資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
第05講 反比例函數
知識點 1 反比例函數的有關概念
定義：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數. 其中x是自變量，y是x的函數.
待定系數法求反比例函數解析式：由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
雙曲線
定義：反比例函數的圖像由兩條曲線組成，我們稱之為雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點對稱，永遠不會與x軸，y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
知識點 2 反比例函數的性質
表達式
圖像
k＞0 k＜0
圖像無限接近坐標軸，但不相交 圖像無限接近坐標軸，但不相交
經過象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
【易錯易混】
1. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
3. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
反比例函數的對稱性
反比例函數的圖像既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x或y= -x，對稱中心為原點.
知識點 3 反比例函數中k的幾何意義（2種基礎模型）
【模型結論1】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.
【模型結論2】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.
知識點 4 反比例函數與一次函數的交點問題
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）【熱考】從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
反比例函數與一次函數關系
從圖像可以看出,在①，③部分，反比例函數圖像在一次函數圖像上方,所以的解集為或 ；在②，④部分,反比例函數圖像在一次函數圖像下方，所以的解集為或.
知識點 5 反比例函數的實際應用
1. 用反比例函數解決問題的兩種思路：
1）通過題目已知條件，明確變量之間的關系，設相應的函數關系式，然后根據題中條件求出函數關系式；
2）已知反比例函數關系式，通過反比例函數的圖像和性質解決問題.
2. 列反比例函數解決問題的步驟：
1）審：審題，找出題目中的常量和變量，以及它們之間的關系；
2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數表達式；
3）求：根據題中條件列方程，求出待定系數的值；
4）寫：寫出函數表達式，并注意表達式中自變量的取值范圍；
5）解：用函數解析式去解決實際問題．
利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；
2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；
3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．
【易錯點】
1.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
2.利用函數圖像解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
考點一：反比例函數的定義及求參問題
例1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式1-1】已知函數是反比例函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知函數是反比例函數，且正比例函數的圖象經過第二、四象限，則k的值為 ．
【變式1-3】已知函數是反比例函數，則k的值為 ．
【變式1-4】已知，與成正比例，與成反比例，當時，；當時，．
（1）求與之間的函數關系式；
（2）當時，求的值．
考點二：用反比例函數描述數量關系
例2．如果等腰三角形的面積為10，底邊長為，底邊上的高為，那么與之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】下列問題中，兩個變量間的函數關系是反比例函數的是( )
A．小穎每分鐘可以制作2朵花，x分鐘可以制作y朵花
B．體積為10cm3的長方體，高為hcm，底面積為Scm2
C．用一根長50 cm的鐵絲彎成一個矩形，一邊長為xcm，面積為Scm2
D．汽車油箱中共有油50升，設平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量為y升
【變式2-2】一個物體重，該物體對地面的壓強隨它與地面的接觸面積的變化而變化，則p與S之間的函數表達式為 ．
【變式2-3】在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如，，……，都是“雁點”，函數圖像的“雁點”坐標為 ．
【變式2-4】計算
若長方形的兩鄰邊長度分別為、，面積保持不變，下表給出了與的一些值求長方形的面積．
(1)長方形的面積是多少？
(2)與之間是什么關系？用式子表示與之間的關系．
(3)根據關系式完成上表．
考點三：反比例函數函數值
例3．反比例函數必過點（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】如果y是x的反比例函數，那么當x增加它的時，y將（ ）
