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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
04 二次函數的性質2
知識點1： 二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數決定了拋物線與x軸的交點的個數，它們的關系如下表：
判別式 二次函數 一元二次方程 與x軸交點個數
圖像 與x軸的交點坐標 根的情況
△＞0 拋物線 與x軸交于， 兩點 一元二次方程 有兩個不相等的實數根 2個交點
△＝0 拋物線與x軸交于這一點 一元二次方程 有兩個相等的實數根 1個交點
△＜0 拋物線 與x軸無交點 一元二次方程 在實數范圍內無解（或稱無實數根） 0個交點
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）若一元二次方程有兩個不相等的實數解，則二次函數的圖象和軸的交點有 個．
【答案】2/兩
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數圖象與軸的交點，一元二次方程的解的情況是解題的關鍵．根據二次函數圖象與軸的交點，與一元二次方程的解的聯系即可解答．
【詳解】解：一元二次方程有兩個不相等的實數解，
二次函數的圖象和軸的交點有2個．
故答案為：2．
2．（2025·浙江·一模）若關于的一元二次方程的兩根分別是，，則拋物線的對稱軸是 ．
【答案】直線
【分析】本題考查拋物線與軸的交點，解題的關鍵是根據一元二次方程的解求出拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，根據拋物線與軸的交點橫坐標與一元二次方程的根之間的關系即可求出二次函數的對稱軸．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程的兩根為，，
∴二次函數與軸的兩個交點的橫坐標為分別為 1 和5．
∴拋物線的對稱軸為直線．
故答案為：直線．
3．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）若二次函數部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，則關于的一元二次方程的根為： ．

【答案】，
【分析】本題考查了二次函數的對稱性，二次函數與方程的關系，根據二次函數的對稱性求得拋物線與x軸的另一個交點，然后根據圖象即可求得時x的取值范圍．
【詳解】解：由圖象可知：拋物線與x軸交于，對稱軸為直線，
∴拋物線與x軸的另一交點為：，
∴的解為，，
故答案為：，．
知識點2：二次函數與不等式的關系
二次函數與一元二次不等式及之間的關系如下(）：
圖像 有兩個交點 有1個交點 無交點
判別式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全體實數 全體實數 無解 無解
或 無實根 或 無實根
無解 無解 或 的全體實數 全體實數
【即時訓練】
4．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）已知，當時，y的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題是二次函數圖象上的點的坐標特征，主要從圖象上看到關鍵的信息，解本題的關鍵是自變量的范圍內包括對稱軸，要特別注意．根據和時的函數值，再確定出拋物線的最低點的函數值，即可．
【詳解】解：當時，，
當時，，
而拋物線的對稱軸為時，，
故選：C．
5．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數，當時，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先化為頂點式，求得開口方向與對稱軸，進而得出最小值，根據的范圍得出時，求得函
數的最大值，進而即可求解．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，的最小值為，
∵，
∴時，取得最大值，最大值為，
∴當時，的取值范圍是
故答案為：
【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的增減性和對稱性，確定出對稱軸從而判斷出取得最大值和最小值的情況是解題的關鍵．
6．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）已知二次函數，
(1)補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象；
0 1 2 3 4
3 0
(2)當________時，隨的增大而減小；
(3)當時，的取值范圍是________；
(4)根據圖象回答：當時，的取值范圍是________．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)或
(4)
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，二次函數圖象的畫法，理解二次函數圖象的畫法是解答關鍵．
（1）補全列表，用描點法畫出函數圖象．
（2）觀察圖象來求解．
（3）觀察圖象來求解．
（4）觀察圖象來求解．
【詳解】（1）解：補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象；
0 1 2 3 4
3 0 0 3
（2）解：根據圖像可知，當時，隨的增大而減小．
故答案為：．
（3）解;根據圖像可知，當時，的取值范圍是．
故答案為：或．
（4）解：根據圖象回答：當時，的取值范圍是．
故答案為：．
【題型1 求拋物線與x軸的交點坐標】
1．拋物線與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標為，則點B的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查拋物線與x軸的交點問題，求拋物線與x軸的交點只需令解方程即可．
將點A的坐標為代入得：，然后代入解析式，求出時x的值即可得．
【詳解】解：將點A的坐標為代入得：
∴，
令，則有：，即
解得，，，
∴點B的坐標是，
故選：D．
2．拋物線與x軸的兩個交點分別為（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數和一元二次方程的關系，理解掌握兩者的實質關系是解本題的關鍵．求出一元二次方程的兩個根，，即可得出拋物線與x軸的兩個交點，．
【詳解】解：令，
即，
解得一元二次方程的根為：，；
則拋物線與x軸的兩個交點分別為和；
故答案選：A．
3．拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】先求出函數圖像與x軸交點的坐標，進而即可求解．
【詳解】解：當時，，
解得：，，
∴拋物線與x軸的交點坐標為和，
∴拋物線與x軸的兩個交點之間的距離：，
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，解一元二次方程；正確理解題意，求出拋物線與x軸交點坐標是解題的關鍵．
4．已知二次函數的圖象與軸的一個交點為，則它與軸的另一個交點的坐標是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了拋物線與x軸的交點和函數圖像上點的坐標的特征，熟練掌握二次函數與坐標軸的交點、二次函數的對稱軸為是解題的關鍵．
【詳解】解：解：函數的對稱軸，則與x軸的另一個交點的坐標為，
故答案為：．
5．已知二次函數的圖象經過點．
(1)求的值；
(2)求二次函數圖象與軸的交點坐標．
【答案】(1)
(2)二次函數圖象與軸的交點坐標為
【分析】本題主要考查待定系數法求解析式，二次與坐標軸的交點，掌握以上知識及其計算是關鍵．
（1）把點代入計算即可求解；
（2）二次函數，令，解一元二次方程即可．
【詳解】（1）解：∵此函數的圖象經過點，
∴將代入，
∴；
（2）解：二次函數，令，則有，
解得，
故二次函數圖象與x軸的交點坐標為．
【題型2 求拋物線與y軸的交點坐標】
6．拋物線與軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點，令，求出的值即可，掌握軸上點的坐標特點是解題的關鍵．
【詳解】解：由得，當時，，
∴與軸的交點坐標是，
故選：．
7．二次函數的圖象與y軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，代入求值是關鍵．根據二次函數圖象上點的坐標特征解答即可．
【詳解】解：當時，．
∴二次函數的圖象與y軸的交點坐標是．
故選：B．
8．拋物線與軸交于點，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了拋物線與坐標的交點，理解拋物線與坐標軸的交點坐標特征是解題關鍵．
根據拋物線與與軸交于點，得到點的橫坐標為0，代入拋物線解析中進行計算求解．
【詳解】解：拋物線與軸交于點，
，
．
故答案為：．
9．已知二次函數．
（1）求拋物線開口方向及對稱軸．
（2）寫出拋物線與y軸的交點坐標．
【答案】（1）開口向上，直線；（2）
【分析】（1）根據二次函數的頂點式進行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【詳解】（1）∵，
∴拋物線開口向上，
∵=，
∴對稱軸是直線；
（2）∵，
∴，
∴與y軸交點坐標是．
【點睛】本題考查的是二次函數的性質，熟知二次函數的頂點式是解答此題的關鍵．
10．已知拋物線與軸的兩個交點為（在的左側），與軸交于點.
（1）直接寫出點，，的坐標；
（2）求的面積.
