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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
01 二次函數
知識點1：二次函數的定義
一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常數)的函數叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）下列函數屬于二次函數的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數，掌握二次函數的定義是解題關鍵．二次函數定義：一般地，把形如（a、b、c是常數，且）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項．根據二次函數的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A．是一次函數，不是二次函數，故A不符合題意；
B．函數關系式不是整式，不是二次函數，故B不符合題意；
C．，是二次函數，故C符合題意；
D．函數關系式不是整式，不是二次函數，故D不符合題意；
故選：C．
2．（2024九年級下·全國·專題練習）下列函數一定是二次函數的是 ．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根據二次函數的定義： 一般地,把形如y=ax +bx+c(a≠0)(a、b、c是常數)的函數叫做二次函數，據此判斷即可．
【詳解】解：①，必須滿足a≠0才為二次函數，故①不一定是二次函數；
②等號右邊為分式，故②不是二次函數；
③是二次函數，故③是二次函數；
④，時，該式不是二次函數；
⑤，該式不是二次函數；
故答案為：③．
【點睛】本題考查了二次函數的識別，熟知二次函數的定義是解本題的關鍵．
3．（24-25九年級上·浙江衢州·階段練習）若函數是關于的二次函數，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的定義，列出關于m的方程和不等式是解題的關鍵．
根據二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數，列出關于m的方程和不等式，求解即可．
【詳解】解：∵是關于x的二次函數，
∴，且，
解得：．
故答案為：．
知識點2：二次函數的一般式
二次函數的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常數).
【即時訓練】
4．（24-25九年級上·浙江·階段練習）將二次函數化為一般形式后，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的一般式，根據整式乘法展開后合并同類項即可．
【詳解】，
故選：D．
5．（23-24九年級上·浙江湖州·階段練習）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項系數與常數項的和為 ．
【答案】1
【分析】先將其化為一般式，即可求出一次項系數和常數項，從而求出結論．
【詳解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次項系數為7，常數項為-6
∴一次項系數與常數項的和為7＋（-6）=1
故答案為：1．
【點睛】此題考查的是二次函數的一般式，掌握二次函數的一般形式是解題關鍵．
6．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）將二次函數化為一般形式，并指出其二次項系數、一次項系數和常數項．
【答案】，二次項系數是－2、一次項系數是－7、常數項是4
【分析】此題考查了二次函數的一般形式，把化為一般形式，即可得到答案．
【詳解】解：；
其中二次項系數是、一次項系數是、常數項是4．
知識點3：二次函數的3種特殊形式
二次函數的3種特殊形式：1)當b＝0時，
2)當c＝0時，
3)當b＝0且c＝0時，
【題型1 二次函數的概念】
1．下列函數屬于二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義．一般地，形如（a，b，c為常數）的函數叫做二次函數．
根據定義逐一判定．判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a，b，c為常數）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是．
【詳解】解：A．是一次函數，故不符合題意；
B．是二次函數，故符合題意；
C．是正比例函數，故不符合題意；
D．，當時是一次函數，故不符合題意．
故選：B．
2．下列函數中是二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義，牢記二次函數的定義是解題的關鍵．根據二次函數的定義“形如的函數”，逐一分析四個選項即可得出結論．
【詳解】解：A、當時，不是二次函數，故選項A不符合題意；
B、，是二次函數，故選項B符合題意；
C、不是二次函數，故選項C不符合題意；
