資源簡介

靜安區2024學年第二學期期末教學質量調研
高一數學試卷
2025.06
考生注意：
本試卷共4頁，18道試題，滿分100分，考試時間90分鐘．
本試卷分設試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．
一、填空題（本大題共有10題，滿分35分，其中1～5題每題3分，6～10題每題4分）
【考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果．】
1. 扇形的半徑為8，圓心角等于1.5弧度，則該扇形的弧長等于___________.
2. 已知復數z滿足iz=(其中i為虛數單位)，則=___________.
3. 設復數與(其中i為虛數單位)在復平面上所對應的向量分別為與（O為坐標原點），則與的數量積為___________.
4. 在第三十個世界讀書日到來之際，為大力推廣全民閱讀，某書店開展圖書促銷活動，第一天賣出圖書100本，此后每天比前一天多賣20本.若活動持續15天，則該書店在活動期間共賣出___________本圖書．
5. 已知，，則___________.
6. 已知函數，則____________．
7. 若z是虛數，且,則___________.
8. 某企業計劃對生產線進行技術升級，第一年投入研發資金50萬元，之后每年投入資金是上一年的1.2倍，則該企業連續8年投入研發的總資金是___________萬元.（結果保留整數）
9. 化簡：=___________.
10. 已知函數，則下列四個結論正確的是___________（填寫所有正確結論的序號）
① 是的一個周期；
② 的圖像關于對稱；
③ 在閉區間上恰有3個零點；
④ 若（其中常數）在上是嚴格增函數，則的最大值為.
二、選擇題（本大題共有3題，滿分12分，每題4分）
【每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得相應分值，否則一律得零分．】
11. 當n取正整數時，計算（為虛數單位）的所有可能值，下列選項結果正確的是 （ ）
A.2，0，2； B. 2，0，2；
C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2.
12. 如圖，在正方形中，為的中點，為的中點，則等于（ ）
A.；
B.；
C.；
D.．
13．生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由提高到，則 （ ）
A. B.
C. D.
三、解答題（本大題共有5題，滿分53分）
【解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．】
14．（本題滿分8分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分4分）
已知向量，．
（1）若，，，求證：、、三點共線．
（2）已知，若，且，求的值；
15．（本題滿分9分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分3分）
已知函數是定義域為R的奇函數．
（1）求實數a的值，并判斷函數的單調性；
（2）寫出函數的值域．
16．（本題滿分12分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分7分）
在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a,b,c，已知，D為AB中點，CD=2．
（1）證明△ABC為等腰三角形；
（2）若，求△ABC周長的最小值．
17．（本題滿分12分，本題共有2個小題，第(1) 小題滿分4分，第(2)小題滿分8分）
2021年年初正式發布本市將加快推進“五個新城”建設，某公司積極響應，將總部遷入其中一個新城．
該公司2021年第一季度的營業收入為1.1億元，利潤為0.16億元．預測顯示：在以2021年為第一年的未來十年（每年春夏秋冬4個季度，共40個季度）內，該公司每一季度的營業收入比上一季度增加0.05億元，由于投入成本的連續不斷降低，每一季度的利潤比上一季度增長4%．據此預測，解答以下問題：
（1）求今年（2025年）冬季，該公司第20個季度營業收入多少億元？
（2）該公司在哪年哪個季度的利潤將首次超過該季度的營業收入的18%？
18．（本題滿分12分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分3分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分5分）
已知函數
（1）求函數的周期；
（2）求函數的最小值及取得最小值時的所有取值；
（3）將函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向右平移個單位長度，得到函數的圖像，若存在，使得等式成立，求實數的取值范圍．
靜安區2024學年第二學期期末教學質量調研
高一數學 參考答案
一、填空題
1. 12 2. 3. 39 4. 3600 5. 6. 1
7. 1+i，1-i 8. 825（824.95424萬元） 9. 10. ②④
二、選擇題
11. A 12. B 13. D
三、解答題
14．（本題滿分8分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分4分）
（1）因為，(2分)
=2，
所以2，，（或）．
有公共點D，從而、、三點共線．(2分)(4分) （這是累計分值）
（2），因為，所以2，(2分)(6分)
解得=1．(2分)(8分)
15．（本題滿分9分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分3分）
（1）函數是定義域為R的奇函數，所以即，(2分)
當時，,=0對任意實數x成立，所以(1分)(3分) （這是累計分值）
因為是增函數，所以是增函數，所以是減函數，是增函數，所以是增函數. (3分)(6分)
（2）函數的值域為. (3分)(9分)
16．（本題滿分12分，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分7分）
（1）在△ABC中，,(R為△ABC外接圓半徑)，將
代入，化簡得,(2分)
所以,(1分)（3分）（這是累計分值）
所以（）+（）=0，
即（）（1+）=0，（1分）（4分）
在△ABC中，角A，B為內角，皆在（0，）內，所以1+，，
A=B即△ABC為等腰三角形．（1分）（5分）
（2）設△ABC周長為l，則l=a+b+c=2 b+c. （1分）（6分）
,,（2分）（8分）
所以l= 2 b+c=.(2分)(10分)
因為，所以，又正切函數在（0，）內嚴格增，，
可得當時△ABC周長的最小值為. (2分)(12分)
17．（本題滿分12分，第(1) 小題滿分4分，第(2)小題滿分8分）
（1）這是求首項為1.1，公差為0.05的等差數列第20項的通項問題，直接計算得：1.1+190.05=2.05（億元）．(2分)
答：該公司今年冬季，第20個季度營業收入2.05億元．(2分) (4分)
（2）設第n個季度的營業收入為an，第n個季度的利潤為bn，
則，，(1分)(5分) （這是累計分值）
,，(1分)(6分)
設第n個季度的利潤將首次超過該季度的營業收入的18%，根據題意得不等式：
，(3分)(9分)
由于每季度的利潤和該季度的營業收入都是增加的，用計算器的列表功能，可得
第21季度營業收入的的18%為0.378億元，利潤為0.351元仍小于0.378.
第25季度營業收入的的18%為0.414億元，利潤為0.41013元仍小于0.414. (1分)(11分)
第26季度營業收入的的18%為0.423億元，利潤為0.42653元首次超過0.423.
答：該公司在第7年第1個季度（即2026年春季）的利潤將首次超過該季度的營業收入的18%．(2分)(12分)
18．（本題滿分12分，第(1)小題滿分3分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分5分）
（1）.
所以，(2分)
函數的周期為(1分)(3分)
（2）函數的最小值為，(2分)(5分)
當，時取得最小值，
取得最小值時的所有取值為 （或）(2分)(7分)
（3）由題設的圖像變換過程知，，(2分)(9分)
因為，所以，
所以在上嚴格增，
所以，當時等式成立．(3分)(12分)

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