資源簡介

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選擇性必修第二冊模擬卷（基礎）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高二下·四川綿陽·階段練習）已知函數，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由求導，可得，則.故選：D.
2．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）等比數列，是的前項和，，則為（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
【答案】A
【解析】由等比數列的性質可知：成等比數列，
所以，
解得：，
故選：A
3（24-25高二下·北京西城·期中）如果，a，b，c，成等比數列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】依題意，，，得，
所以.
故選：B
4．（河北省部分校名校聯考2025屆高三年級全仿真預測數學試題）等比數列的公比為2，且滿足，則的前10項和為（ ）
A．4 B．32 C．84 D．128
【答案】A
【解析】因為數列為等比數列，公比為2.
由得，則，
所以的前10項和為.
故選：A.
5．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在處取得極小值
C．有2個極值點 D．有極大值，沒有極小值
【答案】D
【解析】由圖可知在上恒成立，則在上單調遞增，A錯誤．
因為在上恒成立，在上恒成立，
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以在處取得極大值，沒有極小值，B和C錯誤，D正確．
故選：D
6．（24-25高二下·四川成都·期中）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……，設各層球數構成一個數列，則第十一層有（ ）個球
A．55 B．66 C．110 D．136
【答案】B
【解析】設“三角垛”每一層球的個數構成數列，
由題意可知，，，，，…，，
這11項加在一起，得.
故選：B
7．（24-25高二下·遼寧·期中）若數列滿足（且），，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：
，累計可得：，
故選：D.
8．（24-25高二下·江蘇南通·階段練習）設函數，若恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，可得或，由題意可知，，得，
將代入，可得，
令，求導得，令，解得，.
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
因此，時，取得極小值，即的最小值為.
故選：B.
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高二下·陜西·階段練習）記為數列的前項和.若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】當時，，解得，A正確.
當時，，所以，即，
則是以為首項，2為公比的等比數列，所以，C正確；
由上知，B錯誤；
，D正確.
故選：ACD
10．（24-25高二下·江西·階段練習）等差數列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．當時，取得最大值 D．若，則數列的前36項和
【答案】ACD
【解析】在等差數列中，有，，
所以，故A正確；
又，故B錯誤．
當時，；當時，；
當時，，
故當或13時，取得最大值， C正確，
易得，
則，D正確．
故選：ACD.
11．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數，則下列描述正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．的圖像關于對稱
C．直線是的一條切線
D．關于的不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】對求導，可得.
令，即，解得或，此時函數單調遞增.
令，即，解得，此時函數單調遞減.
所以在上單調遞減，A選項錯誤.
對于點，計算：
，.
則，滿足，所以的圖像關于對稱，B選項正確.
設切點為，切線斜率.
若直線是的切線，則切線斜率，即，解方程可得.
當時，.
所以切線方程為，即，所以直線是的一條切線，C選項正確.
由前面分析可知在和上單調遞增，在上單調遞減.
.
因為，且在上單調遞增，，即，解得或.
所以不等式的解集為，D選項正確.
故選：BCD.
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·河北邯鄲·期中）在數列中，，，則 ．
【答案】
【解析】因為，又，
所以，即，又，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
所以，所以，所以．
故答案為：
13．（24-25高三下·重慶·階段練習）在處的切線方程為 ．
【答案】
【解析】對函數求導得：，
則，因為切線過點，
故切線方程為．
故答案為：.
14．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數在處取得極大值，則實數的值為 ．
【答案】/
【解析】由題意得，則，得或．
當時，令，
得或，單調遞減，單調遞增，
所以在處取得極小值，不符合題意；
當時，令，得或，
單調遞增，單調遞減，
在處取得極大值，符合題意．
故答案為：.
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知等差數列的前項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）設等差數列的公差為，
由，，可得，
整理得，解得，數列的通項公式；
（2），
所以
.
故數列的前項和.
