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湖北省武昌實驗中學2025屆高考適應性考試
數學參考答案
1．【答案】A
【詳解】，所以，其虛部為.
2．【答案】C
【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，所以，所以，又，所以，所以.
3．【答案】A
【詳解】試題分析：為奇函數且時，函數無意義，可排除，又在是減函數，故選.
4.．【答案】B
因為使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2，因而根據正態分布規律可知該攝像頭平均使用壽命為 年
所以每個攝像頭4年內正常工作的概率為0.5，因而兩個攝像頭同時能正常工作的概率為0.50.5=0.25
5. 【答案】D
【詳解】由題意可知，.
則，所以.
則，所以.所以.
6. 【答案】C
【解析】試題分析：由題可知，，由于一條對稱軸為，即有，于是，，于是有，原式化簡為，由于因此，即有，，即；
7．【答案】C
【詳解】由題設，⊙:，則，半徑，如下圖示，
等腰△ABM中，要使最小，只需最小，即有最大，
當且僅當，即最小時，最大，此時，且，
所以，而，，
所以，
所以到直線的距離，
令直線，則或，
由圖知：，即直線.
8．答案A
9．【答案】BC
【詳解】對于A選項：若甲組樣本數據的中位數為，且5個數據由小到大排列為：時；那么乙組樣本數據的大小排列為：，
此時乙組樣本數據的中位數為，故用反例法證明了A選項錯誤.對于B選項：
甲組樣本數據的平均數……①
甲組樣本數據的平均數……②
①②式相等，故B選項正確.對于CD選項：
設甲組數據的分別為，,極差為2；
那么乙組數據的分別為，，極差為0；
此時有甲組樣本數據的極差大于乙組樣本數據的極差，；故C正確，D錯誤.
綜上所述應選BC.
10．【答案】BD
對于A選項，連接，則點為的中點，、平面，平面，
同理可知平面，所以，與不是異面直線，A選項錯誤；
對于C選項，四邊形是邊長為的正方形，，
平面平面，交線為，平面，平面，
所以，直線與平面所成角為，
為的中點，且是邊長為的正三角形，則，，，C選項錯誤；
對于B選項，取的中點，連接、，則且，，
平面，平面，平面，，
，，B選項正確；
對于D選項，平面，的面積為，
所以三棱錐的體積為，D選項正確.
故選：BD.
11．【答案】ACD
【詳解】A：，對；
B：，
，
，錯；
C：，
因為，
若全取1時，，
若全取時，，
由，則，故的絕對值小于，對；
D：，
，
所以
，
由，則，，
要使，即，
所以，則，且，則，此時，即有唯一解，對.
12.【詳解】二項式展開式的通項為（且），依題意，所以，所以二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，所以展開式中的系數為為.
13.【詳解】連接交軸于,由于，，，四點在同一個圓上，且和均關于點對稱，故為圓心，故，
,,
故，解得，
14. 【詳解】由題意，正三棱柱的棱長均為，
所以，由題意可得，又由得，∴，∴
∵，∴，∴
在等邊中，邊上的高為因為，∴
15．【答案】(1)(2)（i）
【詳解】（1）.
由正弦定理得
在中，
代入上式化簡得：sinC
因為，所以，即
為銳角，
（2）（i）由正弦定理得
所以
是銳角三角形，
即
所以周長的取值范圍為.
16．【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）取的中點，連接，證明，則，再利用線面垂直的性質證明，進而可得平面，再根據線面垂直的性質即可得證；
（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）取的中點，連接，因為，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以為等邊三角形，則，
所以，所以，所以，
因為平面，平面，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以；
（2）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，
由（1）知，，
則，
故，設平面的法向量為，
則有，可取，設，
則，
設平面的法向量為，則有，
所以，令，則，所以，
則，
化簡得，解得或，
經檢驗，當時，二面角為鈍二面角，
所以，所以.
17．【詳解】（1），，
對于方程，
當，即時，，
函數在上單調遞減；
當，即時，方程有兩個不相等的實數根，
，且，
當或時，；當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，無單調遞增區間；
當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，.
（2）證明：由（2）知，當時，函數在上單調遞減，
又，當時，，即當時，.
，，
即，當時，，
當時，，當時，，
當時，，
累加可得，，
即，
所以.
18．【答案】(1)，；(2)；(3)1000
【分析】（1）先計算出每個芯片通過測試的合格率后，可得服從二項分布，則可借助二項分布的期望與方差公式計算得解；
（2）可借助正難則反的思想計算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式計算出出一枚芯片合格的概率，再結合首次測試（測試I）通過率為與條件概率公式計算從而得解；
（3）由題意可得，則，，再結合所給參考內容，可得，，利用基本不等式可得，則對，均有，取可得，計算即可得解.
【詳解】（1）每個芯片通過測試的合格率為，，
則，；
（2）解法一：記事件A：通過測試I，事件B：通過測試II，事件C：芯片合格，
，則；
解法二：記事件：經過測試I，事件：經過測試II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
則；
（3）因為，所以，，
解法一：，，
，，又，當且僅當時等號成立，
，均有，取，則，
根據題意要使得總能不超過0.1，當，即時滿足條件，最小樣本量大約為1000.