【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）；（2）24
【分析】（1）在拋物線的解析式中，當x=0時，可求出點C的坐標；當y=0時，能求出A、B點的坐標；
（2）利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．
【詳解】解：（1）∵令x=0得y=-8，
∴C（0，-8），
∵令y=0得：
x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴A（-2，0）、B（4，0）；
（2）∵A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8），
∴AB=4-（-2）=6，OC=8，
∴．
【點睛】本題考查拋物線與坐標軸交點坐標的求法、三角形的面積以及解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．
【題型3 已知二次函數的函數值求自變量的值】
11．二次函數的函數值是8，那么對應的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
【答案】D
【分析】本題考查了求二次函數的自變量，因式分解法解一元二次方程．熟練掌握求二次函數的自變量，因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．
由題意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：由題意得，，
，
，
解得，或，
故選：D．
12．已知二次函數，當y＝0時，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
【答案】B
【分析】此題考查了拋物線與軸的交點，列出關于的方程是解本題的關鍵．令得到關于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
【詳解】解：令，得到，
即，
解得：或6．
故選：B
13．關于x的二次函數，當 時，y的值為0；當 時，y的值等于9．
【答案】 3 0或6
【分析】令即可得到關于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到關于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【詳解】解：∵當的函數值為0，
∴，
解得，
當的函數值為9，
∴，
解得，，
故答案為：3；0或6．
【點睛】本題考查了二次函數與一元二次方程，根據函數值得到關于x的一元二次方程，求出x的值是解答此題的關鍵．
14．拋物線圖象如圖所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根為 ；
（2）方程的根為 ；
（3）方程的根為 ；
【答案】 ， ，
【分析】（1）根據圖象，利用拋物線與x軸交點的橫坐標是方程的根求解即可；
（2）根據圖象，利用拋物線與直線交點的橫坐標是方程的根求解即可；
（3）根據圖象，利用拋物線與直線交點的橫坐標是方程的根求解即可．
【詳解】（1）解：由圖象可得：拋物線與x軸的兩個交點為，
∴方程的根為，，
故答案為：，；
（2）解：由圖象可得：拋物線與直線的兩個交點為，
∴方程的根為，，
故答案為：，；
（3）解：由圖象可得：拋物線與直線的一個交點為，
∴方程的根為，
故答案為：．
【點睛】本題考查利用圖象法求一元二次方程的根，熟練掌握方程的根為拋物線與x軸交點的橫坐標，方程的根為拋物線與直線交點的橫坐標是解題的關鍵．
15．已知拋物線經過點．
(1)求拋物線的函數表達式，并判斷點是否在該拋物線上．
(2)若點在該拋物線上，求m的值．
【答案】(1)，在
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、已知二次函數的函數值求自變量的值，注意計算的準確性即可．
（1）將點代入拋物線即可求得解析式，將點 代入拋物線即可判斷點是否在拋物線上；
（2）求解方程即可；
【詳解】（1）解：將點代入拋物線中得：，
所以拋物線的函數表達式為：，
將點 代入拋物線中得：，
∴點在該拋物線上；
（2）解：將點代入拋物線中得：
，
解得：.
【題型4 拋物線與x軸的交點問題】
16．已知二次函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的定義、二次函數與一元二次方程，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據二次函數的定義得到，由二次函數的圖象與軸有交點，利用求出的取值范圍即可．
【詳解】解：二次函數，
，即，
二次函數的圖象與軸有交點，
，
解得：，
綜上所述，的取值范圍是且．
故選：D．
17．若二次函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，
根據拋物線的圖象與x軸有兩個不同的交點，可知一元二次方程有兩個不相等的實數根，可得，再求出解集即可．
【詳解】解：∵拋物線的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，
即，
解得．
故選：B．
18．已知二次函數的圖象與軸的一個交點是，頂點在第三象限，設，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象與坐標軸的交點問題，二次函數的圖象與性質，涉及解一元一次不等式組，不等式的性質等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
先根據二次函數的圖象與軸的一個交點是，得到，繼而表示出頂點坐標，根據頂點在第三象限，得到不等式，求出的取值范圍，再根據不等式的性質即可求解的取值范圍．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與軸的一個交點是，
∴，
∴，
∴，
∴頂點為：，即，
∵頂點在第三象限，
∴，
則或，
∴，
∴恒成立，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
19．已知二次函數．
(1)若該函數圖象與軸有兩個不同交點，求范圍．
(2)若，求當時，該函數的范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，與與軸的交點問題，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據二次函數與軸有兩個不同交點，則，代入數值計算，即可作答．
（2）先由得，分析函數的圖象性質得開口向上，在對稱軸處，有最小值，即，再結合，即可作答．
【詳解】（1）解：∵二次函數與軸有兩個不同交點，
∴，
解得；
（2）解：依題意，把代入，
得，
∴對稱軸為直線，
∵，
∴開口向上，
在對稱軸處，有最小值，即，
把代入，
把代入，
∴當時，該函數的范圍為．
20．已知拋物線．若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍．
【答案】
【分析】本題考查二次函數與坐標軸交點問題，解題的關鍵是熟練掌握拋物線與x軸有兩個交點判別式大于0．
根據拋物線與x軸有兩個交點，判別式大于0列不等式求解即可得到答案．
【詳解】解：∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
解得：．
【題型5 根據二次函數圖象確定相應方程根的情況】
21．如圖，二次函數的圖象與軸相交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．
B．對稱軸為直線
C．關于的方程有兩個不相等的實數根
D．
【答案】C
【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質，根據圖形開口，對稱軸的知識即可求解，掌握二次函數圖象的性質，對稱軸的計算方法是解題的關鍵．
【詳解】解：根據圖形得：拋物線與y軸交于負半軸，
∴，故A選項錯誤，不符合題意；
∵圖象與軸相交于，兩點，
∴對稱軸為直線，故B選項錯誤，不符合題意；
∵拋物線開口向上，且頂點坐標位于y軸的下方，
∴拋物線與直線有兩個交點，
∴關于的方程有兩個不相等的實數根，故C選項錯誤，符合題意；
∵對稱軸為直線，
∴，即，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：C
22．已知二次函數的頂點為，那么關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點情況，根據二次函數圖象的平移、二次函數與一元二次方程的聯系即可得．
【詳解】解：二次函數的頂點為，
∴的頂點為，
∵，
∴函數開口向上，
∴有2個不相等的實數根．
故選：A．
23．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，則關于的方程的解為 ．
【答案】，
【分析】本題考查拋物線與一次函數的交點、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用圖象法解決實際問題，利用圖象法即可解決問題，方程的解就是兩個函數圖象的交點的橫坐標．
【詳解】解：由圖象可知，關于x的方程的解，就是拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，的橫坐標，
即，．
故答案為：，．
24．已知二次函數的部分圖象如圖，則關于x的一元二次方程的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是關于二次函數與一元二次方程，根據圖象可知，二次函數的部分圖象經過點，對稱軸為直線，根據對稱性求得另一個解，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數的部分圖象經過點，對稱軸為直線，
∴二次函數經過點
∴關于x的一元二次方程的解為，
故答案為：．
25．已知拋物線經過點，且．
(1)求拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示）；
(2)證明：直線與該拋物線有兩個不同的交點．
【答案】(1)拋物線頂點的坐標為
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了求二次函數關系式，二次函數與一元二次方程的關系，
（1）將點M的坐標代入關系式，用含有a的代數式表示b，再配方得出頂點式，可得答案；