D、，不是二次函數，故選項D不符合題意；
故選：B．
3．下列函數是二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數定義，根據二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數，逐項進行分析．
【詳解】解：A、是一次函數，故此選項不符合題意；
B、，含有分式，不是二次函數，故此選項不符合題意；
C、是二次函數，故此選項正確；
D、是一次函數，故此選項不符合題意．
故選：C．
4．在函數①，②，③，④中，y關于x的二次函數是 ．（填寫序號）
【答案】④
【分析】本題考查二次函數的定義，能夠根據二次函數的定義判斷函數是否屬于二次函數是解決本題的關鍵．根據形如是二次函數，可得答案．
【詳解】解：①時是一次函數，
②是一次函數；
③不是整式，不是二次函數；
④是二次函數，
故答案為：④．
5．判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根據二次函數的概念求解即可．
【詳解】（1），沒有二次項，故不是二次函數；
（2），符合，故是二次函數；
（3），不是整式，故不是二次函數；
（4），符合，故是二次函數；
（5），符合，故是二次函數；
（6），沒有二次項，故不是二次函數．
【點睛】本題考查了二次函數的概念，判斷一個函數是否是二次函數，關鍵看是否符合的形式．
【題型2 列二次函數關系式】
6．若正方形的邊長為6，邊長增加，面積增加，則關于的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的實際應用，根據正方形的面積公式正確列出函數解析式是解題的關鍵．
根據x和y表示的含義，利用正方形的面積公式列出函數關系式即可．
【詳解】解：∵原正方形的邊長是6，面積是，
∴增加后的邊長是，面積是，
∴增加的面積，
故選：C．
7．深高小學部飼養了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為y平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，由鐵柵欄的全長及的長，可得出平行于墻的一邊長為米，再利用長方形的面積公式，即可找出y關于x的函數關系式．
【詳解】解：鐵柵欄的全長為15米，米，
平行于墻的一邊長為米．
根據題意得：．
故選：A．
8．為方便市民進行垃圾分類投放，某環保公司第一個月投放1000個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為，那么與的函數關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了列二次函數關系式，根據題意可得，第二個月投放垃圾桶數量為個，則第三個月投放垃圾桶數量為個，據此可得答案．
【詳解】解：由題意得，，
故選：A．
9．某商店經銷一種學生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個元．經市場調查發現，這種雙肩包每天的銷售量（個）與銷售單價（元個）有如下關系：（，且為整數）．設這種雙肩包每天的銷售利潤為元．則與之間的函數關系式為 ．
【答案】
【分析】此題考查求二次函數解析式，根據銷售總利潤等于單件利潤乘銷售量計算解答．
【詳解】解：，
故答案為：．
10．有一個周長為80cm的正方形，從四個角各減去一個正方形，做成一個無蓋盒子．設這個盒子的底面面積為y cm，減去的正方形的邊長為x cm，求y與x的函數關系式.
【答案】y＝4x2-80x+400.
【分析】首先計算出正方形的邊長，再利用正方形的性質表示出無蓋盒子的底邊邊長，進而得出函數關系式．
【詳解】解：正方形的邊長為80÷4＝20cm，
根據題意可得：y＝(20 2x)2＝4x2-80x+400．
【點睛】此題主要考查了根據實際問題列二次函數解析式，表示出正方形盒子的底邊長是解題關鍵．
【題型3 二次函數的二次項、一次項、常數項】
11．二次函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項分別是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次函數的一般式，解題的關鍵是注意在找二次項系數，一次項系數和常數項時，不要漏掉符號．二次函數的一般式為：（a、b、c是常數，）．其中，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，根據定義作答即可．
【詳解】解：二次函數，
∴二次項系數、一次項系數、常數項分別是，，．
故選：B．
12．二次函數中，二次項系數、一次項系數、常數項分別是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
【答案】C
【分析】本題主要考查二次函數的一般形式，所以此題可根據二次函數的一般形式“形如”進行求解即可．
【詳解】解∶ 二次函數中，二次項系數、一次項系數、常數項分別是3、 、 ，
故選∶C．
13．關于函數，下列說法中正確的是（ ）
A．二次項系數是1 B．一次項系數是9 C．常數項是 D．是關于的一次函數