16．（2025·湖北恩施·模擬預測）已知正項數列的前項和為，且．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)令，求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）據題可得：，當時，，
兩式子作差可得：
，
又，所以，
當時，，
所以，數列是以為首項，2為公差的等差數列；
（2）令，據（1）可知：.
所以； 則，
得： ，
，
兩式相減可得：
所以 ，
綜上所述，數列的前n項和.
17．（2025·重慶）已知函數.
(1)求函數的最值；
(2)對任意的且不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)最小值，無最大值
(2)
【解析】（1）由，則求導可得，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時，函數取得最小值，函數無最大值.
（2）不妨設，由，整理可得，
令，問題等價于函數在上單調遞減恒成立，求的取值范圍，
由，求導可得，
令，
易知當時，恒成立，當且僅當且時，等號成立，
所以函數在上單調遞減恒成立時，.
18．（2025·湖南）已知非零等差數列的前n項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)已知正項數列滿足：，且是和的等差中項，求數列的前n項和；
(3)在條件（2）下，記正項數列的前n項和為．求證：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【解析】（1）設等差數列的公差為d，因為，
由，得，
當時，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）因為是和的等差中項，所以，又，
所以，得，又，
所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，即；
令，可知，
因為，
所以，
兩式相減得，
所以．
（3）由（2）可得，由于，
所以．
因為，所以，
當時，，
綜上，成立．
19．（2025·北京·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求在處的切線的傾斜角；
(2)若是函數的極值點，
（i）求實數的值；
（ii）設函數．證明：．
【答案】(1)；
(2)（i）1；（ii）證明見解析.
【解析】（1）由題設，則，故切線斜率，
所以，結合直線傾斜角的范圍，易知在處的切線的傾斜角為.
（2）（i）由題設，則，
由，則，故且，
令，則，
所以在上單調遞減，且，
所以時，在上單調遞增，
時，在上單調遞減，
所以是函數的極值點，故；
（ii），則且，
當時，，此時，即證，
當時，，此時，即證，
綜上，只需證明在且上恒成立，
令，，則，
當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
所以，故得證.
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選擇性必修第二冊模擬卷（基礎）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（24-25高二下·四川綿陽·階段練習）已知函數，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
2．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）等比數列，是的前項和，，則為（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
3（24-25高二下·北京西城·期中）如果，a，b，c，成等比數列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（河北省部分校名校聯考2025屆高三年級全仿真預測數學試題）等比數列的公比為2，且滿足，則的前10項和為（ ）
A．4 B．32 C．84 D．128
5．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在處取得極小值
C．有2個極值點 D．有極大值，沒有極小值
6．（24-25高二下·四川成都·期中）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……，設各層球數構成一個數列，則第十一層有（ ）個球
A．55 B．66 C．110 D．136
7．（24-25高二下·遼寧·期中）若數列滿足（且），，則（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·江蘇南通·階段練習）設函數，若恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（24-25高二下·陜西·階段練習）記為數列的前項和.若，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·江西·階段練習）等差數列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．當時，取得最大值 D．若，則數列的前36項和
11．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數，則下列描述正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．的圖像關于對稱
C．直線是的一條切線
D．關于的不等式的解集為
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·河北邯鄲·期中）在數列中，，，則 ．
13．（24-25高三下·重慶·階段練習）在處的切線方程為 ．
14．（24-25高二下·江西·階段練習）已知函數在處取得極大值，則實數的值為 ．
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知等差數列的前項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
16．（2025·湖北恩施·模擬預測）已知正項數列的前項和為，且．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)令，求數列的前n項和．
17．（2025·重慶）已知函數.
(1)求函數的最值；
(2)對任意的且不等式恒成立，求實數的取值范圍.
18．（2025·湖南）已知非零等差數列的前n項和為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)已知正項數列滿足：，且是和的等差中項，求數列的前n項和；
(3)在條件（2）下，記正項數列的前n項和為．求證：．
19．（2025·北京·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求在處的切線的傾斜角；
(2)若是函數的極值點，
（i）求實數的值；
（ii）設函數．證明：．
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