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03 二次函數的性質1
知識點1：二次函數的常見表達式：
名稱 解析式 前提條件 相互聯系
一般式 當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式. 1）以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化. 2) 一般式化為頂點式，交點式，主要運用配方法，因式分解等方法.
頂點式 當已知拋物線的頂點坐標（h，k）或對稱軸或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達式.
交點式 當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，常用交點式求其表達式.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數的圖象如圖所示，求這個二次函數的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了求二次函數的解析式，根據圖象可知二次函數的對稱軸為，設這個二次函數的解析式為，把代入計算，即可作答．
【詳解】解：由圖象可知二次函數的對稱軸為，
設這個二次函數的解析式為，
函數圖象經過，
，
解得，
這個二次函數的解析式．
2．（24-25九年級上·浙江湖州·期中）已知拋物線經過，兩點，求這條拋物線的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，將，代入函數解析式中求出、即可求解．
【詳解】解：拋物線經過，兩點，
，
解得：，
拋物線的解析式是．
3．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，拋物線分別經過點，，．求拋物線的函數解析式．
【答案】/
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵．
設交點式，然后把C點坐標代入求a即可；
【詳解】解：拋物線經過點，，
設拋物線的解析式為：，
代入得：，
解得：，
拋物線的解析式：．
知識點2：二次函數的圖像與a，b，c的關系
字母 字母的符號 圖像特征 備注
a a>0 開口向上 a的正負決定開口方向， a的大小決定開口的大小(|a|越大，開口越小)．
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸是y軸，即=0 左同右異中間0
a，b同號 對稱軸在y軸左側，即
a，b異號 對稱軸在y軸右側，即
c c=0 圖像過原點 c決定了拋物線與y軸交點的位置．
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
與x軸有兩個交點 的正負決定拋物線與x軸交點個數
與x軸有唯一交點
與x軸沒有交點
【補充】
1）若兩條拋物線的形狀與開口方向相同時，則它們的二次項系數a必相同；
2）由a的符號與對稱軸x=的位置共同確定b的符號；
【小技巧】通過給x賦值，結合圖像即可判斷特殊函數值的正負.
【即時訓練】
4．（2025·浙江·二模）已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握圖形開口，對稱軸直線，與坐標軸交點的計算是關鍵．
根據二次函數圖象的開口，對稱軸直線，與坐標軸交點的知識判定即可．
【詳解】解：∵二次函數圖象開口向下，
∴，故A選項錯誤，不符合題意；
∵對稱軸直線為，
∴，故B選項正確，符合題意；
∵二次函數圖象與軸交于正半軸，
∴，故C選項錯誤，不符合題意；
∵二次函數與軸有兩個交點，
∴，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：B ．
5．（2025·浙江金華·一模）已知拋物線（為常數，）經過點，開口向下，對稱軸為直線．下列結論正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象與軸交點，二次函數的性質等知識，熟記二次函數的性質是解題的關鍵．
根據二次函數的開口、對稱軸以及經過的點，即可判斷出二次函數的大體圖象，進而根據二次函數圖象的性質即可判斷出各選項．
【詳解】解：A.、根據題意，由開口向下可知，對稱軸為直線，且經過點，可知，，故該選項錯誤，不符合題意；
B、經過A.選項分析，拋物線與軸有兩個交點，，故該選項錯誤，不符合題意；
C、∵拋物線的對稱軸為直線，且經過點，
∴點與點是對稱點
當時，代入拋物線解析式得，故該選項錯誤，不符合題意；
D、根據頂點坐標的幾何意義，所以當時，函數值最大，故該選項正確，符合題意．
故選：D．
6．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）二次函數的圖像如圖所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正確的有 ．（填編號）．
【答案】②④⑤
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線的對稱軸位置確定b的范圍，然后根據拋物線與x軸交點的個數及時二次函數的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
【詳解】解：①由圖象可知，對稱軸為直線，
∴，
∴，
故①錯誤，②正確，
②∵時，，
∴，
故③錯誤，
③∵拋物線與x軸有交點，
∴，
∴，
故④正確，
⑤∵對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
故⑤正確，
故答案為：②④⑤．
知識點3：二次函數的平移變換
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 頂點式y＝a(x–h) 2＋k 平移口訣
向左平移n個單位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n個單位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右減
向上平移n個單位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n個單位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下減
補充：
① 二次函數圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關.
② 根據平移規律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數項加減平移單位.
③ 涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式的形式，因為二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式.
④ 求函數圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.
⑤ 對二次函數上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數左右平移，改變增減性，不改變最值.
【即時訓練】
7．（2025·浙江·二模）將拋物線先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的拋物線是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，根據“左加右減，上加下減，”的規律進行解答即可，熟知二次函數圖象的平移規律是解題的關鍵．
【詳解】解：將拋物線先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的拋物線是，
故答案為：．
8．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）將拋物線向上平移3個單位，再向右平移4個單位，得到的拋物線解析式是
【答案】
【分析】此題考查了二次函數圖象的平移，根據平移方式得到頂點坐標，又因為平移不改變二次項系數，即可寫出答案．
【詳解】解：依題意可知，原拋物線頂點坐標為，
平移后拋物線頂點坐標為，
又因為平移不改變二次項系數，
∴所得拋物線解析式為：．
故答案為：．
9．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）已知二次函數，若將該二次函數圖象向上平移m個單位長度，平移后的拋物線經過點，求m的值．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的平移規律是解題的關鍵：左加右減，上加下減．
根據二次函數圖象的平移規律“左加右減，上加下減”即可得出平移后的二次函數解析式，然后將點代入，得出關于的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【詳解】解：二次函數的解析式為，
將該二次函數圖象向上平移個單位長度后，所得拋物線的函數解析式為，
平移后的拋物線經過點，
，
解得：．
知識點4：二次函數圖象的對稱變換
變換方式 變換后 口訣
關于x軸對稱 x不變，y變-y
關于y軸對稱 y不變，x變-x
關于原點對稱 x變-x，y變-y
【即時訓練】
10．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）如果點，是拋物線上兩個不同的點，那么m的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，利用函數值相等兩點關于對稱軸對稱得出是解題關鍵．根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得答案．
【詳解】解：點、是拋物線上兩個不同的點，
∴與關于對稱軸直線對稱，
，
解得：，
故選：D．
11．（23-24九年級上·浙江衢州·期末）在函數的圖象上有兩點、，則、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點，根據解析式可得出拋物線的對稱軸，根據拋物線的對稱性，即可得出，熟練掌握二次函數的對稱性是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵二次函數的圖象的對稱軸為直線，
∴關于對稱軸的對稱點為點，也就是點，
∴．
故選：A
12．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數自變量x與函數值y之間滿足下列數量關系：則代數式的值等于 ．
x … 0 1 2 3 …
y … …
【答案】
【分析】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與一元二次方程的關系，通過拋物線上點的坐標的特征求解．由表格可得拋物線對稱軸為直線，然后根據對稱性可求時y的值，進而求解．
【詳解】解：由題可得拋物線經過點，，
∴拋物線對稱軸為直線
∵拋物線經過點，
∴時，
即．
故答案為：．
【題型1 二次函數的一般式】
1．已知拋物線經過和兩點，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數解析式的求法，一元二次方程組的解法，將函數經過的兩點代入二次函數解析式得到一元二次方程組是解答關鍵．
將二次函數圖象經過的兩點的坐標代入解析式，列出一元二次方程組，解一元二次方程組即可求解．
【詳解】解：拋物線經過和兩點，
，
解得，
故選：A．
2．已知拋物線經過，兩點，求這條拋物線的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，將，代入函數解析式中求出、即可求解．
【詳解】解：拋物線經過，兩點，
，
解得：，
拋物線的解析式是．
3．已知二次函數的圖象經過點，求該二次函數的表達式．
【答案】
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，根據題意，把點代入計算即可求解．
【詳解】解：∵二次函數的圖象經過點，
∴，
解得，，
∴二次函數的解析式為．
4．已知拋物線經過點、，求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，將、代入解析式即可求解；掌握待定系數法是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
5．已知二次函數，當時，，時，．
(1)求a，c的值．
(2)當時，求函數y的值．
【答案】(1)
(2)21
【分析】本題考查求二次函數解析式，求函數值；
（1）待定系數法求函數解析式即可；
（2）將代入解析式，求出函數y的值即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴當時，．
【題型2 二次函數的頂點式】
6．在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象經過點，且它的頂點是原點，則這個二次函數的表達式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質、待定系數法求函數解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．根據題意可設該二次函數的解析式為，利用待定系數法即可求解．
【詳解】解：設該二次函數的解析式為，
將帶入得：，
解得：，
該二次函數的表達式為：，
故答案為：．
7．頂點坐標為，開口方向和大小與拋物線相同的拋物線為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據拋物線的形狀，開口方向和拋物線的值有關，利用頂點式解析式寫出即可．
【詳解】解：拋物線的頂點坐標，開口方向和大小與拋物線相同，
這個二次函數的解析式為．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，熟記拋物線中，值確定拋物線的開口方向和拋物線的形狀是解題的關鍵．
8．選你喜歡的、、的值，使二次函數 的圖象同時滿足下列條件:
①它的圖象不經過第三象限；
②圖象經過點；
③當時，函數值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數的表達式可以是 ．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】首先由①得到；由③得到對稱軸為，即 ；由②得到頂點，即可得出答案．
【詳解】解：二次函數，
①它的圖象不經過第三象限，
；
③當時，函數值隨自變量的增大而增大，
故對稱軸為，即；
②得到頂點，故可設頂點式為；
可取，二次函數的解析式是．故答案為：