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的定義，理解二次函數的解析式是解題的關鍵．
【詳解】解：，
∴該函數是二次函數，其二次項系數是，一次項系數是9，常數項是10，
則A、C、D說法錯誤，B說法正確，
故選：B．
14．在二次函數中，二次項系數與一次項系數的和是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫作二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項；
由題意可得二次項系數是2，常數項是，再求和即可．
【詳解】解：在二次函數中，
二次項系數為2， 一次項次數為，
∴二次項系數與一次項系數的和是：，
故答案為：．
15．若二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本題主要考查了二次函數有關概念．熟練掌握二次函數各項系數的概念，是解決問題的關鍵．
根據二次函數各項的系數填空．
【詳解】∵二次函數為，
∴二次項系數為，一次項系數為0，常數項為，
∴，，．
故答案為：，0，．
【題型4 根據二次函數的定義求參數值】
16．若函數是關于x的二次函數，則（　　）
A． B．1 C．1或 D．2
【答案】A
【分析】此題主要考查了二次函數的定義，正確把握二次函數的定義是解題關鍵．二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數．
根據“形如的函數關系，稱為y關于x的二次函數”，即可求解．
【詳解】解： 是關于x的二次函數，
|且，
解得：．
故選：A．
17．當二次函數的解析式為時，的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，掌握二次函數的二次項系數不等于零是解題的關鍵．
先根據二次函數的定義列式求解即可．
【詳解】解：∵二次函數的解析式為，
∴且，解得：．
故選C．
18．已知是二次函數，則（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的定義．根據二次函數的定義可得且，從而可得答案．
【詳解】解：∵是二次函數，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
19．若函數是二次函數，則的值是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵；因此此題可根據“形如的函數稱為二次函數”進行求解即可．
【詳解】解：由題意得：
，
解得：；
故答案為4．
20．若是關于x的二次函數，則m的值為 ．
【答案】2
【分析】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握二次函數定義，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．利用二次函數定義進行解答即可．
【詳解】解：由題意可知，，
解得：．
故答案為：2．
【題型5 根據二次函數的定義求參數范圍】
21．如果是二次函數，則的值為 ．
【答案】
【分析】本考查了二次函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數．根據二次函數中未知數的最高次數為2，二次項系數不能為0，可知，，由此可解．
【詳解】解：函數是二次函數，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案為：．
22．若是關于x的二次函數，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義求解即可，熟練掌握二次函數的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵是關于x的二次函數，
∴，
∴，
故選：A．
23．若（x為自變量）是二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據形如的函數是二次函數，以此計算即可．
本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次項系數不為零，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是關于x的二次函數，
∴，
解得，
故選：A．
24．如果是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．全體實數
【答案】B
【分析】直接利用二次函數的定義得出答案．
【詳解】∵是關于x的二次函數，
∴，
∴，
故選B．
【點睛】此題主要考查了二次函數的定義，正確把握二次函數的定義是解題的關鍵．
25．若關于x的函數 是二次函數，則a 的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數的定義，熟練掌握形如（a、b、c是常數，）的函數，叫做二次函數是解題的關鍵．
根據二次函數的定義即可得解．
【詳解】解：∵函數是二次函數，
∴，即，
故答案為：．
【拓展訓練一 二次函數的求參問題綜合】
26．對于關于x的函數，下列說法錯誤的是( )
