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淮北市第一中學2025屆高三最后一卷
數學試卷參考答案
選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C A B C D B AC ACD ABD
填空題
12. 13. 14.
解答題
15.（13分）
【詳解】解：，
，
則，則，
，，又則．………………………………………………………6分
由有，所以由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因為，所以，所以，
又因為，結合，所以，．
所以的面積為． …………………………………………………………………13分
16.（15分）
【詳解】連接，取的中點，連接、，結合已知可得且，
所以四邊形為平行四邊形，所以為中點，
因為為的中點，為中點，則，且，
因為為的中點，則，且，
則，且，故四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面，平面，所以平面；…………………………7分
因為，，為的中點，則，
又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，則，故，
因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，
設平面的一個法向量為，
，，
由，
令，則，，可得平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為，，
由，
令，則，，可得平面的一個法向量為，
所以，，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以，二面角的余弦值為．……15分
17.（15分）
【詳解】當時，函數的定義域為，
求導得，
當時，，
當時，，
所以當時，函數取得極小值，無極大值. ………………………………………………6分
函數的定義域為，求導得，
令，則，
當時，；當時，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，函數取得極小值，
①若，當時，，函數在有唯一零點；
當時，，函數在無零點，
因此當時，有唯一零點；
②若，當從大于0的方向趨近于0時，函數的值趨近于負數，
即當時，，函數在上無零點；
當從大于的方向趨近于時，函數的值趨近于正無窮大，
當趨近于正無窮大時，函數的值趨近于正無窮大，
則當且僅當，有唯一零點，由，得，即，
令，求導得，當時，；當時，，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此，
則方程有唯一解，于是時，有唯一零點，
所以實數的取值范圍為或.……………………………………………………………………15分
18.（17分）
【詳解】因為的漸近線方程為，所以，
則，所以，
因為，所以，得
因為，所以，所以，故的標準方程為.…………………… 4分
證明：(i)設點,如圖所示，設過點的切線的斜率為，
則切線方程為，即
由圓心到切線的距離等于圓的半徑，得，
即，
因為的斜率是以上方程的兩個根，所以，
又因為，所以，
所以的斜率之積為定值，且定值為2. …………………………………………………………………………………… 10分
(ii)由消去得，
因為，
所以，則；
同理可得
所以
因為，所以，即，
因為都在雙曲線上，所以，
所以存在定點使得關于點對稱。………………………………………………………………………………… 17分
19.（17分）
【詳解】等差數列，數列；
首先項數為，且數列中任意兩項均不相同；
，滿足條件②，則上述數列滿足題意.……………………………………3分
數列四項均不相同，故總的排列方法有種．
假設數列各項從小到大排列，即，
則兩兩相加后最小項，次小項，最大項，次大項．
設等差數列公差為，則，
又數列第三項，第四項；或者第三項，第四項，
所以且，
得且；
或者且，
得且，
以上兩種情況不能同時成立，由以上分析知使前三項等差的排列方式有4種，
故. ………………………………………………………………………………………10分
由前兩問知可以取3和4．
時，假設數列各項從小到大排列，則兩兩相加后最小項，次小項，最大項，次大項，
因為數列等差，故得，
①若，則各不相同，而與兩兩不同矛盾，
即時數列不可能是－可拆分等差數列；
②時，，即，
此時數列共10項，最小項，次小項，最大項，次大項，
設等差數列公差為，則，即，
所以，
剩余四項為，又公差，故是連續三項，
所以只能是第4項或者第7項，
當是第4項時，得，與兩兩不同矛盾，
當是第7項時，，得，與兩兩不同矛盾，故不能是5．
綜上，滿足數列是－可拆分等差數列的正整數只能是3和4．…………………………………17分淮北市第一中學2025屆高三最后一卷
數 學
(試卷總分：150分 考試時間：150分鐘)
命題人： 審核人：高三數學備課組
注意事項：
1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3. 考試結束后，請將答題卷交回。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知集合. 則A∩B=
2.已知復數 則z的虛部為
A. B. C. D.
3.若數列{an}各項均為正數，則“{an}為等比數列”是“為等差數列”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.若非零向量，滿足 且向量在向量上的投影向量是 則向量與的夾角為
A. B.
5.已知隨機變量ξ~N(1,σ ),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),則 的最小值為
A. 4 B. C. 6 D. 9
6.已知 且 則tanβ=
A. 3 B. 2 C. D.
7.已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形，且PA=3,PB=4,PC=5,則三棱錐P-ABC的體積為
B. 2
8.已知函數 若, 則a的最小值為
A. - 2 B. - 1 C. 2 D. 1
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.下列命題中，真命題的是
A.中位數就是第50百分位數
B.具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數r越大，則x，y之間的線性相關程度越強
C.已知隨機變量 若D(2X+1)=5, 則n=5
D.已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數172，方差為120，女生樣本平均數165，方差為120，則總體樣本方差為120
10. 已知數列{an}滿足 其中 為數列{b }的前n項和，則下列四個結論中，正確的是
B.數列{an}的通項公式為
C.數列{b }的前n項和為 D.數列{an}為遞減數列
11.已知正三棱柱 D是B C 的中點，點P是線段A D上的動點，則下列結論正確的是
A. AP⊥B C
B. 四面體A-BB C :外接球的表面積為20π
C. 若 ，則異面直線AP與BC 所成的角為
D.若過BC且與AP垂直的截面α與AP交于點E，則三棱錐A-BCE的體積的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12. 已知 的展開式的二項式系數和為64，各項系數和為729，則實數a的值為 .
13. 已知為橢圓 的兩個焦點，P為橢圓上一點，且 則此橢圓的離心率的取值范圍是 .
14.2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現在編排一個動作，機器人從原點O出發，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次，則該機器人在有且僅有一次經過(含到達)點M(-1，0)位置的條件下，水平方向移動2次的概率為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(本小題滿分13分)
在 中, 已知a,b,c分別是內角A, B, C的對邊,
(1)求A的大小;
(2)若點D在BC邊上, BD=2DC,AD=2,c=2b, 求△ABC的面積.
16.(本小題滿分15分)
在如圖所示的五面體中，四邊形ABCD與FECD均為等腰梯形 M,N分別為EF,CD的中點, AC與BN相交于點P.
(1)求證: MP∥平面BCE.
(2)若EB⊥平面ABCD,求二面角M-AC-E的余弦值。
17.(本小題滿分15分)
已知函數
(1)當a=1時, 求函數的極值;
(2)若函數 存在唯一零點，求實數a的取值范圍.
18.(本小題滿分17分)
已知雙曲線 的漸近線方程為 C的半焦距為c，且
(1)求C的標準方程；
(2)若 P 為 C 上的一點, 且 P 為圓 外一點， 過P 作圓 的兩條切線
l ，l (斜率都存在)，l 與C交于另一點M，l 與C交于另一點N，證明：
(i) l , l |的斜率之積為定值；
(ii)存在定點A，使得M，N關于點A對稱。
19.(本小題滿分17分)
設n為不小于3的正整數，項數為 的數列{an}是公差大于0的等差數列，若存在項數為n的數列同時滿足：
①數列中任意兩項均不相同；
②任意正整數，從小到大排列恰好為數列
此時稱數列是可拆分等差數列.
(1)寫出一個可拆分等差數列及其對應的一個數列
(2)若數列是一個可拆分等差數列，A表示事件“數列 前三項成等差數列”，求事件A發生的概率P(A)；
(3)求所有滿足數列是可拆分等差數列的正整數n的值.

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