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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
02 二次函數的圖象
知識點1：、二次函數y＝ax2（a≠0）的圖像和性質
二次函數y＝ax2（a≠0）的圖像是關于y軸對稱的一條拋物線，拋物線與對稱軸的交點叫做二次函數的頂點，它的性質如下：
函數 y＝ax2
a的符號 a＞0 a＜0
圖像
開口方向 向上 向下
對稱軸 y軸 y軸
頂點坐標 （0，0）
函數的增減性 x＞0時，y隨x的增大而增大；x＜0時，y隨x的增大而減小 x＞0時，y隨x的增大而減小；x＜0時，y隨x的增大而增大
最值 當x＝0時，函數圖像有最低點，有最小值0 當x＝0時，函數圖像有最高點，有最大值0
頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同. │a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同，│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）二次函數的圖象是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習）若二次函數的圖象是一條開口向下的拋物線，則a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25八年級下·浙江寧波·階段練習）在平面直角坐標系中，二次函數的圖像如圖所示，小明在該直角坐標系中又畫了二次函數，，的圖像，則a，b，c，d的大小關系 ．
知識點:2：二次函數y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質
函數 y=ax2+c(a≠0)
a的符號 a＞0 a＜0
圖像 c＞0
c＜0
開口方向 向上 向下
對稱軸 y軸 y軸
頂點坐標 （0，c） （0，c）
函數的增減性 當x＜0時，y隨x的增大而減小；當x＞0時，y隨x的增大而增大 當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x＞0時，y隨x的增大而減小
最值 當x＝0時，y有最小值c 當x＝0時，y有最大值c
對于二次函數y=ax2+c(a≠0)來說，當c＞0時，可看成是將y=ax2的函數圖像沿著y軸向上平移|c|個單位長度得到的；當c＜0時，可看成是將y=ax2的函數圖像沿著y軸向下平移|c|個單位長度得到的.
【即時訓練】
4．（2025·上海·模擬預測）拋物線一定不經過第一、二象限，那么下列說法正確的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）若拋物線的開口向上，則的取值范圍是 ．
6．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）已知是關于x的二次函數．
(1)求滿足條件的m的值；
(2)m為何值時，拋物線有最低點：求出這個最低點（寫坐標），這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？
知識點3：二次函數y＝a（x－h）2（a≠0）
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 x=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 x=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
【即時訓練】
7．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數的圖象上，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）對于二次函數的圖象，下列說法錯誤的是（ ）
A．頂點坐標為 B．時，的值隨值的增大而減少
C．對稱軸為 D．函數的最小值為0
9．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）拋物線的頂點坐標是 ．
知識點4：二次函數y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的圖像和性質
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 x=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 x=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
【即時訓練】
10．（2025·浙江·三模）拋物線的對稱軸為直線 ．
11．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）已知二次函數的圖象上有三點，，則的大小關系為 ．
12．（24-25九年級上·浙江紹興·階段練習）通過配方變形，將二次函數化為的形式，并指出頂點坐標及取何值時，隨的增大而減小．
知識點5：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質
函數 二次函數（a、b、c為常數，a≠0）
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線 直線
頂點坐標
增減性 在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增 在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減
最大(小)值 拋物線有最低點，當時，y有最小值， 拋物線有最高點，當時，y有最大值，
【即時訓練】
13．（2025·浙江·一模）關于的二次函數（其中）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·浙江·三模）已知二次函數（a為常數，且），下列結論中正確的是（ ）
A．對稱軸在軸左側 B．當時，隨的增大而增大
C．圖象一定不經過第三象限 D．圖象與軸一定有兩個交點
15．（2025·浙江·三模）已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則m的范圍是 ．
【題型1 y=ax2的圖象與性質】
1．下列二次函數圖象與 的開口大小、方向、形狀完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
2．拋物線，，共有的性質是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是軸 C．都有最高點 D．隨增大而增大
3．拋物線的開口向下，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．如果的圖像是拋物線，那么 ．
5．已知拋物線經過點．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)判斷點是否在此拋物線上．
【題型2 y=ax2+k的圖象與性質】
6．拋物線的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
7．對于拋物線 ，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象開口向下 B．最小值是1
C．頂點坐標為 D．對稱軸為y軸
8．在平面直角坐標系中，二次函數（，）的圖象可能是下圖中的（ ）．
A． B． C． D．
9．點，都在二次函數的圖象上，則 ．（填“”、“”或“”）．
10．已知函數是關于x的二次函數．
(1)求m的值；
(2)函數圖象的兩點，則與的大小關系是______．
【題型3 y=a(x-h)2的圖象與性質】
11．對于二次函數的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．當時，y隨x的增大而減小 D．頂點坐標為
12．已知二次函數，那么它的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
13．對于二次函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而減小
14．已知，兩點都在二次函數的圖象上，則，的大小關系為 ．
15．已知函數 是關于x的二次函數．
求：
(1)滿足條件的m的值；
(2)m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？
【題型4 y=a(x-h)2+k的圖象的與性質】
16．已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸為
B．頂點坐標為
C．函數的最大值是
D．當時，隨的增大而減小
17．關于拋物線，下列說法中正確的是（）．
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．與x軸無交點 D．函數的最大值是3
18．拋物線的頂點坐標是 ．
19．已知二次函數，當時，的取值范圍是 ．
20．已知二次函數．
(1)二次函數圖象的開口方向是______，對稱軸是直線______，頂點坐標為______．
(2)當______時，y有最小值是_____．
(3)當時，____．
(4)當x______時，y隨x的增大而減小．
【題型5 y=ax2+bx+c的圖象與性質】
21．已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象的交點在第一、三象限，則二次函數的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
22．已知點，，都在拋物線上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
23．已知二次函數的圖象與軸相交于點和點，與軸相交于點．
①該二次函數的最小值為； ②當時，隨的增大而減小；
③該拋物線的頂點坐標為； ④兩點之間的距離是4
以上說法中正確的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
24．若是拋物線上的點，則代數式的值為 ．
25．已知二次函數
(1)若該二次函數圖象過點，求a的值．
(2)請直接寫出此拋物線的對稱軸．
(3)當時，y的最大值是6，求a的值．
【題型6 把 y=ax2+bx+c化成頂點式】
26．二次函數可變形為（ ）
A． B．
C． D．
27．對于二次函數，下列說法正確的是( )
A．當，隨的增大而減小 B．當時， 有最大值
C．圖像的頂點 D．圖像與x軸有兩個交點
28．將拋物線先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到的拋物線的表達式寫成的形式為 ．