（2）將兩個函數關系式聯立得出一元二次方程，再求出根的判別式，根據結果分析得出答案．
【詳解】（1）解：拋物線過點，
∴，
解得，
∴，
拋物線頂點的坐標為；
（2）證明：聯立直線與拋物線解析式，
得，
即：，
可得，
∴，
由（1）知，且，
，
，
∴直線與該拋物線有兩個不同的交點．
【題型6 求x軸與拋物線的截線長】
26．如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為
C．，兩點之間的距離為 D．當時，的值隨值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系數法求得二次函數解析式，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸交于，兩點，
∴
∴
∴二次函數解析式為，對稱軸為直線，頂點坐標為，故A，B選項不正確，不符合題意；
∵，拋物線開口向上，當時，的值隨值的增大而減小，故D選項不正確，不符合題意；
當時，
即
∴，
∴，故C選項正確，符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，拋物線與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
27．在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象沿軸向下平移個單位后，所得函數圖象與軸的兩個交點之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出拋物線平移后的解析式可得拋物線與軸的交點坐標，進而求解．
【詳解】解：將二次函數的圖象沿軸向下平移個單位后所得的函數解析式為，即為，
此拋物線與軸的兩個交點坐標為，，
則此拋物線與軸的兩個交點之間的距離為，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的平移規律和二次函數的交點式是解題關鍵．
28．拋物線y＝﹣x2＋2x＋6在直線y＝﹣9上截得的線段長度為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】求得拋物線與直線的交點坐標后即可求得截得的線段的長．
【詳解】解：由題意得：，
解得：x＝ 3或x＝5，
故在直線y＝ 9上截得的線段的長為5 （ 3）＝8，
故選：C．
【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點，要熟悉二次函數與一元二次方程的關系．
29．如果拋物線與直線交于A、B兩點，則點A與點B兩點之間的距離 ．
【答案】6
【分析】本題考查了拋物線與直線交點間距離計算，熟練掌握解方程組是解題的關鍵．聯立拋物線表達式和直線表達式得到方程組，解出兩個交點為，繼而即可求解．
【詳解】解：由題意得，
解得：或，
∴拋物線與直線的兩個交點為，
∴，
故答案為：6．
30．在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，若拋物線與軸相交于，兩點，則 ． ．
【答案】 4
【分析】本題考查了二次函數的性質，二次函數與坐標軸的交點問題，先求得解析式，進而求得的值，令，進而得出的長．
【詳解】解：∵中，，頂點坐標為，
∴拋物線解析式為，則，
令，則，
解得：
∴,
故答案為：，．
【題型7 圖象法確定一元二次方程的近似根】
31．已知二次函數中部分和的值如下表所示：
則方程的一個較大的根的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數的性質、圖象法確定一元二次方程的近似根等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
先求得對稱軸為直線，再根據表格數據得的較小的根的范圍為，最后根據二次函數圖象的對稱性即可解答．
【詳解】解：由表格數據可得：
∵函數的對稱軸為直線，
當時，；當時，；
∴的較小的根的范圍為，
∴的較大的根的范圍是．
故選：C．
32．下表給出了二次函數中的部分對應值，可以估計方程的一個解的取值范圍是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了利用二次函數求一元二次方程的解，根據表中的數據可知當時，，當時，，可知當時，對應的值的取值范圍是．
【詳解】解：從表中可以看出：
當時，，
當時，，
當時，對應的值的取值范圍是．
故選：C ．
33．二次函數的自變量與函數值的部分對應值如下表所示，根據表中數據判斷方程（，，，為常數）的正數解的取值范圍可能是（ ）
… … 3 4 …
… 3.25 1 … …
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可發現y的值在間最接近0，再看對應的正整數x的值即可．
【詳解】解：由表格可發現y的值在最接近0，
時，對應的x就是方程的解，
∴正數解的取值范圍可能是．
故選：D．
34．已知二次函數的變量的部分對應值如表：
… 0 1 …
… 13 6 1 …
根據表中信息，可得一元二次方程的一個近似解的范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了圖像法求一元二次方程的近似解，根據表格中的數據計算即可．
【詳解】解：根據表格中的數據可知：當時，且當時，
一元二次方程的一個近似解的范圍是
故答案為：．
35．根據表格寫出一元二次方程小于0的近似解 ．（精確到小數點后一位）
x
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的近似解．從表格中獲取正確的信息是解題的關鍵．
由表格可知，當是，與最接近，然后作答即可．
【詳解】解：由表格可知，當是，與最接近，
∴一元二次方程小于0的近似解，
故答案為：．
【題型8 圖象法解一元二次不等式】
36．已知二次函數的部分圖象如圖所示，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題；求時，的取值范圍，就是二次函數的圖象在軸下方時對應的的范圍．
【詳解】根據圖象可得，，則的取值范圍是，
故選：B．
37．二次函數的部分圖象如圖，當時，的取值范圍為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，根據圖象可得對稱軸為直線，則另一個交點為，進而根據，寫出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：依題意，拋物線的對稱軸為直線，與軸的交點為和，拋物線開口向下，
當時，圖象在軸的下方，
∴或，
故選：C．
38．如圖，拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，當時，x的取值范圍是（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據對稱性求出函數與軸的另一個交點坐標，圖象法確定解集即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
由圖象可知，當時，圖象在軸的上方，即，
∴當時，x的取值范圍是；
故選B．
【點睛】本題考查圖象法求不等式的解集．解題的關鍵是利用拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標．
39．如圖，二次函數（，，為常數，）的圖像與軸交于點，頂點坐標為，則不等式的解集為 ．
【答案】/
【分析】本題考查二次函數的性質、圖象法求不等式的解集．根據二次函數圖象的對稱性，求出拋物線與x軸的另一個交點，找到圖象在x軸上方時的自變量的取值范圍即可．
【詳解】解：∵二次函數的頂點坐標為，
∴對稱軸為直線，
又∵該函數的圖像與軸交于點，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為：，
由圖象可知：當時，，
∴不等式的解集為，
故答案為：．
40．對于拋物線．
(1)將拋物線的解析式化為頂點式；
(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
x … …
y … …
(3)結合圖象，當時，x的取值范圍______．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題主要考查了二次函數一般式轉化為頂點式，畫二次函數圖象，根據函數圖象求不等式的解集，解題的關鍵是熟練掌握描點法畫函數圖象的方法．
（1）根據配方法，將拋物線的一般式化為頂點式即可；
（2）先列表，然后再描點，最后連線畫出函數圖象即可；
（3）由函數圖象得出當時，，從而得出不等式的解集．
【詳解】（1）解：．
（2）解：列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 0 3 …
函數圖象如圖所示：
（3）解：根據函數圖象可知：當時，，
∴不等式的解集為．
【題型9 利用不等式求自變量或函數值的范圍】
41．已知，當時，y的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題是二次函數圖象上的點的坐標特征，主要從圖象上看到關鍵的信息，解本題的關鍵是自變量的范圍內包括對稱軸，要特別注意．根據和時的函數值，再確定出拋物線的最低點的函數值，即可．
【詳解】解：當時，，
當時，，
而拋物線的對稱軸為時，，
故選：C．
42．二次函數的圖象如圖所示，則函數值時，的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根此題考查了二次函數的圖象，據，則函數圖象在軸的下方，所以找出函數圖象在軸下方的的取值范圍即可，利用了數形結合的思想，準確識圖是解題的關鍵．
【詳解】由圖象可知，當時，函數圖象在軸的下方，，
故選：．
43．已知二次函數與x軸沒有交點，則b的取值可以是 ．（寫出一個符合題意的值即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，一元二次方程根的判別式．熟練掌握二次函數與一元二次方程的關系，一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
由拋物線與x軸沒有交點，可知無實數根，即，然后解不等式，在此范圍內取一個值即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，
∴無實數根，
∴，
解得：，
b的值可以是1，
故答案為：1（答案不唯一）．
44．已知，則當時，的取值范圍是
【答案】/
【分析】先化為頂點式，根據開口方向以及頂點坐標求得最大值為1，拋物線的對稱軸可得，當時取得最小值，即可求解．
