資源簡介

/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
第03講 平行四邊形
知識點(diǎn) 1 多邊形的相關(guān)概念
1. 多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
2. 多邊形的相關(guān)概念：
多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).
多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.
多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.
多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.
【補(bǔ)充】
1）多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；
2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；
3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.
3. 正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
【補(bǔ)充】1）正n邊形有n條對稱軸．
2）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱中心是多邊形的中心.
知識點(diǎn) 2 多邊形的內(nèi)角和與外角和
1. 多邊形內(nèi)角和定理
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.
2. 多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.
易錯(cuò)易混
多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：
①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有 條對角線.
③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.
④n邊形的外角和是360°.
⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.
⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．
知識點(diǎn) 3 平行四邊形的概念與性質(zhì)
1.平行四邊形
定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
符號表示：平行四邊形用符號“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
2. 平行四邊形的性質(zhì)定理
性質(zhì) 符號語言 圖示
邊 平行四邊形兩組對邊平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角 平行四邊形對角相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
對角線 平行四邊形的對角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
3. 平行線間的距離
定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離
性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.
2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.
知識點(diǎn) 4 平行四邊形的判定定理
判定 符號語言
定義 一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
邊 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形
角 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形
對角線 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形
【解題技巧】
一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：
1）已知一組對邊平行, 首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；
2）已知一組對邊相等, 首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；
3）已知條件與對角線有關(guān)，常考慮對角線互相平分；
4) 已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對角分別相等.
5. 平行四邊形邊的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.
知識點(diǎn) 5 三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
注意：
（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為原三角形周長的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
知識點(diǎn) 6 中點(diǎn)四邊形
順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀
順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.
知識點(diǎn) 7 反證法
反證法，就是首先假定所要證明的命題不成立，然后再在這個(gè)假定下進(jìn)行
邏輯推理，直至得出矛盾的結(jié)論，由此推翻假定，從而得出所要證明的結(jié)論是正確的，應(yīng)用
反證法有如下三個(gè)步驟：
（1）反設(shè)——假定原命題的結(jié)論不成立，即肯定原命題的反面；
（2）歸繆——根據(jù)反設(shè)，進(jìn)行嚴(yán)密的推理，直到得出矛盾，即或與已知條件相矛盾，或與已知的公理、定理、定義、性質(zhì)、公式等相矛盾，或與反設(shè)相矛盾；或自相矛盾，或甚至可
以與正常生活中的事實(shí)相矛盾，等等；
（3）結(jié)論——肯定原命題正確.
考點(diǎn)一：多邊形的相關(guān)概念
例1．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．五邊形有5條邊，5個(gè)內(nèi)角，5個(gè)頂點(diǎn)；
B．四邊形有2條對角線；
C．連接對角線，可以把多邊形分成三角形；
D．六邊形的六個(gè)角都相等；
【答案】D
【分析】運(yùn)用多邊形的定義及其內(nèi)角、對角線等知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A、五邊形有5條邊，5個(gè)內(nèi)角，5個(gè)頂點(diǎn)，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；
B、四邊形有2條對角線，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；；
C、連接對角線，可以把多邊形分成三角形，原選項(xiàng)正確，故不符合題意；
D、六邊形的六個(gè)角不一定相等，只有正六邊形的六個(gè)內(nèi)角相等，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，故符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的定義及其內(nèi)角、對角線等知識點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的定義．
【變式1-1】如圖，正五邊形與正五邊形，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個(gè)五邊形都是正多邊形，得到各邊都相等，然后進(jìn)行等量替換判斷正確選項(xiàng)．
【詳解】解：五邊形和五邊形都是正多邊形，
，，
，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)判斷線段之間的關(guān)系．
【變式1-2】一個(gè)多邊形每個(gè)外角都等于，則從這個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)畫對角線，最多可以畫出幾條 ．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角性質(zhì)，先計(jì)算出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)邊形從一個(gè)點(diǎn)的作對角線條計(jì)算即可，熟練掌握外角和為是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵多邊形外角和都為，
∴該多邊形為邊形，
∴從這個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)畫對角線最多可以畫出條，
故答案為：．
【變式1-3】我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個(gè)正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘 根木條．

【答案】2
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，五邊形可以分成3個(gè)三角形，需要兩根木條．
【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形都不具有穩(wěn)定性，
∴要使五邊形木架不變形，根據(jù)同一頂點(diǎn)出發(fā)的對角線把五邊形分成3個(gè)三角形，需連兩條對角線，每條對角線用一根木條，
∴至少要釘2根木條；
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性．熟練掌握三角形具有穩(wěn)定性，是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】探究歸納題：
(1)試驗(yàn)分析：
如圖1，經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)）可以作___________條對角線，它把四邊形分為___________個(gè)三角形；
(2)拓展延伸：
運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；圖3過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；
(3)探索歸納：對于邊形，過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把這個(gè)邊形分為___________個(gè)三角形．（用含的式子表示）
(4)特例驗(yàn)證：過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線可把十邊形分為___________個(gè)三角形．
【答案】(1)1，2；
(2)3，4；
(3)
(4)8
【分析】（1）根據(jù)對角線的定義，可得答案；
（2）邊形中過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線有條，把這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)這一點(diǎn)即可解答；
（3）邊形中過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線有條，把這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)這一點(diǎn)即可解答；
（4）邊形中過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線有條，把這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)這一點(diǎn)即可解答．
【詳解】（1）解：如下圖：
經(jīng)過點(diǎn)可以做1條對角線，它把四邊形分為2個(gè)三角形，
故答案為：1，2；
（2）解：拓展延伸：
運(yùn)用（1）的分析方法，可得：
圖2過一個(gè)頂點(diǎn)，共有2條對角線，將這個(gè)多邊形分為3個(gè)三角形；
圖3過一個(gè)頂點(diǎn)，共有3條對角線，將這個(gè)多邊形分為4個(gè)三角形；
故答案為：3，4；
（3）解：對于邊形，過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把這個(gè)邊形分為個(gè)三角形，
故答案為：；
（4）解：過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線可把十邊形分為個(gè)三角形，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，正確理解多邊形的對角線的條數(shù)，與所分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二：多邊形的內(nèi)角和問題
例2．已知過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有5條對角線，一個(gè)m邊形的內(nèi)角和是，則（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的對角線和多邊形的內(nèi)角和公式，熟記n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，可得，求出n的值；根據(jù)都不行內(nèi)角和公式即可求出m的值，然后代數(shù)求解即可．
【詳解】∵過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有5條對角線，
∴
∴；
∵一個(gè)m邊形的內(nèi)角和是，
∴
∴
∴．
故選：D．
【變式2-1】如圖1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的幾種測量角度，如圖2中的六角尺示意圖中，x的值應(yīng)是（　　）
A．100 B．112.5 C．120 D．125
【答案】B
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的外角和列出方程式，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：
解得：．
故答案為：B．
【變式2-2】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是為 ．
【答案】8或9或10
【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是掌握多邊形截去一個(gè)角后多邊形邊數(shù)可能增加1，減少1或不變．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出截去一角后的多邊形邊數(shù)，再根據(jù)截去一角后多邊形的邊數(shù)變化情況求解．
【詳解】解：設(shè)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)為，
由題意得，
解得．
因?yàn)槎噙呅谓厝ヒ唤呛筮厰?shù)可能不變，可能增加1，可能減小1，
原多邊形可能為8或9或10.
故答案為：8或9或10.