29．已知拋物線．
（1）當時，拋物線的頂點坐標為 ；
（2）點，為拋物線上兩點，若，總有，則的取值范圍是 ．
30．已知二次函數，請用配方法將其化為的形式，并寫出其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【題型7 二次函數各種形式的圖象畫法】
31．五點法畫出函數的圖象．
(1)根據給出的自變量求其對應函數值，填入表格中；
x 0 1 2 3
y
(2)在直角坐標系中，畫出上表中各對數值所對應的點，然后用平滑曲線連接這些點，畫出函數圖像．
32．已知二次函數 ．
(1)求出拋物線頂點坐標和與x軸的交點坐標；
(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象．
33．建立直角坐標系，并畫出函數的圖象．
34．已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于C點．

(1)分別寫出A、B、C三點坐標：A______，B______，C______；
(2)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數圖像示意圖；
(3)任寫出兩條該函數圖像具備的特征：①______；②______．
35．已知二次函數．
(1)下表是y與x的部分對應值，請補充完整；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 3 …
(2)根據上表的數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出該函數圖象．
【題型8 二次函數與一次函數圖象判斷】
36．一次函數（）與二次函數（）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
37．二次函數和一次函數（a是常數，且）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
38．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
39．如圖，一次函數與二次函數的圖象交于兩點，則函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
40．一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則二次函數的圖像可能是（ ）
A． B． C． D．
【拓展訓練一 二次函數圖象的綜合】
41．已知函數．
(1)寫出此函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；
(2)當取何值時，隨的增大而增大？
(3)當取何值時，函數取得最值？求出這個最值．
42．如圖，在矩形中，，，動點以每秒個單位長度的速度從點出發，動點以每秒個單位長度的速度從點出發，點沿折線方向運動，點沿射線方向運動，當點追上點時，均停止運動．設運動時間為x秒，的面積為．
(1)請直接寫出關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍．
(2)在給定的平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，并寫出函數的一條性質．
(3)結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過）
43．在平面直角坐標系中，拋物線（是常數）的頂點坐標為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)請在網格中畫出拋物線的圖絡；
(3)若一次函數，當時，直接寫出的取值范圍．
44．在平面直角坐標系中利用五點描點法畫出函數的圖象（注：先用鉛筆描畫，再用水筆涂黑）
x 0 1 2 3 4
y

(1)填寫表格數據
(2)建立平面直角坐標系、描點、連線
(3)依據圖象直接寫出的自變量x取值范圍 ．
45．如圖，點C為二次函數的頂點，直線與該二次函數圖象交于、B兩點（點B在y軸上），與二次函數圖象的對稱軸交于點D．
(1)求m的值及點C坐標；
(2)在該二次函數的對稱軸上是否存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
1．拋物線的頂點坐標是（　　）
A． B． C． D．
2．關于拋物線，下列說法中錯誤的是（ ）
A．開口方向向上 B．對稱軸是直線
C．頂點坐標為 D．當時，隨的增大而減小
3．二次函數的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．5
4．若點，，在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是 ．
5．如圖，點A是拋物線與y軸的交點，軸交拋物線另一點于B，點C為該拋物線的頂點．若為等邊三角形，則a的值為（ ）
A． B． C． D．1
6．已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．請寫出一個頂點在x軸上開口向下的拋物線的函數表達式： ．
8．若拋物線與形狀相同，開口方向相反，則拋物線的解析式為 ．
9．已知點，若拋物線與線段只有一個公共點，則a的取值范圍是 ．
10．1.已知拋物線經過，兩點．若，是拋物線上的兩點，且，則的值可以是 ．（寫出一個即可）
11．如圖，在等腰直角三角形中，，點A、B在拋物線上，點C在y軸上，A、B兩點的橫坐標分別為1和，b的值為 ．
12．如圖，已知二次函數的圖象，點是坐標系的原點，點是圖象對稱軸上的點，圖象與軸交于點，則下面結論：①關于的方程的解是，；②當時，；③點的坐標為；④△周長的最小值是．正確的有 ．
13．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
(1)；
(2)．
14．若拋物線的頂點在軸上，對稱軸是直線，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)寫出它的頂點坐標和開口方向．
15．已知二次函數．
(1)完成下表：
… 0 1 2 3 …
… 0 ______ ______ ______ 0 …
(2)根據（1）的結果在如圖所示的平面直角坐標系中，利用描點法畫出這個二次函數的圖象；
(3)結合函數圖象，當時，的取值范圍是______
16．已知二次函數．
(1)直接寫出二次函數的對稱軸和頂點坐標；
(2)在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的簡圖；
(3)當隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．
17．設二次函數，的圖像頂點坐標分別為，，若，，且圖像開口方向相同，則稱是的“同倍項二次函數”．
(1)如果是二次函數的一個“同倍項二次函數”，則______，______，______（寫出一種符合題意的，，的值即可）；
(2)已知關于的二次函數和二次函數，若是的“同倍項二次函數”，求的值．
18．如圖，將二次函數位于軸下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數的圖象（圖中的實線）．

(1)當時，新函數值為______，當時，新函數值為______；
(2)當______時，新函數有最小值；
(3)當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；
(4)若關于的方程有且只有兩個解，則的取值范圍_______．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
02 二次函數的圖象
知識點1：、二次函數y＝ax2（a≠0）的圖像和性質
二次函數y＝ax2（a≠0）的圖像是關于y軸對稱的一條拋物線，拋物線與對稱軸的交點叫做二次函數的頂點，它的性質如下：
函數 y＝ax2
a的符號 a＞0 a＜0
圖像
開口方向 向上 向下
對稱軸 y軸 y軸
頂點坐標 （0，0）
函數的增減性 x＞0時，y隨x的增大而增大；x＜0時，y隨x的增大而減小 x＞0時，y隨x的增大而減小；x＜0時，y隨x的增大而增大
最值 當x＝0時，函數圖像有最低點，有最小值0 當x＝0時，函數圖像有最高點，有最大值0
頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同. │a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同，│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）二次函數的圖象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解本題的關鍵．根據解析式確定出的值為負數，得到拋物線開口向下，再由解析式可知拋物線的對稱軸是軸，頂點為，即可確定出其圖象．
【詳解】 解：∵，
∴拋物線的對稱軸是軸，頂點為，
由可知，拋物線開口向下，
故選：D．
2．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習）若二次函數的圖象是一條開口向下的拋物線，則a的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題主要考查二次函數的性質．由拋物線開口方向可求得a的取值范圍，可求得答案．
【詳解】解：∵二次函數的圖象是一條開口向下的拋物線，
∴，
∴，
觀察發現只有選項A符合題意，
故選：A．
3．（24-25八年級下·浙江寧波·階段練習）在平面直角坐標系中，二次函數的圖像如圖所示，小明在該直角坐標系中又畫了二次函數，，的圖像，則a，b，c，d的大小關系 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數的性質，在中，的值越大，函數圖像越靠近軸，開口越小，時，開口向上，時，開口向下，據此判斷即可得答案．
【詳解】解：∵，，的圖像開口向上，的圖像開口向下，
∴，，，，
∵，，的圖像開口依次增大，
∴，
∴．
故答案為：
知識點:2：二次函數y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質
函數 y=ax2+c(a≠0)
a的符號 a＞0 a＜0
圖像 c＞0
c＜0
開口方向 向上 向下
對稱軸 y軸 y軸
頂點坐標 （0，c） （0，c）
函數的增減性 當x＜0時，y隨x的增大而減小；當x＞0時，y隨x的增大而增大 當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x＞0時，y隨x的增大而減小
最值 當x＝0時，y有最小值c 當x＝0時，y有最大值c
對于二次函數y=ax2+c(a≠0)來說，當c＞0時，可看成是將y=ax2的函數圖像沿著y軸向上平移|c|個單位長度得到的；當c＜0時，可看成是將y=ax2的函數圖像沿著y軸向下平移|c|個單位長度得到的.
