5人中選擇購買該品牌的人數為隨機變量X，若，求隨機變量X的數學期望和方差
【答案】(1)樣本相關系數，兩個變量線性相關且線性相關程度很強.
(2)隨機變量的數學期望，方差.
【解析】（1）；
.
然后計算，
將，，，代入可得：
.
接著計算，將，，代入可得：
.
再計算，將，，代入可得：
.
最后計算相關系數：
根據公式，將，
，代入可得：
，因為，所以.
由于接近，所以兩個變量線性相關且線性相關程度很強.
（2）已知隨機變量（因為從國內新能源車主中隨機抽取人，
每個人購買該品牌汽車的概率為，符合二項分布的定義），
根據二項分布的概率公式，由可得：
，即，因為，得，
解方程，得.
再根據二項分布的數學期望公式和方差公式，
將，代入可得：；.
19．（2025·江西）DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎技術研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一經發布，引發全球轟動，其科技水準直接對標美國的OpenAI GPT-4.為提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并對員工進行了DeepSeek培訓.公司規定：只有培訓合格才能上崗，否則將補訓.
(1)若員工甲、乙、丙培訓合格的概率分別為 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率；
(2)為了激發員工的培訓積極性，提升員工使用DeepSeek的能力，M公司在培訓過后舉辦了一次 DeepSeek知識競賽.已知參加這次知識競賽員工的競賽成績 Z 近似服從正態分布N(90，9)，若該集團共有2000名員工，試估計這些員工中成績超過93分的人數；(結果精確到個位)
(3)參加了知識競賽的員工還可繼續參與第二輪答題贏重獎活動，活動規則如下：共有3道題，每答對1道題獎勵現金800元.已知參與知識競賽的員工甲答對每道題的概率均為 且每題答對與否都相互獨立，記甲獲得總獎金為X元，求X的分布列與數學期望E(X).
參考數據：若Z~N(μ，σ )，則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.
【答案】(1)
(2)317
(3)分布列見解析
【解析】（1）分別記甲、乙、丙培訓合格為事件A，B，C，
則甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率
（2）由已知得μ的近似值為90，σ的近似值為3，
所以
而，
所以估計這些員工中成績超過93分的人數為317.
（3）X的所有可能取值為0，800，1600，2400，
所以X的分布列為
x 0 800 1 600 2 400
P
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