A．當時，該函數為正比例函數 B．當時，該函數為一次函數
C．當該函數為二次函數時，或 D．當該函數為二次函數時，
【答案】C
【分析】根據正比例函數、一次函數、二次函數的定義判斷即可．
【詳解】、當時，該函數為正比例函數，故不符合題意；
、當時，，即，該函數為一次函數，故不符合題意；
、當時，該函數為正比例函數，故符合題意；
、當該函數為二次函數時，，故不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數、正比例函數、二次函數的定義，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
27．已知函數y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五個數中取值，則不同的二次函數的個數共有（　　　）
A．125個 B．100個 C．48個 D．10個
【答案】B
【分析】根據二次函數的定義得到，依據a、b、c的選法通過計算即可得到答案
【詳解】由題意，
∴a有四種選法：1、2、3、4，
∵b和c都有五種選法：0、1、2、3、4，
∴共有=100種，
故選：B
【點睛】此題考查二次函數的定義，有理數的乘法運算，根據題意得到a、b、c的選法是解題的關鍵．
28．若y＝(m－1)是關于x的二次函數，則m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
【答案】B
【分析】原函數為二次函數，所以x的最高次數為2，且二次項系數不為0，所以且，解得．
【詳解】∵ 是關于x的二次函數，
∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故選：B．
【點睛】本題考查了根據二次函數的定義確定參數的取值范圍，并且要注意所求函數的最高次數是二次且二次項系數不為零．
29．二次函數的解析式為，滿足如下四個條件：；；，，則 ， ．
【答案】 4
【分析】本題考查了二次函數的定義，有理數的加法和乘法運算，解二元一次方程組，掌握相關知識點是解題關鍵．由二次函數的定義可得，進而得到或，再分別求解即可．
【詳解】解：二次函數的解析式為，
，
，
或，
當時，，，
解得：，，滿足，符合題意；
當時，，，
解得：，，不滿足，不符合題意；
故答案為：；4．
30．若是關于的二次函數，則一次函數的圖象不經過第 象限．
【答案】四
【分析】本題主要考查二次函數的性質以及一次函數的圖像，由二次函數的定義得出即可得到答案．
【詳解】解：由于是關于的二次函數，
且，
，
故一次函數的解析式為，
故一次函數過一、二、三象限，
故答案為：四．
【拓展訓練二 二次函數的應用】
31．如圖，用繩子圍矩形，記矩形相鄰的兩邊長為．
（1）若繩長為，則與的關系式為 ，是的 函數；
（2）若矩形的面積是，則與的關系式為 ，是的 函數；
（3）若矩形的周長為，矩形的面積為，則與的關系式為 ，是的 函數．
【答案】 一次 反比例 二次
【分析】本題主要考查一次函數，反比例函數，二次函數，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1 ）根據題意可得，化簡即可得出答案；
（2 ）根據題意可得，化簡即可得出答案；
（3 ）根據題意可得，即可得出，即可得出答案；
【詳解】（1 ）解：∵繩長為，矩形相鄰的兩邊長為，
∴，
即，
∴是的一次函數．
故答案為：，一次
（2 ）解：∵矩形的面積是，矩形相鄰的兩邊長為，
∴，
即，
∴是的反比例函數．
故答案為：，反比例
（3 ）解：∵矩形的周長為，矩形的面積為，
∴，
∴，
∴，
∴S是的二次函數．
故答案為：，二次
32．如圖，正三角形的邊長為1，是邊上的一點，過作邊的垂線，交于，用表示線段的長度，顯然線段的面積是線段長度的函數，這個函數的表達式是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握等邊三角形的性質，理解在直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決問題的關鍵．先求出，根據直角三角形的性質得，再由勾股定理可得，然后等邊的邊長為1，得，，據此可得出函數的表達式．
【詳解】解：如圖，連接，
為等邊三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等邊的邊長為1，，
，
，
∴，
故答案為：．
33．如圖，和是邊長分別為5和2的等邊三角形，點、、、都在直線上，固定不動，將在直線上自左向右平移．開始時，點與點重合，當點移動到與點重合時停止．設移動的距離為，兩個三角形重疊部分的面積為，請寫出與之間的函數關系式 ．
【答案】
【分析】根據運動過程可分三種情況討論：當時，兩個三角形重疊部分為的面積，當時，兩個三角形重疊部分為的面積，當時，兩個三角形重疊部分為的面積，分別求解即可．
【詳解】當時，如圖1所示，兩個三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
和是邊長分別為5和2的等邊三角形，
是邊長x的等邊三角形，
過點D作DE⊥BC于點E，
，
，
，
即；
當時，如圖2所示，兩個三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