【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，熟練運用性質進行計算是解此題的關鍵．此題是一道開放型的題目．
9．已知二次函數的圖象過坐標原點，其頂點坐標是，求這個二次函數的解析式．
【答案】
【分析】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式，根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式是解題的關鍵．
設頂點式，然后把原點坐標代入，求出即可．
【詳解】解：設該二次函數的解析式為，
把原點坐標代入，得：，
整理，得：，
解得：，
該二次函數的解析式為．
10．已知二次函數的圖象經過點，且頂點坐標為，求此二次函數的解析式．
【答案】
【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式，然后把代入計算出的值即可．
【詳解】解：根據題意，設二次函數的解析式為，
把代入得，
解得，
所以二次函數的解析式為．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
【題型3 二次函數的兩點式】
11．已知二次函數的圖象與經過，，．
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)指出它的對稱軸和最值．
【答案】(1)
(2)對稱軸為直線，最小值為
【分析】本題考查二次函數圖象與性質，涉及待定系數法確定函數關系式、將一般式化為頂點式得頂點坐標等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
（1）由題意，設二次函數表達式為，再將代入求即可得到答案；
（2）由（1）中求得表達式化為頂點式即可得到答案．
【詳解】（1）解：二次函數圖象經過點，，
設二次函數表達式為，
二次函數圖象經過點，
，
解得，
二次函數表達式為；
（2）解：由（1）可知二次函數表達式為，
該拋物線的對稱軸為直線，
∵，拋物線開口向上，
∴函數有最小值為．
12．根據下列條件，分別確定拋物線對應的二次函數的表達式．
(1)拋物線的頂點坐標是，且與x軸的一個交點坐標是；
(2)拋物線過，兩點，與軸的交點為．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵是根據已知條件選擇恰當的表達形式．
（1）已知拋物線的頂點坐標，可設表達式為頂點式，然后代入點即可求解；
（2）已知拋物線與的兩交點坐標，可設表達式為交點式，然后代入點即可求解；
【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為．
拋物線與軸的一個交點坐標是，
，
解得：，
（或）；
（2）解：設拋物線的表達式為，
將代入得，
解得：，
∴拋物線的表達式為．
13．已知拋物線與x軸交于、，且過點，求拋物線的解析式；并指出其開口方向，對稱軸及頂點坐標．
【答案】，拋物線的開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖像和性質，設拋物線的解析式為：，將代入即可得出拋物線的解析式，再將拋物線化為頂點式即可得出答案．
【詳解】解：根據題意設拋物線的解析式為：，
把代入可得出：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：，
∵，
∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標．
14．如圖，已知拋物線 經過兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線解析式；
(2)觀察圖象：當時，直接寫出y的取值范圍_______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查求二次函數的解析式，二次函數函數值的范圍：
（1）直接利用兩點式寫出函數解析式即可；
（2）觀察圖象，可知當時，取最大值，頂點處取最小值，即可得出結果．
【詳解】（1）解：∵拋物線 經過兩點，
∴解析式為：；
（2）∵，
觀察圖象可知：當時，取最大值0，頂點處取最小值，
∵，
∴當時，函數有最小值為：，
∴當時，y的取值范圍．
故答案為：．
15．已知一個二次函數的圖象經過點，，，求這個二次函數的解析式．
【答案】
【分析】本題考查了求二次函數的解析式，利用待定系數法計算即可得解．
【詳解】解：∵二次函數的圖象經過點，，
∴設二次函數的解析式為，
將代入解析式可得：，
解得：，
∴二次函數的解析式為．
【題型4 二次函數圖象與各系數符號】
16．二次函數的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據拋物線的開口方向，對稱軸以及圖象與軸的交點判斷、、的符號即可求解．
【詳解】解：拋物線的開口向下，
，
對稱軸在軸的右側，
，則，
圖象與軸的交于負半軸，
，
，，，
故選：C．
17．已知二次函數的圖象在軸的下方，則，，滿足的條件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖像與性質，根據二次函數的圖像在軸的下方，可得拋物線開口向下，與軸無交點，即可判斷．
【詳解】解：二次函教的圖象在軸的下方，
拋物線開口向下，與軸無交點，
即，，
故選：C．
18．已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列四個結論：①；②；③；④．上述結論中，正確結論的序號有 ．
【答案】②③④
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點位置、拋物線與x軸交點的個數確定，解題關鍵是熟練運用二次函數的圖象和性質．由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與x軸的交點個數可以判斷，然后根據對稱軸可以判斷，根據時，可得出．
【詳解】解：∵拋物線的開口向下，
∴，故①錯誤；
∵與x軸有兩個交點，
∴，故②正確；
根據圖象可知對稱軸在直線右側，
∴，故③正確；
∵時，，
∴，故④正確；
綜上分析可知：正確的有②③④．
故答案為：②③④．
19．如圖，二次函數圖象的一部分與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結合圖象給出下列結論：
①；②；③（為任意實數）；④若點，，均在二次函數圖像上，且滿足，則；
其中正確的結論有 ．
【答案】①②③④
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
根據二次函數圖象的性質，對選項逐一進行判斷即可．
【詳解】解：根據圖象可知，開口向上，
，
∵拋物線的對稱軸為直線，
，
∵拋物線交軸負半軸，
，故①正確，符合題意；
∵拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，根據拋物線的對稱性可得，拋物線與軸的另一個交點坐標為，
將該點坐標代入解析式可得：，故②正確，符合題意；
∵拋物線頂點橫坐標為，當時求得值最小，即，
∴無論取何值時，總是大于或等于
即，故③正確，符合題意；
根據絕對值的幾何意義可知，分別表示到的距離，根據拋物線圖象的性質，距離對稱軸越遠的點，其坐標就越大，故④正確，符合題意．
故答案為：①②③④．
20．已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤若方程有兩個根，，則．正確的結論是 （寫序號）．
【答案】③④⑤
【分析】此題主要考查了二次函數圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與一元二次方程的聯系，二次函數系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數確定，靈活運用二次函數的性質和二次函數與一元二次方程的聯系是解題的關鍵，依次根據二次函數的性質進行判斷即可．
【詳解】解：①由圖象可知：，
∵，
∴，
∴，故①錯誤；
②∵圖形與x軸有兩個交點，
∴，
∴，
故②錯誤；
③由函數圖象可得，當時，，故③正確；
④當時，y最大，且，
當時，，
∴，
∴，
∴，故④正確；
⑤∵，
∴，
∵設方程的兩根為，
則，故⑤正確，
故答案為：③④⑤．
【題型5 根據二次函數的圖象判斷式子符號】
21．二次函數的圖象經過點，，與軸的交點在軸的下方．下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．二次函數的最小值為
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．
根據二次函數的圖象經過點，，可得對稱軸為，由函數圖象與軸的交點在軸的下方，得到，，從而可得，即，判斷A選項；根據函數的增減性得到當時，，判斷B選項；根據函數圖象經過點，，得到，求解有，判斷C選項；將二次函數化為頂點式，即可判斷D選項．
【詳解】解：∵二次函數的圖象經過點，，
∴該函數圖象的對稱軸為，
∵二次函數的圖象與軸的交點在軸的下方，
∴，，
∵該函數圖象的對稱軸為，即，
∴，故A選項錯誤；
∵，對稱軸為，
∴該函數圖象開口向上，當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，，即，故B選項錯誤；
∵二次函數的圖象經過點，，
∴，
∴，故C選項錯誤；
∴二次函數可化為，即，
∴二次函數的最小值為，故D選項正確．
故選：D
22．如圖，拋物線過點，對稱軸為直線，有以下結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．方程兩根分別為，4
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程，根據圖象判斷的符號，判斷A，特殊值，判斷B，對稱軸判斷C，對稱性和圖象法求出方程的根，判斷D．
【詳解】解：由圖象可知：，
∵對稱軸為直線，
∴，
∴，故C選項錯誤，
∴，故選項A錯誤；
由圖象可知，當時，，故選項B錯誤；
∵拋物線過點，對稱軸為直線，
∴拋物線與軸的另一個交點的坐標為，
∴方程兩根分別為，4；故選項D正確；
故選D．
23．如圖，二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，對稱軸為直線，下列四個結論：①該圖象經過點；②；③；④，其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數圖象的對稱性，根據對稱性求出拋物線與軸的另一個交點坐標判斷①，開口方向，對稱軸，與軸的交點判斷②和④，特殊點判斷③即可．
【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，
∴該圖象經過點；故①正確；
由圖象可知：，
∵對稱軸為，
∴，
∴；故②④錯誤；
∵圖象經過點；
∴，故③正確；
故選B．
24．已知二次函數的圖象如圖所示，其對稱軸為，給出下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論是 （只填序號）．

【答案】③④
【分析】本題主要考查二次函數的圖象和性質．拋物線的開口方向得到，由拋物線與軸的交點得到，然后根據對稱軸得到，當時，，當時，，據此求解進行判斷．
【詳解】解：由圖可知：
拋物線開口向上，則，
拋物線與軸交點在負半軸上，則，
對稱軸為直線，則，即，
∴，，故①②錯誤，
由圖象可知當時，，即，故③正確，
由圖象可知當時，，即，故④正確，
∴正確的有③④，
故答案為：③④．
25．如圖，已知頂點的拋物線經過點，下列結論：①；②若點，在拋物線上，則；③；④關于x的一元二次方程的根為和，其中正確的有 （填寫序號）．
【答案】①③④
【分析】本題屬于二次函數圖象的綜合問題，考查了二次函數與一元二次方程，二次函數與不等式，及二次函數的對稱性，難度中等．利用二次函數與一元二次方程的關系及其與不等式的關系，以及二次函數的對稱性可以求解．
【詳解】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，只是左邊那個沒畫出來而已，
從而由二次函數與一元二次方程的關系可知，，從而，故①正確；
由拋物線的對稱軸為，點，在拋物線上，則點離對稱軸的距離為1，而點離拋物線的距離為2，開口向上時，離對稱軸越遠，函數值越大，從而，②故錯誤；
已知該拋物線是開口向上，頂點為，故正確，從而③正確；
由圖象可知，為關于x的一元二次方程的一個根，由二次函數的對稱性，可知為另一個根，從而④正確；
綜上，正確的是①③④．
故答案為：①③④．
【題型6 已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸】
26．二次函數 圖像上部分點的坐標對應值列表如下：
x … 0 1 …
y … …
則該函數圖像的對稱軸是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，根據表格的數據得和對應的函數值都是，則二次函數圖像的對稱軸為直線，即可作答．
【詳解】解：∵和對應的函數值都是，
則，
∴二次函數圖像的對稱軸為直線．
故選B．
27．將拋物線向左平移個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與直線相交于，，則的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的平移以及二次函數的性質，先求出平移前后的對稱軸，然后根據平移的性質列方程求解即可．
【詳解】解：的對稱軸是直線．
∵新拋物線與直線相交于，，
∴新拋物線對稱軸是直線，
∵拋物線向左平移個單位長度后得到新拋物線，
∴，
∴．
故選C．
28．已知、是拋物線上不同的兩點，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的對稱性是解題的關鍵；先求出對稱軸，再根據縱坐標相等的兩點關于對稱軸對稱即可得解；
【詳解】解：拋物線的對稱軸為：直線，，
，
．
故答案為：.
29．已知二次函數經過兩個不同點，，則 ．
【答案】0
【分析】本題考查的是二次函數的對稱性，先判定點關于拋物線的對稱軸對稱，再求解拋物線的對稱軸為直線，從而可得答案.
【詳解】解：二次函數經過兩個不同點，，
∴點關于拋物線的對稱軸對稱，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴；
∴
故答案為：0．
30．已知二次函數．
(1)求該二次函數圖象與軸的交點坐標，并直接寫出：函數的對稱軸為直線_________．
(2)若，當時，的最大值是4，求當時，的最小值；
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了二次函數的最值、與軸的交點坐標以及對稱軸，掌握相關函數結論是解題關鍵.