A．減少它的 B．減少它的 C．增加它的 D．增加它的
【變式3-2】在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則的值是 ．
【變式3-3】已知，兩點都在反比例函數的圖像上，若，則的值為 ．
【變式3-4】一個反比例函數的圖象經過點．
(1)求該反比例函數的解析式．
(2)當時，求的值．
考點四：反比例函數的解析式
例4．已知是的反比例函數，如表給出了與的一些值，表中“”處的數為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】若反比例函數的圖象經過點，則圖象必經過另一點（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式4-2】已知點和均在雙曲線（k為常數，且）上，則 ．
【變式4-3】已知，是同一個反比例函數圖象上的兩點，若，且，則這個反比例函數的表達式為 ．
【變式4-4】已知，其中與x成正比例．與x成反比例．且當和時，y的值都為19，求y與變量x的函數關系式．
考點五：反比例函數的圖象
例5．函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】函數與在同一平面直角坐標系內的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】在函數中，其圖象是中心對稱圖形且對稱中心是原點的有 個．
【變式5-3】表示關系式①，②，③，④的圖象依次是 ， ， ， ．
A． B． C． D．
【變式5-4】已知反比例函數的圖象經過點．
(1)求反比例函數表達式，并在平面直角坐標系中直接畫出該圖象；
(2)若點在該函數圖象上，求的值．
考點六：反比例函數的對稱性
例6．如圖，直線與雙曲線相交于兩點，點坐標為，則點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】如圖，雙曲線與直線相交于、兩點，點坐標為，則點坐標為（　　）

A． B． C． D．
【變式6-2】在如圖所示的平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于、兩點，過點作軸于點，已知，，則的值為 ．
【變式6-3】如圖，已知點是反比例函數的圖象上的一點，連接并延長，交雙曲線的另一支于點，點是軸上一動點，若是等腰三角形，則點的坐標是 ．
【變式6-4】如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線在第一象限內交于點，與軸交于點．
(1)求，的值；
(2)在軸上取一點，當的面積為3時，求點的坐標．
(3)點在雙曲線上，且是以為腰的等腰三角形，則滿足條件的點共有______個，任意寫出一個滿足條件的點的坐標，可以為______．
考點七：反比例函數的增減性
例7．反比例函數的圖象的每一支上，都隨的增大而增大，那么的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【變式7-1】對于反比例函數，若當時有最大值，則當時，有（　?。?br/>A．最大值 B．最大值
C．最小值 D．最小值
【變式7-2】已知反比例函數，其圖象在所在的每一個象限內都隨的增大而增大，則的取值范圍是 ．
【變式7-3】反比例函數，當時，函數的最大值和最小值之差為，則 ．
【變式7-4】已知函數．
(1)在什么條件下，函數的圖象分布在第一、第三象限？在什么條件下，函數的圖象分布在第二、第四象限？
(2)在什么條件下，隨的增大而減??？在什么條件下，隨的增大而增大？
考點八：反比例函數的象限問題
例8．若函數的圖像在第二、四象限，則函數的圖像過（ ）
A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【變式8-1】數學興趣小組借助繪圖軟件探究函數的圖象．現輸入一組m，n的值，得到的函數圖象如圖所示，由此可以推斷輸入的m，n的值滿足（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式8-2】反比例函數的圖象在第一、三象限，則的取值范圍是 ．
【變式8-3】已知點在反比例函數的圖象上，若，則a的取值范圍是 ．
【變式8-4】已知常數a（a為整數）滿足下面兩個條件：
①關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根；
②反比例函數的圖象在二、四象限．
(1)求a的值；
(2)根據自己所畫的圖象直接寫出：
①當時，y的取值范圍；
②當時，x的取值范圍．
考點九：比較反比例函數值或自變量的大小
例9．若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】已知，，三點在反比例函數的圖象上，則下列判斷正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【變式9-2】已知點在反比例函數的圖像上．當時，的取值范圍是 ．
【變式9-3】已知反比例函數 ，下列結論∶①圖象必經過；②圖象在一、二象限內；③y隨的增大而增大；④當 時，則 ，其中錯誤的結論有 ．(填序號)
【變式9-4】若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數．下面我們參照學習函數的過程與方法，探究分段函數的圖象與性質．請結合函數圖象研究函數性質，并回答下列問題：
(1)點，在函數圖象上，則______；（填“>”、“=”或“<”）
(2)當函數值時，自變量x的值為______；
(3)當2時，求的最大值和最小值；
(4)當關于x的方程有兩個不同的解時，直接寫出b的取值范圍．
考點十：反比例函數的k值意義