【即時訓練】
4．（2025·上海·模擬預測）拋物線一定不經過第一、二象限，那么下列說法正確的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本題考查了根據二次函數經過的象限確定字母系數的符號，解題關鍵是利用數形結合思想求解．
先確定拋物線的開口方向，再確定與軸的交點位置來確定的符號．
【詳解】解：∵拋物線一定不經過第一、二象限，
∴拋物線的開口方向下，拋物線在第三、四象限，
∴，可排除選項，；
∴拋物線與的交點在負半軸，或過原點，
∴，可排除，
故選：B ．
5．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）若拋物線的開口向上，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數的性質，根據拋物線的開口向上，得到，進行求解即可．
【詳解】解：∵拋物線的開口向上，
∴，
∴；
故答案為：．
6．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）已知是關于x的二次函數．
(1)求滿足條件的m的值；
(2)m為何值時，拋物線有最低點：求出這個最低點（寫坐標），這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？
【答案】(1)2或
(2)時，拋物線有最低點，，當時，y隨著x的增大而增大
【分析】本題主要考查了根據二次函數的定義求參數，二次函數圖象的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．
對于（1），根據二次函數的定義可知，且，求出解即可；
對于（2），根據拋物線由最低點可知，即可得出關系式，從而解答即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得，且，
解得：．
所以滿足條件的m的值為2或；
（2）解：當，即時，拋物線有最低點，
當時，此時拋物線的關系式為，
該拋物線的最低點即頂點坐標為，
當時，函數值y隨著x的增大而增大．
知識點3：二次函數y＝a（x－h）2（a≠0）
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 x=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 x=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
【即時訓練】
7．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數的圖象上，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據二次函數的增減性進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向上，當時，隨的增大而增大，
∵當時，隨的增大而增大，
∴；
故選B．
8．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）對于二次函數的圖象，下列說法錯誤的是（ ）
A．頂點坐標為 B．時，的值隨值的增大而減少
C．對稱軸為 D．函數的最小值為0
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據二次函數的圖象和性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的開口方向向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，
∴時，的值隨值的增大而減少，當時，函數的最大值為0；
綜上，只有選項D說法錯誤；
故選D．
9．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）拋物線的頂點坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，根據的頂點坐標為，進行作答即可．
【詳解】解：依題意，的頂點坐標是，
故答案為：
知識點4：二次函數y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的圖像和性質
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 x=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 x=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
【即時訓練】
10．（2025·浙江·三模）拋物線的對稱軸為直線 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據二次函數的頂點坐標式解析式，可知的對稱軸是．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，
拋物線的對稱軸是．
故答案為： ．
11．（23-24九年級上·浙江寧波·階段練習）已知二次函數的圖象上有三點，，則的大小關系為 ．
【答案】
【分析】本題考查了函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系，同時考查了函數的對稱性及增減性．根據函數頂點式的特點，確定其對稱軸為，圖象開口向上；利用二次函數的對稱性和增減性即可判斷．
【詳解】解：∵二次函數，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，
∴距離對稱軸越近，函數值越小，
而，
∴，
故答案為：．
12．（24-25九年級上·浙江紹興·階段練習）通過配方變形，將二次函數化為的形式，并指出頂點坐標及取何值時，隨的增大而減小．
【答案】；頂點坐標為；當時，隨的增大而減小．
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，利用配方法將二次函數化成頂點式，根據頂點式可得出頂點坐標，再根據二次函數的增減性質即可解答，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
∴頂點坐標為，
∵，
∴當時，隨的增大而減小．
知識點5：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質
函數 二次函數（a、b、c為常數，a≠0）
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線 直線
頂點坐標
增減性 在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增 在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減
最大(小)值 拋物線有最低點，當時，y有最小值， 拋物線有最高點，當時，y有最大值，
【即時訓練】
13．（2025·浙江·一模）關于的二次函數（其中）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數法圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象與系數的關系．根據開口方向，對稱軸，與x軸交點逐項判斷即可．
【詳解】解：在中：
∵，
∴函數圖象開口向下．
∵對稱軸為，
∴函數對稱軸在y軸右側，C選項不正確，
令代入二次函數得，
則．
∵，
∴，
∴方程有兩個不同實數根，即二次函數的圖象與軸有兩個不同交點，
設二次函數的圖象與軸有兩個不同交點的橫坐標分別為，
又∵，則，
∴
∴二次函數的圖象與軸的兩個交點在軸的右側，
∴只有D選項符合題意，
故選：D．
14．（2025·浙江·三模）已知二次函數（a為常數，且），下列結論中正確的是（ ）
A．對稱軸在軸左側 B．當時，隨的增大而增大
C．圖象一定不經過第三象限 D．圖象與軸一定有兩個交點
【答案】C
【分析】本題主要考查二次函數的性質，確定二次函數的開口方向，對稱軸和頂點位置是解題的關鍵．
由a的正負可確定出拋物線的開口方向，結合函數的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：二次函數圖象的對稱軸為直線，
∵，
∴，即對稱軸在軸右側，故A選項錯誤，不符合題意；
∵，
∴拋物線開口向上，
∴在對稱軸的右側時，隨的增大而增大；在對稱軸的左側時，隨的增大而減小，
即當時，隨的增大而增大，故B選項錯誤，不符合題意；
當時，，
∴拋物線與y軸交于點，位于y軸正半軸，
∴圖象一定不經過第三象限，故C選項正確，符合題意；
∵，
∵，
∴無法確定的正負，
即無法確定圖象與軸的交點的個數，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：C
15．（2025·浙江·三模）已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則m的范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的增減性是解題關鍵．根據二次函數解析式可得圖象開口向上，對稱軸為直線，即可求解．
【詳解】解：，
圖象開口向上，對稱軸為直線，
當時，y隨x的增大而減小，
，
，
故答案為：．
【題型1 y=ax2的圖象與性質】
1．下列二次函數圖象與 的開口大小、方向、形狀完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，由題意可得二次項系數，據此判斷即可求解，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵二次函數圖象與 的開口大小、方向、形狀完全相同，
∴二次項系數，
故選：．
2．拋物線，，共有的性質是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是軸 C．都有最高點 D．隨增大而增大
【答案】B
【分析】本題考查的是二次函數的性質，根據，開口向上，由最低點，，開口向下，有最高點，與的對稱軸都是軸，以及增減性逐一判斷即可．
【詳解】解：拋物線，開口向上，有最低點，增減性相同，對稱軸是軸，
開口向下，有最高點，與，增減性不相同，對稱軸是軸，
∴共有的性質是：對稱軸是軸；
故選：B