過點作于點E，
，
，
即；
當時，如圖3所示，兩個三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
和是邊長分別為5和2的等邊三角形，
是等邊三角形，且，
過點D作DE⊥BC于點E，
，
，
即；
綜上，寫出與之間的函數關系式為．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，列二次函數解析式，勾股定理，平移與三角形面積問題，熟練掌握知識點并能夠分類討論是解題的關鍵．
34．圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規律繼續疊放下去，則第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數m與n的解析式是 ．
【答案】m=2n2 n
【分析】圖（1）中只有一層，有（4×0＋1）一個正方形，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎上增加了一層，第二層有（4×1＋1）個．圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎長增加了一層，第三層有（4×2＋1），依此類推出第n層正方形的個數，即可推出當有n層時總的正方形個數．
【詳解】解：經分析，可知：第一層的正方形個數為（4×0＋1），
第二層的正方形個數為（4×1＋1），
第三層的正方形個數為（4×2＋1），
……
第n層的個數為：[4×（n 1）＋1]，
第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數m為：
1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n 2）＋1]＋[4×（n 1）＋1]
＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n 2）＋1＋4×（n 1）＋1
＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n 2＋n 1）
＝n＋4
＝n＋2n（n 1）
＝2n2 n．
即：m=2n2 n．
故答案為：m=2n2 n
【點睛】本題解題關鍵是根據圖形的變換總結規律，由圖形變換得規律：每次都比上一次增加一層，增加第n層時小正方形共增加了4（n 1）＋1個，將n層的小正方形個數相加即可得到總的小正方形個數．
35．如圖，正方形的邊長是，是上一點，是延長線上的一點，．四邊形是矩形，矩形的面積與的長的函數關系是 ．
【答案】/
【分析】由已知圖形可以分析得到矩形的長為cm，寬為cm，由面積公式即可計算得到正確答案．
【詳解】解：∵正方形的邊長是，且
∴矩形的長的長為cm，寬的長為cm
∴矩形的面積為：
故答案為：
【點睛】本題考查變量之間的關系，由矩形面積推導二次函數關系式等知識點．數形結合列式計算是解此類題的關鍵．
1．下列函數解析式中，一定為二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，掌握二次函數都是整式成為解題的關鍵．
直接根據二次函數的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、不是二次函數，不合題意；
B、是二次函數，符合題意；
C、，當時，是二次函數，不合題意；
D、是一次函數，符合題意．
故選：B．
2．若函數是關于x的二次函數，則滿足條件的m的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，一般地，形如（其中a、b、c是常數，且）的函數叫做二次函數，據此求解即可．
【詳解】解：∵函數是關于x的二次函數，
∴，
解得，
故選：D．
3．某廠今年十月份新產品的研發資金為8萬元，以后每月新產品的研發資金與上個月相比增長率都是，則該廠今年十一、十二月份新產品的研發資金w（萬元）關于x的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，根據題意可得今年十月份新產品的研發資金為8萬元，則十一月份的新產品的研發資金為，十二月份新產品的研發資金的為，即可求解．
【詳解】解：根據題意，今年十月份新產品的研發資金為8萬元，則十一月份的新產品的研發資金為，十二月份新產品的研發資金的為，
∴該廠今年十一、十二月份新產品的研發資金w（萬元）關于x的函數關系式為，
故選：C．
4．下列函數中是二次函數的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的定義，熟練的掌握二次函數的定義是解題的關鍵．
先把關系式整理成二次函數的一般形式，再根據二次函數的定義判定即可．
【詳解】解：①是二次函數；②不是二次函數；③是二次函數；④不是二次函數；⑤不是二次函數；⑥不是二次函數．
綜上，二次函數有①③，共2個．
故選B．
5．下面兩個問題中都有兩個變量：
①矩形的周長為20，矩形的面積y與一邊長x；
②矩形的面積為20，矩形的寬y與矩形的長x．
其中變量y與變量x之間的函數關系表述正確的是（　　）
A．①是反比例函數，②是二次函數 B．①是二次函數，②是反比例函數