（1）對于二次函數，當時求得的自變量的值，也就是二次函數圖象與軸的交點橫坐標，就是對應的一元二次方程的解，據此即可求解．
（2）根據對稱軸直線和開口方向即可求解．
【詳解】（1）解：令，則，
∵，
∴，
解得：，
∴該二次函數圖象與軸的交點坐標為：；
函數的對稱軸為直線；
（2）解：若，則拋物線開口向上，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，有最大值，
即：，解得：；
當時，有最小值，
且最小值為：
【題型7 根據二次函數的對稱性求函數值】
31．已知二次函數函數值y與自變量x的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m 2 3 2 …
其中m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的對稱性，找到表格中函數值相等的兩個自變量的值，求出對稱軸，再根據對稱性求出的值即可．
【詳解】解：由表格可知，和的函數值相等，均為，
∴二次函數的對稱軸為，
∴和的函數值相同，
∴；
故選：D．
32．設二次函數（是常數），部分對應值如下表：當時，（　?。?br/>．．． 0 1 2 ．．．
．．． 5 0 ．．．
A．5 B． C． D．0
【答案】D
【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，根據二次函數的性質和表格中的數據，可以求出該函數圖象的對稱軸，然后根據二次函數圖象具有對稱性，即可求得當對應的函數值．
【詳解】解：由表格可得，
該函數的對稱軸為直線，
∴和對應的函數值相等，
∵當時，，
∴當時，，
故選：D．
33．已知拋物線，點與點關于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值等于 ．
【答案】12
【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；由題意易得該二次函數的對稱軸為直線，然后根據對稱性可進行求解．
【詳解】解：由拋物線，可知：對稱軸為直線，
∵點與點關于該拋物線的對稱軸對稱，
∴，
∴；
故答案為12．
34．在直角坐標系中，二次函數的圖象過點，點，點．若，則的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，先由函數的解析式得開口向上，對稱軸是直線，再逐個算出結合二次函數的圖象過點．且，得，最后結合二次函數的對稱性找出，關于直線對稱的點的坐標為，同理得關于直線對稱的點的坐標為，即可作答．
【詳解】解：∵二次函數，
∴開口向上，對稱軸是直線，
∵二次函數的圖象過點，點
∴
∵二次函數的圖象過點．且，
∴，
∵對稱軸是直線，
∴關于直線對稱的點的坐標為，
∴關于直線對稱的點的坐標為，
∵二次函數的開口向上，
∴或．
故答案為：或．
35．已知拋物線的對稱軸是軸．
(1)求的值；
(2)求出拋物線的解析式并說明拋物線的增減性．
【答案】(1)
(2)當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大
【分析】（1）根據題意得，進行計算即可得；
（2）根據得拋物線的解析式為，根據二次函數的性質即可得．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是軸，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴拋物線的解析式為，
∴當時，隨的增大而減??；
當時，隨的增大而增大．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的性質．
【題型8 二次函數的單調性】
36．在二次函數的圖象上，y隨x的增大而增大，則x的取值范圍：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次函數的圖象性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．
根據題目中的函數解析式和二次函數的性質即可求解．
【詳解】∵二次函數的開口向下，
∴在對稱軸的左側y隨x的增大而增大．
∵二次函數的對稱軸是，
∴．
故選：A．
37．已知二次函數，當時，隨的增大而增大，當時，函數的最大值是8，最小值是，則的值可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，先得到該函數的對稱軸直線，根據當時，隨的增大而增大，得，再結合，，則當或時，，然后由當時，函數的最大值是8，最小值是，即可作答．
【詳解】解：解：二次函數，
該函數的對稱軸為直線，
當時，隨的增大而增大，
，
當時，，
當或時，，
當時，函數的最大值是8，最小值是，
，
故的值可能是6，
故選：C．
38．已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則m的范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的增減性是解題關鍵．根據二次函數解析式可得圖象開口向上，對稱軸為直線，即可求解．
【詳解】解：，
圖象開口向上，對稱軸為直線，
當時，y隨x的增大而減小，
，
，
故答案為：．
39．已知二次函數，當函數值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵．根據二次函數的性質求出拋物線的對稱軸為直線，根據二次函數性質求出結果即可．
【詳解】解：∵
∵開口向上，對稱軸為直線，
∴時，函數值y隨x的增大而增大．
故答案為：．
40．操作與探究：
(1)在如圖的平面直角坐標系中畫出函數的圖象；
(2)仔細觀察圖象，結合所學知識解答下列問題：
①當函數值時，自變量x的取值范圍是___________；
②當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是___________；
③當時，函數值，直接寫出n的取值范圍___________．
【答案】(1)見解析
(2)①，②，③
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，畫二次函數圖象．
（1）按照列表，描點，連線的步驟即可畫出函數圖象；
（2）根據畫出的函數圖象，即可解答．
【詳解】（1）解：根據題意列出表格如下：
x …… 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
畫出函數圖象如圖所示：
（2）解：由圖可知：
①當函數值時，自變量x的取值范圍是；
②當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是；
③當時，函數值，直接寫出n的取值范圍．
【題型9 利用二次函數對稱性求最短路徑】
41．如圖，直線yx+3分別與x軸，y軸交于點A、點B，拋物線y=x2+2x﹣2與y軸交于點C，點E在拋物線y=x2+2x﹣2的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，CE+EF的最小值是（　　）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
【答案】C
【分析】C點關于對稱軸對稱的點C'，過點C'作直線AB的垂線，交對稱軸與點E，交直線AB于點F，則C'F即為所求最短距離．
【詳解】∵y=x2+2x﹣2的對稱軸為，C(0，﹣2)，
∴C點關于對稱軸對稱的點C'(﹣2，﹣2)，
過點C'作直線AB的垂線，交對稱軸與點E，交直線AB于點F，
∴CE=C'E，
則C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直線yx+3，
設直線C'F的解析式為，
將C'(﹣2，﹣2)代入得：，
解得：，
∴C'F的解析式為yx，
解方程組，
得：，
∴F(，)，
∴C'F．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數與一次函數的圖象及性質；利用點的對稱性，點到直線的垂線段最短，確定最短距離為線段C'F的長是解題的關鍵．
42．如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點是拋物線的對稱軸上一動點，連接和，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，軸對稱求最小值問題；連接，，設交拋物線對稱軸于點，當與點重合時，取得最小值，最小值為，令分別求得的坐標，勾股定理求得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，，設交拋物線對稱軸于點，

∵，
∴，
∴當與點重合時，取得最小值，最小值為，
∵，當時，，則
當時，，
解得：,
∴，
∴
即的最小值為，
故答案為：．
43．如圖，已知拋物線經過，，三點，直線是拋物線的對稱軸，點M是直線上的一個動點，當最短時，點M的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據拋物線的對稱性，連接交對稱軸于M，此時最短，利用待定系數法求得直線的解析式即可求得點M的坐標．
【詳解】解：連接交拋物線的對稱軸于M，則最短，

設直線的解析式為，
將，代入，得，解得，
∴直線的解析式為，
∵拋物線經過、，
∴拋物線的對稱軸為直線，
當時，，
∴點M坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數解析式、最短路徑問題，會利用拋物線的對稱性解決最短路徑問題是解答的關鍵．
44．如圖，拋物線y=-x2+2x+1交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據拋物線解析式求得點D（1，2）、點E（2，1），作點D關于y軸的對稱點D′（-1，2）、作點E關于x軸的對稱點E′（2，-1），從而得四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，當點D′、F、G、E′四點共線時，周長最短，據此根據兩點間的距離公式可得答案．
【詳解】解：如圖，
在y=-x2+2x+1中，當x=0時，y=1，即點C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴對稱軸為x=1，頂點D（1，2），
則點C關于對稱軸的對稱點E的坐標為（2，1），
作點D關于y軸的對稱點D′（-1，2），作點E關于x軸的對稱點E′（2，-1），
連接D′、E′，D′E′與x軸的交點G、與y軸的交點F即為使四邊形EDFG的周長最小的點，
四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=，
∴四邊形EDFG的周長的最小值為：．
故答案是：．
【點睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點、軸對稱-最短路線問題，根據軸對稱的性質得出點F、G的位置是解題的關鍵．
45．如圖是拋物線的一部分，該部分與軸、軸分別交于點
(1)求的值；
(2)若點是該拋物線的對稱軸上的點，則的最小值為___________，此時點的坐標為___________．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解．
【詳解】（1）解：∵與軸、軸分別交于點
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴對稱軸為直線，
∵,設關于對稱的點為，連接，
∴，，
∴，
∴當三點共線時最小，最小值為，
∵，
設經過的直線解析式為，
∴，
解得，
∴，
令，解得，
即．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，根據拋物線的對稱性求線段和的最小值，勾股定理，求一次函數解析式，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【題型10 二次函數圖象的平移】
46．將二次函數的圖象先向下平移2個單位，再向右平移2個單位所得新函數表達式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．根據二次函數圖象的平移規律進行解答即可．
【詳解】解：二次函數的圖象先向下平移2個單位，再向右平移2個單位所得新函數表達式為，
故選：D．
47．將拋物線向下平移3個單位長度后，經過點，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了二次函數的平移，根據平移規律得到函數解析式，把點的坐標代入得到，再整體代入變形后代數式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移3個單位長度后得到
，
把點代入得到，，
得到，
∴，
故答案為：5
48．將拋物線向下平移m個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與x軸有公共點，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】此題考查了二次函數圖像的平移與幾何變換，以及拋物線與軸的交點問題，利用拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．
先根據平移的規律寫出拋物線向下平移m個單位長度后的拋物線的表達式，再根據平移后得到的拋物線與軸有公共點可得，由此列不等式即可求出的取值范圍．
【詳解】解：將拋物線向下平移m個單位長度得，
∵與軸有公共點，
∴，