3．拋物線的開口向下，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的性質，由拋物線開口向下可得，進而求解．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，
∴，
∴，
故選：B．
4．如果的圖像是拋物線，那么 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了二次函數的性質與圖像，根據二次函數的性質得出，且，再求解即可．
【詳解】解：∵的圖像是拋物線，
∴且，
解得：；
故答案為：
5．已知拋物線經過點．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)判斷點是否在此拋物線上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】本題考查二次函數的性質：
（1）把代入線求出a的值即可；
（2）在中，令，求出對應的y值，即可判斷．
【詳解】（1）解：把代入線得：，
解得，
；
（2）解：在中，令，得，
點不在此拋物線上．
【題型2 y=ax2+k的圖象與性質】
6．拋物線的頂點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查求拋物線的頂點坐標，根據的頂點坐標為，進行判斷即可．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是；
故選A．
7．對于拋物線 ，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象開口向下 B．最小值是1
C．頂點坐標為 D．對稱軸為y軸
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，根據二次函數的相關性質逐個判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴該拋物線開口向下，故A正確，不符合題意；
∵，
∴對稱軸為y軸，頂點坐標為，故C、D正確，不符合題意；
∴當時，函數的最大值為，故B不正確，符合題意；
故選：B．
8．在平面直角坐標系中，二次函數（，）的圖象可能是下圖中的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數（，）的頂點坐標為，即可判斷C、D它的開口方向向下，即可判斷A、B，即可解答．
本題考查了二次函數的圖象，解決本題的關鍵是明確二次函數的開口方向．
【詳解】解：二次函數（，）的頂點坐標為，選項C、D錯誤
對稱軸為y軸，它的開口方向向下，選項B錯誤．
故選：A．
9．點，都在二次函數的圖象上，則 ．（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數增減性是關鍵．根據二次函數圖象上點的坐標特征解答即可．
【詳解】解：二次函數的圖象開口向上，對稱軸是y軸，當時，y隨x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案為：
10．已知函數是關于x的二次函數．
(1)求m的值；
(2)函數圖象的兩點，則與的大小關系是______．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象定義和性質．
（1）根據二次函數的定義可得，即可求解；
（2）求得該函數的對稱軸為y軸，且開口向上，由點，，知．
【詳解】（1）解：∵函數是關于x的二次函數，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知二次函數的解析式為，
∵，
∴該函數的對稱軸為y軸，且開口向上，
∴在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，
∵點，，
∴．
【題型3 y=a(x-h)2的圖象與性質】
11．對于二次函數的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．當時，y隨x的增大而減小 D．頂點坐標為
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是熟練掌握拋物線頂點式的性質．
根據拋物線的性質由得到圖象開口向下，根據頂點式得到頂點坐標為，對稱軸為直線，時隨增大而增大，當時，隨的增大而減小，判定即可．
【詳解】解：∵
∴
∴拋物線開口向下，故A選項不符合題意；
∴對稱軸為直線，故B選項符合題意；
∴頂點坐標為，故D選項不符合題意；
∴時隨增大而增大，時隨增大而減小．故C選項不符合題意；
故選：B．
12．已知二次函數，那么它的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．根據頂點式的頂點坐標為求解即可．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，
∵，
∴開口向上，故B正確．
故選：B．
13．對于二次函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而減小
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據二次函數的圖象與性質逐項分析判定即可．
【詳解】解∶ 二次函數的二次項系數為1，則其圖象開口向上， 其對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，y隨x的增大而減小，
故選∶C．
14．已知，兩點都在二次函數的圖象上，則，的大小關系為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．先分別計算出自變量為，3時的函數值，然后比較函數值得大小．
【詳解】解：把、分別代入得
，，
所以．
故答案是：．
15．已知函數 是關于x的二次函數．
求：
(1)滿足條件的m的值；
(2)m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？
【答案】(1)
(2)，該點坐標為；當時，y隨x的增大而增大．
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，二次函數的定義：
（1）直接根據二次函數的定義進行求解即可；
（2）二次函數有最低點，則二次項系數大于0，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵函數 是關于x的二次函數，
解得 ；
（2）解：∵拋物線有最低點，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴拋物線頂點坐標為，對稱軸為y軸，且開口向上，
∴當時，y隨x的增大而增大．
【題型4 y=a(x-h)2+k的圖象的與性質】
16．已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸為
B．頂點坐標為
C．函數的最大值是
D．當時，隨的增大而減小
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據二次函數的圖象與性質，逐項分析即可判斷．
【詳解】解：A、對稱軸為，故此選項說法錯誤，不符合題意；
B、頂點坐標為，故此選項說法錯誤，不符合題意；
C、函數的最大值是，故此選項說法正確，符合題意；
D、當時，隨的增大而減小，故此選項說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
17．關于拋物線，下列說法中正確的是（）．
A．開口向上 B．對稱軸是直線
C．與x軸無交點 D．函數的最大值是3
【答案】D
【分析】本題主要考查二次函數系數與圖像的關系，理解并掌握二次函數中系數與圖像開口，對稱軸，與x，y軸交點的特點，頂點坐標的計算方法是解題的關鍵．
根據二次函數的性質直接逐個判斷即可得到答案．
【詳解】A．在拋物線中，由于，所以該拋物線開口向下，故該選項錯誤，不符合題意；
B．在拋物線中，對稱軸是直線，而不是直線，故該選項錯誤，不符合題意；
C．令，即，解得．這表明拋物線與軸有兩個交點，故該選項錯誤，不符合題意；
D．因為拋物線中，所以拋物線開口向下，函數有最大值．當時，函數的最大值是，故該選項正確，符合題意．
故選：D．
18．拋物線的頂點坐標是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，依據題意，根據二次函數的頂點式的特點進行判斷可以得解．
【詳解】解：由題意，∵拋物線為，
∴拋物線的頂點坐標為．
故答案為：．
19．已知二次函數，當時，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，根據解析式得到頂點坐標和函數的增減性，進而確定函數值的取值范圍即可．
【詳解】解：∵二次函數解析式為，
∴二次函數開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，
∴當時，函數有最小值，在對稱軸右側y隨x增大而增大，在對稱軸左側y隨x增大而減小，且離對稱軸越遠，函數值越大，
∵，且當時，，
∴，
故答案為：．
20．已知二次函數．
(1)二次函數圖象的開口方向是______，對稱軸是直線______，頂點坐標為______．
(2)當______時，y有最小值是_____．
(3)當時，____．
(4)當x______時，y隨x的增大而減小．
【答案】(1)向上，，
(2)4，
(3)7
(4)
【分析】此題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的所有的圖象和性質才能比較熟練解決問題．
（1）根據二次項系數可以確定開口方向，根據拋物線的頂點式解析式可以確定其頂點的坐標；
（2）根據拋物線的頂點式即可回答；
（3）將代入函數關系式求y的值；
（4）根據二次函數的圖象與性質回答即可．
【詳解】（1）二次函數，
圖象開口方向上，對稱軸為，頂點坐標為，
故答案為：向上，，；
（2）二次函數，
∴當時，y有最小值是，
故答案為：4，；
（3）將代入函數關系式得：，
故答案為：7；
（4）二次函數，圖象開口方向上，對稱軸為，
∴當時，y隨x的增大而減小．
故答案為：．
【題型5 y=ax2+bx+c的圖象與性質】
21．已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象的交點在第一、三象限，則二次函數的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的性質、二次函數的性質、反比例函數的性質.