【詳解】解：∵
∴拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，開口向下，
∴當時，有最大值，最大值為1
當時，當時，取得最小值，最小值為，
∴當時，的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握是二次函數的性質解題的關鍵．
45．已知二次函數．
(1)用你喜歡的方法將化成的形式．
(2)用列表描點法，在如圖所示的坐標系中畫出這個二次函數的圖象；
______ ______ ______ ______ ______ …
(3)當時，的取值范圍為______．
【答案】(1)
(2)圖象見詳解
(3)
【分析】本題主要考查的是拋物線解析式的轉化，描點法畫二次函數圖象，求函數值的取值范圍等知識點，解題的關鍵是熟悉函數圖象的特征和描點法．
（1）利用配方法把二次函數解析式配成頂點式；
（2）利用描點法畫出二次函數圖象；
（3）利用二次函數的圖象和解析式進行求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：列表如下
在坐標系中畫以下點的坐標
用一條平滑的曲線將五個點連接，如下圖
（3）解：根據二次函數圖象的性質可得，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，
∴當時，，
當時，，
當時，，
∴當時，的取值范圍為．
【題型10 根據交點確定不等式的解集】
46．拋物線與直線相交于點和點.則當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】此題考查二次函數與不等式．先求得拋物線與直線的解析式，聯立求得點的坐標，再根據時，即為拋物線在直線下方，根據圖象得出取值范圍即可．
【詳解】解：∵直線經過點，
∴，解得，
∴直線，
∵拋物線經過點，
∴，解得，
∴拋物線，
聯立得，
解得或，
當時，，
∴，
∴拋物線與直線相交于點和點兩點，
∴當時，，
故選：B．
47．已知二次函數與一次函數的圖象交于兩點，這兩點的橫坐標分別為和，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數與不等式之間的關系，根據函數圖象找到二次函數圖象在一次函數圖象上方，二者交點處時自變量的取值范圍即可得到答案，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由二次函數與一次函數，
可得圖象如圖，
根據圖象可知：當時，，即，
故選：．
48．如圖，過點且平行于軸的直線與二次函數圖象的交點坐標為，，則不等式的解集為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數與一元二次不等式，根據二次函數的圖象與直線的交點坐標即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：∵直線過點且平行于軸，
∴直線，
∵直線與二次函數圖象的交點坐標為，，且，即，
∴或，
故答案為：或．
49．函數的圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：

(1)方程的兩個根為 ；
(2)當時，則x的取值范圍為 ；當時，則變量y的取值范圍為 ；
(3)若方程有實數根，則k的取值范圍是 ．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本題考查了二次函數與軸的交點問題，二次函數的圖象與性質，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
（1）根據函數圖象即可得出答案；
（2）根據函數圖象結合當時，，即可得出答案；
（3）根據函數圖象即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖象可得：方程的兩個根為．
故答案為：；
（2）解：由圖象可得：當時，則的取值范圍為，
∵，
∴當時，，
∴當時，自變量的取值范．
故答案為：；；
（3）解：由圖象可得：若方程有實數根，取值范圍是．
故答案為：．
50．一個二次函數圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象；
(3)當函數值時，對應的x的取值范圍是 ；
(4)當時，直接寫出y的取值范圍．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
(4)
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了二次函數的圖象和性質．
（1）設交點式，然后把代入求出得到拋物線解析式；
（2）利用描點法畫函數圖象；
（3）結合函數圖象，根據二次函數圖象在軸下方部分寫出對應的自變量的范圍；
（4）結合函數圖象，根據二次函數的性質寫出對應的函數值的范圍．
【詳解】（1）解：由表格知：當時，；當時，；
設 ，
將代入得，
解得，
∴拋物線解析式為，
即；
（2）解：∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
如圖，
（3）解：當函數值時，對應的x的取值范圍；
故答案為：；
（4）解：時，，
當時，y的取值范圍是．
【拓展訓練一 根據二次函數與坐標軸交點問題求參】
51．當時，二次函數與x軸有且只有一個交點，則c的取值為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，與軸的交點問題，解題的關鍵在于分類討論，在于臨界位置的分析．
分類討論，當拋物線的頂點在軸上時，則，由可求出；再分別求出拋物線經過的值，注意等號的取舍問題即可．
【詳解】解：當拋物線的頂點在軸上時，如圖：
令，則，
∴，
解得：；
當拋物線經過時，如圖：
將代入
得，
解得：，
當拋物線經過時，如圖：
將代入
得，
解得：，
∵當時，二次函數與x軸有且只有一個交點，
∴，
綜上：或，
故選：D．
52．定義：若二次函數的圖象上有一點的橫坐標與縱坐標相等，則稱這個點是這個函數的不動點．比如，函數圖象上的點，都是的不動點，若函數在的范圍內總有兩個不同的不動點，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數與一次函數的圖象性質，函數圖象的交點問題，函數與方程的關系，本題恰當地運用轉化思想是解題關鍵．由不動點的定義可令，即求在內函數與函數有兩個不同交點，即，整理后即可轉化為與在內有兩個不同交點的問題，又恒過點，畫出兩個函數與的圖象，分類討論即可得到答案．
【詳解】解：由不動點的定義可令，
即求在內函數與函數有兩個不同交點，
，
①，
即可轉化為與在內有兩個不同交點，
又恒過點，
畫出兩個函數與的圖象如圖所示，
當過點時，，可得，此時符合題意，
對①方程整理可得，令△，
即，從而可得，
解得：，又此時，
故．
當時，無法滿足題意，即與在內不能產生兩個交點．
故的范圍為．
故選：D．
53．拋物線與軸兩個公共點的橫坐標分別為，，且．若b，c為整數，則的可能取值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象與軸交點問題，一元二次方程根與系數的關系，難度較大，確定，的取值范圍是解題的關鍵．
由已知，方程有兩實根s,t，那么，得到，則，則．由，得．又，即可求解得，再分類討論即可．
【詳解】解：由已知，方程有兩實根s,t．
則．
．
則．
．
由，得．
又．
，
．
整數．
當時，．
整數．
則．
當時，
，
整數．
則．
當時，，
∴無整數滿足．
綜上，,0,1,2．
故答案為：
54．已知點A、B的坐標分別為，若二次函數的圖象與線段恰有一個公共點，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了一次函數與二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求函數解析式，拋物線與直線的交點問題，解題的關鍵在于分類討論，找出臨界位置分析．
先求出直線表達式為，當當拋物線與線段相切時，聯立兩個函數解析式，根據求出此時的值，再求出恰好經過點時的值，即可求出符合題意的取值范圍．
【詳解】解：當，
∴二次函數的圖象與軸交于點，
故不經過點，
設直線表達式為：，
則，
解得：，
所以直線表達式為，
①當拋物線與線段相切時，如圖：
∴，
整理得，，
則
解得：或，
當，切點在線段延長線上，故不符合題意，
當拋物線經過點時，此時與線段有兩個交點，如圖：
將代入得，，
解得：，
當時，符合題意，如圖：
綜上：a的取值范圍是或，
故答案為：或．
55．已知關于的方程有兩個不同的實數根，則的取值范圍
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數與一次函數的交點問題，把方程的解的問題轉化為圖象的交點問題是解題的關鍵．
作出和的圖象，再根據圖象判斷的范圍即可．
【詳解】解：∵關于的方程有兩個不同的實數根，
∴和的圖象有兩個交點，
如圖，當經過點左面和之間時，和的圖象有兩個交點，
當經過點時，于相切于點，
令，整理得：，
∵和有一個交點，
∴，解得，
∴當時，和的圖象有兩個交點；
令，
∴與軸交于1，5兩點，即，，
當經過時，，解得，
當經過時，，解得，
∴當時，和的圖象有兩個交點；
綜上所述，當或時，的方程有兩個不同的實數根，
故答案為：或．
【拓展訓練二 利用二次函數圖象確定方程、不等式的解】
56．已知二次函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】本題二次函數的圖象與性質、二次函數與不等式、二次函數圖象與x軸的交點問題，理解并靈活運用相關知識是解答的關鍵．先構造差函數，再根據二次函數圖象與性質，以及對應圖象與x軸的交點問題求解即可．
【詳解】解：設函數，
要使，只需恒成立，
當即時，函數是一次函數，顯然不恒成立，
當即時，二次函數y的圖象開口向下，
∴不恒成立，故選項C、D不符合題意；
∴只需，且恒成立，
當時，滿足，但b值不確定，當b很大時，可能大于0，故選項A不符合題意；
當時，滿足，，
∴恒成立，故選項B符合題意，
故選：B．
57．二次函數（是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：有下列結論：（ ）
①；②是方程的一個根；③當時，的值隨值的增大而減小；④當時，，其中正確結論的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程，二次函數與不等式，由表中數據可得隨的增大先增大后減小，即可得到，再由，得到，即可判斷①；由，得到，即可判斷②；根據表格可得對稱軸為，再結合開口方向即可判斷③；由，得，再根據，，可得二次函數與軸的交點坐標為和，結合二次函數開口向下，即可判斷④；掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：①由表中數據可得，隨的增大先增大后減小，