C．①②都是二次函數 D．①②都是反比例函數
【答案】B
【分析】先根據矩形的周長和面積公式列出函數關系式，然后根據反比例函數和二次函數的定義即可解答．
【詳解】解：①∵矩形的周長為20，一邊長x
∴另一邊長為
∴為二次函數；
②∵矩形的面積為20，矩形的長x
∴是反比例函數．
故選B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數、二次函數解析式的判定等知識點，正確列出函數解析式是解答本題的關鍵．
6．用一根長的鐵絲圍成一個矩形，那么矩形的面積與它的一邊長之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由矩形另一邊長為周長的一半減去已知邊長求得另一邊的長，進一步根據矩形的面積等于相鄰兩邊長的積列出關系式即可．
【詳解】由題意得：矩形的另一邊長=60÷2-x=30-x，
矩形的面積y（cm2）與它的一邊長x（cm）之間的函數關系式為y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故選：C．
【點睛】此題考查根據實際問題列二次函數關系式，掌握矩形的邊長與所給周長與另一邊長的關系是解題的關鍵．
7．若函數為二次函數，則實數 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二次函數的定義，熟知二次函數的一般式為（，為常數）是解本題的關鍵．
根據二次函數的定義即可得出答案．
【詳解】解：∵函數是二次函數，
∴．
故答案為：2．
8．某超市有一種商品，進價為2元，據市場調查，銷售單價是13元時，平均每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若設降價后售價為元，每天利潤為元，則與之間的函數關系為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了列二次函數關系式，根據題意可得單件商品的利潤為元，銷售量為件，據此列出對應的函數關系式即可．
【詳解】解：由題意得，
，
故答案為：．
9．當 時，是二次函數．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數，根據二次函數的定義可得且，解之即可求解，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，且，
解得，
故答案為：．
10．若函數表示是的二次函數，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的定義，由二次函數的定義得出，，計算即可得解，熟練掌握二次函數的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵函數表示是的二次函數，
∴，，
解得：，
故答案為：．
11．二次函數的解析式為，滿足如下四個條件：；；；．則 ， ．
【答案】 4
【分析】本題考查了二次函數的定義，有理數的加法和乘法運算，解二元一次方程組，掌握相關知識點是解題關鍵．由二次函數的定義可得，進而得到或，再分別求解即可．
【詳解】解：二次函數的解析式為，
，
，
或，
當時，，，
解得：，，滿足，符合題意；
當時，，，
解得：，，不滿足，不符合題意；
故答案為：；4．
12．已知二次函數，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的定義，形如（）的函數是二次函數．
【詳解】解：由題意可知：，
解得，
又∵，即，
綜上所述：
13．若函數是二次函數．
(1)求的值；
(2)當時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數的定義，函數值的計算，理解二次函數定義，函數值的計算方法是解題的關鍵．
（1）根據二次函數的定義可得，即可求解；
（2）由（1）可得二次函數解析式，把代入計算即可．
【詳解】（1）解：函數是二次函數，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：當時，二次函數解析式為，
∴當時，．
14．下列函數是不是二次函數？如果是二次函數，請分別寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】本題考查二次函數的概念，二次項系數、一次項系數、常數項的概念，解題的關鍵是掌握以上知識點．形如的函數叫做二次函數，其中叫做二次項、叫做一次項系數、是常數項．
根據二次函數的概念求解即可．
【詳解】（1）是二次函數，二次項系數是、一次項系數是2、常數項是；
（2）是二次函數，二次項系數是、一次項系數是0、常數項是；
（3）是二次函數，二次項系數是、一次項系數是1、常數項是0；
（4）∵
∴不是二次函數．
15．關于x的函數，甲說：此函數不一定是二次函數；乙說：此函數一定是二次函數，你認為誰的說法正確？為什么？
【答案】乙的說法對．理由見解析
【分析】本題考查二次函數的定義，配方法的應用．只需要判斷含x的二次項的系數是否為0即可．
【詳解】解：乙的說法對．理由如下：
對配方可得，
因為無論a取何值，，
所以，
故無論a取何值，該函數一定是二次函數．