根據反比例函數的圖象與一次函數的圖象的交點在第一、三象限，可知，，然后即可判斷二次函數的圖象開口方向和對稱軸所在的位置，從而可以判斷哪個選項符合題意．
【詳解】解：反比例函數的圖象與一次函數的圖象的交點在第一、三象限，
，，
二次函數的圖象開口向上，對稱軸在y軸左側，
故選：A
22．已知點，，都在拋物線上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查比較二次函數的函數值大小，根據二次函數的增減性，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
∴拋物線上點離對稱軸越遠，函數值越大，
∵點，，都在拋物線上，且，
∴；
故選A．
23．已知二次函數的圖象與軸相交于點和點，與軸相交于點．
①該二次函數的最小值為； ②當時，隨的增大而減小；
③該拋物線的頂點坐標為； ④兩點之間的距離是4
以上說法中正確的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，待定系數法求解析式，拋物線與軸皎點問題，理解二次的圖象和性質是解答關鍵．
先求出二次函數解析式，再變形為頂點式，求出二次函數的最小值來判斷①，根據拋物線開口方向和對稱軸來判定②，根據頂點坐標來判斷③，令時，求出的坐標，進而求出兩點之間的距離即可求解④．
【詳解】解：將和代入拋物線解析式得
，
解得，
拋物線解析式為，
二次函數的最小值是，故①正確，
，
拋物線開口向上．
拋物線的對稱軸為，
當，隨的增大而減小，故②正確；
頂點坐標是，故③錯誤．
令時，，
解得，，
，
兩點之間的距離是，故④正確．
綜上所述，正確的有①②④．
故選：C．
24．若是拋物線上的點，則代數式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的性質，將點代入，得出，即，整體代入即可求解．
【詳解】解：將點代入，
得，即
∴
故答案為：．
25．已知二次函數
(1)若該二次函數圖象過點，求a的值．
(2)請直接寫出此拋物線的對稱軸．
(3)當時，y的最大值是6，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象和性質，二次函數的最值：
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）根據對稱軸公式進行求解即可；
（3）分和，根據最值，列出方程進行求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得：，
解得：；
（2）由題意，對稱軸為直線；
（3）當時，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，函數有最大值為，
解得：；
當時，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，函數值最大，即：，
解得：；
綜上：或．
【題型6 把 y=ax2+bx+c化成頂點式】
26．二次函數可變形為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了將二次函數化成頂點式，熟練掌握配方法是解題關鍵．利用配方法將二次函數化成頂點式即可得．
【詳解】解：
，
則二次函數可變形為，
故選：B．
27．對于二次函數，下列說法正確的是( )
A．當，隨的增大而減小 B．當時， 有最大值
C．圖像的頂點 D．圖像與x軸有兩個交點
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，掌握二次函數的圖像與性質是解題的關鍵；把二次函數化為頂點式，根據頂點式即可對各選項進行判斷．
【詳解】解：，
∴頂點坐標為，開口向下，對稱軸為，當時隨的增大而減小，故A選項錯誤
當時， 有最大值，與軸沒有交點，故C、D選項錯誤，B選項正確，
故選：B．
28．將拋物線先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到的拋物線的表達式寫成的形式為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，涉及二次函數的一般式化為頂點式，二次函數的平移，熟練掌握二次函數的相關性質是解題的關鍵．先將化為頂點式，再利用左加右減，上加下減即可得出平移后的表達式．
【詳解】解：，
∵先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，
∴平移后的拋物線的表達式為，
故答案為：．
29．已知拋物線．
（1）當時，拋物線的頂點坐標為 ；
（2）點，為拋物線上兩點，若，總有，則的取值范圍是 ．
【答案】 或
【分析】（1）配方成頂點式求解即可；
（2）首先求出對稱軸為直線，然后分兩種情況討論：當時，當時，然后根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）當時，
∴拋物線的頂點坐標為
故答案為：；
（2）∵拋物線
∴對稱軸為直線
當時，拋物線開口向上
∴時，y隨x的增大而增大
∵點，為拋物線上兩點，若，總有，
∴
∴；
當時，拋物線開口向下
∴時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減小；
∵點，為拋物線上兩點，若，總有，
∴
∴
綜上所述，的取值范圍是或．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，將一般式配方成頂點式，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質．
30．已知二次函數，請用配方法將其化為的形式，并寫出其圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【答案】，圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，利用配方法將一般式轉化為頂點式，再根據頂點式的性質，進行作答即可．
【詳解】解：，
∴此函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為．
【題型7 二次函數各種形式的圖象畫法】
31．五點法畫出函數的圖象．
(1)根據給出的自變量求其對應函數值，填入表格中；
x 0 1 2 3
y
(2)在直角坐標系中，畫出上表中各對數值所對應的點，然后用平滑曲線連接這些點，畫出函數圖像．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了求函數值，畫二次函數的圖象，解題的關鍵是數形結合．
（1）把自變量的值代入函數式中，可以求得對應的函數值；
（2）描點、連線得到二次函數的圖象
【詳解】（1）解：填表如下：
x 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
（2）解：畫出拋物線如下：
32．已知二次函數 ．
(1)求出拋物線頂點坐標和與x軸的交點坐標；
(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象．
【答案】(1)頂點坐標；拋物線與軸交點為，；
(2)見解析
【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的圖象、二次函數圖象上點的坐標特征：
（1）將函數關系式運用配方法配成頂點式，進而可得頂點坐標；令，得一元二次方程，求出的值，可得函數圖象與軸的交點；
（2）根據函數解析式，可以寫出該函數的頂點坐標和圖象上的幾個點的坐標，從而可以畫出相應的函數圖象．
【詳解】（1）解：由于
∴頂點坐標；
令，得
解得，，，
拋物線與軸交點為，；
（2）解：列表如下：
描點、連線，如圖所示：
33．建立直角坐標系，并畫出函數的圖象．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象的畫法，根據二次函數的解析式，可以寫出該函數的頂點坐標和圖象上的四個點，然后即可畫出相應的圖象，解答本題的關鍵是找出函數圖象上的五個點，最主要的是確定頂點