即，
解得：，
故答案為：．
49．已知二次函數的圖象以為頂點，且過點
(1)求該函數圖象拋物線的解析式；
(2)將函數圖象向右平移幾個單位，該函數圖象恰好經過原點．
【答案】(1)
(2)向右平移3個單位，該函數圖象恰好經過原點，
【分析】（1）設頂點式，然后把代入求出的值即可；
（2）先算出拋物線與軸的交點坐標為，，則把點向右平移3個單位到原點，所以把拋物線解析式向右平移3個單位，該函數圖象恰好經過原點；
本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象以為頂點，
∴設拋物線解析式為，
把代入得，
解得，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵
∴當時，，
∴，
解得，，
則拋物線與軸的交點坐標為，；
∴把拋物線解析式向右平移3個單位，該函數圖象恰好經過原點，
50．已知次函數的圖象經過點．
(1)求此二次函數的解析式，并求出頂點坐標；
(2)若將該二次函數圖象先向右平移m個單位、再向下平移m個單位，平移后的拋物線仍然經過點P，求m的值．
【答案】(1)，頂點坐標為
(2)
【分析】本題考查二次函數圖象及性質，待定系數法求二次函數解析式．
（1）將代入中即可求出；
（2）先求得平移后的函數解析式，繼而待定系數法求出本題答案．
【詳解】（1）解：二次函數的圖象經過點，
，
解得，
二次函數的解析式為，
頂點坐標為；
（2）解：根據題意，得平移后的拋物線解析式為：，
將代入得，
，，
．
．
【題型11 二次函數的最值】
51．關于二次函數的最大值或最小值，下列說法正確的是（ ）
A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據可得函數有最小值，再根據化成頂點式即可解答，正確理解二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
二次函數有最小值為6，
故選：D．
52．二次函數 在范圍內有最大值，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的性質，根據題意可得，拋物線開口向上，對稱軸為直線，進而分類討論，根據題意列出方程，解方程，即可得到答案．
【詳解】解：
∵，拋物線開口向上，對稱軸為直線
①當時，即時，
當時，最大值
則
解得：（舍去）
②當時，
當時，最大值為
解得：（舍去）或
故選：B．
53．二次函數的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數的最值，將解析式配方，進而求得函數的最大值．
【詳解】解：二次函數
∵
∴當時，取得最大值，最大值為
故答案為：．
54．當時，函數的最大值是8，則 ．
【答案】或
【詳解】本題考查了二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的增減性是解題關鍵．先求得對稱軸，根據的取值，再分和兩種情況討論求得即可．
【解答】解：函數的對稱軸為直線，
①當時，則時，函數的最大值是8，
把代入得，，
解得；
②當時，則時，函數的最大值是8，
把代入得，，
解得，
故答案為：或．
55．已知二次函數（是常數）
(1)若，
①該函數的頂點坐標為___________；
②當時，該函數的最大值___________；
③當時，該函數的最大值為___________；
(2)當時，該函數的最大值為4，則常數的值為___________．
【答案】(1)①；②2；③
(2)2或．
【分析】本題主要考查二次函數的圖象及性質，掌握二次函數的圖象及性質并靈活應用是解題的關鍵．
（1）根據函數表達式求最值，判斷二次函數圖象的增減區間，即可求解；
（2）分析拋物線對稱軸的不同位置判斷最值并求解即可；
【詳解】（1）解：當時，則二次函數
①二次函數圖像的頂點坐標為：；
②該拋物線的對稱軸為，
∵，
∴當時，y隨x的增大而減??；當時，y隨x的增大而增大，當時，函數取得最大值為2；
∴當時，該二次函數的最大值為2；
③當時，該二次函數的最大值為．
故答案為：①；②2；③
（2）二次函數的對稱軸為：，開口向下，
當時，，解得：（舍去）；
當時，，解得：（舍去）；
當時，，解得：；
綜上，常數m的值為或．
故答案為：或．
【拓展訓練一 二次函數的平移問題】
56．如圖，拋物線與軸交于點，將拋物線向右依次平移兩次，分別得到拋物線，與軸交于點，直線與這3條拋物線的6個交點的橫坐標之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數的平移問題，根據平移得出二次函數關系式，是解題的關鍵．先求出的坐標，得出拋物線向右每次平移的距離為4，根據二次函數為零時兩個根的關系即可解答．
【詳解】解：將代入拋物線，
得或，即，
故拋物線向右每次平移距離為4，
設，，，，，的橫坐標分別為，，，，，，
，同時在拋物線和直線上，
即，的橫坐標為的根，
，
，
，
直線與這3條拋物線的6個交點的橫坐標之和．
故選C．
57．已知二次函數，將其圖象向右平移個單位，得到新的二次函數的圖象，使得當時，隨增大而增大；當時，隨增大而減?。畡t實數的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換及二次函數的性質，熟知“左加右減”的平移法則及二次函數的性質是解題的關鍵．根據“左加右減”的平移法則，表示出平移后的函數解析式，再根據題意得出關于的不等式，據此可解決問題．
【詳解】解： ∵，
∴，
∵時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
58．已知二次函數的圖象與其向下平移m個單位長度所得的圖象都與x軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則m的值為（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，以及函數平移規律，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．先求得拋物線與x軸的兩個交點橫坐標，再結合二次函數的圖象向下平移m個單位后與x軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，得到平移后的解析式與x軸有兩個交點其橫坐標分別為，，利用交點式得到平移后的解析式，建立等式求解，即可解題．
【詳解】解：當時，解得，，
二次函數與x軸的兩個交點橫坐標為，，
∵，
∴二次函數與x軸的兩個交點的距離為6，
二次函數的圖象與其向下平移m個單位長度所得的圖象都與x軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，
每相鄰兩點間的距離為；
∴平移后的拋物線與x軸有兩個交點其橫坐標分別為，，
∴平移后的拋物線解析式為
∵平移后的解析式為，
∴，
解得，
故選：A．
59．在平面直角坐標系中，已知拋物線（m是常數且），是軸上一點，將點向右平移4個單位長度得到點．
（1）該拋物線的對稱軸為直線 ；
（2）當時，將該拋物線向上平移個單位長度后與線段沒有交點，則的取值范圍是 ．
【答案】 2 或
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，對稱軸，平移的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）直接運用對稱軸的公式代入數值進行計算，即可作答．
（2）先整理得該拋物線的函數表達式為，則當，即當時，該拋物線與線段沒有交點．再運用數形結合思想得當時，該拋物線與線段沒有交點，據此進行作答即可．
【詳解】解：（1）由題意，得拋物線的對稱軸為直線．
故答案為：2；
（2）如圖，
當時，
該拋物線的函數表達式為，
則拋物線的頂點坐標為，
當，即當時，該拋物線與線段沒有交點，
∵是y軸上一點，將點A向右平移 4個單位長度得到點B，
∴，
∴把代入，
得，
解得，
當時，該拋物線與線段沒有交點．
綜上，當或時，該拋物線與線段沒有交點．
故答案為：或．
60．已知二次函數解析式為．
(1)若該二次函數的圖象經過點，且開口向下，求該二次函數的解析式；
(2)若將該二次函數的圖象向上平移兩個單位，平移后的函數圖象與軸僅有一個交點，試確定平移前的二次函數圖象的頂點坐標；
(3)該二次函數圖象上有兩點，，若對于，，都有，求的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查二次函數的解析式、圖像平移、頂點坐標以及函數值的比較．需要掌握二次函數的開口方向、頂點坐標公式、圖像平移規律及函數增減性的應用．
（1）直接利用待定系數法代入點坐標求參數即可寫出函數解析式；
（2）先確定平移后的函數表達式，根據平移后的函數圖像與軸僅有一個交點即可求原函數頂點坐標；
（3）由題意分當時，拋物線開口向上以及當時，拋物線開口向下兩種情況進行思考．
【詳解】（1）解：把代入得：，
即，解得：或者，
拋物線開口向下，
，
二次函數解析式為；
（2）將該二次函數的圖象向上平移兩個單位后得到的函數解析式為，
平移后的函數圖像與軸僅有一個交點，
，
，
，
，
∴解析式為，
，
頂點坐標為；
（3）①當時，拋物線開口向上，對稱軸為，
當時，隨的增大而增大；
當時，隨的增大而減小，
則比更加遠離對稱軸，
，，
離對稱軸最近的距離為1，
應離對稱軸更近即對稱軸在與之間，
離對稱軸最遠的距離為或，
由題意可得：，
；
②當時，拋物線開口向下，對稱軸為，
當時，隨的增大而減小，
，
，
對于，，始終都有；
綜上所述，或．
【拓展訓練二 二次函數求最值】
61．已知拋物線經過點，點，將拋物線在A，B之間的部分（含端點）所有點的縱坐標的最小值記為w，且當時，y的最小值也為w，則m的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，解不等式組等知識，先把代入，求出，然后根據對稱軸公式求出對稱軸為，然后分；；三種情況討論，根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：∵拋物線經過點，
∴，
化簡得，
∴拋物線的對稱軸為，
當，即時，
拋物線在，之間的部分（含端點）所有點的縱坐標的最小值為頂點的縱坐標，
當時，y的最小值也為頂點的縱坐標，故符合題意；
當，即時，
∵，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，當時，y取最小值，
∵當時，，拋物線在，之間的部分（含端點）所有點的縱坐標的最小值，
∴或，
解得或無解，
∴，
當，即時，
∵，
∴當時，隨的增大而減小，
∴當時，當時，y取最小值，
∵拋物線在，之間的部分（含端點）所有點的縱坐標的最小值，
∴或或或，
解得無解，
解得無解，
解得無解，
解得無解，
綜上，，
故選：C．
62．已知二次函數（為常數），當時，函數有最大值，則的值為（ ）
A． B．1或 C．或 D．1或
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數的最值、二次函數的性質以及解一元一次（一元二次）方程，分、以及三種情況找出關于的方程是解題的關鍵．將拋物線解析式變形為頂點式可得出拋物線開口方向及對稱軸，分、以及三種情況畫出函數圖象，由當時，函數有最大值，即可得出關于的方程，解之即可得出結論．
【詳解】解：，
拋物線開口向下，對稱軸為直線．
當，即時，時取最大值（如圖1所示），
，
解得：，（不合題意，舍去）；
當，即時，時取最大值（如圖2所示），
，
解得：；
當，即時，時取最大值（如圖3所示），
，
解得：（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）．
綜上所述，的值為或．
故選：C．
63．如圖，在矩形中，，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，則線段的最小值為 ．
【答案】
【分析】過點作直線于，設 ，構建輔助線和設定未知數，由線段旋轉性質得出， ，通過角度關系證明 ，證明 ，得到對應邊相等關系．根據矩形邊長及全等三角形對應邊相等，計算出、、、關于的表達式． 在中，依據勾股定理建立關于的表達式，再通過配方轉化為頂點式，結合二次函數性質求出的最小值．
【詳解】如圖，過點作直線于，
設，
，
將繞點逆時針旋轉得到，
，，
，
，
，
，
設長為，在矩形中，，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形性質、三角形全等判定及性質、勾股定理和二次函數求最值 ，解題關鍵是通過作輔助線構造全等三角形，利用相關性質建立線段長度表達式并求其最小值．
64．設二次函數，當時，函數有最小值，則的值為 ．
【答案】
【分析】先將二次函數化成頂點式，于是可得其對稱軸為直線，由可得拋物線開口向上，然后分三種情況討論：①當時；②當時；③當時；分別求解并驗證結果是否符合題意即可．
【詳解】解：，
二次函數的對稱軸為直線，
，
拋物線開口向上，
分三種情況討論：
①當時，
即時，此時時，函數有最小值，
將代入，得：
，
解得：，
與相矛盾，不符合題意，故舍去；
②當時，
即時，頂點處取最小值，
，
解得：或（不符合題意，故舍去），
；
③當時，
即時，此時時，函數有最小值，
將代入，得：
，
解得：，
與相矛盾，不符合題意，故舍去；
綜上，的值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的最值，把化成頂點式，的圖象與性質，二次函數的圖象與系數的關系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質并運用分類討論思想是解題的關鍵．
65．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：，是“三倍點”．