【變式2-3】經(jīng)過查找資料得知目前可以鋪滿的凸五邊形共有15種，如圖1為其中一種五邊形的密鋪圖．圖2為圖1中抽象出的一個(gè)五邊形，其中，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理即可得出，然后再根據(jù)題意即可得出答案．
【詳解】解：正五邊形內(nèi)角和為：，
∴，
故答案為：
【變式2-4】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的一半．
(1)求這個(gè)多邊形是幾邊形；
(2)求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．
【答案】(1)六邊形
(2)
【分析】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角的計(jì)算，掌握正多邊形的定義、多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)內(nèi)角為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系列出方程，解方程求出
（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，則每一個(gè)外角為，
由題意得，，
解得，，，
這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：，
答：這個(gè)多邊形是六邊形；
（2）解：由（1）知，該多邊形是六邊形，
內(nèi)角和，
答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為．
考點(diǎn)三：多邊形的外角和問題
例3．花窗不僅是建筑的眼睛，更是中式美學(xué)的靈魂．如圖所示是中國古建筑中的一個(gè)正八邊形的窗戶，則它的一個(gè)外角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形的外角內(nèi)容，根據(jù)正多邊形的每個(gè)外角都相等進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：依題意正八邊形外角和為，
∴每一個(gè)外角為．
故選：B．
【變式3-1】如圖，在正五邊形中，延長，交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正多邊形的外角，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)正多邊形的外角和為360度求出的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵為正五邊形的外角，
∴，
∴；
故選：A．
【變式3-2】用n個(gè)完全相同的正五邊形按照如圖的方式拼成一圈，相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)正五邊形外圈的夾角均為，內(nèi)圈的夾角均為．若x，y均為正整數(shù)，且，則所有符合條件的的值為 ．
【答案】3或4或5
【分析】根據(jù)題意，得正五邊形的一個(gè)內(nèi)角為，結(jié)合題意，得，結(jié)合，確定，根據(jù)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，得到，于是得到，結(jié)合n為正整數(shù)，解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得正五邊形的一個(gè)內(nèi)角為，
根據(jù)題意，得，即
∵，
∴
∴，
∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，
∴，
∴，
∴n為正整數(shù)，
∴n為1或2或3或4或5，
又一個(gè)或2個(gè)多邊形圍不成所需要的圖形，故舍去，
故n的可能值為3或4或5．
故答案為：3或4或5．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，不等式的整數(shù)解，熟練掌握定理和不等式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】如圖，用個(gè)全等的正五邊形按如下方式拼接可以拼成一個(gè)環(huán)狀，使相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，所夾的銳角為，圖中所示的是前個(gè)正五邊形的拼接情況，拼接一圈后，中間會形成一個(gè)正多邊形，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角等知識，由完全拼成一個(gè)圓環(huán)需要的正五邊形為個(gè)，則圍成的多邊形為正邊形，利用正五邊形的內(nèi)角與夾角計(jì)算出正邊的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)內(nèi)角和定理得到解方程求解即可．熟練掌握多邊形內(nèi)角和和外角和是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵正五邊形的外角和為，
∴正五邊形每個(gè)外角的度數(shù)為：，
∴正五邊形每個(gè)內(nèi)角為：，
∴組成的正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為：，
∵個(gè)全等的正五邊形拼接可以拼成一個(gè)環(huán)狀，中間會形成一個(gè)正多邊形，
∴組成的正多邊形為正邊形，
∴，
解得：．
故答案為：．
【變式3-4】按要求回答下列各小題．
(1)若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和的比一個(gè)四邊形的內(nèi)角和多360°，求n的值；
(2)一個(gè)正多邊形的所有內(nèi)角與它的所有外角之和是1620°，求該正多邊形的邊數(shù)及一個(gè)外角的度數(shù)．
【答案】(1)14
(2)該正多邊形的邊數(shù)為9，一個(gè)外角的度數(shù)是
【分析】（1）n邊形的內(nèi)角和為，結(jié)合已知條件，列出關(guān)于n的一元一次方程，即可求解；
（2）正n邊形的內(nèi)角和為，外角和為，則，解方程即可．
【詳解】（1）解：n邊形內(nèi)角和為，四邊形的內(nèi)角和為360°，
由題意得，，
解得，
即n的值為14；
（2）解：正n邊形的內(nèi)角和為，所有外角都相等且外角和為，
由題意得，，
解得，
，
即該正多邊形的邊數(shù)為9，一個(gè)外角的度數(shù)是．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形內(nèi)角和為，外角和為．
考點(diǎn)四：內(nèi)角和與外角和的綜合
例4．如圖，七邊形中，的延長線交于點(diǎn)O，若的外角和等于，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得的和是解題的關(guān)鍵．由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得的和，由多邊形的內(nèi)角和公式求得五邊形的內(nèi)角和，即可求得．
【詳解】解：∵的外角和等于，
，
，
∵五邊形內(nèi)角和，
，
，
故選：A．
【變式4-1】如圖，在四邊形中，的角平分線與的角平分線相交于點(diǎn)P，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角和外角，利用四邊形內(nèi)角和是，可以求得，然后由角平分線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義求得的度數(shù)，所以根據(jù)的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)即可．
【詳解】解：，，
，
又的角平分線與的角平分線相交于點(diǎn)P，
，
，
故選：B．
【變式4-2】已知六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，其中，，，，且此六邊形的周長為2024，則x的值為 ．
【答案】164
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系構(gòu)造等邊三角形、根據(jù)等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)求解成為解題的關(guān)鍵．
延長并反向延長、、，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，再利用六邊形的各邊和周長與各邊的關(guān)系列出等量關(guān)系是，即可解出．
【詳解】解：如圖，分別延長、，相交于點(diǎn)G，分別延長、，相交于點(diǎn)H，分別延長、，相交于點(diǎn)M．
，
∵六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，，，，，
∴六邊形每個(gè)外角為，
∴、、、都是等邊三角形，
，，，
，
設(shè)，，
，
，
即，
；
故答案為：164．
【變式4-3】如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點(diǎn)O，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD．
【詳解】、、、的外角的角度和為，
，
，
五邊形OAGFE內(nèi)角和，
，
．
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解題的關(guān)鍵．
【變式4-4】問題情境：在探索多邊形的內(nèi)角與外角關(guān)系的活動中，同學(xué)們經(jīng)歷了觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程，提出了問題，請解答．
（1）若四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是α．
①求和它相鄰的外角的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
②求其它三個(gè)內(nèi)角的和（用含α的代數(shù)式表示）．
（2）若一個(gè)n邊形，除了一個(gè)內(nèi)角，其余內(nèi)角的和為，求n的值．
深入探究：
（3）探索n邊形的一個(gè)外角與和它不相鄰的個(gè)內(nèi)角的和之間滿足的等量關(guān)系，說明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由見解析
【分析】（1）①根據(jù)一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角的和是進(jìn)行計(jì)算即可；②四邊形的內(nèi)角和是進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）表示出和它不相鄰的個(gè)內(nèi)角的和即可．
【詳解】解：（1）①四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是，則與它相鄰的外角的度數(shù)；
②由于四邊形的內(nèi)角和是其中一個(gè)內(nèi)角為，則其它三個(gè)內(nèi)角的和為；
（2）由題意得，
，
的正整數(shù)，，
，
即這個(gè)多邊形為八邊形；
（3）設(shè)邊形的一個(gè)外角為，它不相鄰的個(gè)內(nèi)角的和為，
則有，
即．
考點(diǎn)五：平行四邊形的性質(zhì)
例5．如圖，在中，對角線交于，已知，，，那么到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、三角形的面積公式，首先根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，，根據(jù)勾股定理的逆定理可得：，利用勾股定理可求，設(shè)點(diǎn)到的距離為，根據(jù)三角形的面積公式可得：，從而可求點(diǎn)到的距離．
【詳解】解：在中，，，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，
，
，
解得：．
故選：B．
【變式5-1】如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好與邊上的點(diǎn)F重合．若的周長為14，，則的周長為（　 　）
A．24 B．28 C．38 D．40
【答案】C
【分析】本題考查翻折變換（折疊問題）、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由翻折可得，進(jìn)而可得，結(jié)合的周長為，可得，進(jìn)一步即可得出答案．
【詳解】解：由翻折可得，，
∵四邊形為平行四邊形，
，
，，，
∵的周長為14，
，
∵，
∴，
∴的周長為．
故選：C．
【變式5-2】如圖，將一副三角板擺在中，若，則的面積為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，熟記平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積是解題的關(guān)鍵；設(shè)點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，根據(jù)等等面積法分別求出h與的長，即可推出結(jié)果，
【詳解】在中，，，
，
，，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，
，
，
在等腰中，，
，
，
的面積為，
故答案為：．
【變式5-3】如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)O，，，，則的面積為 ．
【答案】/
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，過點(diǎn)作，易得為等腰直角三角形，為含30度角的直角三角形，進(jìn)而求出的長，得到的長，進(jìn)而求出的面積，根據(jù)的面積為的面積的2倍，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，，
過點(diǎn)作，如圖：
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面積．
故答案為：．
【變式5-4】如圖所示，在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O任作一條直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)若，，，求四邊形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等，對角線互相平分；全等三角形對應(yīng)邊相等．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，則，即可根據(jù)求證，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可解答．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四邊形的周長．
考點(diǎn)六：平行四邊形的判定
例6．要求只用圓規(guī)來驗(yàn)證紙片的兩邊是否平行，現(xiàn)有甲、乙兩種方案如圖1和圖2．
甲 乙
①在紙片的一邊上取線段； ②用圓規(guī)在另一邊上截取，使； ③用圓規(guī)比較和的長度，若，則． ①沿折疊紙片，使和重合，和重合，交于點(diǎn)F； ②用圓規(guī)比較的長度，若，則．
對于兩個(gè)方案，說法正確的是（ ）
A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行
C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判斷，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，選擇恰當(dāng)方法證明，然后判斷即可．
【詳解】解：甲方案根據(jù)兩組對邊分別相等，可判定四邊形是平行四邊形，所以，方案可行；
乙方案由折疊可知，
∵，
∴，
∴，
∴；
方案可行；
故選：C．
【變式6-1】如圖，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，下列條件能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．
結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，故C符合題意，
但是A、B、D條件均不能證明，故不符合題意，
故選：C．
【變式6-2】如圖，在中，E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，有以下條件：①；②；③．若想使四邊形AFCE為平行四邊形，則還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （填寫相應(yīng)序號）．
【答案】③
【分析】①和②都不能證得四邊形AFCE是平行四邊形；③可以采用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC，
如果添加①，點(diǎn)E的位置無法確定，無法判定四邊形AFCE的形狀；
如果添加②，四邊形AFCE可能是平行四邊形或是等腰梯形；
如果③，則AE//CF，
∵AFCE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，故③正確，
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是選擇適宜的證明方法：此題③采用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
【變式6-3】已知平面上有三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】或或
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別以AB、AC、BC為對角線畫出平行四邊形，然后寫出第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】如圖，以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
故答案為：（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)畫出圖形，找出D點(diǎn)坐標(biāo)的三種情況．
【變式6-4】根據(jù)所給素材，完成相應(yīng)任務(wù)．
玩轉(zhuǎn)三角板
活動背景 在某次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師拿出一副斜邊長都為2的三角板，如圖1所示，其中，為直角，，，要求兩直角頂點(diǎn)重合（A與F重合于點(diǎn)O）進(jìn)行探究活動．
素材1 小明同學(xué)的探究結(jié)果如圖2所示，D，O，C三點(diǎn)在一條直線上．
素材2 小聰同學(xué)的探究結(jié)果如圖3所示，，連結(jié)，發(fā)現(xiàn)四邊形是平行四邊形．
素材3 李老師提出問題，在上述操作過程中，與的面積比是否為定值？
解決問題
任務(wù)1 （1）根據(jù)圖2，計(jì)算線段的長度．
任務(wù)2 （2）根據(jù)圖3寫出小聰同學(xué)判定平行四邊形的依據(jù)：___________． （3）計(jì)算的面積．
任務(wù)3 （4）請你解答李老師的問題，并說明理由．
【答案】（1）
（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
（3）
（4）是定值，理由見解析
【分析】（1）在中，利用直角三角形的性質(zhì)求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得，即可由求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理解答即可；
（3）過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，利用，求得，利用，求得，從而求得，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．
（4）作于M，交延長線于N，證明，得到，然后由三角形面積公式計(jì)算出，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵(已知)，(已知)，
∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（3）過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
（4）與的面積比是定值．
理由：作于M，交延長線于N，如圖，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴與的面積比是定值．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，本題是三角形綜合題目，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)七：平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用
例7．某廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花，如果有，，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）

A．紅花、綠花種植面積一定相等 B．紫花、橙花種植面積一定相等
C．紅花、藍(lán)花種植面積一定相等 D．藍(lán)花、黃花種植面積一定相等