∴二次函數開口向下，
∴，
又∵時，，
∴，
∴，故①正確；
②∵時，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ 是方程的一個根，故②正確；
③∵二次函數開口向下，且對稱軸為，
∴當時，的值隨值的增大而減小；當時，的值隨值的增大而增大，故③錯誤；
④∵時，，
∴時，，
∵時，，
即可得二次函數與軸的交點坐標為和，
∵二次函數開口向下，
∴當時，，故④正確；
綜上，正確的結論有個，
故選：．
58．已知直線經過拋物線的頂點，且當時，，則當時，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是二次函數與不等式，涉及到二次函數和一次函數的性質，由直線經過拋物線的頂點得到，，結合當時，，得到拋物線和直線的大致圖象，進而求解．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，
將代入并整理得：，
∴，
∵當 時，，
∴，
∴函數圖象大致如下：
結合函數圖象知，當時，x的取值范圍是：，
故答案為：．
59．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的兩倍，則稱這個點為“縱兩倍點”．若二次函數在的圖象上存在兩個“縱兩倍點”，則c的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，直線與拋物線的交點問題，正確理解題意，利用轉化思想是解題的關鍵．
由題意得“縱兩倍點”在直線上，即問題化為直線與拋物線在時有兩個交點，找出兩個臨界狀態即可求解．
【詳解】解：由題意得“縱兩倍點”在直線上，
即問題化為直線與拋物線在時有兩個交點，
記交點為，直線與直線交點記為，
當點A與點C重合時，如圖：
將代入得：，
解得：，此時符合題意；
當時，如圖，
當直線與拋物線只有一個交點時，
聯立直線與拋物線，
得，
∴
則，
解得：，
∴要滿足存在兩個“縱兩倍點”， ，
故答案為：．
60．已知拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B．
(1)求該拋物線的函數表達式及對稱軸．
(2)①在如圖所示的平面直角坐標系中，先描出該二次函數圖象上的三個點，再畫出該二次函數的圖象；
②在同一坐標系中畫出直線，并根據圖象直接寫出關于x的不等式的解集．
(3)若關于x的一元二次方程在的范圍內有實數根，請結合圖象直接寫出t的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)①詳見解析；②或
(3)
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，畫二次函數的圖象，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
（1）利用待定系數法求二次函數解析式即可，利用二次函數的性質即可得出對稱軸；
（2）①利用描點法畫出函數圖象即可；②畫出直線的圖象，結合圖象即可得解；
（3）根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：把點代入，得，
解得．
∴該拋物線的函數表達式為．
∴對稱軸為直線；
（2）解：①描點，畫出二次函數的圖象如解圖所示．
②畫出直線如解圖所示．
由圖象可得：出關于x的不等式的解集為或；
（3）解：∵一元二次方程在的范圍內有實數根，
∴在的范圍內，拋物線與直線有交點．
∵拋物線的對稱軸為直線，開口向上，
∴拋物線在時取得最小值．
當時，，當時，．
∴當時，．
∴t的取值范圍為．
【拓展訓練三 含絕對值的二次函數求解】
61．我們規定形如的函數叫做“元寶型函數”．已知函數是一個“元寶型函數”，給出以下結論：①圖象關于直線對稱；②關于的不等式的解是或；③當時，關于的方程有三個實數解；④當時函數的值隨值的增大而減小．其中正確的結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查二次函數與一元二次方程、不等式（組）關系、二次函數的圖象性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
由圖象可知，圖象關于直線對稱，可判斷①；關于x的不等式的解是且，可判斷②；結合圖象可得，當時，函數的圖象與直線有四個交點，當時，函數的圖象與直線有兩個交點，當時，函數的圖象與直線沒有交點，即當時，關于x的方程|有四個實數解，可判斷③；由圖象可知：當時，函數的y值隨x值的增大而減小，可判斷④．
【詳解】解：由圖象可知，函數圖象與x軸交于和兩點，
∴圖象關于直線對稱，
故①正確；
由圖象可知，關于x的不等式的解是且，
故②不正確；
將代入，得，
∴當時，函數的圖象與直線有四個交點，當時，函數的圖象與直線有兩個交點，當時，函數的圖象與直線沒有交點，
∴當時，關于x的方程有四個實數解，當時，關于x的方程有兩個實數解，當時，關于x的方程沒有實數解，
故③不正確；
由圖象可知，當時，函數的y值隨x值的增大而減小； 當時，函數的y值隨x值的增大而增大；當時，函數的y值隨x值的增大而減小；當時，函數的y值隨x值的增大而增大；
故④正確．
∴正確的有①④共2個．
故選：B．
62．在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點．
(1) ；
(2)求證：不論為何值，該函數的圖象與軸沒有公共點；
(3)若點也是拋物線上的點，記拋物線在之間的部分為圖象（包括兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，則的取值范圍為 ．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)或
【分析】（1）先根據拋物線的解析式求出的值，從而可得點的坐標，再利用兩點之間的距離公式計算即可得；
（2）根據一元二次方程根的判別式可得關于的一元二次方程沒有實數根，由此即可得證；
（3）先求出，，再設點關于對稱軸的對稱點為點，則，分兩種情況：①和②，得出點的縱坐標的最大值與最小值，建立不等式，利用二次函數的性質求解即可得．
【詳解】（1）解：將代入得：，
將代入得：，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）證明：∵關于的一元二次方程的根的判別式為
，
∴這個一元二次方程沒有實數根，
∴不論為何值，函數的圖象與軸沒有公共點．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
將點代入得：，
∴，
二次函數化成頂點式為，
∴其對稱軸為直線，頂點坐標為，
設點關于對稱軸的對稱點為點，則，
∴拋物線在之間的部分上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為．
則分以下兩種情況：
①如圖，當點在點左側時，，即，
此時在圖形內，隨的增大而減小，
∴點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，
∴，即，
令，則當時，，解得或，
∴二次函數與軸的交點坐標為和，拋物線的開口向上，其對稱軸為直線，
∴不等式的解集為或（不符合題設，舍去），
∴此時的取值范圍是；
②如圖，當點在點右側時，，即，
此時在圖形內，點的縱坐標最大，頂點的縱坐標最小，
∴，即，
令，則當時，，解得或，
∴二次函數與軸的交點坐標為和，拋物線的開口向上，其對稱軸為直線，
∴不等式的解集為或（不符合題設，舍去），
∴此時的取值范圍是；
綜上，的取值范圍是或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、兩點之間的距離公式、利用二次函數解不等式，二次函數與一元二次方程等知識，難度較大，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．
63．材料一：對于任意的實數a，其絕對值都是一個非負數，即 同理，對于任意關于 x 的絕對值函數都有 例如
材料二：數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在函數學習中，常應用函數圖象解決代數問題．例如關于的不等式，可解讀為函數的圖象不高于函數的圖象，不等式的解集則可理解為該部分圖象上所有點的橫坐標所構成的取值范圍，通過圖象(如圖)，可得該不等式的解集為
　　　
根據材料完成下列題目：
(1)認真閱讀材料一，解關于x的方程： ，要求寫出解答過程．
(2)認真閱讀材料二，仿照該方法解關于x的不等式： 請完善下列解答思路：
步驟 1：利用數形結合思想不等式可理解為：函數 的圖象不低于函數 的圖象．
步驟2：在方格紙中畫出圖象．
步驟3：解出交點坐標，觀察圖象，并得出不等式的解集為 ．
(3)若關于x的不等式有解，請直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)或或
(2)步驟 1：；；步驟2：見解析；步驟3：
(3)
【分析】（1）根據絕對值的意義，分情況討論，解方程，即可求解；
（2）根據材料二，可得即為函數的圖象不高于函數與的圖象，畫出函數圖象，根據函數圖象即可求解；
（3）先去絕對值得出，進而畫出函數圖象，得出函數的圖象不高于的函數圖象部分的自變量的取值范圍即為不等式的解，觀察圖象可得，當與只有1個交點時，則，則方程即有兩個相等的實數根，進而求得，觀察函數圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：
當時，即時，，
解得：
當時，即時，，
解得：或
（2）步驟 1：利用數形結合思想不等式可理解為：函數的圖象不低于函數的圖象
步驟2：在方格紙中畫出函數，的圖象，如圖所示．
步驟3：當時，即時，，
解得：（舍去）或
當時，
∴交點坐標為，
當時，即時，，此方程無解；
觀察圖象，得出不等式的解集為
（3）當時，，
當時，
∵時，
又，
∴的解集為或
則的解集為
∴當時，
當時，
同理可得時，
當時，，
∴
∵
∴函數的圖象不高于的函數圖象部分的自變量的取值范圍即為不等式的解，
當時，如圖所示，
觀察圖象可得，當與只有1個交點時，則，
則方程，即有兩個相等的實數根，
∴
解得：，
∴時，觀察函數圖象可得
【點睛】本題考查了解一元二次方程，絕對值的意義，一次函數與反比例函數交點問題，一次函數與二次函數交點問題，二次函數的平移，根據函數圖象,解決不等式問題是解題的關鍵．