16．當為何值時，函數是二次函數．
【答案】
【分析】根據二次函數的定義，可得，且，即可求解．
【詳解】解：是二次函數，
，解得，
又
．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次函數的定義是解題的關鍵．二次函數的定義：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數．
17．已知函數（為常數）是關于的二次函數，求的值．
【答案】
【分析】直接利用二次函數的定義即可求解．
【詳解】解：根據題意，得
，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數的定義，正確把握定義形如的式子叫二次函數是解題關鍵．
18．已知關于的函數．
(1)若該函數為二次函數，求的值；
(2)若該函數為一次函數，求的值．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本題主要考查了一次函數和二次函數的概念，熟練掌握其概念并能正確分類討論是解決此題的關鍵．
（1）根據二次函數的概念得，且，求解即可；
（2）根據一次函數的概念得且，，求解即可．
【詳解】（1）解：依題意，得，且，
解得
∴時，該函數為二次函數；
（2）解：依題意，當首項次數為1，且合并同類項后一次項系數不為零時，
且，
解得，
當首項系數為零時，，
解得和，
綜上，，和時，該函數為一次函數．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
01 二次函數
知識點1：二次函數的定義
一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常數)的函數叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）下列函數屬于二次函數的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024九年級下·全國·專題練習）下列函數一定是二次函數的是 ．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
3．（24-25九年級上·浙江衢州·階段練習）若函數是關于的二次函數，則的值為 ．
知識點2：二次函數的一般式
二次函數的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常數).
【即時訓練】
4．（24-25九年級上·浙江·階段練習）將二次函數化為一般形式后，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年級上·浙江湖州·階段練習）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次項系數與常數項的和為 ．
6．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）將二次函數化為一般形式，并指出其二次項系數、一次項系數和常數項．
知識點3：二次函數的3種特殊形式
二次函數的3種特殊形式：1)當b＝0時，
2)當c＝0時，
3)當b＝0且c＝0時，
【題型1 二次函數的概念】
1．下列函數屬于二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函數中是二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函數是二次函數的是（ ）
A． B． C． D．
4．在函數①，②，③，④中，y關于x的二次函數是 ．（填寫序號）
5．判斷下列函數是否是二次函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【題型2 列二次函數關系式】
6．若正方形的邊長為6，邊長增加，面積增加，則關于的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
7．深高小學部飼養了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為y平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設米，則y關于x的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
8．為方便市民進行垃圾分類投放，某環保公司第一個月投放1000個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為，那么與的函數關系是（ ）
A． B．
C． D．
9．某商店經銷一種學生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個元．經市場調查發現，這種雙肩包每天的銷售量（個）與銷售單價（元個）有如下關系：（，且為整數）．設這種雙肩包每天的銷售利潤為元．則與之間的函數關系式為 ．
10．有一個周長為80cm的正方形，從四個角各減去一個正方形，做成一個無蓋盒子．設這個盒子的底面面積為y cm，減去的正方形的邊長為x cm，求y與x的函數關系式.