【答案】C
【分析】由題意得出四邊形、四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是平行四邊形，得出的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，得出四邊形的面積四邊形的面積，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示：
，，
四邊形、四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是平行四邊形，
的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，故A，D選項(xiàng)正確
四邊形的面積四邊形的面積，故B選項(xiàng)正確
∴A、B、D正確，C不正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形性質(zhì)比較三角形面積大小，結(jié)合圖形解題較為簡便．
【變式7-1】如圖，在平行四邊形中，過對角線上一點(diǎn)，作EFBC，HGAB，若四邊形和四邊形的面積分別為和，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】先證明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面積相等，得出 ，即．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，EFBC，HGAB，
∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，
∴四邊形GBEP、HPFD是平行四邊形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴；
同理可得：，，，
∴
即，也即．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，利用全等三角形的面積相等結(jié)合面積做差得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】圖1是四連桿開平窗鉸鏈，其示意圖如圖2所示，為滑軌，為固定長度的連桿．支點(diǎn)A固定在上，支點(diǎn)B固定在連桿上，支點(diǎn)D固定在連桿上．支點(diǎn)P可以在上滑動，點(diǎn)P的滑動帶動點(diǎn)的運(yùn)動．已知，，，，．窗戶在關(guān)閉狀態(tài)下，點(diǎn)B、C、D、E都在滑軌MN上．當(dāng)窗戶開到最大時(shí)，．
（1）若，則支點(diǎn)P與支點(diǎn)A的距離為 cm；
（2）窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開到最大的過程中，支點(diǎn)P移動的距離為 cm．

【答案】 12
【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，推出，再根據(jù)勾股定理解即可；
（2）當(dāng)窗戶開到最大時(shí)，，根據(jù)勾股定理解求出；當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，，由此可解．
【詳解】解：（1），，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
．
故答案為：；
（2）當(dāng)窗戶開到最大時(shí)，，，
，
，
，，
；
當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，，
窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開到最大的過程中，支點(diǎn)P移動的距離為，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，從根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)建數(shù)學(xué)模型．
【變式7-3】如圖是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的“草莓”狀網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，要求以為邊畫一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，則最多可畫 個(gè)平行四邊形．
【答案】4
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定畫出圖形即可．
【詳解】解：如圖，四邊形ABCD即為所求．
共能作出4個(gè)平行四邊形．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．
【變式7-4】問題探究
（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)在直線上，且，求作，使得點(diǎn)，在直線上，邊，，分別經(jīng)過點(diǎn)，，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出的值；
問題解決
（2）如圖2，某市郊野公園現(xiàn)有一塊四邊形草坪，頂點(diǎn)，，，處均有一棵荔枝古樹，點(diǎn)處有一座八角觀景亭，園林管理部門準(zhǔn)備擴(kuò)建草坪，想使草坪面積擴(kuò)大一倍，又想保持棵荔枝古樹、八角觀景亭在草坪邊不動，并要求擴(kuò)建后的草坪成平行四邊形的形狀．請問能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請你設(shè)計(jì)出所要畫的圖形；若不能，請說明理由．
【答案】（1）圖見解析，；（2）能，圖見解析．
【分析】本題考查了作圖——基本作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．
（1）連接，過點(diǎn)作的平行線，再過點(diǎn)、點(diǎn)分別作的平行線，四條線的交點(diǎn)為、、、，則四邊形即為所求，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出的值；
（2）連接，過點(diǎn)和分別作的平行線，再連接分別交過點(diǎn)、過點(diǎn)的直線于點(diǎn)、，最后過點(diǎn)作的平行線分別交過點(diǎn)、過點(diǎn)的直線于點(diǎn)、，則四邊形即為所求．
【詳解】解（1）如圖，即為所求，
，，
四邊形和四邊形均是平行四邊形，
，
直線與間的距離處處相等，與間的距離處處相等，
，，
，
；
（2）能實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想，如圖，連接，過點(diǎn)和分別作的平行線，再連接分別交過點(diǎn)、過點(diǎn)的直線于點(diǎn)、，最后過點(diǎn)作的平行線分別交過點(diǎn)、過點(diǎn)的直線于點(diǎn)、，則四邊形即為所求，
理由如下：
，，
四邊形、四邊形和四邊形均是平行四邊形，
，
直線與間的距離處處相等，與間的距離處處相等，
，，
，
．
考點(diǎn)八：中心對稱與中心對稱圖形
例8．下列四幅圖中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【變式8-1】下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
【變式8-2】下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心．根據(jù)定義作答即可.
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；
C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；
D．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后與原圖重合．
【變式8-3】如圖（1）所示，魔術(shù)師把4張撲克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，請一位觀眾上臺，把某一張牌旋轉(zhuǎn)180°，魔術(shù)師解除蒙具后，看到4張撲克牌如圖（2）所示，他很快確定了哪一張牌被旋轉(zhuǎn)過，被旋轉(zhuǎn)過的一張牌是 ．
【答案】方塊4．
【分析】4張撲克牌中只有方塊4為中心對稱圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)以及牌的花色進(jìn)行判斷.
【詳解】解：4張撲克牌中只有方塊4為中心對稱圖形，故旋轉(zhuǎn)180°后還是原狀，而其他3張均不是，觀察翻轉(zhuǎn)前后4張牌均為保持原狀，據(jù)此可知翻轉(zhuǎn)的為方塊4，
故答案為方塊4.
【點(diǎn)睛】本題結(jié)合旋轉(zhuǎn)考查了中心對稱.
【變式8-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，，．
(1)四邊形是中心對稱圖形嗎？若是，請畫出對稱中心E點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)在上，在上確定一點(diǎn)G，使得平分四邊形的面積，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】(1)是中心對稱，圖見詳解
(2)
【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
（1）證明四邊形使得平行四邊形可得結(jié)論；
（2）利用中心對稱圖形的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】（1）解：是
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是中心對稱圖形，
如圖，對角線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
（2）因?yàn)槠椒炙倪呅蔚拿娣e，
所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，
設(shè)，則有，
，
．
故答案為：．
考點(diǎn)九：畫中心對稱
例9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，畫出；
(2)的面積為_______；
(3)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】(1)作圖見解析
(2)2.5
(3)或或
【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
（1）分別作出，，的對應(yīng)點(diǎn)，，并依次連接即可．
（2）利用分割法求三角形面積即可．
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形利用平移法即可解決問題．
【詳解】（1）解：即為所作：
（2）解：，
故答案為：2.5；
（3）解：如圖：
當(dāng)四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，．
∴可知點(diǎn)向右平移了3個(gè)單位，向上平移了1個(gè)單位得到點(diǎn)，
則向右平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
同理可得點(diǎn)，，
∴以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，
故答案為：或或．
【變式9-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．
(1)畫出關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱的，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為________；
(2)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為________．
【答案】(1)作圖見解析，
(2)或或
【分析】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)，中心對稱，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）先找出A、B關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱的對稱點(diǎn)、，再順次連接、，即可得到、．
（2）分三種情況：①是平行四邊形；②是平行四邊形；③是平行四邊形．根據(jù)平移的性質(zhì)分別求出、、的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
由圖可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：；
（2）結(jié)合圖形可知，
①是平行四邊形，此時(shí)；
②是平行四邊形，此時(shí)；
③是平行四邊形，此時(shí)；
故答案為：或或．
【變式9-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出向左平移4個(gè)單位的圖形；
(2)畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形，并寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析，，，
【分析】本題考查了作圖—平移變換、畫中心對稱圖形，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；
（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形的性質(zhì)作出圖形，再寫出坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：即為所求，
（2）解：如圖，即為所求，，，
．
【變式9-3】在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）；
(1)作出關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4個(gè)單位長度得到，畫出．
(3)與成中心對稱，請直接寫出對稱中心的坐標(biāo)（_____）．
【答案】(1)，，
(2)見解析
(3)
【分析】此題考查中心對稱圖形的畫法，平移圖形的畫法，中心對稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，對稱中心的確定方法，正確掌握中心對稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)，，，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)平移特點(diǎn)先作出點(diǎn)，，平移后的對應(yīng)點(diǎn)，，，然后順次連接即可；
（3）連接兩組對稱點(diǎn)的交點(diǎn)即為對稱中心，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出此點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：如圖，為所求作的三角形；
根據(jù)圖可知，，，．
（2）解：如圖，為所求作的三角形；
（3）解：連接、，則、的交點(diǎn)即為對稱中心，
∵，，
∴對稱中心的坐標(biāo)為，
即對稱中心的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【變式9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是．
(1)作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的，其中點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)；
(2)直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)，．
【分析】本題考查基本作圖中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)、的位置，然后順次連接即可；
（）根據(jù)所作圖形得出點(diǎn)，坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：由圖可得，．
考點(diǎn)十：中心對稱的坐標(biāo)問題
例10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過．
(1)一次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如果點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的對稱點(diǎn)恰好落在一次函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法即可得出一次函數(shù)解析式；
（2）先求出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的對稱點(diǎn)，然后代入求值．
【詳解】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴．
（2）解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的對稱點(diǎn)，
代入中得，
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
【變式10-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)先將向左平移2個(gè)單位，再作與所得三角形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的圖形，得到，請?jiān)趫D中畫出．
(3)上有一點(diǎn)，經(jīng)上述變換后所得的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與圖形變化—平移和中心對稱，正確畫出對應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的 位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律先得到向左平移2個(gè)單位后A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)得到的坐標(biāo)，描出病順次連接即可；
（3）仿照（2）求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：如圖所示，即為所求；
（3）解：向左平移2個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，
∴．
【變式10-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，請解答下列問題：
(1)若向右平移6個(gè)單位長度得到，作出并寫出其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)作出關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形并寫出其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，見解析
(2)，見解析
【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律，確定變換后的坐標(biāo)，畫圖即可．
（2）根據(jù)原點(diǎn)對稱的要求求出對應(yīng)坐標(biāo)，畫圖即可．
本題考查了坐標(biāo)的平移，原點(diǎn)對稱，熟練掌握相應(yīng)的知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，向右平移6個(gè)單位后，得到新坐標(biāo)為，畫圖如下：
．
則即為所求．
（2）解：根據(jù)題意，得，關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形，新坐標(biāo)分別為．畫圖如下：
則即為所求．
【變式10-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都在格點(diǎn)上，且與關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，C點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)請直接寫出的坐標(biāo)______；
(2)是的AC邊上一點(diǎn)，將平移后點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，請畫出平移后的；
(3)若和關(guān)于某一點(diǎn)成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為______．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了圖形的平移、中心對稱的性質(zhì)．
（1）直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后順次連接即可；
