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選擇性必修第二冊模擬卷（中等）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（2025·甘肅金昌）中國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“今有俸糧三百零五石，令五等官(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)依品遞差十三石分之，問各若干 ”其大意為“現(xiàn)有俸糧305石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員，依照品級遞減13石分這些俸糧，問每個人各分得多少俸糧 ”在這個問題中，若從二品官員的俸糧為m石，正一品官員的俸糧為n石，且m，3a，n組成新的等差數列，則實數a的值為（ ）.
A．146 B． C． D．91
2 ．（2025·海南儋州·模擬預測）已知數列滿足，且對任意的，都有，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·河北衡水·階段練習）已知函數是奇函數，則的極小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．
4．（24-25高二下·江西·階段練習）已知數列為等比數列，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2025·江西吉安 ）已知是等差數列的前n項和，若，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．21
6．（河南省部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）已知曲線的一條切線的方程為，則實數（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
7．（24-25高二下·河北衡水·階段練習）已知函數，若函數有三個零點，則實數的范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25 云南·期中）設函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數學試題）已知數列的前項和為，若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是單調遞增數列
C．是等比數列 D．是等比數列
10（24-25高二下·四川廣元·期中）已知函數，則下列說法中正確的有（ ）
A．是的極大值點
B．的圖象關于點對稱
C．若關于的方程有一解，則
D．當時，
11．（24-25高二下·河北保定·期中）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．有唯一零點
B．
C．，使得有三個不等實根
D．，使得有六個不等實根
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·貴州黔西·期中）在數列中，，數列的前n項和為，若，則數列的前n項和為 ．
13．（2025·上海 ）已知函數在區(qū)間上存在最大值，則實數的取值范圍為 .
14．（24-25高二下·四川綿陽·階段練習）若直線既與曲線相切，又與曲線相切，則 .
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·遼寧大連·期中）已知數列滿足，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記數列的前項和為．
①求；
②若，成立，求的取值范圍．
16（24-25高二下·重慶巴南·期中）已知數列的首項為3，且滿足，令．
(1)證明：是等比數列，并求的通項公式；
(2)若對任意的都成立，求的范圍．
17．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；
(2)當時，求函數在區(qū)間上的值域.
18．（云南省三校2025屆高三高考備考實用性聯(lián)考（八）數學試題）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，判斷函數在區(qū)間上的單調性；
(2)令，若函數在區(qū)間上存在極值，設極值點為，證明：.
19（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數．
(1)當時，寫出曲線的兩條相互垂直的切線方程，并說明理由．
(2)設，當時，，求的取值范圍．
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選擇性必修第二冊模擬卷（中等）
考試內容：選擇性必修第二冊 考試時間：150分鐘
單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)
1．（2025·甘肅金昌）中國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“今有俸糧三百零五石，令五等官(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)依品遞差十三石分之，問各若干 ”其大意為“現(xiàn)有俸糧305石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員，依照品級遞減13石分這些俸糧，問每個人各分得多少俸糧 ”在這個問題中，若從二品官員的俸糧為m石，正一品官員的俸糧為n石，且m，3a，n組成新的等差數列，則實數a的值為（ ）.
A．146 B． C． D．91
【答案】C
【解析】依題意，正一品、從一品、正二品、從二品、正三品官員分得的俸糧分別為，
則，解得，，
又組成新的等差數列，得，解得a=.
故選：C
2 ．（2025·海南儋州·模擬預測）已知數列滿足，且對任意的，都有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題設，且，則，
所以數列的偶數項是首項為2，公比為2的等比數列，則，，
所以.
故選：C
3．（24-25高二下·河北衡水·階段練習）已知函數是奇函數，則的極小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】易得的定義域為，且為奇函數，
故，
對應相等可得，故，，
令，即，解得或；令，即，解得；
則在，上單調遞增，在上單調遞減，故的極小值是．
故選：D．
4．（24-25高二下·江西·階段練習）已知數列為等比數列，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】在等比數列中，有，
設等比數列的公比為，則，
若，則；若，則.
因此，“”是“”的充要條件.
故選：C.
5．（2025·江西吉安 ）已知是等差數列的前n項和，若，則的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．21
【答案】B
【解析】在等差數列中，已知， ，
則，解得.
根據等差數列的前項和公式可得.
所以，
將其看作關于的二次函數，二次函數，
當時，取得最小值，最小值為 .
故選：B
6．（河南省部分學校2024-2025學年高三下學期5月模擬數學試題）已知曲線的一條切線的方程為，則實數（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】B
【解析】與的圖象相切，設切點為，
則，故，
由，即，將代入上式，得，故.
故選：B.
7．（24-25高二下·河北衡水·階段練習）已知函數，若函數有三個零點，則實數的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當，恒成立，故在上單調遞增，
當，，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
當時，有極小值為：，函數的圖象如下圖：
要使得函數有三個零點，
則，即，
解得：，
故選：C．
8．（24-25 云南·期中）設函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
且，
所以為偶函數．
由于，
當時，，則，所以在上單調遞增；
當時，，則，所以在上單調遞減；
由于，即，
所以，即，解不等式得，
所以不等式的解集為.
故選：．
二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）
9．（遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數學試題）已知數列的前項和為，若，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是單調遞增數列
C．是等比數列 D．是等比數列
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由得，A對；
對于C選項，，
當時，由得，
上述兩個等式作差得，所以，
故當時，，且，
所以，數列不是等比數列，C錯；
對于D選項，由可得，
且，所以，故數列是以為首項，公比為的等比數列，D對；
對于B選項，由D選項可知，所以，
所以，
令，故，即，
所以，數列為單調遞增數列，即數列為單調遞增數列，B對.