【詳解】列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 0 0 3 …
描點、連線畫出函數的圖象如圖：
．
34．已知二次函數的圖像與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于C點．

(1)分別寫出A、B、C三點坐標：A______，B______，C______；
(2)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數圖像示意圖；
(3)任寫出兩條該函數圖像具備的特征：①______；②______．
【答案】(1)，，
(2)見解析
(3)①開口向上；②當時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）令，即可得到A、B的坐標，令，即可得到C的坐標；
（2）根據二次函數圖像特點描點連線即可；
（3）根據二次函數圖像特點即可解答．
【詳解】（1）（1）令，得 ，
又∵A在B左側，
∴，，
令，得，
故答案為：，，．
（2）

描點連線得圖像如圖所示；
（3）根據二次函數圖像特點，該函數圖像開口向上，當時，y隨x的增大而增大，
故答案為：①開口向上；②當時，y隨x的增大而增大．
【點睛】本題考查了畫二次函數的圖像及判斷函數圖像具備的特征，解題的關鍵是熟練掌握二次函數及其函數圖像．
35．已知二次函數．
(1)下表是y與x的部分對應值，請補充完整；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 3 …
(2)根據上表的數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出該函數圖象．
【答案】(1)0，-1，0
(2)見解析
【分析】（1）將x=1，2，3代入求解．
（2）通過描點，連線，作圖．
【詳解】（1）分別將x=1，2，3代入得y=0，-1，0，
故答案為：0；-1；0．
（2）如圖，
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系．
【題型8 二次函數與一次函數圖象判斷】
36．一次函數（）與二次函數（）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比較看是否一致．
本題考查了二次函數圖象，一次函數的圖象，應該熟記一次函數在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
【詳解】解：A、一次函數與y軸交點應為，二次函數與y軸的交點也應為，圖象不符合，故本選項錯誤；
B、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項錯誤；
C、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項錯誤；
D、由拋物線可知，，由直線可知，，且拋物線與直線與y軸的交點相同，故本選項正確．
故選：D．
37．二次函數和一次函數（a是常數，且）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數與一次函數的圖象，分別根據選項中二次函數的開口方向判斷a的正負，然后根據a的正負判斷對稱軸的位置以及一次函數圖象經過的象限即可得出答案．
【詳解】解：A：根據圖象可得二次函數開口向上，則，此時一次函數的圖象經過一三四象限，而圖中是經過一次函數圖象是經過一二四象限，故選項A不符合題意；
B：根據圖象可得二次函數開口向上，則，對稱軸，對稱軸在y軸的右邊，故選項B不符合題意；
C：根據圖象可得二次函數開口向上，則，對稱軸，對稱軸在y軸的左邊，圖象符合要求，此時此時一次函數的圖象經過一三四象限，圖中所給符合要求，故選項C符合題意；
D：根據圖象可得二次函數開口向下，則，當時，一次函數的圖象經過一二四象限，圖中所給是經過一三四象限，故選項D不符合題意；
故選：C．
38．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數和一次函數的圖像與性質，解決問題的關鍵是數形結合．根據圖象判斷出兩個函數的系數的符號，即可求解．
【詳解】解：A、由二次函數知、，由一次函數知、，故該選項正確；
B、由二次函數知、，由一次函數知、，故該選項錯誤；
C、由二次函數知、，由一次函數知、，故該選項錯誤；
D、由二次函數知、，由一次函數知、，故該選項錯誤；
故選：A．
39．如圖，一次函數與二次函數的圖象交于兩點，則函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數性質，一次函數的性質，先根據題意得出，，，再判斷即可得出答案．
【詳解】解：根據二次函數的圖象可知：
∵開口向上，
∴，
∵交y軸的負半軸開口向上，
∴，
∵對稱軸在y軸左側，
∴，
∵一次函數與y軸交于點，
∴，
∴函數中，，
∴開口向下，
與y軸交于點在x軸的上方，
對稱軸為，
∴對稱軸在y軸左側，
故選：A．
40．一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則二次函數的圖像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數和一次函數圖像，二次函數的性質，觀察圖像可知：，，，得出二次函數的圖像開口向上，對稱軸，與y軸的交點在y軸的負半軸，即可得出答案．
【詳解】解：觀察圖像可知：，，，
∴二次函數的圖像開口向上，對稱軸，與y軸的交點在y軸的負半軸，
故選：B．
【拓展訓練一 二次函數圖象的綜合】
41．已知函數．
(1)寫出此函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；
(2)當取何值時，隨的增大而增大？
(3)當取何值時，函數取得最值？求出這個最值．
【答案】(1)開口方向向上，對稱軸，頂點坐標為；
(2)當時，隨的增大而增大；
(3)當時，有最小值為．
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
（）依據題意，根據所給解析式可以得解；
（）依據題意，根據二次函數的增減性可以判斷得解；
（）依據題意，由開口向上，函數有最小值，進而可以得解．
【詳解】（1）解：由拋物線的解析式為，
∴開口方向向上，對稱軸，頂點坐標為；
（2）解：∵拋物線開口向上，
∴當時，隨的增大而增大；
（3）解：∵拋物線開口向上，
∴當時，有最小值為．
42．如圖，在矩形中，，，動點以每秒個單位長度的速度從點出發，動點以每秒個單位長度的速度從點出發，點沿折線方向運動，點沿射線方向運動，當點追上點時，均停止運動．設運動時間為x秒，的面積為．
(1)請直接寫出關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍．
(2)在給定的平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，并寫出函數的一條性質．
(3)結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過）
【答案】(1)關于的函數表達式為；
(2)畫函數圖象見解析，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小（答案不唯一）；
(3)或．
【分析】本題是動點下的圖象的面積問題，考查了三角形的面積公式，函數的圖象與性質，寫出函數表達式并畫出函數圖象是解題的關鍵．
（）由速度與時間的關系表示出各線段，根據三角形面積公式即可得出答案；
（）根據函數表達式畫線即可畫出圖象，由圖象的變化趨勢即可得出性質；
（）由函數圖象的趨勢即可得出答案．
【詳解】（1）解：當點在上時，即，
則，，
∴；
當點在上時，即，
則，
∴，
綜上可知：關于的函數表達式為；
（2）解：列表：
描點，
連線
如圖，
當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小；
（3）解：由圖象可知：，，
解得：（負值已舍去），，
∴當時的取值范圍或．