（3）連接各對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而得出對稱中心的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵，與關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，
∴；
故答案為：；
（2）解：∵，平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，
∴先向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移6個(gè)單位長度，
即：如圖所示；
（3）解：∵，，，
∴，，；
如圖所示，
連接，相交于點(diǎn)，
則為對稱中心，即：為的中點(diǎn)，
又∵，，
∴，即，
故答案為：．
【變式10-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形；
(2)是邊上一點(diǎn)，將平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請畫出平移后的；
(3)將平移，若（2）小題中，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移后的和關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則的坐標(biāo)為______．（用含，的式子表示）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了圖形的平移，中心對稱的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得到、、關(guān)于原點(diǎn)中心對稱點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后依次連接即可；
（2）利用點(diǎn)與的坐標(biāo)特征確定平移的方向與距離，再利用此平移規(guī)律寫出點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后依次連接即可；
（3）同（2）得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，再由中心對稱的性質(zhì)，知道點(diǎn)點(diǎn)為和的中點(diǎn)，即可得到的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知和關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，
則可得到，， 關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的對應(yīng)點(diǎn)分別為、、，描點(diǎn)依次連接，
如圖所示，即為所求：
（2）解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，則向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到 ，
分別將，，向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到對應(yīng)點(diǎn)、、，描點(diǎn)依次連接，
如圖所示，即為所求：
（3）解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，則向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到 ，
分別將，，向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到對應(yīng)點(diǎn)、、，
平移后的和關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且、、，
設(shè)對稱中心，由題意可知，點(diǎn)為和的中點(diǎn)
那么，
，
．
故答案為：．
考點(diǎn)十一：三角形的中位線
例11．如圖，在中，，，．分別是上的動點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
連接，過點(diǎn)作于，由平行四邊形的性質(zhì)得到，得出求出，求出，由三角形中位線定理得到，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的最小值為，得到
的最小值為，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于，
四邊形是平行四邊形，，
，
，
，
，
，
分別為的中點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的最小值為，
的最小值為，
故選：D．
【變式11-1】如圖，點(diǎn)E為的對角線上一點(diǎn)，，連接并延長至點(diǎn)F，使得，則為（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明是的中位線．連接交于O，由平行四邊形的性質(zhì)推出，，證明是的中位線，得到，求出，得到，求出，從而．
【詳解】解：連接交于O，如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【變式11-2】如圖，是的中位線，作的平分線分別交的延長線，邊于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)N恰好是的中點(diǎn)，，則的長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，先證明是的中位線，推出，結(jié)合角平分線的定義得到，再證明，推出，進(jìn)而求出，即可解答．
【詳解】解：∵是的平分線，
∴．
∵是的中位線，，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵N是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式11-3】如圖，在中，為邊中點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，連接，取中點(diǎn)并連接，取中點(diǎn)，延長與邊交于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，連接．求出，即可解決問題．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．
【詳解】解：如圖，連接．
為邊中點(diǎn)，，，
，，，
為邊中點(diǎn)，取中點(diǎn)并連接，
，，
是的中位線，
，，
，
取中點(diǎn)，
，
又，
，
，，
，
故答案為：1．
【變式11-4】如圖，在四邊形中，是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．
【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】
（1）求的度數(shù)．
【用數(shù)學(xué)的思維思考】
（2）如圖，延長圖中的線段交的延長線于點(diǎn)，延長線段交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)．
【用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)】
（3）如圖，在中，，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，求的度數(shù)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)題意易證是的中位線，是的中位線，推出，進(jìn)而得到，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)題意易證是的中位線，是的中位線，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到；
（3）取的中點(diǎn)，連接，同理（1）（2）得，，，，推出，易證是等邊三角形，求出，由即可解答．
【詳解】（1）解：是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，是的中位線，
，，
，
，
，
，
；
（2）是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，是的中位線，
，
，
同理，，
由（1）可知，
，
∵，
∴；
（3）如圖，取的中點(diǎn)，連接，
同理（1）（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等邊三角形，
，
又，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用中位線定理.
考點(diǎn)十二：反證法
例12．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是真命題
C．帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)
D．多項(xiàng)式與的公因式為
【答案】C
【分析】本題考查了逆命題和真命題，反證法，平行線的判定與性質(zhì)，無理數(shù)，因式分解．根據(jù)反證法，平行線的判定與性質(zhì)，無理數(shù)的定義，因式分解以及逆命題和真命題的定義求解即可．
【詳解】解：A．用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)，原說法正確，不符合題意；
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是：兩直線平行，同位角相等，是真命題，原說法正確，不符合題意；
C．帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如是有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤，符合題意；
D．多項(xiàng)式與的公因式為，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
【變式12-1】用反證法證明：“若，則中至少有一個(gè)為0．”應(yīng)假設(shè)（ ）
A．都不為0 B．只有一個(gè)為0
C．至少有一個(gè)為0 D．都為0
【答案】A
【分析】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟；
反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行解答．
【詳解】解：反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即假設(shè)結(jié)論不成立的情況．
在這個(gè)問題中，結(jié)論是“a， b 中至少有一個(gè)為0”，其反面就是“a， b 都不為0”．
故選：A．
【變式12-2】如圖，已知E為直線l外一點(diǎn)，求證：過E點(diǎn)，只能有一條直線垂直于 l．用反證法證明這個(gè)命題的步驟：①在中，，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾；②假設(shè)過 E點(diǎn)有兩條直線分別垂直l于F，G 兩點(diǎn)；③則，；④故過E點(diǎn)只有一條直線垂直于l．證明步驟正確的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④①
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及反證法的應(yīng)用，理解并掌握反證法的一般步驟是解題關(guān)鍵．反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．
【詳解】解：運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：
1、假設(shè)過 E點(diǎn)有兩條直線分別垂直l于F，G 兩點(diǎn)；
2、則，；
3、在中，，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾；
4、因此假設(shè)不成立，故過E點(diǎn)只有一條直線垂直于l．
則證明步驟正確的是②③①④，
故選：B．
【變式12-3】用反證法證明命題“如果，那么”的第一步應(yīng)假設(shè) ．
【答案】
【分析】本題主要考查反證法，熟練掌握反證法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法得到第一步假設(shè)即可得到答案．
【詳解】解：“如果，那么”的第一步應(yīng)假設(shè)，
故答案為：．
【變式12-4】小明在解答“已知中，，求證”這道題時(shí)，寫出了下面用反證法證明這個(gè)命題過程中的四個(gè)推理步驟：
（1）所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假設(shè)．
（4）那么，由，得，即，即．
請你寫出這四個(gè)步驟正確的順序 ．
【答案】（3）（4）（1）（2）
【分析】本題考查的是反證法，解題的關(guān)鍵是掌握反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．根據(jù)反證法的一般步驟解答即可．
【詳解】證明：假設(shè)，
那么，由，得，即，
所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，
所以，
所以這四個(gè)步驟正確的順序是（3）（4）（1）（2），
故答案為：（3）（4）（1）（2）．
拓展訓(xùn)練一：多邊形內(nèi)角和與外角和綜合
1．如圖，正五邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正多邊形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．連接，，，，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得，則當(dāng)E、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，過點(diǎn)E作于H，交于，分別求出和的度數(shù)，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：連接，，，，
∵正五邊形，
∴，，
∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴當(dāng)E、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，
過點(diǎn)E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，．
故選：C．
2．如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)F在直線AB上，點(diǎn)N在直線CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，則∠GHM＝（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【分析】延長HG交直線AB于點(diǎn)K，延長PM交直線AB于點(diǎn)S．利用平行線的性質(zhì)求出∠KSM，利用鄰補(bǔ)角求出∠SMH，利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，求出∠SKG，再利用四邊形的內(nèi)角和求出∠GHM．
【詳解】解：延長HG交直線AB于點(diǎn)K，延長PM交直線AB于點(diǎn)S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°．
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角、平行線的性質(zhì)、三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系及多邊形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)．利用平行線、延長線把分散的角集中在四邊形中是解決本題的關(guān)鍵．
3．在△ABC中，（），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC和AB上的動點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，且BE＋EF＋CF的值最小．
如圖1，若AB＝AC，，則∠ABE的大小是 ；
如圖2，∠BGC的大小是 （用含的式子表示）．
【答案】 30°
【分析】分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最小，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案；然后根據(jù)根據(jù)（1）的結(jié)論即可得出∠BGC的度數(shù)．
【詳解】解：如圖所示，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最小．
∴，，
∴，，，
∵點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，，
∴，
∵（），
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∵，BC=CB
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
如圖所示，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最小．
∴，，
∴，，，
∵點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，，
∴，
∵（），
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確作出輔助線，找到四點(diǎn)共線時(shí)有最小值是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在中，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿的平分線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，則稱是的好角．
（1）若經(jīng)過次折疊是的好角，則與（設(shè)）之間的等量關(guān)系為 ．
（2）若一個(gè)三角形的最小角是4°，且該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．請寫出符合要求三角形的另兩個(gè)角的度數(shù) ．（寫出一種即可）
【答案】 ∠B=n∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88°
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C；
（2）利用（1）的結(jié)論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【詳解】解：（1）∠B=n∠C；
如圖所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；
將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，
將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，
則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；
故答案為：∠B=n∠C．
（2）由（1）知設(shè)∠A=4°，∵∠C是好角，
∴∠B=4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180，
∴如果一個(gè)三角形的最小角是4°，
三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
故答案為：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．
5．【問題背景】如圖①，在四邊形中，和稱為它的對角，若這個(gè)四邊形滿足：，則這個(gè)四邊形叫做為“對角互補(bǔ)四邊形”．
【問題解決】
(1)若四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，且，求的度數(shù)；
(2)如圖②，，平分，A是射線上一動點(diǎn)，C是射線上的動點(diǎn)，且四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”．
①若是等腰三角形，求的度數(shù)；
②若，若，求的長（用含m、n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)，
(2)①的度數(shù)為或；②
【分析】（1）根據(jù)四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，求得，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)“對角互補(bǔ)四邊形”的定義得到，根據(jù)角平分線的定義得到，當(dāng)時(shí)，求得（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，求得；
②如圖②，過點(diǎn)B作于G，于H，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，解方程即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）①∵四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，，