【拓展訓練四 二次函數與方程、不等式結合的新定義問題】
64．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“縱三倍點”．已知二次函數（為常數）
(1)若是該二次函數上的一點，
①也是該二次函數上的一點，則______“縱三倍點”（填“是”、“不是”）．
②求出該二次函數上的“縱三倍點”
(2)若該二次函數在的圖象上存在兩個縱三倍點，則的取值范圍是______．
【答案】(1)①不是；②或
(2)
【分析】（1）①待定系數法求得，進而將代入求得，根據定義即可求解；
②設是上的一點，解方程，即可求解；
（2）由題意得，三倍點所在的直線為，根據二次函數的圖象上存在兩個縱三倍點，轉化為和存在兩個交點，求，再根據和時兩個函數值大小即可求出．
【詳解】（1）解：∵是上的一點，
∴
∴
∵也是該二次函數上的一點，
∴，而
∴不是“縱三倍點”
故答案為：不是．
②設是上的一點，
則
解得：或
∴或是該二次函數上的“縱三倍點”
（2）解：由題意得，三倍點所在的直線為，
在的范圍內，二次函數的圖象上存在兩個縱三倍點，
即在的范圍內，二次函數和存在兩個交點，
令,整理得，，
則，解得，
把代入得，代入得，
∴，解得；
把代入得，代入得，
∴，解得，
綜上，的取值范圍為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與一次函數的交點問題，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
65．新定義：我們把拋物線與拋物線其中稱為“關聯拋物線”．例如：拋物線的“關聯拋物線”為．已知拋物線的“關聯拋物線”為．
(1)寫出拋物線的函數表達式（用含的式子表示）　　，頂點坐標為 　　．
(2)對于和，當時，求的取值范圍．
(3)若，當時，的最大值與最小值的差為，求的值．
【答案】(1)；
(2)當時，或；當時，
(3)的值為或
【分析】本題考查二次函數的應用，涉及新定義，二次函數的圖象及性質，解題的關鍵是分類討論思想的應用．
（1）根據“關聯拋物線”定義可知，拋物線的函數表達式；即可得頂點坐標為；
（2）由，得，即，當時，，可得或；當時，，得；
（3）求出當時，．當 時，；當 時，；分三種情況討論：Ⅰ．當，即時，若，，若，，Ⅱ．當時，，Ⅲ．當時，，分別解方程可得答案．
【詳解】（1）根據“關聯拋物線”定義可知，拋物線的函數表達式；
，
頂點坐標為；
故答案為：；；
（2），
，
，
當時，，
或；
當時，，
；
綜上所述，當時，或；當時，；
（3），
當時，．
當 時，；
當 時，；
根據題意可知，需要分三種情況討論：
Ⅰ．當，即時，
若，即，則；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即時，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．當，即時，；．
，
解得（舍或（舍；
Ⅲ．當，即時，，，
，
解得（舍去）或（舍去），
綜上所述，的值為或．
66．定義：當時，其對應的函數值為，若成立，則稱a為函數y的不動點．例如：函數，當時，，因為成立，所以2為函數y的不動點．對于函數，
(1)當時，分別判斷－1和0是否為該函數的不動點，并說明理由；
(2)若函數有且只有一個不動點，求此時t的值；
(3)將函數圖像向下平移個單位長度，時，判斷平移后函數不動點的個數．
【答案】(1)為函數y的不動點，不為函數y的不動點
(2)
(3)當時，平移后函數不動點的個數為1個；當時，平移后函數不動點的個數為2個；當時，平移后函數不動點的個數為0個
【分析】（1）讀懂不動點的定義，算出進行判斷即可；
（2）根據不動點的定義可知，判斷函數有幾個不動點可以轉化為與的交點的個數，聯立，消去得：，根據根的判別式進行求解；
（3）將函數圖像向下平移個單位長度，得，
聯立，消去得：，利用跟的判別式對方程的根進行分論討論，來判斷不動點的個數，注意的取值范圍．
【詳解】（1）解：當時，，
，
成立，所以為函數y的不動點，
，
成立，所以不為函數y的不動點，
為函數y的不動點，不為函數y的不動點；
（2）解：根據不動點的定義可知，判斷函數有幾個不動點可以轉化為與的交點的個數，
聯立，
消去得：，
整理得到：，
要使函數有且只有一個不動點，則方程只有幾個實數根，
則，即，
解得：，
此時；
（3）解：將函數圖像向下平移個單位長度，得，
聯立，
消去得：，
整理得到：，
則，
，
令，則，
解得：，
且，
，不符合題意，
即時，平移后函數不動點的個數為1個；
當時，開口向上，
則不等式的解集為：，
當時，平移后函數不動點的個數為2個；
當時，開口向上，
則不等式且的解集為：，
當時，平移后函數不動點的個數為0個；
綜上：當時，平移后函數不動點的個數為1個；當時，平移后函數不動點的個數為2個；當時，平移后函數不動點的個數為0個．
【點睛】本題考查了二次函數及一次函數的交點問題、新定義問題、一元二次方程的根的判別式、不等式的求解，解題的關鍵是理解不動點的概念，結合一元二次方程根的判別式進行分論討論求解．
1．二次函數與軸交于兩點（點在點左側），則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查求二次函數圖象與軸交點坐標，涉及解一元二次方程等知識，由題意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟記二次函數圖象與性質、解一元二次方程是解決問題的關鍵．
【詳解】解：二次函數與軸交于兩點，
令，則，
，
，即，
解得或，
點在點左側，
點的坐標為，
故選：A．
2．在平面直角坐標系，拋物線與x軸的交點坐標為（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟悉用一元二次方程處理二次函數的問題是解決此題的關鍵．令，解方程即可．
【詳解】解：∵二次函數，
∴當時，，
解得，
∴該函數與x軸的交點坐標為，，
故選：C．
3．已知二次函數的圖象如圖所示，則一元二次方程的根為（ ）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據圖象可得對稱軸為直線，的一個根為，進而根據對稱性求得的另一個根，即可求解．
【詳解】解： 時，
∴的一個根是
∵圖象的對稱軸為直線，
∴的另一個根是
故選：A．
4．如圖，若二次函數圖象的對稱軸為，與y軸交于點C，與x軸交于點A、和點B，點，則①；②，③，④當時，，其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查二次函數性質，對稱軸，二次函數與一元二次方程的關系等知識點，根據二次函數的性質，對稱軸，二次函數與一元二次方程的關系逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，，
∵是拋物線的對稱軸，
，
，
，故①錯誤，
∵過點，
∴，故②錯誤，
由圖象可得拋物線與x軸交于兩點，
∴，故③錯誤，
根據對稱軸可得A點橫坐標為 ，
由圖象可得，
當時，，故④正確，
綜上所述有1個正確，
故選：A．
5．二次函數（是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且當時，其對應的函數值．有下列結論：①；②和3是關于的方程的兩個根；③；④當時，；⑤．其中，正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象的性質，觀察表格得出信息是解題的關鍵．
先根據函數值相等的自變量值求對稱軸，再根據時，確定拋物線的開口方向，根據表格可知當，，可得，進而根據對稱軸可知b，即可判斷①；然后根據表格可知當時，，再根據拋物線的對稱性可知，可知另一個根是，判斷②；求出，即可判斷③；根據開口向上，對稱軸為直線即可判斷④；根據當時，，求出a的取值范圍，然后表示m，n，可得的范圍，即可判斷⑤．
【詳解】解：觀察表格可知當和時，，
∴對稱軸為直線．
∵當時，，，，
∴在對稱軸左側，y隨x增大而減小，
∴拋物線的開口方向向上，
∴．
當，，可得．
∵對稱軸為直線，
∴，
∴．故①正確；
當時，．
設另一個根是m，則，
解得，
∴和3是關于x的方程兩個根．故②正確；
∵，
∴，故③正確；
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線，且當和時，，
∴當時，，故④正確；
∵當時，，
∴，
解得．
當時，，當時，，
∴，
∴，
即，故⑤錯誤．
∴正確的有4個，
故選：D．
6．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的定義，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
若一元二次方程有兩個實數根，則根的判別式，建立關于的不等式，求出的取值范圍．由一元二次方程根的情況確定方程中待定系數的取值范圍時，若一元二次方程的二次項系數含有字母，應注意二次項系數不為這個隱含條件．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個實數根，
，
解得：或，
又，
或．
故選：D．
7．拋物線與x軸的一個交點坐標為，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數圖像與坐標軸交點的知識，熟練掌握二次函數圖像與性質是解題關鍵．將點代入拋物線，求解即可獲得答案．
【詳解】解：將點代入拋物線，
可得，解得．
故答案為：．
8．如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于點和點，與軸交于點，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，拋物線與軸的交點問題；待定系數法求得解析式為，令，得出，即可求解．
【詳解】解：∵與x軸交于點和點，
∴
解得：
∴
當時，
∴
∴
故答案為：．
9．已知在二次函數的圖象上，比較 ．（填或）
【答案】
【分析】本題考查了比較二次函數函數值的大小．正確計算函數值是解題的關鍵．
將點坐標代入可求對應的函數值，然后比大小即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴，
故答案為：．
10．在平面直角坐標系內，已知點，點，若拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了拋物線和直線的交點問題，掌握以上知識是解答本題的關鍵；
本題先求得交點坐標為：和，然后分和進行討論，然后即可求解；
【詳解】解：已知點，點，
∴線段在直線上面，
聯立方程組：，
解得：，，
∴交點為和，
由于線段 的 范圍為：，