故選：ABD.
10（24-25高二下·四川廣元·期中）已知函數，則下列說法中正確的有（ ）
A．是的極大值點
B．的圖象關于點對稱
C．若關于的方程有一解，則
D．當時，
【答案】ABD
【解析】對于A，，則，
所以當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以的極大值點為，極小值點為，故A正確；
對于B，，因為
，
所以的圖象關于點對稱，故B正確；
對于C，由A可知的圖象如下所示：
由圖可知，當或時，和有一個交點，即方程有一解，故C錯誤；
對于D，當時，，由在上單調遞減，則
，即，故D正確.
故選：ABD.
11．（24-25高二下·河北保定·期中）已知函數，則下列說法正確的有（ ）
A．有唯一零點
B．
C．，使得有三個不等實根
D．，使得有六個不等實根
【答案】AD
【解析】令 ，解得，故A正確；
當時，，故B錯誤；
因為，所以當時，，
當時，，所以函數在和上單調遞增，
在和上單調遞減，且當，
當且時，，當且時，，
當時，，且，
根據單調性及極值，作大致圖象，
由圖象可知，不存在，使得有三個不等實根，故C錯誤；
由可知，，，所以函數為偶函數，
只需研究當時，的根的個數即可，由C選項可知當時，
的圖象大致如圖，
由圖象可知，當時，的根的個數為3個，
所以，使得有六個不等實根，故D正確.
故選：AD
三、填空題(每題5分，4題共20分)
12．（24-25高二下·貴州黔西·期中）在數列中，，數列的前n項和為，若，則數列的前n項和為 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，
所以數列的前項和．
故答案為：
13．（2025·上海 ）已知函數在區(qū)間上存在最大值，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】，
當時，在上嚴格單調遞增，不符合題意;
當時，令；.
所以在上嚴格單調遞增，在上嚴格單調遞減，
所以在處取得極大值.
因為函數在區(qū)間上存在最大值，
所以.
故答案為：.
14．（24-25高二下·四川綿陽·階段練習）若直線既與曲線相切，又與曲線相切，則 .
【答案】/
【解析】設與和的切點分別為，
由導數的幾何意義可得，得，
再由切點也在各自的曲線上，可得，聯(lián)立上述式子解得，
從而得出.
故答案為：
四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）
15．（24-25高二下·遼寧大連·期中）已知數列滿足，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記數列的前項和為．
①求；
②若，成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)① ；②
【解析】（1）由，得，
因此數列是以為首項，3為公差的等差數列，，
所以數列的通項公式.
（2）①由（1）得，，
，
于是，
則，
，
所以.
②由，，得，
令，不妨設的第項取得最大值，
由，解得，即數列的最大值為，
所以，即的取值范圍是.
16（24-25高二下·重慶巴南·期中）已知數列的首項為3，且滿足，令．
(1)證明：是等比數列，并求的通項公式；
(2)若對任意的都成立，求的范圍．
【答案】(1)證明見詳解，
(2)
【解析】（1）由，則，又，
所以，又，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
.
（2）由，則，即對均成立，
所以，對任意均成立，
令，由，，
當時，，即，
當時，，即，
所以，
，即的取值范圍為.
17．（24-25高二下·河南商丘·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；
(2)當時，求函數在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】（1）當時，由，可得，
由，可得，所以，
所以切線方程為，即；
（2）由，可得，
令，可得或，
當時，由二次函數性質可知，，
所以在上單調遞減，又，
，所以值域為，
當時，由二次函數性質可知，，時，，
所以函數在區(qū)間上的最大值為，
又，，
若時，，
所以函數在區(qū)間上的最小值為，所以值域為，
若時，，
所以函數在區(qū)間上的最小值為，所以值域為，
綜上所述：當時，函數在區(qū)間上的值域值域為，
當時，函數在區(qū)間上的值域值域為，
當時，函數在區(qū)間上的值域值域為.
18．（云南省三校2025屆高三高考備考實用性聯(lián)考（八）數學試題）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，判斷函數在區(qū)間上的單調性；
(2)令，若函數在區(qū)間上存在極值，設極值點為，證明：.
【答案】(1)在區(qū)間上單調遞減
(2)證明見解析
【解析】（1）時，.
顯然，在區(qū)間上單調遞增，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調遞減.
（2）.
因為在區(qū)間上存在極值點，
所以，可得，
此時，將代入得
.
要證明，即證明，
移項可得.
設，
因為，所以，所以成立.
所以得證.
19（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數．
(1)當時，寫出曲線的兩條相互垂直的切線方程，并說明理由．
(2)設，當時，，求的取值范圍．
【答案】(1)，，理由見解析
(2)
【解析】（1）兩條切線方程可以是，（答案不唯一）．
理由如下：當時，函數的定義域為，，
令，，，曲線在點處的切線方程為；
由題意，另一切線與直線垂直，則其斜率為-1，
令，解得，，
曲線在點處的切線方程為，整理得．
（2）令，由題意，當時，．
，由，得或，
若，則，當時，，單調遞增，
，不合題意；
若，則，單調遞減，，不合題意；
若，則，當時，，單調遞減，此時只需，解得，滿足題意．
綜上，的取值范圍為．
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