43．在平面直角坐標系中，拋物線（是常數）的頂點坐標為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)請在網格中畫出拋物線的圖絡；
(3)若一次函數，當時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)畫圖見解析
(3)
【分析】（）利用對稱軸方程求出，再把頂點坐標代入解析式求出即可求解；
（）根據二次函數解析式畫出函數圖象即可；
（）畫出一次函數圖象，根據圖象解答即可；
本題考查了待定系數法求二次函數解析式，畫二次函數圖象，二次函數與一次函數的交點問題，運用數形結合思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：當時，，
∴拋物線與軸的交點坐標為，
∵對稱軸為直線，
∴點關于對稱軸的對稱點為，
當時，，
解得，，
∴拋物線與軸的交點坐標為和，
∴畫圖如下：
（3）解：畫一次函數圖象如下：
由函數圖象可知，當時，的取值范圍為．
44．在平面直角坐標系中利用五點描點法畫出函數的圖象（注：先用鉛筆描畫，再用水筆涂黑）
x 0 1 2 3 4
y

(1)填寫表格數據
(2)建立平面直角坐標系、描點、連線
(3)依據圖象直接寫出的自變量x取值范圍 ．
【答案】(1)，0，1，0，
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了畫二次函數圖象，利用函數圖象解不等式，正確畫出函數圖象是解答本題的關鍵．
（1）把x的值分別代入函數解析式計算即可求出y的值；
（2）根據表格數據標點，然后連線即可；
（3）根據圖象寫出答案即可．
【詳解】（1）解：填寫表格
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0
（2）解：如圖，

（3）解：由圖象可知，的自變量x取值范圍．
故答案為：．
45．如圖，點C為二次函數的頂點，直線與該二次函數圖象交于、B兩點（點B在y軸上），與二次函數圖象的對稱軸交于點D．
(1)求m的值及點C坐標；
(2)在該二次函數的對稱軸上是否存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）將點坐標代入解析式可求的值，利用待定系數法可求拋物線解析式；
（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質求解．
本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，等腰三角形的性質，兩點距離公式，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
【詳解】（1）解： 直線過點，
，
，
，
，
二次函數解析式為，
頂點坐標為；
（2）解：存在點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．
頂點坐標為，
對稱軸為直線，
過點作于點，
在中，．
①當時，設，
在中，
解之得
；
②當時，根據等腰三角形三線合一得：，
，
；
③當時，，
，．
綜上所述：點的坐標為或或或．
1．拋物線的頂點坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了拋物線頂點坐標的求解，解題的關鍵是掌握拋物線形式的頂點坐標公式．根據拋物線的頂點坐標為，可知拋物線的頂點坐標是．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是．
故選：B．
2．關于拋物線，下列說法中錯誤的是（ ）
A．開口方向向上 B．對稱軸是直線
C．頂點坐標為 D．當時，隨的增大而減小
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，依據題意，根據所給頂點式即可逐個判斷進而得解，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
【詳解】解：由題意，拋物線為，
拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點為，當時，隨的增大而增大，
故A、C、B正確，均不符合，D錯誤，符合題意．
故選：D．
3．二次函數的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的最值，解題關鍵是掌握二次函數頂點式，并會根據頂點式求最值．
根據所給形式是二次函數的頂點式，易知其頂點坐標是，由可知：當時，函數有最大值．
【詳解】解：∵中；，
∴此函數的頂點坐標是，有最大值，
即當時，函數有最大值．
故選C．
4．若點，，在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，根據二次函數圖象性質即可判定，解題的關鍵掌握二次函數圖象的性質．
【詳解】解：由二次函數，則它的對稱軸為，開口向上，
則圖象上的點離對稱軸越遠則的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
5．如圖，點A是拋物線與y軸的交點，軸交拋物線另一點于B，點C為該拋物線的頂點．若為等邊三角形，則a的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，等邊三角形的性質．過點C作于點D，根據等邊三角形的性質得出，，，，將點代入拋物線解析式，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作于點D，
∵拋物線的對稱軸為，為等邊三角形，且軸，
∴，，．
∵當時，，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
6．已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
根據題意，結合二次函數的對稱性和增減性建立關于的不等式組即可解決問題．
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為直線，對稱軸上的點離對稱軸越遠，函數值越大，
∵，當時，函數取得最大值，當時，函數取得最小值，
∴，
∴，
故選：A．
7．請寫出一個頂點在x軸上開口向下的拋物線的函數表達式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，解題關鍵是熟記二次函數的性質，準確寫出解析式．
根據題意，拋物線是形式，值為負即可．
【詳解】解：根據題意，拋物線是形式，值為負，
∴符合條件的拋物線解析式可以為．
故答案為：（答案不唯一）．
8．若拋物線與形狀相同，開口方向相反，則拋物線的解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的基本性質，掌握二次函數中形狀相同，開口方向的性質是解決本題的關鍵．由形狀和開口方向即可得出的值
【詳解】拋物線與形狀相同，開口方向相反
則，
∴的解析式為
故答案為：
9．已知點，若拋物線與線段只有一個公共點，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系和二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質，并運用分類討論的思想是解題的關鍵．分，時，由點A，B和拋物線的位置結合圖象求解．
【詳解】解：當時，拋物線開口向下，此時拋物線與線段沒有交點，不合題意；
當時，若拋物線與線段只有一個公共點，如圖所示：
∴由圖象可知：需滿足當時，且當時，，
即，
解得，
故答案為．
10．1.已知拋物線經過，兩點．若，是拋物線上的兩點，且，則的值可以是 ．（寫出一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，利用拋物線的對稱性質及開口方向，確定點，到對稱軸的距離關系，從而比較大小即可，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵拋物線經過，兩點，
∴該拋物線的對稱軸為直線，函數圖象開口向上，
∴點關于直線，的對稱點為，
∵，
∴或，
∴的值可以是，
故答案為：（答案不唯一）．
