資源簡介

2025年山東省中考數學試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如圖，數軸上表示的點是( )
A. B. C. D.
2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.我國“深藍號”大型智能深海養殖網箱的主體是一個正六棱柱，其示意圖的主視圖是( )
A. B. C. D.
4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據統計，山東省年全年接待游客超億人次．數據“億”用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
5.已知，則下列運算正確的是( )
A. B. C. D.
6.某班學生到山東省博物館參加研學活動．博物館為同學們準備了以鎮館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創產品，每位同學可從中隨機抽取一個作為紀念品．若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學同時抽到“亞醜鉞”的概率是( )
A. B. C. D.
7.明代數學家吳敬的九章算法比類大全中有一個“哪吒夜叉”問題，大意是：有個頭只手的哪吒若干，有個頭只手的夜叉若干，兩方交戰，共有個頭，只手．問哪吒、夜叉各有多少？設哪吒有個，夜叉有個，則根據條件所列方程組為( )
A. B. C. D.
8.在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內切圓和外接圓組成．已知內切圓的半徑是，則圖中陰影部分的面積是( )
A. B. C. D.
9.如圖，在平面直角坐標系中，，兩點在坐標軸上，四邊形是面積為的正方形．若函數的圖象經過點，則滿足的的取值范圍為( )
A. B. C. D.
10.在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度厘米天和光照強度勒克斯之間存在一定關系．在低光照強度范圍內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是( )
A. 當時，隨的增大而減小 B. 當時，有最大值
C. 當時， D. 當時，
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.寫出使分式有意義的的一個值 ．
12.在平面直角坐標系中，將點向下平移個單位長度，得到的對應點的坐標是 ．
13.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是 ．
14.取直線上一點，過點作軸的垂線，交于點；過點作軸的垂線，交于點；如此循環進行下去．按照上面的操作，若點的坐標為，則點的坐標是 ．
15.如圖，在中，，，點為邊上異于的一點，以，為鄰邊作，則線段的最小值是 ．
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.
計算：；
先化簡，再求值：，其中．
17.本小題分
在中，，，的平分線交于點．
如圖．
求的度數；
已知，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，交的延長線于點如圖，求的長．
18.本小題分
山東省在能源綠色低碳轉型過程中，探索出一條“以儲調綠”的能源轉型路徑．某地結合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發電實現低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度為米，注水時水位高度每小時上升米．
請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度米與注水時間小時之間的關系式；
已知蓄水池的底面積為萬平方米，每立方米的水可供發電千瓦時，求注水多長時間可供發電萬千瓦時？
19.本小題分
在年全國科技活動周期間，某?？萍夹〗M對甲、乙兩個水產養殖基地水體的值進行了檢測，并對一天小時內每小時的值進行了整理、描述及分析．
【收集數據】
甲基地水體的值數據：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙基地水體的值數據：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理數據】
甲
乙
【描述數據】
【分析數據】
平均數 眾數 中位數 方差
甲
乙
根據以上信息解決下列問題：
補全頻數分布直方圖；
填空： ， ；
請判斷甲、乙哪個基地水體的值更穩定，并說明理由；
已知兩基地對水體值的日變化量值最大值與最小值的差要求為，分別判斷并說明該日兩基地的值是否符合要求．
20.本小題分
如圖，在中，點在上，邊交于點，于點．是的平分線．
求證：為的切線；
若的半徑為，，求的長．
21.本小題分
【問題情境】
年月日“天問二號”成功發射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個航天器模型，其中某個部件使用打印完成，如圖．
【問題提出】
部件主視圖如圖所示，由于的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到的長度的方案，以檢測該部件中的長度是否符合要求．
【方案設計】
興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法．
測量工具：游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的鋼柱圓柱．
操作步驟：如圖，將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖，分別與，相切于點，用游標卡尺測量出的長度．
【問題解決】
已知，的長度要求是．
求的度數；
已知鋼柱的底面圓半徑為，現測得根據以上信息，通過計算說明該部件的長度是否符合要求．參考數據：
【結果反思】本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個；如果不能，說明理由．
22.本小題分
已知二次函數，其中，為兩個不相等的實數．
當、時，求此函數圖象的對稱軸；
當時，若該函數在時，隨的增大而減?。辉跁r，隨的增大而增大，求的取值范圍；
若點，，均在該函數的圖象上，是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由
23.本小題分
【圖形感知】
如圖，在四邊形中，已知，，．
求的長；
【探究發現】
老師指導同學們對圖所示的紙片進行了折疊探究．
在線段上取一點，連接將四邊形沿翻折得到四邊形，其中，分別是，的對應點．
其中甲、乙兩位同學的折疊情況如下：
甲：點恰好落在邊上，延長交于點，如圖判斷四邊形的形狀，并說明理由；
乙：點恰好落在邊上，如圖求的長；
如圖，連接交于點，連接當點在線段上運動時，線段是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.不唯一
12.
13.
14.
15.
16.【小題】
解：
；
【小題】
；
當時，原式．

17.【小題】
解：，，
，
是的平分線，
，
；
【小題】
解：由作圖知是線段的垂直平分線，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．

18.【小題】
解：由題意可得：蓄水池的水位高度米與注水時間小時之間的關系式．
【小題】
解：根據題意，得，
解得．
答：注水小時可供發電萬千瓦時．

19.【小題】
解：根據題意得，
補全頻數分布直方圖如圖；
；
【小題】
【小題】
解：甲的方差為，乙的方差為，，
甲基地水體的值更穩定；
【小題】
解：甲基地對水體值的日變化量：，
乙基地對水體值的日變化量：，
該日兩基地的值甲符合要求，乙不符合要求．

20.【小題】
證明：，
，
，
，
是的平分線，
，
，
即且為半徑，
為的切線；
【小題】
解：，又，
等腰直角三角形，
的半徑為，
，
，
．

21.【小題】
解：分別與，相切于點，，
，；
【小題】
鋼柱的底面圓半徑為，
，
，，
，
，
同理，
，
，
該部件的長度符合要求；
【小題】
能，將圓柱換成正方體．如圖，
設正方體的棱長為，用游標卡尺測量出的長度．
，
，
，
，
．

22.【小題】
解：當、時，二次函數可化為：，
此函數圖象的對稱軸為．
【小題】
解：當時，二次函數可化為：，
拋物線對稱軸為，
，
拋物線開口方向向上，
在時，隨的增大而減??；
，
在時，隨的增大而增大；
，
．
【小題】
解：若點，，均在該函數的圖象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，為兩個不相等的實數，
，
，解得：．

23.【小題】
解：，
，
，
，
，
，，，
，
，
；
【小題】
四邊形是矩形，理由如下，
由折疊的性質得，，
，
，
四邊形是矩形；
延長和相交于點，連接，
由折疊的性質得，，，
點恰好落在邊上，
，，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
點在對角線上，
，，
四邊形是正方形，
，
，
，
；
【小題】
由折疊的性質得，，
是線段的垂直平分線，
，
點在以為直徑的上，連接，，
，即點在上時，線段存在最小值，
，
線段的最小值為．

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