∴，
∵平分，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴（不符合題意，舍去），
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，
∴，，
∴．
綜上所述：的度數(shù)為或；
②如圖②，過點(diǎn)B作于G，于H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形是綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，新定義“對角互補(bǔ)四邊形”，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．
拓展訓(xùn)練二：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合
1．如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，連接，，，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】①延長交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和即可得到；②先證明，得，又有，可得，即可得到為等腰直角三角形；③過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，證明，再根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得成立；④過點(diǎn)作于，根據(jù)勾股定理即可證明，可知結(jié)論不成立，⑤根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到結(jié)合，即可得到．
【詳解】解：①延長交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正確；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴為等腰直角三角形，
故②正確；
∵，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，則為等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正確；
由勾股定理可知，，則，
過點(diǎn)作于，則，
∵，
∴，
∴，
則，，
∴，
故④不正確；
，，
，
故⑤正確；
綜上所述正確的結(jié)論共有4個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形．
2．如圖，中，對角線相交于點(diǎn)，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作的延長線于，由可得，由勾股定理得，由平行四邊形性質(zhì)得，，進(jìn)而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的長，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作的延長線于，則，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
3．如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，，，，直線過點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連，的周長等于，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
；；；．
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【答案】D
【分析】由的周長等于，可得，即得到，根據(jù)等腰三角形三線合一得到，即可判斷；過點(diǎn)作，交與，證明，得到，同理可得，，，再由三角形的面積即可判斷；過點(diǎn)于，交于，可得，即可判斷；過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，由平行線可得，進(jìn)而可得，得到，由勾股定理可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，求出進(jìn)而可得的長，即可判斷；正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵的周長等于，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正確；
過點(diǎn)作于M，交與，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正確；
過點(diǎn)作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正確；
過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正確；
∴說法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．
4．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，，則下列所有正確結(jié)論的序號是
①平分；②；③；④．
【答案】①②④
【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，則是線段的垂直平分線，進(jìn)而得是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可對結(jié)論結(jié)論①進(jìn)行判斷；②根據(jù)得是等腰直角三角形，由此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；③過點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出， ，證明是等腰直角三角形，可求出，根據(jù)勾股定理求得， ，進(jìn)而得到，即可得到，據(jù)此可對結(jié)論③進(jìn)行判斷，④分別求出，進(jìn)而可對結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．
【詳解】解：①四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴平分，故①正確；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
③過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
由勾股定理得：，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，故③錯(cuò)誤；
，
，
，
，
，
，
，故④正確．
綜上所述：所有正確結(jié)論的序號是①②④．
故答案為：①②④．
5．如圖，在中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，，垂足為G，延長線交于點(diǎn)H，，連接．
(1)若，求的值；
(2)求證：．
【答案】(1)1
(2)見解析
【分析】（1）證明，推出，可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作于J，交的延長線于K．過點(diǎn)D作交的延長線于T，連接，設(shè)交于N．證明是等腰直角三角形，即可解決問題．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵F是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：過點(diǎn)F作于J，交的延長線于K．過點(diǎn)D作交的延長線于T，連接，設(shè)交于N．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
拓展訓(xùn)練三：平行四邊形的存在性問題
1．如圖1，在中，，，，點(diǎn)P，Q分別是上的動點(diǎn)，P從C出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，Q從A出發(fā)以每秒8個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．過點(diǎn)Q作于點(diǎn)M．

(1)______，______．（用含t的代數(shù)式表示）
(2)如圖2，已知點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接，以為鄰邊作平行四邊形．
①當(dāng)時(shí)，求的長；
②在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得平行四邊形的一邊落在的某邊上？若存在，求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在，或2或3
【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到，據(jù)此求出即可；
（2）①根據(jù)，求出，則，利用勾股定理分別求出，，進(jìn)而求出，則；②分圖2-1，2-2，2-3三種情況，討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵P從C出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，Q從A出發(fā)以每秒8個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：，；
（2）解：①∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
②如圖2-1所示，當(dāng)落在上時(shí)，則，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；

如圖2-2所示，當(dāng)落在上時(shí)，延長到H使得，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
解得；

如圖2-3所示，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)在上，
∴；
綜上所述，t的值為或2或3．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，，過點(diǎn)A作，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)P，Q分別是射線，射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的點(diǎn)，且，設(shè)，為y，則．當(dāng)點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，．
(1)求，的長度；
(2)若，求的長；
(3)請問是否存在x的值，使得以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或12
【分析】（1）根據(jù)題意，由可列方程并求解，可得，進(jìn)而得到CE、CQ的長，再由求QE的長度即可；由點(diǎn)Q為中點(diǎn)，可知，可計(jì)算BC的長；
（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，PE交AC于點(diǎn)N，由等腰三角形的性質(zhì)可知，再證明四邊形AMEP為平行四邊形，推導(dǎo)，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的長度，由計(jì)算BQ的長度即可；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段BC上時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段CB的延長線上時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，根據(jù)題意分別列方程求解即可．
【詳解】（1）解：如下圖，由題意可知，，即，
解得，即，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)Q為中點(diǎn)，
∴；
（2）如下圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，PE交AC于點(diǎn)N，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴四邊形AMEP為平行四邊形，
∴，
∵，
由可知，，
解得，即，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
①如下圖，當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段BC上時(shí)，若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則，
∵，
∴，
∴，
解得；
②如下圖，當(dāng)點(diǎn)Q、E在線段CB的延長線上時(shí)，若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則，
∵，
∴，
∴，
解得．
綜上所述，當(dāng)以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是用方程的思想解決問題．
3．如圖，在四邊形中，，，，，，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒的速度在射線上運(yùn)動到C點(diǎn)返回，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上，以每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形．
（2）是否存在點(diǎn)N，使是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒
【分析】（1）由題意已知，AB∥CD，要使四邊形MNBC是平行四邊形，則只需要讓BM=CN即可，因?yàn)镸、N點(diǎn)的速度已知，AB、CD的長度已知，要求時(shí)間，用時(shí)間=路程÷速度，即可求出時(shí)間；
（2）使△BMN是等腰三角形，可分三種情況，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性質(zhì)，分別用t表達(dá)等腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得時(shí)間t．
【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
∵四邊形MNCB是平行四邊形，
∴MB=NC，
當(dāng)N從D運(yùn)動到C時(shí)，
∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
當(dāng)N從C運(yùn)動到D時(shí)，
∵BM=AB-AM=16-t，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴當(dāng)t=5秒或秒時(shí)，四邊形MNCB是平行四邊形；
（2）△NMB是等腰三角形有三種情況，
Ⅰ．當(dāng)NM=NB時(shí)，
作NH⊥AB于H，則HM=HB，
當(dāng)N從D運(yùn)動到C時(shí)，
∵M(jìn)H=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16 t)+t，
解得t＝秒；
當(dāng)點(diǎn)N從C向D運(yùn)動時(shí)，觀察圖象可知，只有由題意：42-2t=（16-t）+t，
解得t=秒．
Ⅱ．當(dāng)MN=MB，當(dāng)N從D運(yùn)動到C時(shí)，
MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵M(jìn)N2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t＝（秒）；
Ⅲ．當(dāng)BM=BN，當(dāng)N從C運(yùn)動到D時(shí)，
則BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程無實(shí)根，
綜上可知，當(dāng)t=秒或秒或秒時(shí)，△BMN是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，特別應(yīng)該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于，且面積為．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式．
（2）如圖1設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作以為直角頂點(diǎn)的等腰，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若為線段上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），直線的解析式為．（2）坐標(biāo)為或．（3）存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解答；
（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)落在上時(shí)，過作直線平行于軸，過點(diǎn)，作該直線的垂線，垂足分別為，，求出點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，如圖，同法可得，再將解代入直線解析式求出n值即可解答；
（3）利用三角形面積公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出直線AM的解析式，作BE∥OC交直線于，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，再根據(jù)對稱性可得即可解答．
【詳解】（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
則有，
，
直線的解析式為．
（2），，，
，設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)落在上時(shí)，過作直線平行于軸，過點(diǎn)，作該直線的垂線，垂足分別為，．
是等腰直角三角形，易證，
，，
，
點(diǎn)在直線，
，
，
．
②當(dāng)時(shí)，如圖，同法可得，
點(diǎn)在直線上，
，
，
．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．
（3）如圖，設(shè)，
，
，
，
，
，
直線的解析式為，
作交直線于，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，
可得，，
當(dāng)點(diǎn)在第三象限，由BC=DE，根據(jù)對稱性知，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)A對稱的點(diǎn)也符合條件，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積、待定系數(shù)法求直線解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，是一次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是理解題意，認(rèn)真分析，結(jié)合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)的信息，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等解題方法進(jìn)行推理、計(jì)算．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，且恰好能始終保持連接兩動點(diǎn)的直線PD⊥AC，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，連接PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t≥0）．
(1)當(dāng)t=3時(shí)，求PD的長？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？
(3)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)4
(2)當(dāng) 時(shí)，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半
(3)存在t的值，當(dāng)t＝2.4時(shí)，使四邊形PDBQ為平行四邊形
【分析】（1）由題意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的長；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因?yàn)镾四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知當(dāng)BQ=PD時(shí)，四邊形BQPD為平行四邊形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)t=3時(shí)，AD=5，AP=3，
，
；
