資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
選擇性必修第二冊模擬卷（提升）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25福建龍巖·階段練習）已知等差數列的前n項和為，若，則（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
【答案】D
【解析】設等差數列的公差為d，因為，所以，
則.故選：D.
2．（2025·甘肅白銀 ）已知等比數列前3項的積為27，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設等比數列的公比為，已知前項的積為，即.
因為，所以，解得.
所以，.
所以 .
當且僅當，即時取等號.
所以的最小值為.
故選：D
3．（24-25高二下·四川廣安·階段練習）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數在上單調遞增，
所以在上恒成立，
所以，因為在上單調遞增，
所以，所以.
故選：B.
4．（24-25高二下·天津西青·期中）設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，又分別是定義在上的奇函數和偶函數，
所以，即為奇函數，
當，有，所以在上單調遞減，
由奇函數的性質，在上單調遞減，且，
由，則，即，
綜上，上，上，
所以不等式的解集是.
故選：A
5．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知函數有極值點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知，
因函數有極值點，則在上存在變號零點，
若對稱軸，即，則在上單調遞增，
則，不符合題意；
若對稱軸，即，則，即，得，
則實數的取值范圍為.
故選：D
6．（2025·甘肅定西·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設數列的公比為，由題意知，
由，解得，
所以，
因為，當且僅當，即時等號成立，
所以，解得.
故選：A
7．（24-25高二下·山東淄博·期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【解析】二二數之剩一、三三數之剩一的數分別為、，，
因此數列的項即為以上兩類數的公共項，即，，
而，則數列是等差數列，
于是，，
又對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以時，取得最小值38.
故選：C
8．（2025·安徽合肥·模擬預測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】構造函數，
當時，，故在上單調遞增，
所以，
構造函數，
則，
當在單調遞增，
所以，即，
所以.
故選：B．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知數列的首項，且滿足，則（ ）
A． B．數列為等比數列
C．數列的前項和為 D．數列的通項公式為
【答案】AB
【解析】由，易知，則，即，
又，所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，故B正確；
，即，
，，故A正確，D錯誤；
又，故C錯誤.
故選：AB.
10．（24-25高二下·河南周口·階段練習）過點的曲線的切線有2條，則的值可能是 （ ）
A． B．-3 C．1 D．3
【答案】AD
【解析】設切點為，由函數，可得，
則切線的斜率，切線方程為，
因為切線過點，所以，整理得，
因為切線有2條，所以，解得或，
結合選項知，選項A、D符合題意.
故選：AD.
11．（2025·江西·模擬預測）已知函數恰有3個零點，則的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】等價于，
設，所以函數恰有3個零點.
令，則，
當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，
當時，，當時，，則.
因為函數恰有3個零點，所以有一個負根和一個小于的正根，
所以，解得.
故選：ACD.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（2025·重慶 ）對于數列，若存在常數，使得對一切正整數，恒有成立，則稱為有界數列.設數列的前項和為，滿足，若為有界數列，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，
所以
，
因為，故數列為遞增數列，故，故，
因為為有界數列，則，故，
因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
13．（河南省部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）已知對于，過點可作曲線的3條不同的切線，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設切點坐標為，則，即，
整理得，令，
依題意，函數有3個不同的零點，求導得
，當時，，在上單調遞減，值域為；
當時，，在是單調遞增，值域為；
當時，在上單調遞減，值域為，
由函數有3個零點，得，即，
解得，又，則，
所以的取值范圍為.
故答案為：
14．（2025·遼寧 ）若曲線與曲線存在公切線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意知，，
設公切線分別與曲線，相切于點，，則，，
所以公切線方程為，，
即，，所以，，
所以，
令，，，
所以，由，得,由，得，
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，且時，，時，，
所以．
故答案為：.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·四川巴中·階段練習）已知數列是首項為1的等比數列，且是和的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成問題的解答．記 ，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)見解析
【解析】（1）設數列的公比為，
由條件可知，，
即，得或（舍），
所以；
（2）若選①，，，
所以，
則；
若選②，，
數列是前項和是，
當時，數列的每一項都是非正數，所以，
當時，數列的每一項都是正數，
所以，
所以；
如選擇③，則，
數列的前項和為，數列的前項和為，
則.
16．（廣西部分學校2024-2025學年高二下學期6月聯合摸底考試數學試卷）將隨機排成一列，得到一個數列，若至多有項，即第，項均滿足，則稱為階相鄰遞增數列，為相鄰遞增數列的階數，若中不存在1項滿足，則稱為0階相鄰遞增數列，其階數為0.例如，數列為0階相鄰遞增數列，數列為1階相鄰遞增數列，數列1，2，3，4為3階相鄰遞增數列.
(1)求數列的相鄰遞增數列的階數.
(2)將隨機排成一列，在得到的數列中，1階相鄰遞增數列的個數為.
①證明為等比數列，并求數列的通項公式；
②設，求數列的前項和.
【答案】(1)4
(2)①證明見解析，②
【解析】（1）因為，，，，
所以存在，使得，
故所求數列的相鄰遞增數列的階數為4；
（2）①在由正整數構成的數列中，恰為1階相鄰遞增數列的情形可以由以下兩種方法進行構造：
（ⅰ）在遞減數列中，任選一項的右邊放，使此數列為1階相鄰遞增數列，共有種排法；
（ⅱ）在由正整數構成1階相鄰遞增數列中，若只有第項滿足，
則將放在的右側或者放在的左側即可，此時共有種排法.
故，.
易知，則，
所以是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，即.
②由①知，
故.