(1)判斷下列函數中存在三倍點的是______（填入序號）．
①；②；③；④．
(2)已知二次函數（c為常數）．若該函數經過點，
①求出該圖象上的“三倍點”坐標；
②當時，求出該函數的最小值；
(3)在的范圍內，若二次函數的圖象上至少存在一個“三倍點”，求出c的取值范圍．
【答案】(1)①④
(2)①；②當時，；當時，
(3)
【分析】（1）利用“三倍點”的定義逐項判斷；
（2）①把代入即可求得拋物線解析式，設該函數圖象上的“三倍點”坐標為，把代入拋物線解析式，即可確定“三倍點”坐標；
②由①可知，分為當，即時；當，即時兩種情況，分別求解即可；
（3）由題意得，三倍點所在的直線為，將在的范圍內，二次函數的圖象上至少存在一個“三倍點”，轉化為在的范圍內，二次函數和至少有一個交點，即可求解．
【詳解】（1）解：設三倍點坐標為，
①將代入，得，解得，，可知中存在三倍點；
②將代入，得，無解，可知中不存在三倍點；
③將代入，得，無解，可知中不存在三倍點；
④將代入，得，解得，可知中存在三倍點；
故答案為：①④；
（2）解：①∵函數經過點，
∴，解得：，
∴該函數解析式為．
設點P是函數圖象上的“三倍點”，則，
∴，解得：，
∴．
②由（1）可知，配方得，
∴拋物線的對稱軸為直線．
當，即時，；
當，即時，；
綜上，當時，，
當時，．
（3）解：由題意，得“三倍點”所在的直線為．
在的范圍內，二次函數的圖象上至少存在一個“三倍點”，
即在的范圍內，二次函數和的圖象至少有一個交點，
令，整理得：，
則，
解得：．
把代入，得，
代入，得，則，
解得：．
把代入，得，
代入，得，
則，解得：．
綜上，c的取值范圍為．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，二次函數與一元二次方程的關系等，理解“三倍點”是的定義是解題的關鍵．
【拓展訓練三 二次函數的翻折問題】
66．如圖，函數的圖象是由函數的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，則下列結論：①；②將圖象向上平移1個單位長度后與直線有3個交點；③當時，該圖象與直線有四個交點；④（為實數）其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一次函數的綜合、一元二次方程根的判別式等知識，較難的是③，正確找出兩個臨界位置是解題關鍵．求出函數的對稱軸為直線，由此即可判斷①正確；先利用待定系數法求出函數的解析式，再求出函數在段的圖象的最高點的坐標為，由此即可判斷②正確；找出兩個臨界位置：當直線經過點時，直線與函數圖象有3個交點；當直線與函數在段的圖象只有一個交點時，直線與函數圖象有3個交點，求出的值，由此即可判斷③正確；根據當時，函數取得最小值，最小值為，則對于任意實數，都有，由此即可判斷④錯誤．
【詳解】解：函數的對稱軸為直線，
∴，即，結論①正確；
由題意可知，函數的圖象經過點，
將點代入：，解得，
∴函數的解析式為，其頂點坐標為，
∴函數在段的圖象的最高點的坐標為，
∴將函數圖象向上平移1個單位長度后，在軸兩個交點的中間部分段的圖象的最高點的坐標為，
∴將函數圖象向上平移1個單位長度后與直線有3個交點，結論②正確；
由上可知，函數的解析式為，
當或時，，
當時，，
有兩個臨界位置：如圖，當直線經過點時，直線與函數圖象有3個交點，
則，解得；
如圖，當直線與函數在段的圖象只有一個交點時，直線與函數圖象有3個交點，
聯立得：，這個方程有兩個相等的實數根，
∴方程根的判別式，
解得，
∴當時，該圖象與直線有四個交點，結論③正確；
由上可知，函數圖象的開口向上，對稱軸為直線，
∴當時，函數取得最小值，最小值為，
∴對于任意實數，都有，即，結論④錯誤；
綜上，正確的是①②③，
故選：A．
67．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個交點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查拋物線與軸的交點：把求二次函數（、、是常數，）與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．解方程得，，再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經過點時的值和當直線與拋物線有唯一公共點時的值，即可得解．掌握拋物線與軸交點坐標的求法及拋物線與直線交點坐標的求法是解題的關鍵．也考查了二次函數圖像與幾何變換．
【詳解】解：對拋物線，
當時，得：，
解得：或，
∴拋物線與軸的交點為、，
∵將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，
∴新圖像中當時，解析式為，即，如圖，
當直線經過點時，此時直線與新函數圖像有個交點，
把代入直線，解得：，
將直線向下平移時，有個交點，
當與直線有一個交點時，此時直線與新函數圖像有個交點，
整理得：，
∴，
解得：，
綜上所述，新圖像與直線有個交點時，的取值范圍是．
故選：C．
68．將拋物線的圖像位于直線以下的部分向上翻折，得到如圖圖像，若直線與此圖像有四個交點；求的取值范圍．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的圖象變換，二次函數與一次函數的交點問題，根據題意，畫出新圖象，分別確定直線與拋物線有一個交點、直線經過點時的的值，即可求解，熟練掌握相關知識點是關鍵．
【詳解】解：根據題意，畫出圖象如圖所示：
直線與拋物線未翻折部分有一個交點時，此時直線與新圖象有三個交點，
可得方程有一個實數根，
整理方程得：，
，
解得：；
由解得：，，
，
當直線經過點時，此時直線與新圖象有三個交點，
可得，
解得，
根據圖象可得，的取值范圍是：．
69．已知二次函數，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數圖象（如圖所示），當直線與新圖象有3個交點時，m的值是 ．
【答案】或/或
【分析】本題考查二次函數與一次函數交點問題，利用數形結合的思想是解題關鍵．如圖，根據二次函數解析式可求出，，即得出新的函數解析式為，大致畫出圖象，利用圖象可知當直線過點A時和當直線與相切時，直線與新圖象有3個交點，據此求解即可．
【詳解】解：對于，
令，則，
解得：，，
∴，，
∴新的函數解析式為．
如圖，
當直線過點A時，與新圖象有3個交點，
∴，
解得：；
當直線與相切時，直線與新圖象有3個交點，即此時一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得：．
綜上可知m的值是或．
故答案為：或．
70．如圖，已知拋物線經過和兩點，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“W”，圖象交軸于點．
(1)①求拋物線的解析式；
②求二次函數的最小值．
(2)①直接寫出圖象的解析式；
②求當圖象所對應的函數隨增大而增大時的取值范圍．
(3)若直線與圖象有3個交點時，請結合圖象，直接寫出的值．
【答案】(1)①；②
(2)①；②或
(3)或
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，根據題意數形結合是解題的關鍵．
（1）①根據待定系數法直接求解即可；②根據二次函數的圖象性質即可求解；
（2）①先根據反轉的性質求出點坐標，再根據待定系數法求解析式即可；②根據的圖象性質求解即可；
（3）結合圖像，分兩種情況分別求解即可．
【詳解】（1）解：①∵拋物線經過和兩點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式，
②，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴二次函數的最小值為．
（2）解： ①當時，，由對稱性可得，
當時，，
解得，，
，，
設圖象的解析式為，
將代入，得，
，
，
圖象位于線段上方部分對應的函數關系式為，
∴圖象的解析式為；
②對于，對稱軸為，時，隨增大而增大；
對于，對稱軸為，時，隨增大而增大，
∴隨增大而增大時的取值范圍是或．
（3）解：如圖，直線與圖象有個交點時，有兩種情況，
一種情況是直線過點，把代入，得，解得；
另一種情況是直線與相切，
聯立方程，消去得，即，
令判別式，解得；
綜上所述，或．
【拓展訓練四 二次函數的存在性問題】
71．在平面直角坐標系中，已知拋物線，設該拋物線的對稱軸為．
(1)當時，求的值；
(2)點是該拋物線上兩個點，當時，對于的每一個值，總存在，使得，，且成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)的取值范圍是或．
【分析】本題主要考查了二次函數的性質，掌握分類討論思想成為解題的關鍵．
（1）當時，拋物線，然后根據二次函數的性質即可解答；
（2）由二次函數的性質可得拋物線的對稱軸為，且．然后分和兩種情況，分別根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：當時，拋物線．
所以該拋物線的對稱軸為，即．
（2）解：∵拋物線，
∴拋物線的對稱軸為，且．
當時，對于的每一個值，總存在，使得，，且成立；
①若，此時，
則當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。?br/>（ⅰ）當時，，成立．
（ⅱ）當時，
點關于對稱軸的對稱點為．
．
．
當時，成立．
（ⅲ）當時，不合題意，舍去．
②若，此時，則當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大．
滿足題意．
綜上所述，的取值范圍是或．
72．設二次函數．
(1)若該函數的對稱軸為直線．求該函數的頂點坐標；
(2)判斷該函數是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)已知點，和在函數圖象上，當時，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根據函數的對稱軸為直線，得出，將代入得，，即可得出拋物線的頂點坐標；
（2）根據函數最大值5，得出，解方程即可；
（3）先求出拋物線的解析式為：，得出拋物線的對稱軸為直線，根據當時，都有，利用圖象法解決問題即可．
【詳解】（1）解：∵函數的對稱軸為直線，
∴，
∴拋物線的解析式為，
將代入得，，
∴頂點坐標為；
（2）解：存在；
∵函數最大值5，
∴，
即，
解得：，
（3）解：將點坐標代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：，
∵拋物線的對稱軸為直線，當時，都有，
∴根據函數圖象可知：此時或．
【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求出二次函數解析式，二次函數的最值，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握二次函數的性質．
73．已知二次函數（是常數，且）的圖象經過點和點．
(1)若，求拋物線頂點坐標；
(2)若存在實數，使得，且，求的取值范圍；
(3)當時，的值增大，的值先減小再增大，且的最大值與的最小值的差等于3，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵；
（1）當時，把二次函數化為頂點式即可；
（2）先計算，，用表示，進而可得，分別代入得出關于的不等式組，解不等式即可；
（3）根據當時，的值增大，的值先減小再增大，可得點拋物線對稱軸的左側，點拋物線對稱軸的右側．當時，的最小值是．然后分兩種情況討論的最大值, 由該二次函數的最大值與最小值的差為3，列出方程求解．
【詳解】（1）解：若，
，頂點坐標；
（2）把代入得：
把代入得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴；
（3）∵二次函數的對稱軸為，
當時，的值增大，的值先減小再增大，
∴點拋物線對稱軸的左側，
點拋物線對稱軸的右側．
∴當時，的最小值是．
若，即，的最大值是
∴．
解得：（舍去）．
若，即，的最大值是，
∴．
綜上，的值是．
74．二次函數的圖象經過點．
(1)求的值．
(2)當時，該函數的最大值減去最小值的差為，當時，該函數的最大值減去最小值的差為．
①若，求的取值范圍；
②是否存在？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1
(2)①；②不存在，見解析
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握和靈活運用相關知識，運用分類討論思想是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法，將代入函數解析式即可求出；
（2）根據二次函數的增減性，求出最大值和最小值，作差即可；
②分類討論，求出不同m的取值范圍對應的、即可比較即可．
【詳解】（1）解：將，代入，
得，
解得；
（2）①
拋物線的開口方向向上，對稱軸為，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，
，
當時，最小，；
當時，最大，．
∴當時，時，恰好函數的最大值4和最小值的差為．
當時，．
∴當時，y隨x的增大而增大，且，
此時，的值保持不變，始終等于，
∴m的取值范圍是
②設時的函數值為，時的函數值為，
I．當時，即，則必有，
對應的最大值都是．對應的最小值分別為，，
此時；，
∴
II．當時，，則必有，，
對應的最大值都是． 當時的最小值為，當時的最小值為，
此時；，
∴；
III．當時，必有，