（2）解：∵由題意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合題意，應(yīng)舍去），
∴當(dāng) 時(shí)，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半；
（3）解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ與PD相等，則四邊形BQPD為平行四邊形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，當(dāng)t＝2.4時(shí)，使四邊形PDBQ為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定、勾股定理、動點(diǎn)問題的求解，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想列面積等式等知識方法，正確用t的代數(shù)式表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．
拓展訓(xùn)練四：平行四邊形常考的模型問題
1．如圖，在中，已知，，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿射線運(yùn)動．
(1)計(jì)算的長度；
(2)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)與點(diǎn)的距離最小，并求出最小距離；
(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的最小值是 ．
【答案】(1)；
(2)過作于，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，最小距離是；
(3)．
【分析】（1）過作于，求出，求出、，即可求出答案；
（2）過作于，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，求出，根據(jù)含度角的直角三角形性質(zhì)求出即可；
（3）作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交直線于，交于，則此時(shí)的值最小，且等于長，求出，即可求出的值，得出答案即可．
【詳解】（1）解：過作于，
，平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，
∴，
，
在中，，由勾股定理得：，
，，
；
（2）解：過作于，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，
則，
，，
，
即最小距離是；
（3）解：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交直線于，交于，則此時(shí)的值最小，且等于長，
由（2）知：，
，
，
，平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
即，
，
，，
在中，，，，
，，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形的特征、勾股定理解直角三角形、軸對稱的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握含的直角三角形的特征．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn) ，與直線交于點(diǎn)點(diǎn)到軸的距離為，直線交軸于點(diǎn) ．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在 邊上，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，使點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)， 將沿著直線平移，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)的平行四邊形？ 若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）由題意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由直角三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)A 的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）由直線的表達(dá)式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則由勾股定理逆定理可判定，易得，由折疊的性質(zhì)及即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）易得點(diǎn)G的坐標(biāo)，得點(diǎn)G所在直線解析式，設(shè)點(diǎn)M、點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對角線互相平分性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線 上，
把代入得，，
解得，
∴，，
∵軸，，，
∴，
，
由勾股定理得,
∴，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴直線 的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：直線 的表達(dá)式為: ，
當(dāng) 時(shí)，，則點(diǎn) ，
，
，，
，
，
，
沿 折疊后,點(diǎn) 恰好落在 邊上，
，
，
；
令 ，則 ，
根據(jù) 得：，
解得：，
故點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ；
（3）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，則，
∴關(guān)于x軸對稱，且G與C關(guān)于x軸對稱，
∴；
∵沿著直線平移，
∴點(diǎn)G在平行于直線的直線（記為）上運(yùn)動；
設(shè)解析式為，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入得：，
得：，
即：；
當(dāng)點(diǎn)G在上運(yùn)動時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為；設(shè)；
當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，
則，
解得：，
∴，
則；
當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，
則，
解得：，
∴，
則；
當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，
則，
解得：，
∴，
則；
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)及軸對稱三大變換的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理及逆定理等知識，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，分類討論．
3．已知：如圖，的對角線，相交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，設(shè)交于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）連接，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析
【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)證明，那么，再根據(jù)對邊平行即可求證；
（2）（i）延長，交于點(diǎn)T，由平行得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)證明，即可證明；
（ii）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 證明四邊形是平行四邊形即可．
【詳解】（1）證明：∵在中，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）證明：（i）由（1）得，
延長，交于點(diǎn)T，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由折疊知：，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（ii）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖所示：
∴，
∵折疊，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的不變性．
4．同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在平行四邊形紙片中，已知，，的面積為120．點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．
(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求證：四邊形為平行四邊形．
(2)如圖2，若時(shí)，連接，并延長交于點(diǎn)．求線段的長．
(3)改變點(diǎn)的位置，將沿折疊，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到，推出，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）延長交于點(diǎn)H，由折疊的性質(zhì)先證明是等腰三角形，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，易證利是等腰三角形，用平行四邊形的面積公式即可求出，進(jìn)而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)H，
由折疊的性質(zhì)可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四邊形是平行四邊形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
在中，，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，作，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊問題，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
5．已知：直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上．將沿折疊后，點(diǎn)O恰好落在邊上點(diǎn)D處．
(1)求的長及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)求的長度；
(3)點(diǎn)N在第二象限，若是以為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(4)取的中點(diǎn)M，點(diǎn)P在y軸上，若點(diǎn)Q在直線上，如果存在以C、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）首先由直線，計(jì)算即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；；將沿折疊后，點(diǎn)O恰好落在邊上點(diǎn)D處，則，即可求解；
（2）設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程可得答案；
（3）當(dāng)為直角邊時(shí)，證明，則，，即可求解；當(dāng)為直角邊時(shí)， 同理可解；
（4）求得，，設(shè)，，分當(dāng)是對角線、是對角線、是對角線時(shí)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：對于直線，令，則，
令，則，
∴；
由勾股定理得，，
∵將沿折疊后，點(diǎn)O恰好落在邊上點(diǎn)D處，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴；
（3）解：當(dāng)為直角邊時(shí)，如下圖：過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)M，連接，
∵為等腰直角三角形，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
點(diǎn)；
如圖，當(dāng)為直角邊時(shí)，
同理可得：點(diǎn)；
綜上，或；
（4）解：∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，
當(dāng)是對角線時(shí)，則有，
解得，，
∴；
當(dāng)是對角線時(shí)，則有，
解得，，
∴；
當(dāng)是對角線時(shí)，則有，
解得，，
∴；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，折疊性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，同時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．
拓展訓(xùn)練五：三角形的中位線壓軸
1．如圖，在中，，點(diǎn)D是的一點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使得，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形全等，三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．分別延長交于，延長交于點(diǎn)，先證明，再證明是的中位線，可得，可得再證明，可得，再求解即可．
【詳解】解：如圖，分別延長交于，延長交于點(diǎn)，
，
，
，
G為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故選：B
2．如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則的長為（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，求得，如圖：連接并延長交于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵為的平分線，
∴，
∴，
∴，
如圖：連接并延長交于G
∵
∴，
∵F是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，根據(jù)題意正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿折疊至．若點(diǎn)在線段/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
第03講 平行四邊形
知識點(diǎn) 1 多邊形的相關(guān)概念
1. 多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.
2. 多邊形的相關(guān)概念：
多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.
多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).
多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.
多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.
多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.
【補(bǔ)充】
1）多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；
2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；
3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.
3. 正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.
【補(bǔ)充】1）正n邊形有n條對稱軸．
2）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱中心是多邊形的中心.
知識點(diǎn) 2 多邊形的內(nèi)角和與外角和
1. 多邊形內(nèi)角和定理
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.
2. 多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.
易錯(cuò)易混
多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：
①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有 條對角線.
③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.
④n邊形的外角和是360°.
⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.
⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．
知識點(diǎn) 3 平行四邊形的概念與性質(zhì)
1.平行四邊形
定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
符號表示：平行四邊形用符號“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
2. 平行四邊形的性質(zhì)定理
性質(zhì) 符號語言 圖示
邊 平行四邊形兩組對邊平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角 平行四邊形對角相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
對角線 平行四邊形的對角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD
3. 平行線間的距離
定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離
性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.
2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.
知識點(diǎn) 4 平行四邊形的判定定理
判定 符號語言
定義 一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
邊 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形
角 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形
對角線 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形
【解題技巧】
一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：
1）已知一組對邊平行, 首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；
2）已知一組對邊相等, 首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；
3）已知條件與對角線有關(guān)，常考慮對角線互相平分；
4) 已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對角分別相等.
5. 平行四邊形邊的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.
知識點(diǎn) 5 三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
注意：
（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為原三角形周長的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
知識點(diǎn) 6 中點(diǎn)四邊形
順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀
順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.
知識點(diǎn) 7 反證法
反證法，就是首先假定所要證明的命題不成立，然后再在這個(gè)假定下進(jìn)行
邏輯推理，直至得出矛盾的結(jié)論，由此推翻假定，從而得出所要證明的結(jié)論是正確的，應(yīng)用
反證法有如下三個(gè)步驟：
（1）反設(shè)——假定原命題的結(jié)論不成立，即肯定原命題的反面；
（2）歸繆——根據(jù)反設(shè)，進(jìn)行嚴(yán)密的推理，直到得出矛盾，即或與已知條件相矛盾，或與已知的公理、定理、定義、性質(zhì)、公式等相矛盾，或與反設(shè)相矛盾；或自相矛盾，或甚至可
以與正常生活中的事實(shí)相矛盾，等等；
（3）結(jié)論——肯定原命題正確.