【題型3 二次函數的二次項、一次項、常數項】
11．二次函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項分別是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
12．二次函數中，二次項系數、一次項系數、常數項分別是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
13．關于函數，下列說法中正確的是（ ）
A．二次項系數是1 B．一次項系數是9 C．常數項是 D．是關于的一次函數
14．在二次函數中，二次項系數與一次項系數的和是 ．
15．若二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則 ， ， ．
【題型4 根據二次函數的定義求參數值】
16．若函數是關于x的二次函數，則（　　）
A． B．1 C．1或 D．2
17．當二次函數的解析式為時，的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
18．已知是二次函數，則（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
19．若函數是二次函數，則的值是 ．
20．若是關于x的二次函數，則m的值為 ．
【題型5 根據二次函數的定義求參數范圍】
21．如果是二次函數，則的值為 ．
22．若是關于x的二次函數，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
23．若（x為自變量）是二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
24．如果是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．全體實數
25．若關于x的函數 是二次函數，則a 的取值范圍是 ．
【拓展訓練一 二次函數的求參問題綜合】
26．對于關于x的函數，下列說法錯誤的是( )
A．當時，該函數為正比例函數 B．當時，該函數為一次函數
C．當該函數為二次函數時，或 D．當該函數為二次函數時，
27．已知函數y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五個數中取值，則不同的二次函數的個數共有（　　　）
A．125個 B．100個 C．48個 D．10個
28．若y＝(m－1)是關于x的二次函數，則m的值是(　　)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
29．二次函數的解析式為，滿足如下四個條件：；；，，則 ， ．
30．若是關于的二次函數，則一次函數的圖象不經過第 象限．
【拓展訓練二 二次函數的應用】
31．如圖，用繩子圍矩形，記矩形相鄰的兩邊長為．
（1）若繩長為，則與的關系式為 ，是的 函數；
（2）若矩形的面積是，則與的關系式為 ，是的 函數；
（3）若矩形的周長為，矩形的面積為，則與的關系式為 ，是的 函數．
32．如圖，正三角形的邊長為1，是邊上的一點，過作邊的垂線，交于，用表示線段的長度，顯然線段的面積是線段長度的函數，這個函數的表達式是 ．
33．如圖，和是邊長分別為5和2的等邊三角形，點、、、都在直線上，固定不動，將在直線上自左向右平移．開始時，點與點重合，當點移動到與點重合時停止．設移動的距離為，兩個三角形重疊部分的面積為，請寫出與之間的函數關系式 ．
34．圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規律繼續疊放下去，則第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數m與n的解析式是 ．
35．如圖，正方形的邊長是，是上一點，是延長線上的一點，．四邊形是矩形，矩形的面積與的長的函數關系是 ．
1．下列函數解析式中，一定為二次函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函數是關于x的二次函數，則滿足條件的m的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
3．某廠今年十月份新產品的研發資金為8萬元，以后每月新產品的研發資金與上個月相比增長率都是，則該廠今年十一、十二月份新產品的研發資金w（萬元）關于x的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函數中是二次函數的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．下面兩個問題中都有兩個變量：
①矩形的周長為20，矩形的面積y與一邊長x；
②矩形的面積為20，矩形的寬y與矩形的長x．
其中變量y與變量x之間的函數關系表述正確的是（　　）
A．①是反比例函數，②是二次函數 B．①是二次函數，②是反比例函數
C．①②都是二次函數 D．①②都是反比例函數
6．用一根長的鐵絲圍成一個矩形，那么矩形的面積與它的一邊長之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
7．若函數為二次函數，則實數 ．
8．某超市有一種商品，進價為2元，據市場調查，銷售單價是13元時，平均每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若設降價后售價為元，每天利潤為元，則與之間的函數關系為 ．
9．當 時，是二次函數．
10．若函數表示是的二次函數，則的值為 ．
11．二次函數的解析式為，滿足如下四個條件：；；；．則 ， ．
12．已知二次函數，求的值．
13．若函數是二次函數．
(1)求的值；
(2)當時，求的值．
14．下列函數是不是二次函數？如果是二次函數，請分別寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．關于x的函數，甲說：此函數不一定是二次函數；乙說：此函數一定是二次函數，你認為誰的說法正確？為什么？
16．當為何值時，函數是二次函數．
17．已知函數（為常數）是關于的二次函數，求的值．
18．已知關于的函數．
(1)若該函數為二次函數，求的值；
(2)若該函數為一次函數，求的值．

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