對應的最大值都是．對應的最小值都是．
此時；
IV．當時，必有，
它們對應的最小值都是．當時的最大值為，當時的最大值為，
此時；，
∴
V.當時，必有，對應的最小值都是．對應的最大值分別為，，
此時；，
∴
綜上所述，不存在．
75．若定義：若一個函數圖像上存在縱坐標是橫坐標倍的點（為常數，且），則把該函數稱為“倍函數”，該點稱為“倍點”，例如：“2倍函數”，其“2倍點”坐標為．
(1)①判斷：函數____“2倍函數”（填“是”或“不是”）；
②函數的圖像上的“2倍點”的坐標為____．
(2)若拋物線上有兩個“3倍點”，求的取值范圍；
(3)若函數的圖像上存在唯一的一個“倍點”，且當時，的最小值為，求的值．
【答案】(1)①不是；②或
(2)的取值范圍為：且
(3)的值為或
【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的開口，增減性，最值的計算方法是關鍵．
（1）根據題意，①設“倍點”坐標為，代入計算即可求解；②同上述計算方法一樣；
（2）設“3倍點”坐標為，代入，再根據一元二次方程判別式求解即可；
（3）設“倍點”坐標為，則，即是關于的二次函數，圖像開口向上，根據二次函數最值的計算方法求解即可．
【詳解】（1）解：若一個函數圖像上存在縱坐標是橫坐標倍的點（為常數，且），
∴設“倍點”坐標為，
∴，無解，
∴函數不是“2倍函數”；
，
整理得，，
解得，或，
∴函數的圖像上的“2倍點”的坐標為或；
故答案為：①不是；②或；
（2）解：拋物線上有兩個“3倍點”，
∴設“3倍點”坐標為，
∴，
整理得，，
∵拋物線有兩個“3倍點”，
∴，
解得，，
∴的取值范圍為：且；
（3）解：設“倍點”坐標為，
∴，整理得，，
∵圖像上存在唯一的一個“倍點”，
∴，
∴，
∴，即是關于的二次函數，圖像開口向上，
∴對稱軸直線，
當時，的最小值為，根據對稱軸于取值范圍的關系，分類討論：
∴①，即，
∴，
解得，；
②當時，，
∴時取到最小值，
∴，整理得，，
解得，（舍去）；
③∴當時，，
∴時取到最小值，
∴，整理得，，無解；
綜上所述，的值為或．
1．在直角坐標系中，將函數的圖象向上平移5個單位，所得新函數的圖象與軸兩個交點之間的距離是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了拋物線的平移，拋物線與軸的交點問題．熟練掌握各知識點是解題的關鍵．
先根據“上加下減”求出平移后的拋物線解析式，再令，求出新拋物線與軸交點，即可求解．
【詳解】解：將函數的圖象向上平移5個單位得到新函數為．
當，則，
解得：或
∴交點橫坐標為，．
∴新函數的圖象與軸兩個交點之間的距離是，
故選：A．
2．已知二次函數的圖象上有兩點，若，當函數值取得最大值時，對應的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，拋物線的對稱軸，頂點坐標等知識點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．
根據兩個對稱點確定拋物線的對稱軸，判定頂點為最高點即可確定的值．
【詳解】解：由拋物線上可知，縱坐標相等，
∴兩點關于拋物線的對稱軸對稱，
所以拋物線的對稱軸為，
∵，
∴拋物線的頂點為最高點，
所以，當函數值取得最大值時，對應的值為1．
故選：B
3．用“描點法”畫二次函數的圖象時，列了如下表格：
… 0 1 2 …
… …
根據表格上的信息回答問題：該二次函數當時，？（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，先由表格數據得二次函數的對稱軸為直線，再結合與關于直線對稱，即可作答．
【詳解】解：觀察表格數據得和時，，
∴二次函數的對稱軸為直線，
∴關于直線對稱為，
即該二次函數當時，，
故選：B
4．二次函數的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【分析】本題考查二次函數圖象的性質，根據拋物線解析式得出開口方向，即可求解．
【詳解】解：∵，開口向上，
∴當時，y有最小值為，
故答案為：A．
5．已知二次函數的自變量與函數的幾組對應值如下表：
… 0 1 3 5 …
… 5 0 12 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（　　）
A． B．函數圖象開口向下
C．當時，隨的增大而減小 D．的最小值是
【答案】D
【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據表格的數據，把代入，求出再根據二次函數的圖象性質進行分析，得對稱軸是直線，當時，函數取得最小值，，據此進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：把代入，
得
解得
∴二次函數的解析式為
函數的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸是直線
∴當時，函數取得最小值，
當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大．
由以上分析知，B、C不符合題意， D符合題意；
，
故A不符合題意．
故選 D
6．已知拋物線（是常數，且）與軸正半軸交于點，當時，；當時，．則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，首先把二次函數的解析式整理成頂點坐標式，可得：，所以可知拋物線的對稱軸是，根據二次函數的對稱性可得：當時，，又因為當時，，可知當時，，從而可得關于的方程，解方程即可求出的值．
【詳解】解：把整理，
可得：，
拋物線的對稱軸是，
當時，；
根據拋物線的對稱性可得：當時，，
又當時，，
當時，，
，
解得：．
故選：D．
7．從如圖所示的二次函數的圖象中，觀察得出了下面五條信息：
①；②；③：④．你認為其中正確信息的有 ．（填寫序號）
【答案】①②③④
【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．本題考查了二次函數圖像與系數的關系，熟練掌握：二次項系數決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口，當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置，當與同號時，對稱軸在軸左，當與異號時，對稱軸在軸右，常數項決定拋物線與軸交點，拋物線與軸交于，是解答本題的關鍵．
【詳解】解：由圖可知，二次函數圖像開口向上，圖像與軸的交點在負半軸，
，，故①正確；
二次函數圖像的對稱軸，，
，
，故②正確；
由圖可知，當時，，故③正確；
由對稱軸，可得，
∴
故④正確，
綜上所述，正確的有：①②③④；
故答案為：①②③④．
8．二次函數中的和滿足下表，則的值為 ．
x … 0 1 2 3 …
y … m …
【答案】
【分析】本題主要考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，解題關鍵是熟練掌握利用待定系數法求二次函數的解析式的步驟．
通過表格中的數據可以求出二次函數的表達式，再將代入函數解析式，求得的值．
【詳解】解：將代入得，
解得，
二次函數的解析式為，
當時，，
故答案為：．
9．將二次函數的圖像先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像對應的函數表達式是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數圖像與幾何變換，正確掌握平移規律是解題的關鍵．
直接利用二次函數的平移規律：左加右減，上加下減，進而得出答案．
【詳解】解：將二次函數的圖像先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像對應的函數表達式是，
故答案為：．
10．已知關于x的一元二次方程的兩根為，則拋物線的對稱軸為直線 ．
【答案】
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是根據一元二次方程的解求出拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，根據拋物線與x軸的交點橫坐標與一元二次方程的根之間的關系即可求出二次函數的對稱軸．
【詳解】解：關于x的一元二次方程的兩根為，
二次函數與x軸的兩個交點的橫坐標為分別為1和3．
拋物線的對稱軸為直線．
故答案為∶ ．
11．經過，兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得點的橫坐標，計算即可求解．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，
拋物線經過，兩點，
，
，
拋物線的解析式為，
拋物線與軸有交點，
，
，
，
，
，，
，
故答案為：．
12．若一個點的橫坐標和縱坐標相等，則稱該點為不動點．已知拋物線上有且只有一個不動點，且當時，函數的最小值為，最大值為1，請探究下列問題：
（1）的值是 ；
（2）的取值范圍是 ．
【答案】 /
【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與x軸交點問題等知識．
（1）由不動點的概念和根的判別式求出和的值，即可求出的值；
（2）再由拋物線的解析式求出頂點坐標和與坐標軸的交點坐標，根據函數值，即可求得的取值范圍．
【詳解】（1）解：令，即，
由題意可得，圖象上有且只有一個不動點，
∴，則，
又方程根為，
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）解：，，
∴函數，
該二次函數圖象如圖所示，頂點坐標為，
與軸交點為，
根據對稱規律，點也是該二次函數圖象上的點，
在左側，隨的增大而增大；
在右側，隨的增大而減??；且當時，
函數的最大值為，最小值為，
∴．
故答案為：．
13．已知拋物線，如圖所示，直線是其對稱軸．
(1)確定b，的符號；
(2)求證：；
(3)當x取何值時，，當x取何值時．
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)當時，；當或時，．
【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數和x軸交點問題，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數圖象與系數的關系．
（1）根據開口方向確定a的符號，根據對稱軸的位置確定b的符號，根據拋物線與x軸交點的個數確定的符號；
（2）根據圖象和的函數值確定與0的關系；
（3）根據拋物線在x軸上方時；拋物線在x軸下方時求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線開口向下，
∴，
∵對稱軸，
∴，
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴；
（2）證明：∵拋物線的頂點在軸上方，對稱軸為，
∴當時，；
（3）根據圖象可知，
當時，；當或時，．
14．已知拋物線（為常數）．
(1)若點在該拋物線上，求的值；
(2)若該拋物線的頂點坐標是，求關于的函數解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數的性質，求二次函數解析式，熟練掌握頂點坐標公式是解此題的關鍵．
（1）將點的坐標代入拋物線表達式求解即可；
（2）根據頂點坐標公式可得m、n關于b 的關系式，進一步即可得出結果．
【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：
，
解得：；
（2）解：由拋物線頂點坐標公式得：， ，
故．
15．已知二次函數與一次函數的圖象相交于A、B兩點，如圖所示，其中．
(1)請求出以上兩個函數的解析式；
(2)求點B的坐標；
【答案】(1)一次函數表達式為，二次函數的解析式為
(2)
【分析】本題主要考查了待定系數法求函數解析式，解題的關鍵是正確的求出點B的坐標．
（1）代入點A的坐標可求出直線與拋物線的解析式；
（2）兩個函數解析式聯立即可求解B點坐標．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖像相過點，
∴，解得，
∴一次函數表達式為，
∵過點，
∴，解得，
∴二次函數的解析式為；
（2）解：由一次函數與二次函數聯立可得，
解得，，
．
16．表格中是二次函數的函數值y與自變量x的對應值．
x … 0 3 5 6 …
y … 27 7 0 7 16 …
（1）寫出該拋物線的對稱軸 ．
（2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”）
（3）已知該拋物線與x軸的一個交點坐標是，則該拋物線與x軸的另一個交點坐標是 ．
（4）若點是該拋物線上一點，請寫出這個點在其圖象上的對稱點坐標 ．
【答案】（1）直線；
（2）；；
（3）；
（4）
【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，函數圖象具有對稱性，圖象上的點關于對稱軸對稱，離對稱軸距離相等的點縱坐標相等．
（1），根據對稱軸的性質即可得出對稱軸；
（2）根據表格自變量與函數值的變化情況即可判斷拋物線開口方向，結合（1）可知b的正負；
（3）根據拋物線具有對稱性，與x軸的一個交點也關于對稱軸對稱即可得到與x軸的另一個交點坐標；
（4）根據拋物線上的點具有對稱性，關于拋物線對稱軸對稱的點，縱坐標相同，關于對稱性即可求解．
【詳解】解：（1）根據對稱軸性質：距對稱軸距離相等的兩個點縱坐標相同，選取與兩點，可得．
故答案為：直線．
