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廣東省廣州市第七中學2024-2025學年高一下學期期中考試數學試卷
一、單選題
1．已知向量,若與共線,則實數( )
A． B．1 C． D．3
2．在復數范圍內，復數的共軛復數的模是（ ）
A． B． C． D．
3．已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．中，角的對邊分別為，且滿足，則角的值為
A． B． C． D．
5．設向量滿足， ，則=
A．1 B．2 C．3 D．5
6．已知正三棱臺的下底面邊長為，側棱長為2，側棱與底面所成的角為，則該三棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，三棱錐中，是等邊三角形，且，點在棱上，點在棱上，并使，其中，設為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值為（ ）
A． B． C． D．與有關的變量
8．如圖，是圓臺上底面的圓心，，是圓臺下底面圓周上的兩個動點，是圓臺的一條母線，記圓臺的上、下底面圓的半徑分別為，．若，平面，且的最小值為6，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．若是復數，其在復平面內對應的點為，下列說法正確的是（ ）
A．為純虛數
B．若，則
C．若，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓
D．若，則
10．如圖是一個正方體的表面展開圖，則在原正方體中，（ ）
A．直線與垂直
B．直線與平行
C．直線與異面
D．直線與成角
11．如圖，已知棱長為2的正方體中，分別是棱，的中點，為棱上一點，動點在線段上，動點在正方形內及其邊界上，且．記點的軌跡為曲線，則（ ）
A．曲線的長度為
B．存在，使得平面
C．
D．當與只有一個公共點時，
三、填空題
12．如圖為某折扇展開后的平面示意圖，已知，，，則 ．
13．如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側棱長為2，，則該斜三棱柱的側面積是 ．
14．在中，有以下四個說法：
①若為銳角三角形，則；
②若，則；
③存在三邊為連續自然數的三角形，使得最大角是最小角的兩倍；
④存在三邊為連續自然數的三角形，使得最大角是最小角的三倍；
其中正確的說法有 （把你認為正確的序號都填在橫線上）.
四、解答題
15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，，
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面積.
試卷第1頁，共3頁
16．在底面為平行四邊形的四棱錐中，，分別為棱，的中點．
(1)求證：平面；
(2)設平面平面，求證：平面．
17．如圖，在中，，．點D在邊BC上，且．
(1)，，求；
(2)，AD恰為BC邊上的高，求角A；
(3)，求t的取值范圍．
18．記的內角的對邊分別為，如圖，已知，點在邊上，.
(1)求；
(2)若，求線段的長.
19．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知三棱錐如圖所示．
(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為，求點A到平面PBC的距離；
(3)在（2）的前提下，又知點Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為，求BQ的長度．
參考答案
1．A
2．B
3．A
4．C
5．A
6．D
7．C
8．C
9．BCD
10．BCD
11．BCD
12．
13．/
14．②③
15．（1）因為，則，所以，由已知得，
所以
（2）由正弦定理得，，又，則，所以的面積.
16．（1）證明：取的中點，連接，，
因為，分別為，的中點，所以，且，
又因為為的中點，所以，
在平行四邊形中，有，則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面；
（2）在平行四邊形中，有，
因為平面，平面，所以平面，
又因為平面平面，面，所以，
又因為平面，平面，所以平面．
17．（1）由題，因為，所以，即點為邊的中點，
所以，
因為，，，
所以.
（2）由題，因為，所以，
因為AD恰為BC邊上的高，所以，
因為，，
且，，
所以
，
所以，則.
（3）由題，，
則，
因為，且，，
所以，
則，
所以，
因為，則，
因為，則，解得.
18．（1）因為，
由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
在中，由正弦定理可得，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
又，所以.
因為，所以為銳角，則為鈍角，
所以.
在中，由余弦定理可得，
即，
即，解得(負值舍去).
故線段的長為3.
19．（1）根據離散曲率的定義得，
，
，
又因為
，
所以．
（2）∵平面平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，過點A作于點，
由平面平面，得，
又平面，則平面，
因此點A到平面PBC的距離為線段的長，在中，，
∴點到平面的距離為.
（3）過點作交于，連結，
∵平面，∴平面，
∴為直線與平面所成的角，
依題意可得，，
，
，，
設，則，
在中， ，
又，所以，
則，
∴，解得：或（舍）
故.
答案第1頁，共2頁

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