17．（陜西省漢中市部分學校2025屆高三5月模擬預測數學試題）設正項數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前項和的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由得，，
兩式作差得，
因數列為正項數列，則，
令，則，則，
則數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，
故為奇數時，，
數列的偶數項是以為首項，為公差的等差數列，
故為偶數時，，
綜上，數列的通項公式為；
（2）由（1）可得，，
設數列的前項和為，則，
則，
兩式作差得，
，
則，
令，則，
則數列為遞減數列，且，
則，故，
故數列的前項和的取值范圍為.
18．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間．
(2)設函數有兩個極值點．
（i）求實數的取值范圍；
（ii）證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)（i）；（ii）證明見解析
【解析】（1）由題意知函數的定義域為，
且，令，有．
當，即時，，此時函數的單調遞增區間為（0，），無單調遞減區間．
當，即或時，有，解得.
若，有，則由得或，由得；
若，有，則恒成立，此時函數的單調遞增區間為（0，），無單調遞減區間．
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為（0，），無單調遞減區間．
（2）（i）因為，所以，
令，得，則與的圖象有兩個不同的交點，
令，則，而在上單調遞增，在上單調遞減，又，當時，，
所以要使與的圖象有兩個不同的交點，則需，解得．
（ii）假設，則，因為，所以，
由于在上單調遞減，所以，
又因為，所以．
設，
令，則需證在上恒成立．
當時，，
所以在上單調遞增，所以當時，，故假設成立．
19．（24-25云南·期中）已知函數
(1)求曲線過點的切線方程；
(2)若
（i） 當 時，求的極值;
（ii） 若恒成立，求實數.
【答案】(1)
(2)（i）極小值為，無極大值；（ii）
【解析】（1）設切點為，則，
故切線方程為，
將代入可得，解得，
故切線方程為，即.
（2）（i）當時，．
的定義域為，且；
令得，或（舍去）；
所以當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；
故函數的極小值為，無極大值．
（ii）令，，
所以．
由當時，恒成立，
得，恒成立，
而，所以是函數的最小值．
①當時，，；
令，，所以當時，，
所以在上單調遞減，則當時，，
故當時，，
則，；
所以，，
則在上單調遞增，
則當時，，不符合題意．
②當時，令，，
所以，則在上單調遞增；
又當時，，當時，，
所以存在唯一，使得；
所以當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；
故函數，則，所以．
綜上，得．
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選擇性必修第二冊模擬卷（提升）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25福建龍巖·階段練習）已知等差數列的前n項和為，若，則（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
2．（2025·甘肅白銀 ）已知等比數列前3項的積為27，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·四川廣安·階段練習）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·天津西青·期中）設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，且，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知函數有極值點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肅定西·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·山東淄博·期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
8．（2025·安徽合肥·模擬預測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知數列的首項，且滿足，則（ ）
A． B．數列為等比數列
C．數列的前項和為 D．數列的通項公式為
10．（24-25高二下·河南周口·階段練習）過點的曲線的切線有2條，則的值可能是 （ ）
A． B．-3 C．1 D．3
11．（2025·江西·模擬預測）已知函數恰有3個零點，則的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（2025·重慶 ）對于數列，若存在常數，使得對一切正整數，恒有成立，則稱為有界數列.設數列的前項和為，滿足，若為有界數列，則實數的取值范圍是 .
13．（河南省部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）已知對于，過點可作曲線的3條不同的切線，則實數的取值范圍為 .
14．（2025·遼寧 ）若曲線與曲線存在公切線，則的取值范圍是 ．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·四川巴中·階段練習）已知數列是首項為1的等比數列，且是和的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成問題的解答．記 ，求數列的前項和．
16．（廣西部分學校2024-2025學年高二下學期6月聯合摸底考試數學試卷）將隨機排成一列，得到一個數列，若至多有項，即第，項均滿足，則稱為階相鄰遞增數列，為相鄰遞增數列的階數，若中不存在1項滿足，則稱為0階相鄰遞增數列，其階數為0.例如，數列為0階相鄰遞增數列，數列為1階相鄰遞增數列，數列1，2，3，4為3階相鄰遞增數列.
(1)求數列的相鄰遞增數列的階數.
(2)將隨機排成一列，在得到的數列中，1階相鄰遞增數列的個數為.
①證明為等比數列，并求數列的通項公式；
②設，求數列的前項和.
17．（陜西省漢中市部分學校2025屆高三5月模擬預測數學試題）設正項數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前項和的取值范圍．
18．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數．
(1)求函數的單調區間．
(2)設函數有兩個極值點．
（i）求實數的取值范圍；
（ii）證明：．
19．（24-25云南·期中）已知函數
(1)求曲線過點的切線方程；
(2)若
（i） 當 時，求的極值;
（ii） 若恒成立，求實數.
【答案】(1)
(2)（i）極小值為，無極大值；（ii）
【解析】（1）設切點為，則，
故切線方程為，
將代入可得，解得，
故切線方程為，即.
（2）（i）當時，．
的定義域為，且；
令得，或（舍去）；
所以當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；
故函數的極小值為，無極大值．
（ii）令，，
所以．
由當時，恒成立，
得，恒成立，
而，所以是函數的最小值．
①當時，，；
令，，所以當時，，
所以在上單調遞減，則當時，，
故當時，，
則，；
所以，，
則在上單調遞增，
則當時，，不符合題意．
②當時，令，，
所以，則在上單調遞增；
又當時，，當時，，
所以存在唯一，使得；
所以當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；
故函數，則，所以．
綜上，得．
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