考點(diǎn)一：多邊形的相關(guān)概念
例1．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．五邊形有5條邊，5個(gè)內(nèi)角，5個(gè)頂點(diǎn)；
B．四邊形有2條對角線；
C．連接對角線，可以把多邊形分成三角形；
D．六邊形的六個(gè)角都相等；
【變式1-1】如圖，正五邊形與正五邊形，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】一個(gè)多邊形每個(gè)外角都等于，則從這個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)畫對角線，最多可以畫出幾條 ．
【變式1-3】我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個(gè)正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘 根木條．

【變式1-4】探究歸納題：
(1)試驗(yàn)分析：
如圖1，經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)）可以作___________條對角線，它把四邊形分為___________個(gè)三角形；
(2)拓展延伸：
運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；圖3過一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對角線，把這個(gè)多邊形分為___________個(gè)三角形；
(3)探索歸納：對于邊形，過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把這個(gè)邊形分為___________個(gè)三角形．（用含的式子表示）
(4)特例驗(yàn)證：過一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線可把十邊形分為___________個(gè)三角形．
考點(diǎn)二：多邊形的內(nèi)角和問題
例2．已知過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有5條對角線，一個(gè)m邊形的內(nèi)角和是，則（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
【變式2-1】如圖1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的幾種測量角度，如圖2中的六角尺示意圖中，x的值應(yīng)是（　　）
A．100 B．112.5 C．120 D．125
【變式2-2】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則原多邊形的邊數(shù)是為 ．
【變式2-3】經(jīng)過查找資料得知目前可以鋪滿的凸五邊形共有15種，如圖1為其中一種五邊形的密鋪圖．圖2為圖1中抽象出的一個(gè)五邊形，其中，則的度數(shù)為 ．
【變式2-4】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的一半．
(1)求這個(gè)多邊形是幾邊形；
(2)求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．
考點(diǎn)三：多邊形的外角和問題
例3．花窗不僅是建筑的眼睛，更是中式美學(xué)的靈魂．如圖所示是中國古建筑中的一個(gè)正八邊形的窗戶，則它的一個(gè)外角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】如圖，在正五邊形中，延長，交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】用n個(gè)完全相同的正五邊形按照如圖的方式拼成一圈，相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)正五邊形外圈的夾角均為，內(nèi)圈的夾角均為．若x，y均為正整數(shù)，且，則所有符合條件的的值為 ．
【變式3-3】如圖，用個(gè)全等的正五邊形按如下方式拼接可以拼成一個(gè)環(huán)狀，使相鄰的兩個(gè)正五邊形有公共頂點(diǎn)，所夾的銳角為，圖中所示的是前個(gè)正五邊形的拼接情況，拼接一圈后，中間會形成一個(gè)正多邊形，則的值為 ．
【變式3-4】按要求回答下列各小題．
(1)若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和的比一個(gè)四邊形的內(nèi)角和多360°，求n的值；
(2)一個(gè)正多邊形的所有內(nèi)角與它的所有外角之和是1620°，求該正多邊形的邊數(shù)及一個(gè)外角的度數(shù)．
考點(diǎn)四：內(nèi)角和與外角和的綜合
例4．如圖，七邊形中，的延長線交于點(diǎn)O，若的外角和等于，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】如圖，在四邊形中，的角平分線與的角平分線相交于點(diǎn)P，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，其中，，，，且此六邊形的周長為2024，則x的值為 ．
【變式4-3】如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點(diǎn)O，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為 ．
【變式4-4】問題情境：在探索多邊形的內(nèi)角與外角關(guān)系的活動中，同學(xué)們經(jīng)歷了觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程，提出了問題，請解答．
（1）若四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是α．
①求和它相鄰的外角的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
②求其它三個(gè)內(nèi)角的和（用含α的代數(shù)式表示）．
（2）若一個(gè)n邊形，除了一個(gè)內(nèi)角，其余內(nèi)角的和為，求n的值．
深入探究：
（3）探索n邊形的一個(gè)外角與和它不相鄰的個(gè)內(nèi)角的和之間滿足的等量關(guān)系，說明理由．
考點(diǎn)五：平行四邊形的性質(zhì)
例5．如圖，在中，對角線交于，已知，，，那么到的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好與邊上的點(diǎn)F重合．若的周長為14，，則的周長為（　 　）
A．24 B．28 C．38 D．40
【變式5-2】如圖，將一副三角板擺在中，若，則的面積為 ．
【變式5-3】如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)O，，，，則的面積為 ．
【變式5-4】如圖所示，在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O任作一條直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)若，，，求四邊形的周長．
考點(diǎn)六：平行四邊形的判定
例6．要求只用圓規(guī)來驗(yàn)證紙片的兩邊是否平行，現(xiàn)有甲、乙兩種方案如圖1和圖2．
甲 乙
①在紙片的一邊上取線段； ②用圓規(guī)在另一邊上截取，使； ③用圓規(guī)比較和的長度，若，則． ①沿折疊紙片，使和重合，和重合，交于點(diǎn)F； ②用圓規(guī)比較的長度，若，則．
對于兩個(gè)方案，說法正確的是（ ）
A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行
C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行
【變式6-1】如圖，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，下列條件能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式6-2】如圖，在中，E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，有以下條件：①；②；③．若想使四邊形AFCE為平行四邊形，則還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （填寫相應(yīng)序號）．
【變式6-3】已知平面上有三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【變式6-4】根據(jù)所給素材，完成相應(yīng)任務(wù)．
玩轉(zhuǎn)三角板
活動背景 在某次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師拿出一副斜邊長都為2的三角板，如圖1所示，其中，為直角，，，要求兩直角頂點(diǎn)重合（A與F重合于點(diǎn)O）進(jìn)行探究活動．
素材1 小明同學(xué)的探究結(jié)果如圖2所示，D，O，C三點(diǎn)在一條直線上．
素材2 小聰同學(xué)的探究結(jié)果如圖3所示，，連結(jié)，發(fā)現(xiàn)四邊形是平行四邊形．
素材3 李老師提出問題，在上述操作過程中，與的面積比是否為定值？
解決問題
任務(wù)1 （1）根據(jù)圖2，計(jì)算線段的長度．
任務(wù)2 （2）根據(jù)圖3寫出小聰同學(xué)判定平行四邊形的依據(jù)：___________． （3）計(jì)算的面積．
任務(wù)3 （4）請你解答李老師的問題，并說明理由．
考點(diǎn)七：平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用
例7．某廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花，如果有，，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）

A．紅花、綠花種植面積一定相等 B．紫花、橙花種植面積一定相等
C．紅花、藍(lán)花種植面積一定相等 D．藍(lán)花、黃花種植面積一定相等
【變式7-1】如圖，在平行四邊形中，過對角線上一點(diǎn)，作EFBC，HGAB，若四邊形和四邊形的面積分別為和，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．不能確定
【變式7-2】圖1是四連桿開平窗鉸鏈，其示意圖如圖2所示，為滑軌，為固定長度的連桿．支點(diǎn)A固定在上，支點(diǎn)B固定在連桿上，支點(diǎn)D固定在連桿上．支點(diǎn)P可以在上滑動，點(diǎn)P的滑動帶動點(diǎn)的運(yùn)動．已知，，，，．窗戶在關(guān)閉狀態(tài)下，點(diǎn)B、C、D、E都在滑軌MN上．當(dāng)窗戶開到最大時(shí)，．
（1）若，則支點(diǎn)P與支點(diǎn)A的距離為 cm；
（2）窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開到最大的過程中，支點(diǎn)P移動的距離為 cm．

【變式7-3】如圖是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的“草莓”狀網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，要求以為邊畫一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，則最多可畫 個(gè)平行四邊形．
【變式7-4】問題探究
（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)在直線上，且，求作，使得點(diǎn)，在直線上，邊，，分別經(jīng)過點(diǎn)，，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出的值；
問題解決
（2）如圖2，某市郊野公園現(xiàn)有一塊四邊形草坪，頂點(diǎn)，，，處均有一棵荔枝古樹，點(diǎn)處有一座八角觀景亭，園林管理部門準(zhǔn)備擴(kuò)建草坪，想使草坪面積擴(kuò)大一倍，又想保持棵荔枝古樹、八角觀景亭在草坪邊不動，并要求擴(kuò)建后的草坪成平行四邊形的形狀．請問能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請你設(shè)計(jì)出所要畫的圖形；若不能，請說明理由．
考點(diǎn)八：中心對稱與中心對稱圖形
例8．下列四幅圖中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【變式8-2】下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式8-3】如圖（1）所示，魔術(shù)師把4張撲克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，請一位觀眾上臺，把某一張牌旋轉(zhuǎn)180°，魔術(shù)師解除蒙具后，看到4張撲克牌如圖（2）所示，他很快確定了哪一張牌被旋轉(zhuǎn)過，被旋轉(zhuǎn)過的一張牌是 ．
【變式8-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，，．
(1)四邊形是中心對稱圖形嗎？若是，請畫出對稱中心E點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)在上，在上確定一點(diǎn)G，使得平分四邊形的面積，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
考點(diǎn)九：畫中心對稱
例9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，畫出；
(2)的面積為_______；
(3)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【變式9-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．
(1)畫出關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱的，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為________；
(2)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為________．
【變式9-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出向左平移4個(gè)單位的圖形；
(2)畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形，并寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式9-3】在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）；
(1)作出關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4個(gè)單位長度得到，畫出．
(3)與成中心對稱，請直接寫出對稱中心的坐標(biāo)（_____）．
【變式9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是．
(1)作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的，其中點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)；
(2)直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
考點(diǎn)十：中心對稱的坐標(biāo)問題
例10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過．
(1)一次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如果點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱的對稱點(diǎn)恰好落在一次函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【變式10-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)先將向左平移2個(gè)單位，再作與所得三角形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的圖形，得到，請?jiān)趫D中畫出．
(3)上有一點(diǎn)，經(jīng)上述變換后所得的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含的代數(shù)式表示）．
【變式10-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，請解答下列問題：
(1)若向右平移6個(gè)單位長度得到，作出并寫出其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)作出關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形并寫出其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式10-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都在格點(diǎn)上，且與關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，C點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)請直接寫出的坐標(biāo)______；
(2)是的AC邊上一點(diǎn)，將平移后點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，請畫出平移后的；
(3)若和關(guān)于某一點(diǎn)成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為______．
【變式10-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形；
(2)是邊上一點(diǎn)，將平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請畫出平移后的；
(3)將平移，若（2）小題中，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移后的和關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則的坐標(biāo)為______．（用含，的式子表示）
考點(diǎn)十一：三角形的中位線