（2）根據表格可知，隨著自變量的增大函數值先減小后增大，
∴拋物線開口向上，
∴；
又∵根據（1）得，
對稱軸，
．
故答案為：，．
（3）∵拋物線具有對稱性，
∴拋物線上的點關于對稱軸對稱，
又∵與x軸的一個交點關于直線對稱，
設與x軸的另一個交點坐標為，
∴由對稱軸，得，
∴與x軸的另一個交點坐標為．
故答案為：．
（4）∵拋物線上的點具有對稱性，設點關于對稱軸對稱的點為，
∴，
得，
∴ 點關于對稱軸對稱的點坐標為．
故答案為：．
17．如圖，拋物線交x軸于點A，點（點A在點B左側），交y軸于點．
(1)求拋物線解析式；
(2)若將拋物線向右平移個單位長度得到一條新拋物線，且新拋物線與坐標軸僅有兩個交點，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式；
（1）采用待定系數法進行求解即可；
（2）令，求出點A的坐標為及，根據當原拋物線向右平移后，若新拋物線與坐標軸僅有兩個交點，則新拋物線必過原點，即可求出結果．
【詳解】（1）解：∵拋物線過，，
∴
解得：，，
∴拋物線解析式為；
（2）解：令，，
解得，，
∴點A的坐標為，，
當原拋物線向右平移后，若新拋物線與坐標軸僅有兩個交點，則新拋物線必過原點，
∴．
18．已知拋物線（為常數）．
(1)若該函數的圖象經過
①求該二次函數的表達式；
②將該二次函數的圖象向右平移個單位長度，得到新的二次函數的圖象，若新二次函數的圖象的頂點恰好落在直線上，求的值；
(2)若點，，都在這個二次函數圖象上，且，求的取值范圍．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】本題考查了二次函數與一次函數綜合．
（1）①利用待定系數法即可求解；
②新拋物線頂點坐標為，將上述點的坐標代入一次函數表達式得：，即可求解；
（2）根據對稱性求出b和n的關系，將P和Q的坐標代入，求出t，a的表達式，在根據求解n的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：①
把代入
．
；
②
將該二次函數的圖象向右平移個單位．
頂點
新二次函數的圖象的頂點恰好落在直線上，
．
（2）解：經過
對稱軸直線，
當時，，
則拋物線過點，
由對稱性得，拋物線過點，
（I）情況1：對稱軸在軸左側，且點在對稱軸左側，
可得，
解得，
不存在．
情況2：對稱軸在軸左側，且點在對稱軸右側，
可得，
解得．
（II）對稱軸在軸右側，點只能在對稱軸左側，
此時，與矛盾．
不存在．
綜上．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
03 二次函數的性質1
知識點1：二次函數的常見表達式：
名稱 解析式 前提條件 相互聯系
一般式 當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式. 1）以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化. 2) 一般式化為頂點式，交點式，主要運用配方法，因式分解等方法.
頂點式 當已知拋物線的頂點坐標（h，k）或對稱軸或最值等有關條件時，常用頂點式求其表達式.
交點式 當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，常用交點式求其表達式.
【即時訓練】
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數的圖象如圖所示，求這個二次函數的解析式．
2．（24-25九年級上·浙江湖州·期中）已知拋物線經過，兩點，求這條拋物線的解析式．
3．（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，拋物線分別經過點，，．求拋物線的函數解析式．
知識點2：二次函數的圖像與a，b，c的關系
字母 字母的符號 圖像特征 備注
a a>0 開口向上 a的正負決定開口方向， a的大小決定開口的大小(|a|越大，開口越小)．
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸是y軸，即=0 左同右異中間0
a，b同號 對稱軸在y軸左側，即
a，b異號 對稱軸在y軸右側，即
c c=0 圖像過原點 c決定了拋物線與y軸交點的位置．
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
與x軸有兩個交點 的正負決定拋物線與x軸交點個數
與x軸有唯一交點
與x軸沒有交點
【補充】
1）若兩條拋物線的形狀與開口方向相同時，則它們的二次項系數a必相同；
2）由a的符號與對稱軸x=的位置共同確定b的符號；
【小技巧】通過給x賦值，結合圖像即可判斷特殊函數值的正負.
【即時訓練】
4．（2025·浙江·二模）已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江金華·一模）已知拋物線（為常數，）經過點，開口向下，對稱軸為直線．下列結論正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）二次函數的圖像如圖所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正確的有 ．（填編號）．
知識點3：二次函數的平移變換
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 頂點式y＝a(x–h) 2＋k 平移口訣
向左平移n個單位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n個單位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右減
向上平移n個單位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n個單位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下減
補充：
① 二次函數圖像平移的實質：點的坐標整體平移，在此過程中a的值不發生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關.
② 根據平移規律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數項加減平移單位.
③ 涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉化為頂點式的形式，因為二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式.
④ 求函數圖像上某點平移后的坐標口訣與圖像平移口訣相同.
⑤ 對二次函數上下平移，不改變增減性，改變最值；對二次函數左右平移，改變增減性，不改變最值.
【即時訓練】
7．（2025·浙江·二模）將拋物線先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的拋物線是 ．
8．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）將拋物線向上平移3個單位，再向右平移4個單位，得到的拋物線解析式是
9．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）已知二次函數，若將該二次函數圖象向上平移m個單位長度，平移后的拋物線經過點，求m的值．
知識點4：二次函數圖象的對稱變換
變換方式 變換后 口訣
關于x軸對稱 x不變，y變-y
關于y軸對稱 y不變，x變-x
關于原點對稱 x變-x，y變-y
【即時訓練】
10．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）如果點，是拋物線上兩個不同的點，那么m的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（23-24九年級上·浙江衢州·期末）在函數的圖象上有兩點、，則、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
12．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數自變量x與函數值y之間滿足下列數量關系：則代數式的值等于 ．
x … 0 1 2 3 …
y … …
【題型1 二次函數的一般式】
1．已知拋物線經過和兩點，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知拋物線經過，兩點，求這條拋物線的解析式．
3．已知二次函數的圖象經過點，求該二次函數的表達式．
4．已知拋物線經過點、，求拋物線的解析式．
5．已知二次函數，當時，，時，．
(1)求a，c的值．
(2)當時，求函數y的值．
【題型2 二次函數的頂點式】
6．在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象經過點，且它的頂點是原點，則這個二次函數的表達式為 ．
7．頂點坐標為，開口方向和大小與拋物線相同的拋物線為（ ）
A． B．
C． D．
8．選你喜歡的、、的值，使二次函數 的圖象同時滿足下列條件:
①它的圖象不經過第三象限；
②圖象經過點；
③當時，函數值隨自變量的增大而增大，這樣的二次函數的表達式可以是 ．
9．已知二次函數的圖象過坐標原點，其頂點坐標是，求這個二次函數的解析式．
10．已知二次函數的圖象經過點，且頂點坐標為，求此二次函數的解析式．
【題型3 二次函數的兩點式】
11．已知二次函數的圖象與經過，，．
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)指出它的對稱軸和最值．
12．根據下列條件，分別確定拋物線對應的二次函數的表達式．
(1)拋物線的頂點坐標是，且與x軸的一個交點坐標是；
(2)拋物線過，兩點，與軸的交點為．
13．已知拋物線與x軸交于、，且過點，求拋物線的解析式；并指出其開口方向，對稱軸及頂點坐標．
14．如圖，已知拋物線 經過兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線解析式；
(2)觀察圖象：當時，直接寫出y的取值范圍_______．
15．已知一個二次函數的圖象經過點，，，求這個二次函數的解析式．
【題型4 二次函數圖象與各系數符號】
16．二次函數的圖象如圖，則下列結論正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
17．已知二次函數的圖象在軸的下方，則，，滿足的條件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．已知二次函數的圖象如圖所示，給出下列四個結論：①；②；③；④．上述結論中，正確結論的序號有 ．
19．如圖，二次函數圖象的一部分與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結合圖象給出下列結論：
①；②；③（為任意實數）；④若點，，均在二次函數圖像上，且滿足，則；
其中正確的結論有 ．
20．已知二次函數的圖象如圖所示，有下列5個結論：①；②；③；④；⑤若方程有兩個根，，則．正確的結論是 （寫序號）．
【題型5 根據二次函數的圖象判斷式子符號】
21．二次函數的圖象經過點，，與軸的交點在軸的下方．下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．二次函數的最小值為
22．如圖，拋物線過點，對稱軸為直線，有以下結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．方程兩根分別為，4
23．如圖，二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，對稱軸為直線，下列四個結論：①該圖象經過點；②；③；④，其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
24．已知二次函數的圖象如圖所示，其對稱軸為，給出下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論是 （只填序號）．

25．如圖，已知頂點的拋物線經過點，下列結論：①；②若點，在拋物線上，則；③；④關于x的一元二次方程的根為和，其中正確的有 （填寫序號）．
【題型6 已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸】
26．二次函數 圖像上部分點的坐標對應值列表如下：
x … 0 1 …
y … …
則該函數圖像的對稱軸是（ ）
A．直線 B．直線 C．直線 D．直線
27．將拋物線向左平移個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與直線相交于，，則的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
28．已知、是拋物線上不同的兩點，如果，那么 ．
29．已知二次函數經過兩個不同點，，則 ．
30．已知二次函數．
(1)求該二次函數圖象與軸的交點坐標，并直接寫出：函數的對稱軸為直線_________．
(2)若，當時，的最大值是4，求當時，的最小值；
【題型7 根據二次函數的對稱性求函數值】
31．已知二次函數函數值y與自變量x的部分對應值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m 2 3 2 …
其中m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