11．如圖，在等腰直角三角形中，，點A、B在拋物線上，點C在y軸上，A、B兩點的橫坐標分別為1和，b的值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形，全等三角形的判定與性質，利用“k型全等”求得B點的坐標，代入即可求解，構造全等三角形解題是關鍵．
【詳解】解：過B作軸于E，過A作軸于D，
在等腰直角三角形中，，則，
∵A、B兩點的橫坐標分別為1和，
∴，，
∵點A、B在拋物線上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
整理，
解得：或（舍去），
∴b的值為2，
故答案為：2．
12．如圖，已知二次函數的圖象，點是坐標系的原點，點是圖象對稱軸上的點，圖象與軸交于點，則下面結論：①關于的方程的解是，；②當時，；③點的坐標為；④△周長的最小值是．正確的有 ．
【答案】①②③
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，軸對稱的性質，由圖象及二次函數的對稱性可得拋物線與軸的另一個交點坐標為，即可判斷①；進而由函數圖象可知，當時，圖象位于軸下方，即可判斷②；把代入函數解析式求出的值即可判斷③；作點關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸相交于點，可得△周長，此時△周長的最小，利用勾股定理求出得到△周長的最小值，即可判斷④，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵由函數圖象可得，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，
∴拋物線與軸的另一個交點坐標為，
∴關于的方程的解是，，故①正確；
由函數圖象可知，當時，圖象位于軸下方，
∴當時，，故②正確；
把代入得，，
解得，
∴，
當時，，
∴點的坐標為，故③正確；
作點關于對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸相交于點，則，，
∴△周長，此時△周長的最小，
∵，，
∴，
∴△周長的最小值，故④錯誤；
綜上，正確的有①②③，
故答案為：①②③．
13．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：
(1)；
(2)．
【答案】(1)開口方向：向上；對稱軸：直線；頂點：
(2)開口方向：向下；對稱軸：直線；頂點：
【分析】本題考查了二次函數頂點式的性質，理解二次函數的性質是解題的關鍵．
（1）根據直接判斷開口方向，根據頂點式直接寫出對稱軸和頂點坐標；
（2）根據直接判斷開口方向，根據頂點式直接寫出對稱軸和頂點坐標．
【詳解】（1）解：∵，
∴拋物線的開口向上，
，
拋物線的對稱軸為：直線；頂點坐標是：；
（2）解：∵，
∴拋物線的開口向下，
拋物線對稱軸為：直線；頂點坐標是：．
14．若拋物線的頂點在軸上，對稱軸是直線，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)寫出它的頂點坐標和開口方向．
【答案】(1)；
(2)拋物線開口向下．
【分析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數的解析式，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）先確定頂點坐標，再設頂點式然后把A點坐標代入求出a即可；
（2）利用二次函數的性質解決問題．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點在軸上，對稱軸是直線
∴拋物線的頂點坐標為
設拋物線解析式為
把代入得
解得：
∴拋物線解析式為：；
（2）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的頂點坐標為
∵，
∴拋物線開口向下．
15．已知二次函數．
(1)完成下表：
… 0 1 2 3 …
… 0 ______ ______ ______ 0 …
(2)根據（1）的結果在如圖所示的平面直角坐標系中，利用描點法畫出這個二次函數的圖象；
(3)結合函數圖象，當時，的取值范圍是______
【答案】(1)
(2)圖象見解析
(3)
【分析】本題主要考查了畫二次函數圖象，根據函數值求自變量的取值范圍，
對于（1），將x的值分別代入關系式，可得答案；
對于（2），根據描點，連線，可得圖象；
對于（3），當時，即圖象在x軸下方，即可得出x的取值范圍．
【詳解】（1）當時，；
當時，；
當時，．
x 0 1 2 3
0 0
故答案為：；
（2）如圖所示．
（3）當時，．
故答案為：．
16．已知二次函數．
(1)直接寫出二次函數的對稱軸和頂點坐標；
(2)在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的簡圖；
(3)當隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)對稱軸為直線，頂點坐標為
(2)作圖見解析
(3)
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）根據的對稱軸為直線，頂點坐標為即可得；
（2）列表、描點、連線即可畫圖；
（3）根據增減性解答即可．
【詳解】（1）解：的對稱軸為直線，頂點坐標為；
（2）解：列表：
描點畫圖，得：
（3）解：由拋物線開口向上，對稱軸為直線，
則當隨的增大而減小時，的取值范圍為．
17．設二次函數，的圖像頂點坐標分別為，，若，，且圖像開口方向相同，則稱是的“同倍項二次函數”．
(1)如果是二次函數的一個“同倍項二次函數”，則______，______，______（寫出一種符合題意的，，的值即可）；
(2)已知關于的二次函數和二次函數，若是的“同倍項二次函數”，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，理解“同倍頂二次函數”的定義是解答的關鍵．
（1）先求出二次函數的頂點式為，二次函數的頂點為，最后根據“同倍頂二次函數”的定義求解即可；
（2）先分別將、的頂點式表達出來，進而得到兩個函數的頂點坐標，最后根據“同倍頂二次函數”的定義求解即可．
【詳解】（1）解：，，
該函數開口向上，頂點坐標為，
二次函數的頂點為，且是二次函數的一個“同倍項二次函數”，
，，，
，，，
故答案為：，，；
（2），
其圖像的頂點為，
，
其圖像的頂點為，
是的“同倍項二次函數”，
，
解得：．
18．如圖，將二次函數位于軸下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數的圖象（圖中的實線）．

(1)當時，新函數值為______，當時，新函數值為______；
(2)當______時，新函數有最小值；
(3)當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；
(4)若關于的方程有且只有兩個解，則的取值范圍_______．
【答案】(1)5，3
(2)或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分別代入求得函數值，根據函數圖象即可求得答案；
（2）根據函數圖象即可求得；
（3）根據函數圖象即可求得；
（4）根據圖象求得答案即可．
【詳解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
當時，新函數值為，當時，新函數值為，
故答案為：，；
（2）解：觀察圖象可得：
當或時，新函數有最小值為，
故答案為：或；
（3）解：觀察圖象可得：
當新函數中函數隨的增大而增大時，自變量的范圍是或；
故答案為：或；
（4）解：將二次函數位于軸下方的圖象沿軸翻折，
得到新函數的解析式為：，
關于的方程有且只有兩個解，即為直線與新函數圖象有且只有兩個公共點，
觀察圖象可得：的取值范圍或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，數形結合是解題的關鍵．

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