例11．如圖，在中，，，．分別是上的動點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】如圖，點(diǎn)E為的對角線上一點(diǎn)，，連接并延長至點(diǎn)F，使得，則為（　　）
A．3 B． C．4 D．
【變式11-2】如圖，是的中位線，作的平分線分別交的延長線，邊于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)N恰好是的中點(diǎn)，，則的長為 ．
【變式11-3】如圖，在中，為邊中點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，連接，取中點(diǎn)并連接，取中點(diǎn)，延長與邊交于點(diǎn)，若，則 ．
【變式11-4】如圖，在四邊形中，是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．
【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】
（1）求的度數(shù)．
【用數(shù)學(xué)的思維思考】
（2）如圖，延長圖中的線段交的延長線于點(diǎn)，延長線段交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)．
【用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)】
（3）如圖，在中，，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，求的度數(shù)．
考點(diǎn)十二：反證法
例12．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．用反證法證明“”時(shí)，應(yīng)假設(shè)
B．“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是真命題
C．帶根號的數(shù)一定是無理數(shù)
D．多項(xiàng)式與的公因式為
【變式12-1】用反證法證明：“若，則中至少有一個(gè)為0．”應(yīng)假設(shè)（ ）
A．都不為0 B．只有一個(gè)為0
C．至少有一個(gè)為0 D．都為0
【變式12-2】如圖，已知E為直線l外一點(diǎn)，求證：過E點(diǎn)，只能有一條直線垂直于 l．用反證法證明這個(gè)命題的步驟：①在中，，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾；②假設(shè)過 E點(diǎn)有兩條直線分別垂直l于F，G 兩點(diǎn)；③則，；④故過E點(diǎn)只有一條直線垂直于l．證明步驟正確的是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④①
【變式12-3】用反證法證明命題“如果，那么”的第一步應(yīng)假設(shè) ．
【變式12-4】小明在解答“已知中，，求證”這道題時(shí)，寫出了下面用反證法證明這個(gè)命題過程中的四個(gè)推理步驟：
（1）所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假設(shè)．
（4）那么，由，得，即，即．
請你寫出這四個(gè)步驟正確的順序 ．
拓展訓(xùn)練一：多邊形內(nèi)角和與外角和綜合
1．如圖，正五邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)F在直線AB上，點(diǎn)N在直線CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，則∠GHM＝（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
3．在△ABC中，（），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC和AB上的動點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，且BE＋EF＋CF的值最小．
如圖1，若AB＝AC，，則∠ABE的大小是 ；
如圖2，∠BGC的大小是 （用含的式子表示）．
4．如圖，在中，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿的平分線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，則稱是的好角．
（1）若經(jīng)過次折疊是的好角，則與（設(shè)）之間的等量關(guān)系為 ．
（2）若一個(gè)三角形的最小角是4°，且該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．請寫出符合要求三角形的另兩個(gè)角的度數(shù) ．（寫出一種即可）
5．【問題背景】如圖①，在四邊形中，和稱為它的對角，若這個(gè)四邊形滿足：，則這個(gè)四邊形叫做為“對角互補(bǔ)四邊形”．
【問題解決】
(1)若四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”，且，求的度數(shù)；
(2)如圖②，，平分，A是射線上一動點(diǎn)，C是射線上的動點(diǎn)，且四邊形是“對角互補(bǔ)四邊形”．
①若是等腰三角形，求的度數(shù)；
②若，若，求的長（用含m、n的代數(shù)式表示）．
拓展訓(xùn)練二：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合
1．如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，連接，，，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
2．如圖，中，對角線相交于點(diǎn)，，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，，，，直線過點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連，的周長等于，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
；；；．
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
4．如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，，則下列所有正確結(jié)論的序號是
①平分；②；③；④．
5．如圖，在中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，，垂足為G，延長線交于點(diǎn)H，，連接．
(1)若，求的值；
(2)求證：．
拓展訓(xùn)練三：平行四邊形的存在性問題
1．如圖1，在中，，，，點(diǎn)P，Q分別是上的動點(diǎn)，P從C出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，Q從A出發(fā)以每秒8個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．過點(diǎn)Q作于點(diǎn)M．

(1)______，______．（用含t的代數(shù)式表示）
(2)如圖2，已知點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接，以為鄰邊作平行四邊形．
①當(dāng)時(shí)，求的長；
②在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得平行四邊形的一邊落在的某邊上？若存在，求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
2．如圖，在中，，，過點(diǎn)A作，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)P，Q分別是射線，射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的點(diǎn)，且，設(shè)，為y，則．當(dāng)點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，．
(1)求，的長度；
(2)若，求的長；
(3)請問是否存在x的值，使得以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
3．如圖，在四邊形中，，，，，，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒的速度在射線上運(yùn)動到C點(diǎn)返回，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上，以每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形．
（2）是否存在點(diǎn)N，使是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于，且面積為．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式．
（2）如圖1設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作以為直角頂點(diǎn)的等腰，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若為線段上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，且恰好能始終保持連接兩動點(diǎn)的直線PD⊥AC，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，連接PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t≥0）．
(1)當(dāng)t=3時(shí)，求PD的長？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？
(3)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
拓展訓(xùn)練四：平行四邊形常考的模型問題
1．如圖，在中，已知，，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)開始，沿射線運(yùn)動．
(1)計(jì)算的長度；
(2)點(diǎn)運(yùn)動到何處時(shí)與點(diǎn)的距離最小，并求出最小距離；
(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的最小值是 ．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn) ，與直線交于點(diǎn)點(diǎn)到軸的距離為，直線交軸于點(diǎn) ．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在 邊上，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，使點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)， 將沿著直線平移，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)的平行四邊形？ 若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．
3．已知：如圖，的對角線，相交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)將沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，設(shè)交于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）連接，求證：．
4．同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在平行四邊形紙片中，已知，，的面積為120．點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．
(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求證：四邊形為平行四邊形．
(2)如圖2，若時(shí)，連接，并延長交于點(diǎn)．求線段的長．
(3)改變點(diǎn)的位置，將沿折疊，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長度．
5．已知：直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上．將沿折疊后，點(diǎn)O恰好落在邊上點(diǎn)D處．
(1)求的長及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)求的長度；
(3)點(diǎn)N在第二象限，若是以為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(4)取的中點(diǎn)M，點(diǎn)P在y軸上，若點(diǎn)Q在直線上，如果存在以C、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
拓展訓(xùn)練五：三角形的中位線壓軸
1．如圖，在中，，點(diǎn)D是的一點(diǎn)，延長至點(diǎn)E，使得，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則的長為（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．如圖，在中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿折疊至．若點(diǎn)在線段上，，，則的長為 ．
4．如圖，中，，，，在邊上取點(diǎn)使，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，則線段的最小值為 ．
5．【三角形中位線定理】：如圖1，是的中位線，則，
【活動一】：證明定理：添加輔助線：如圖1，在中，延長（、分別是、的中點(diǎn)）到點(diǎn)，使得，連接，請你補(bǔ)充完整證明過程．
【活動二】：應(yīng)用定理：如圖2，在四邊形中，，是對角線的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：．
【活動三】深入定理：如圖3，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，、別為邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．
1．若用反證法證明命題“在中，若，則”，則應(yīng)假設(shè)（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J是網(wǎng)格線交點(diǎn)，與關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱，則其對稱中心是（ ）
A．點(diǎn)G B．點(diǎn)H C．點(diǎn)I D．點(diǎn)J
3．完美五邊形是指可以無重疊、無間隙鋪滿整個(gè)平面的凸五邊形．展示了數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，它不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)，還在建筑設(shè)計(jì)、藝術(shù)創(chuàng)作等領(lǐng)域中具有重要的美學(xué)價(jià)值．如圖，五邊形是人類發(fā)現(xiàn)的第15種完美五邊形的示意圖，其中，則等于（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，為的對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，的平行線，分別交，，，于四點(diǎn)，連結(jié)．若的面積為，則的面積為（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
5．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)將對角線分成兩段，且，連接，并延長至點(diǎn)，使得，連接．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，，分別是的邊，的中點(diǎn)，將線段沿方向平移得到線段，若，則的長是 ．
7．如圖，是的邊的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，已知，，，則的周長為 ．
8．如圖，在平行四邊形中，，，將沿對角線折疊得到，與交于點(diǎn)F，F(xiàn)恰好為的中點(diǎn)，則 ，與平行四邊形重疊部分的面積為 ．
9．如圖，是由，，，無縫拼接而成，，，則四邊形的面積為 ．
10．如圖，梯形中，，E、F分別是下底邊和上底邊的中點(diǎn)．若，則的值為 ．
11．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，的延長線上，且．連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若，求的度數(shù)．
12．如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若，，求線段的長．
13．圖1、圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別按要求在網(wǎng)格內(nèi)畫出格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
(1)在圖1中作一個(gè)以為腰的等腰．
(2)在圖2中以為邊畫一個(gè)平行四邊形．
14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．平移至（點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)），連接．
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，連接，，，分別為，的中點(diǎn)，連接．當(dāng)，分別在，上運(yùn)動時(shí)，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；
(3)如圖，三角形是等腰直角三角形，為線段上一點(diǎn)，以為直角邊作等腰直角三角形，其中，試猜想，，三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
15．如圖1，在中，，，．是線段上的動點(diǎn)，是射線上的動點(diǎn)，且．設(shè)．
(1)當(dāng)在線段上時(shí)，用含的代數(shù)式表示線段的長．
(2)如圖2，是的中點(diǎn)，以，為鄰邊構(gòu)造．
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連結(jié)，求的長．
②當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的長．

展開更多......

收起↑