∵，
∴，
當時，，，均在之間，且，保證兩點不同，
當時，，在之間，但是不在之間，僅有一個交點，
綜上所述：拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是：；
故答案為：；
11．如圖，已知拋物線與直線相交于兩點，則不等式成立時，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數與不等式的關系，由圖像可求得的解集，即可獲得答案，解題關鍵是利用數形結合的思想分析問題．
【詳解】解：∵拋物線 與直線相交于兩點，
∴由圖可知，當時，二次函數圖象在一次函數圖象上方，此時，
∴的解集為，
∴不等式的解集為．
故答案為：．
12．二次函數的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個“M”形狀的新圖象，若直線與該新圖象有兩個公共點，則m的取值范圍為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數的圖象，解題的關鍵是利用根的判別式得出不等式及數形結合來求解，先確定二次函數與軸的交點，再分析直線經過特殊點以及與翻折后拋物線相切時的情況，從而確定直線與新圖象有兩個公共點時的取值范圍．
【詳解】解：如圖：
對于二次函數，
令，即，
解得或 ，
所以該二次函數與軸交點為和 ．
當直線經過點時，
把，代入直線方程得
，
解得 ；
當直線經過點時，
把，代入直線方程得
，
解得 ．
由此可知，當時，直線與新圖象有兩個交點．
先將二次函數，其圖象軸上方部分沿軸翻折到軸下方后，翻折后的拋物線為．
聯立直線與翻折后拋物線的方程
，
，
．
∵直線與拋物線相切時，方程組有一組解，
∴一元二次方程的判別式．
則，即，
解得 ．
由圖象可知，當時，直線與新圖象有兩個交點．
綜上，的取值范圍是或．
13．已知二次函數 ．
(1)求出拋物線頂點坐標和與x軸的交點坐標；
(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象．
【答案】(1)頂點坐標；拋物線與軸交點為，；
(2)見解析
【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的圖象、二次函數圖象上點的坐標特征：
（1）將函數關系式運用配方法配成頂點式，進而可得頂點坐標；令，得一元二次方程，求出的值，可得函數圖象與軸的交點；
（2）根據函數解析式，可以寫出該函數的頂點坐標和圖象上的幾個點的坐標，從而可以畫出相應的函數圖象．
【詳解】（1）解：由于
∴頂點坐標；
令，得
解得，，，
拋物線與軸交點為，；
（2）解：列表如下：
描點、連線，如圖所示：
14．已知二次函數．
(1)求函數圖象與坐標軸的交點坐標．
(2)當時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)與軸的交點坐標為，與軸的交點為，
(2)或
【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點以及根據交點確定不等式的解集，熟記相關知識及求解方法即可；
（1）分別令、即可求解；
（2）根據拋物線開口向上，與軸的交點為，即可求解；
【詳解】（1）解：∴令，則；
∴與軸的交點坐標為，
令，解得：，，
與軸的交點為，．
（2）解：∵拋物線開口向上，與軸的交點為，．
∴當時，的取值范圍是或．
15．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若拋物線與軸交于點，，且，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)或
【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，解一元二次方程，二次函數與一元二次方程的關系，完全平方公式及配方法，熟練掌握這些性質和方法是解題的關鍵．
（1）直接利用一元二次方程的根的判別式，結合配方法進行判別即可；
（2）令，得：，利用根的判別式，結合完全平方公式及配方法得出關于的式子，再利用二次函數與一元二次方程的關系，得出，即可得出關于的等式，求解即可．
【詳解】（1）解：∵
，
該方程總有兩個實數根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵拋物線與軸交于點，，且，
∴，
∴，
化簡為：，
解得：或．
16．如圖，拋物線與軸交于和兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)過點的直線與拋物線在第一象限交于點，若點的橫坐標為4，請直接寫出當時，的取值范圍是_______．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數與一次函數圖形交點求不等式解集，掌握二次函數圖形的性質是關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）利用圖象法求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：觀察圖象可知當或時，當，
故答案為：或．
17．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．
(1)求拋物線的頂點坐標；
(2)已知和是拋物線上的兩個點，且總成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了求二次函數的頂點式，二次函數的性質，運用分類討論和數形結合思想解答是解題的關鍵．
（1）將點A代入解析式即可求出a的值，進而得到解析式，將解析式化為頂點式即可得到頂點坐標；
（2）先求出，令，則，求出的值，根據，求出或，分，兩種情況，結合二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴拋物線為，
∵，
∴拋物線的頂點坐標為；
（2）解：∵在拋物線上，
∴，
∵在拋物線上，
∴，
令，則，
∴或，
∴當時，結合函數的圖象可得或，
當時，結合函數的圖象可得，
當時，結合函數的圖象可得或，
∵，
∴，
綜上所述，的取值范圍是或．
18．關于的二次函數的圖象經過點．
(1)用含的代數式分別表示；
(2)當時，總有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)當時，或；當時，
【分析】本題考查的是二次函數的性質，熟練掌握二次函數性質是解題關鍵 ，
（1）將代入表達式求出結論即可；
（2）先求出，根據題意得出，再分情況：當時或當時分別求出即可．
【詳解】（1）解：關于的二次函數的圖象經過點，
，
解得，
；
（2）解：，
，
，
，
，
當時，，
解得：或，
當時，總有，
或，
或；
當時，，
解得：
當時，總有，
，
；
綜上所述，的取值范圍是當時，或；當時，．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
04 二次函數的性質2
知識點1： 二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況
求二次函數的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數決定了拋物線與x軸的交點的個數，它們的關系如下表：
判別式 二次函數 一元二次方程 與x軸交點個數
圖像 與x軸的交點坐標 根的情況
△＞0 拋物線 與x軸交于， 兩點 一元二次方程 有兩個不相等的實數根 2個交點
△＝0 拋物線與x軸交于這一點 一元二次方程 有兩個相等的實數根 1個交點
△＜0 拋物線 與x軸無交點 一元二次方程 在實數范圍內無解（或稱無實數根） 0個交點
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）若一元二次方程有兩個不相等的實數解，則二次函數的圖象和軸的交點有 個．
2．（2025·浙江·一模）若關于的一元二次方程的兩根分別是，，則拋物線的對稱軸是 ．
3．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）若二次函數部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，則關于的一元二次方程的根為： ．

知識點2：二次函數與不等式的關系
二次函數與一元二次不等式及之間的關系如下(）：
圖像 有兩個交點 有1個交點 無交點
判別式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全體實數 全體實數 無解 無解
或 無實根 或 無實根
無解 無解 或 的全體實數 全體實數
【即時訓練】
4．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）已知，當時，y的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數，當時，的取值范圍是 ．
6．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）已知二次函數，
(1)補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象；
0 1 2 3 4
3 0
(2)當________時，隨的增大而減小；
(3)當時，的取值范圍是________；
(4)根據圖象回答：當時，的取值范圍是________．
【題型1 求拋物線與x軸的交點坐標】
1．拋物線與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標為，則點B的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．拋物線與x軸的兩個交點分別為（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知二次函數的圖象與軸的一個交點為，則它與軸的另一個交點的坐標是 ．
5．已知二次函數的圖象經過點．
(1)求的值；
(2)求二次函數圖象與軸的交點坐標．
【題型2 求拋物線與y軸的交點坐標】
6．拋物線與軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函數的圖象與y軸的交點坐標是（ ）
A． B． C． D．
8．拋物線與軸交于點，則點的坐標為 ．
9．已知二次函數．
（1）求拋物線開口方向及對稱軸．
（2）寫出拋物線與y軸的交點坐標．
10．已知拋物線與軸的兩個交點為（在的左側），與軸交于點.
（1）直接寫出點，，的坐標；
（2）求的面積.