解法二：由已知得對，，
，記，，，
又，當且僅當時等號成立，
，均有，取，則，
根據題意要使得總能不超過0.1，當，即時滿足條件，最小樣本量大約為1000.
19．【解】（1）設動圓的半徑為R，動圓與圓外切，則
又∵動圓與圓內切，結合圖像可知：，，∴
由橢圓的定義可知，動點在以、為焦點，為長軸長的橢圓上，
設橢圓的方程為，半焦距為，
則，，，
又可知圓與圓內切，∴點C不能在切點處，即橢圓應去掉點，
曲線C的方程為．
（2）直線OA,OB的斜率乘積不是定值.理由如下：設，則.
因為，所以，進而.
由點F在曲線E上得
所以
又因為點A,B均在E上，即，帶入上式得
所以不為定值.
（3）因為點A,B均在E上，所以，
兩式同向相乘得，整理得：
由（2）知，帶入上式解得：.
又因為 .所以.
試卷第1頁，共3頁湖北省武昌實驗中學2025屆高考適應性考試
數 學 試 卷
2025.6.1
本試卷共6頁，19題。全卷滿分150分。考試用時150分鐘。
★祝考試順利★
注意事項：
1．答卷前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上非答題區域均無效。
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。
4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項
中，只有一個選項符合題目要求.
1．設復數，則z的共軛復數的虛部為
A． B． C． D．
2．已知平面向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則的值為
A． B． C． D．
3．函數的圖像大致為
A． B． C． D．
4．某種品牌攝像頭的使用壽命ξ (單位：年)服從正態分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.8，使用壽命不少于6年的概率為0.2.荊州中學在大門口同時安裝了兩個該種品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為
A． B． C． D．
5．已知，，，則
A． B． C． D．
6．，且則的最小值為
A． B． C． D．
7．已知⊙：，直線l：，P為l上的動點，過點P作⊙的切線，切點為A、B，當弦長最小時，則直線的方程為
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐標系中，兩點間的“L-距離”定義為則平面內與軸上兩個不同的定點的“L-距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知甲 乙兩組樣本數據分別為和，則下列結論正確的為
A．甲組樣本數據的中位數與乙組樣本數據的中位數一定相等
B．甲組樣本數據的平均數與乙組樣本數據的平均數一定相等
C．甲組樣本數據的極差可能會大于乙組樣本數據的極差
D．甲組樣本數據的方差一定不大于乙組樣本數據的方差
10．如圖，點為邊長為1的正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則
A．直線、是異面直線
B．
C．直線與平面所成角的正弦值為
D．三棱錐的體積為
11．國家知識產權局信息顯示，華為技術有限公司申請一項名為“三進制邏輯門電路、計算電路、芯片及其電子設備”的專利，該項專利可以實現大幅度減少二進制邏輯電路的晶體管數量，降低電路的功耗，提高計算效率.該專利蘊含的數學背景是一種以3為基數，以，，為基本數碼的計數體系（對稱三進制）：三進制數對應的十進制數為，其中，，為了記號的方便，我們用表示數碼，比如，，.下面選項正確的是
A．
B．
C．若，，，則
D．存在唯一的，使得成立
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．二項式的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則展開式中的系數為 .
13．已知函數的部分圖象如圖所示．若，，，四點在同一個圓上，則
.
14．棱長均為1m的正三棱柱透明封閉容器盛有水，當側面水平放置時，液面高為 （如圖1）； 當轉動容器至截面水平放置時，盛水恰好充滿三棱錐（如圖2），則 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）
已知分別為銳角三個內角的對邊，且.
（1）求；
（2）若；求周長的取值范圍.
16．（15分）
如圖，在四棱雉中，平面
為棱的中點，為棱上的動點．
（1）證明：．
（2）若二面角的余弦值為，求的值．
17．（15分）
已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）求證：.
18．（17分）
某人工智能芯片需經過兩道獨立的性能測試.首次測試（測試I）通過率為，末通過測試I的芯片進入第二次測試（測試II），通過率為.通過任意一次測試即為合格芯片，否則報廢.
（1）若某批次生產了n枚芯片，合格數為隨機變量X.當，時，求X的期望與方差；
（2）已知一枚芯片合格，求其是通過測試I的概率；
（3）為估計（2）中的，工廠隨機抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過測試I.記.若要使得總能不超過0.1，試根據參考內容估計最小樣本量.
參考內容：設隨機變量X的期望為，方差為，則對任意，均有.
19．（17分）
已知圓，圓．若動圓與圓外切，且與圓內切，設動圓圓心的軌跡為.不過原點O的動直線與曲線交于兩點，平面上一點滿足，連接交于點（點在線段上且不與端點重合），若.
（1）求軌跡的方程；
（2）試問：直線OA,OB的斜率乘積是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.
（3）試問：四邊形的面積否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

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