32．設二次函數（是常數），部分對應值如下表：當時，（　?。?br/>．．． 0 1 2 ．．．
．．． 5 0 ．．．
A．5 B． C． D．0
33．已知拋物線，點與點關于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值等于 ．
34．在直角坐標系中，二次函數的圖象過點，點，點．若，則的取值范圍是 ．
35．已知拋物線的對稱軸是軸．
(1)求的值；
(2)求出拋物線的解析式并說明拋物線的增減性．
【題型8 二次函數的單調性】
36．在二次函數的圖象上，y隨x的增大而增大，則x的取值范圍：（ ）
A． B． C． D．
37．已知二次函數，當時，隨的增大而增大，當時，函數的最大值是8，最小值是，則的值可能是（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．9
38．已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則m的范圍是 ．
39．已知二次函數，當函數值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是 ．
40．操作與探究：
(1)在如圖的平面直角坐標系中畫出函數的圖象；
(2)仔細觀察圖象，結合所學知識解答下列問題：
①當函數值時，自變量x的取值范圍是___________；
②當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是___________；
③當時，函數值，直接寫出n的取值范圍___________．
【題型9 利用二次函數對稱性求最短路徑】
41．如圖，直線yx+3分別與x軸，y軸交于點A、點B，拋物線y=x2+2x﹣2與y軸交于點C，點E在拋物線y=x2+2x﹣2的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，CE+EF的最小值是（　　）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
42．如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點是拋物線的對稱軸上一動點，連接和，則的最小值是 ．

43．如圖，已知拋物線經過，，三點，直線是拋物線的對稱軸，點M是直線上的一個動點，當最短時，點M的坐標為 ．

44．如圖，拋物線y=-x2+2x+1交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為點E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為 ．
45．如圖是拋物線的一部分，該部分與軸、軸分別交于點
(1)求的值；
(2)若點是該拋物線的對稱軸上的點，則的最小值為___________，此時點的坐標為___________．
【題型10 二次函數圖象的平移】
46．將二次函數的圖象先向下平移2個單位，再向右平移2個單位所得新函數表達式為（ ）
A． B．
C． D．
47．將拋物線向下平移3個單位長度后，經過點，則 ．
48．將拋物線向下平移m個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與x軸有公共點，則m的取值范圍是 ．
49．已知二次函數的圖象以為頂點，且過點
(1)求該函數圖象拋物線的解析式；
(2)將函數圖象向右平移幾個單位，該函數圖象恰好經過原點．
50．已知次函數的圖象經過點．
(1)求此二次函數的解析式，并求出頂點坐標；
(2)若將該二次函數圖象先向右平移m個單位、再向下平移m個單位，平移后的拋物線仍然經過點P，求m的值．
【題型11 二次函數的最值】
51．關于二次函數的最大值或最小值，下列說法正確的是（ ）
A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值6
52．二次函數 在范圍內有最大值，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
53．二次函數的最大值為 ．
54．當時，函數的最大值是8，則 ．
55．已知二次函數（是常數）
(1)若，
①該函數的頂點坐標為___________；
②當時，該函數的最大值___________；
③當時，該函數的最大值為___________；
(2)當時，該函數的最大值為4，則常數的值為___________．
【拓展訓練一 二次函數的平移問題】
56．如圖，拋物線與軸交于點，將拋物線向右依次平移兩次，分別得到拋物線，與軸交于點，直線與這3條拋物線的6個交點的橫坐標之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
57．已知二次函數，將其圖象向右平移個單位，得到新的二次函數的圖象，使得當時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小．則實數的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
58．已知二次函數的圖象與其向下平移m個單位長度所得的圖象都與x軸有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則m的值為（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
59．在平面直角坐標系中，已知拋物線（m是常數且），是軸上一點，將點向右平移4個單位長度得到點．
（1）該拋物線的對稱軸為直線 ；
（2）當時，將該拋物線向上平移個單位長度后與線段沒有交點，則的取值范圍是 ．
60．已知二次函數解析式為．
(1)若該二次函數的圖象經過點，且開口向下，求該二次函數的解析式；
(2)若將該二次函數的圖象向上平移兩個單位，平移后的函數圖象與軸僅有一個交點，試確定平移前的二次函數圖象的頂點坐標；
(3)該二次函數圖象上有兩點，，若對于，，都有，求的取值范圍；
【拓展訓練二 二次函數求最值】
61．已知拋物線經過點，點，將拋物線在A，B之間的部分（含端點）所有點的縱坐標的最小值記為w，且當時，y的最小值也為w，則m的取值范圍為（　?。?br/>A． B．
C． D．
62．已知二次函數（為常數），當時，函數有最大值，則的值為（ ）
A． B．1或 C．或 D．1或
63．如圖，在矩形中，，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，則線段的最小值為 ．
64．設二次函數，當時，函數有最小值，則的值為 ．
65．定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：，是“三倍點”．
(1)判斷下列函數中存在三倍點的是______（填入序號）．
①；②；③；④．
(2)已知二次函數（c為常數）．若該函數經過點，
①求出該圖象上的“三倍點”坐標；
②當時，求出該函數的最小值；
(3)在的范圍內，若二次函數的圖象上至少存在一個“三倍點”，求出c的取值范圍．
【拓展訓練三 二次函數的翻折問題】
66．如圖，函數的圖象是由函數的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，則下列結論：①；②將圖象向上平移1個單位長度后與直線有3個交點；③當時，該圖象與直線有四個交點；④（為實數）其中正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
67．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個交點，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
68．將拋物線的圖像位于直線以下的部分向上翻折，得到如圖圖像，若直線與此圖像有四個交點；求的取值范圍．
69．已知二次函數，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數圖象（如圖所示），當直線與新圖象有3個交點時，m的值是 ．
70．如圖，已知拋物線經過和兩點，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“W”，圖象交軸于點．
(1)①求拋物線的解析式；
②求二次函數的最小值．
(2)①直接寫出圖象的解析式；
②求當圖象所對應的函數隨增大而增大時的取值范圍．
(3)若直線與圖象有3個交點時，請結合圖象，直接寫出的值．
【拓展訓練四 二次函數的存在性問題】
71．在平面直角坐標系中，已知拋物線，設該拋物線的對稱軸為．
(1)當時，求的值；
(2)點是該拋物線上兩個點，當時，對于的每一個值，總存在，使得，，且成立，求的取值范圍．
72．設二次函數．
(1)若該函數的對稱軸為直線．求該函數的頂點坐標；
(2)判斷該函數是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)已知點，和在函數圖象上，當時，都有，求的取值范圍．
73．已知二次函數（是常數，且）的圖象經過點和點．
(1)若，求拋物線頂點坐標；
(2)若存在實數，使得，且，求的取值范圍；
(3)當時，的值增大，的值先減小再增大，且的最大值與的最小值的差等于3，求的值．
74．二次函數的圖象經過點．
(1)求的值．
(2)當時，該函數的最大值減去最小值的差為，當時，該函數的最大值減去最小值的差為．
①若，求的取值范圍；
②是否存在？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
75．若定義：若一個函數圖像上存在縱坐標是橫坐標倍的點（為常數，且），則把該函數稱為“倍函數”，該點稱為“倍點”，例如：“2倍函數”，其“2倍點”坐標為．
(1)①判斷：函數____“2倍函數”（填“是”或“不是”）；
②函數的圖像上的“2倍點”的坐標為____．
(2)若拋物線上有兩個“3倍點”，求的取值范圍；
(3)若函數的圖像上存在唯一的一個“倍點”，且當時，的最小值為，求的值．
1．在直角坐標系中，將函數的圖象向上平移5個單位，所得新函數的圖象與軸兩個交點之間的距離是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
2．已知二次函數的圖象上有兩點，若，當函數值取得最大值時，對應的值為（ ）
A． B． C． D．
3．用“描點法”畫二次函數的圖象時，列了如下表格：
… 0 1 2 …
… …
根據表格上的信息回答問題：該二次函數當時，？（ ）
A． B． C． D．0
4．二次函數的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．7
5．已知二次函數的自變量與函數的幾組對應值如下表：
… 0 1 3 5 …
… 5 0 12 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（　?。?br/>A． B．函數圖象開口向下
C．當時，隨的增大而減小 D．的最小值是
6．已知拋物線（是常數，且）與軸正半軸交于點，當時，；當時，．則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．從如圖所示的二次函數的圖象中，觀察得出了下面五條信息：
①；②；③：④．你認為其中正確信息的有 ．（填寫序號）
8．二次函數中的和滿足下表，則的值為 ．
x … 0 1 2 3 …
y … m …
9．將二次函數的圖像先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像對應的函數表達式是 ．
10．已知關于x的一元二次方程的兩根為，則拋物線的對稱軸為直線 ．
11．經過，兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段的長為 ．
12．若一個點的橫坐標和縱坐標相等，則稱該點為不動點．已知拋物線上有且只有一個不動點，且當時，函數的最小值為，最大值為1，請探究下列問題：
（1）的值是 ；
（2）的取值范圍是 ．
與軸交點為，
根據對稱規律，點也是該二次函數圖象上的點，
在左側，隨的增大而增大；
在右側，隨的增大而減??；且當時，
函數的最大值為，最小值為，
13．已知拋物線，如圖所示，直線是其對稱軸．
(1)確定b，的符號；
(2)求證：；
(3)當x取何值時，，當x取何值時．
14．已知拋物線（為常數）．
(1)若點在該拋物線上，求的值；
(2)若該拋物線的頂點坐標是，求關于的函數解析式．
15．已知二次函數與一次函數的圖象相交于A、B兩點，如圖所示，其中．
(1)請求出以上兩個函數的解析式；
(2)求點B的坐標；
16．表格中是二次函數的函數值y與自變量x的對應值．
x … 0 3 5 6 …
y … 27 7 0 7 16 …
（1）寫出該拋物線的對稱軸 ．
（2）填空：a 0，b 0．（填“”或“=”或“”）
（3）已知該拋物線與x軸的一個交點坐標是，則該拋物線與x軸的另一個交點坐標是 ．
（4）若點是該拋物線上一點，請寫出這個點在其圖象上的對稱點坐標 ．
17．如圖，拋物線交x軸于點A，點（點A在點B左側），交y軸于點．
(1)求拋物線解析式；
(2)若將拋物線向右平移個單位長度得到一條新拋物線，且新拋物線與坐標軸僅有兩個交點，求m的值．
18．已知拋物線（為常數）．
(1)若該函數的圖象經過
①求該二次函數的表達式；
②將該二次函數的圖象向右平移個單位長度，得到新的二次函數的圖象，若新二次函數的圖象的頂點恰好落在直線上，求的值；
(2)若點，，都在這個二次函數圖象上，且，求的取值范圍．

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