【題型3 已知二次函數的函數值求自變量的值】
11．二次函數的函數值是8，那么對應的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
12．已知二次函數，當y＝0時，x的值是（　　）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
13．關于x的二次函數，當 時，y的值為0；當 時，y的值等于9．
14．拋物線圖象如圖所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根為 ；
（2）方程的根為 ；
（3）方程的根為 ；
15．已知拋物線經過點．
(1)求拋物線的函數表達式，并判斷點是否在該拋物線上．
(2)若點在該拋物線上，求m的值．
【題型4 拋物線與x軸的交點問題】
16．已知二次函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍是（　　）
A． B． C．且 D．且
17．若二次函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍（　　）
A． B． C． D．
18．已知二次函數的圖象與軸的一個交點是，頂點在第三象限，設，則的取值范圍是 ．
19．已知二次函數．
(1)若該函數圖象與軸有兩個不同交點，求范圍．
(2)若，求當時，該函數的范圍．
20．已知拋物線．若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍．
【題型5 根據二次函數圖象確定相應方程根的情況】
21．如圖，二次函數的圖象與軸相交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．
B．對稱軸為直線
C．關于的方程有兩個不相等的實數根
D．
22．已知二次函數的頂點為，那么關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
23．如圖，拋物線與直線的兩個交點坐標分別為，，則關于的方程的解為 ．
24．已知二次函數的部分圖象如圖，則關于x的一元二次方程的解為 ．
25．已知拋物線經過點，且．
(1)求拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示）；
(2)證明：直線與該拋物線有兩個不同的交點．
【題型6 求x軸與拋物線的截線長】
26．如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．拋物線的對稱軸為直線 B．拋物線的頂點坐標為
C．，兩點之間的距離為 D．當時，的值隨值的增大而增大
27．在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象沿軸向下平移個單位后，所得函數圖象與軸的兩個交點之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
28．拋物線y＝﹣x2＋2x＋6在直線y＝﹣9上截得的線段長度為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
29．如果拋物線與直線交于A、B兩點，則點A與點B兩點之間的距離 ．
30．在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為，若拋物線與軸相交于，兩點，則 ． ．
【題型7 圖象法確定一元二次方程的近似根】
31．已知二次函數中部分和的值如下表所示：
則方程的一個較大的根的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
32．下表給出了二次函數中的部分對應值，可以估計方程的一個解的取值范圍是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
33．二次函數的自變量與函數值的部分對應值如下表所示，根據表中數據判斷方程（，，，為常數）的正數解的取值范圍可能是（ ）
… … 3 4 …
… 3.25 1 … …
A． B．
C． D．
34．已知二次函數的變量的部分對應值如表：
… 0 1 …
… 13 6 1 …
根據表中信息，可得一元二次方程的一個近似解的范圍是 ．
35．根據表格寫出一元二次方程小于0的近似解 ．（精確到小數點后一位）
x
【題型8 圖象法解一元二次不等式】
36．已知二次函數的部分圖象如圖所示，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
37．二次函數的部分圖象如圖，當時，的取值范圍為（ ）
A． B．或 C．或 D．
38．如圖，拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，當時，x的取值范圍是（ ）

A． B． C．或 D．或
39．如圖，二次函數（，，為常數，）的圖像與軸交于點，頂點坐標為，則不等式的解集為 ．
40．對于拋物線．
(1)將拋物線的解析式化為頂點式；
(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
x … …
y … …
(3)結合圖象，當時，x的取值范圍______．
【題型9 利用不等式求自變量或函數值的范圍】
41．已知，當時，y的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
42．二次函數的圖象如圖所示，則函數值時，的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．或
43．已知二次函數與x軸沒有交點，則b的取值可以是 ．（寫出一個符合題意的值即可）
44．已知，則當時，的取值范圍是
45．已知二次函數．
(1)用你喜歡的方法將化成的形式．
(2)用列表描點法，在如圖所示的坐標系中畫出這個二次函數的圖象；
______ ______ ______ ______ ______ …
(3)當時，的取值范圍為______．
【題型10 根據交點確定不等式的解集】
46．拋物線與直線相交于點和點.則當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
47．已知二次函數與一次函數的圖象交于兩點，這兩點的橫坐標分別為和，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
48．如圖，過點且平行于軸的直線與二次函數圖象的交點坐標為，，則不等式的解集為 ．
49．函數的圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：

(1)方程的兩個根為 ；
(2)當時，則x的取值范圍為 ；當時，則變量y的取值范圍為 ；
(3)若方程有實數根，則k的取值范圍是 ．
50．一個二次函數圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象；
(3)當函數值時，對應的x的取值范圍是 ；
(4)當時，直接寫出y的取值范圍．
【拓展訓練一 根據二次函數與坐標軸交點問題求參】
51．當時，二次函數與x軸有且只有一個交點，則c的取值為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
52．定義：若二次函數的圖象上有一點的橫坐標與縱坐標相等，則稱這個點是這個函數的不動點．比如，函數圖象上的點，都是的不動點，若函數在的范圍內總有兩個不同的不動點，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
53．拋物線與軸兩個公共點的橫坐標分別為，，且．若b，c為整數，則的可能取值為 ．
54．已知點A、B的坐標分別為，若二次函數的圖象與線段恰有一個公共點，則實數a的取值范圍是 ．
55．已知關于的方程有兩個不同的實數根，則的取值范圍
【拓展訓練二 利用二次函數圖象確定方程、不等式的解】
56．已知二次函數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
57．二次函數（是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：有下列結論：（ ）
①；②是方程的一個根；③當時，的值隨值的增大而減小；④當時，，其中正確結論的個數是（ ）
A． B． C． D．
58．已知直線經過拋物線的頂點，且當時，，則當時，的取值范圍是 ．
59．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的兩倍，則稱這個點為“縱兩倍點”．若二次函數在的圖象上存在兩個“縱兩倍點”，則c的取值范圍是 ．
60．已知拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B．
(1)求該拋物線的函數表達式及對稱軸．
(2)①在如圖所示的平面直角坐標系中，先描出該二次函數圖象上的三個點，再畫出該二次函數的圖象；
②在同一坐標系中畫出直線，并根據圖象直接寫出關于x的不等式的解集．
(3)若關于x的一元二次方程在的范圍內有實數根，請結合圖象直接寫出t的取值范圍．
【拓展訓練三 含絕對值的二次函數求解】
61．我們規定形如的函數叫做“元寶型函數”．已知函數是一個“元寶型函數”，給出以下結論：①圖象關于直線對稱；②關于的不等式的解是或；③當時，關于的方程有三個實數解；④當時函數的值隨值的增大而減小．其中正確的結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
62．在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點．
(1) ；
(2)求證：不論為何值，該函數的圖象與軸沒有公共點；
(3)若點也是拋物線上的點，記拋物線在之間的部分為圖象（包括兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，則的取值范圍為 ．
63．材料一：對于任意的實數a，其絕對值都是一個非負數，即 同理，對于任意關于 x 的絕對值函數都有 例如
材料二：數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在函數學習中，常應用函數圖象解決代數問題．例如關于的不等式，可解讀為函數的圖象不高于函數的圖象，不等式的解集則可理解為該部分圖象上所有點的橫坐標所構成的取值范圍，通過圖象(如圖)，可得該不等式的解集為
　　　
根據材料完成下列題目：
(1)認真閱讀材料一，解關于x的方程： ，要求寫出解答過程．
(2)認真閱讀材料二，仿照該方法解關于x的不等式： 請完善下列解答思路：
步驟 1：利用數形結合思想不等式可理解為：函數 的圖象不低于函數 的圖象．
步驟2：在方格紙中畫出圖象．
步驟3：解出交點坐標，觀察圖象，并得出不等式的解集為 ．
(3)若關于x的不等式有解，請直接寫出k的取值范圍．
【拓展訓練四 二次函數與方程、不等式結合的新定義問題】
64．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“縱三倍點”．已知二次函數（為常數）
(1)若是該二次函數上的一點，
①也是該二次函數上的一點，則______“縱三倍點”（填“是”、“不是”）．
②求出該二次函數上的“縱三倍點”
(2)若該二次函數在的圖象上存在兩個縱三倍點，則的取值范圍是______．
65．新定義：我們把拋物線與拋物線其中稱為“關聯拋物線”．例如：拋物線的“關聯拋物線”為．已知拋物線的“關聯拋物線”為．
(1)寫出拋物線的函數表達式（用含的式子表示）　　，頂點坐標為 　　．
(2)對于和，當時，求的取值范圍．
(3)若，當時，的最大值與最小值的差為，求的值．
66．定義：當時，其對應的函數值為，若成立，則稱a為函數y的不動點．例如：函數，當時，，因為成立，所以2為函數y的不動點．對于函數，
(1)當時，分別判斷－1和0是否為該函數的不動點，并說明理由；
(2)若函數有且只有一個不動點，求此時t的值；
(3)將函數圖像向下平移個單位長度，時，判斷平移后函數不動點的個數．
1．二次函數與軸交于兩點（點在點左側），則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐標系，拋物線與x軸的交點坐標為（ ）
A． B． C．， D．，
3．已知二次函數的圖象如圖所示，則一元二次方程的根為（ ）
A．0，4 B．2，9 C．0 D．4
4．如圖，若二次函數圖象的對稱軸為，與y軸交于點C，與x軸交于點A、和點B，點，則①；②，③，④當時，，其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．二次函數（是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且當時，其對應的函數值．有下列結論：①；②和3是關于的方程的兩個根；③；④當時，；⑤．其中，正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．或
7．拋物線與x軸的一個交點坐標為，則 ．
8．如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于點和點，與軸交于點，則的長為 ．
9．已知在二次函數的圖象上，比較 ．（填或）
10．在平面直角坐標系內，已知點，點，若拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是 ．
11．如圖，已知拋物線與直線相交于兩點，則不等式成立時，的取值范圍是 ．
12．二次函數的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個“M”形狀的新圖象，若直線與該新圖象有兩個公共點，則m的取值范圍為 ．
13．已知二次函數 ．
(1)求出拋物線頂點坐標和與x軸的交點坐標；
(2)在所給的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象．
14．已知二次函數．
(1)求函數圖象與坐標軸的交點坐標．
(2)當時，直接寫出的取值范圍．
15．已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若拋物線與軸交于點，，且，求的值．
16．如圖，拋物線與軸交于和兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)過點的直線與拋物線在第一象限交于點，若點的橫坐標為4，請直接寫出當時，的取值范圍是_______．
17．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．
(1)求拋物線的頂點坐標；
(2)已知和是拋物線上的兩個點，且總成立，求的取值范圍．
18．關于的二次函數的圖象經過點．
(1)用含的代數式分別表示；
(2)當時，總有，求的取值范圍．

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