例10．如圖，點B，C在反比例函數的圖象上，點A在x軸上，連結交y軸于點E，延長交x軸于點D．已知點，且，．若面積為10，則k的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式10-1】反比例函數和在第一象限的圖象如圖所示，A，B分別為圖象上兩點，且軸，若的面積為2，則k的值為（　?。?br/>A．4 B．6 C．10 D．12
【變式10-2】如圖，函數與函數的圖象交于點A，C，垂直于y軸，垂足為點B，連接，已知的面積為1，則k的值為 ．
【變式10-3】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在反比例函數的圖象上，軸于點軸于點，點分別為的中點，連接，若的面積為4.5，則的值為 ．
【變式10-4】如圖，A，B，C是反比例函數（k≠0）在第一象限的圖象上的點，它的橫坐標分別為2，4，6．過點A，B，C分別作x軸，y軸的垂線段，構成多個矩形．若圖中陰影部分的面積為12，則k的值為 ．

考點十一：反比例函數與一次函數的交點問題
例11．已知一次函數與反比例函數的圖像交于、兩點，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【變式11-1】如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為2，當時，x的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式11-2】如圖，一次函數（為常數）與反比例函數交于兩點，其中點的坐標為，則當時，自變量的取值范圍為 ．
【變式11-3】如圖，一次函數和（和均為常數且）與反比例函數（為常數且）的圖象交于兩點，其橫坐標為和3，則關于的不等式的解集是 ．
【變式11-4】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)當時，直接寫出的取值范圍．
考點十二：反比例函數的實際應用
例12．電磁波由振蕩的電場和磁場構成，我國嫦娥六號探測器就是通過無線電波（電磁波的一種）與地球通信，電磁波的波長（單位：）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知某段電磁波在同種介質中，波長與頻率f的部分對應值如下表：
頻率 5 10 15 20 25 30
波長 60 30 20 15 12 10
(1)根據表格中的數據，選擇合適的函數模型，求出波長關于頻率的函數表達式．
(2)當該電磁波的頻率為時，它的波長是多少？
【變式12-1】春節期間燃放煙花爆竹是我國的傳統習俗．經檢測，煙花燃放后產生的有害氣體濃度與擴散時間之間成反比例函數關系．當擴散5時，有害氣體濃度為．
(1)求關于的函數表達式；
(2)按照環保標準，當有害氣體濃度不高于時，對人體健康無危害，則至少需要擴散多長時間，對人體健康無危害？
【變式12-2】在某一電路中，電源電壓U（單位：V）保持不變，電流I（單位：A）關于電阻R（單位：Ω）的函數圖象如圖所示．
(1)寫出I關于R的函數解析式；
(2)如果該電路中的電流不得超過，那么電阻R的取值范圍是多少？
【變式12-3】大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高（單位：）是物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數．當時，．
(1)求關于的函數表達式．
(2)若物距（小孔到蠟燭的距離）為，求火焰的像高．
(3)若火焰的像高不得超過，求小孔到蠟燭的距離至少是多少厘米？
【變式12-4】如圖1，利用秤桿研究杠桿原理．用細繩綁在秤桿上的點處并將其吊起來，在點右側的秤鉤上掛一個物體，在點左側的秤桿上有一個動點（最大距離為），在點處用一個彈簧秤向下拉．當秤桿處于水平狀態時，分別測得彈簧秤的示數（單位：）與的長度（單位：）的五組對應值，已在平面直角坐標系中描點如圖2．
(1)請在圖2中畫出與的函數圖象，并判斷它是什么函數．
(2)求關于的函數表達式．
(3)移動彈簧秤的位置，若秤桿仍處于水平狀態，求彈簧秤的示數的最小值．
拓展訓練一：反比例函數的圖象與性質綜合
1．如圖，矩形的面積為8，邊在y軸上，E是邊的中點，若B，E兩點在函數的圖象上，則m的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如圖，一次函數與反比例函數交于C、D兩點，，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，平面直角坐標系中，點為反比例函數的圖像一點，點為軸上一點，連接，過點作，交反比例函數的圖像于點，連接，若為等腰直角三角形，則點的橫坐標為 ．
4．如圖，點，點在反比例函數的圖象上，射線交軸于點，且，延長交反比例函數圖象另一分支于點，連接交軸于點，若，則的值為 ．
5．已知，矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，已知點B的坐標為，反比例函數的圖象經過的中點D，且與交于點E，順次連接O，D，E．
(1)求線段的長；
(2)在線段上存在一點M，當的面積等于時，求點M的坐標；
(3)平面直角坐標系中是否存在一點N，使得O、D、E、N四點構成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由．
拓展訓練二：反比例函數中的翻折、旋轉、最值問題
1．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數（，是常數）在第一象限部分的圖像與矩形的兩邊和分別交于，兩點，將沿翻折得到，的延長線恰好經過點．若，則的值是 ．

2．如圖，在中，，點A的坐標為，點在反比例函數的圖象上．若將線段AB繞點A按順時針方向旋轉90°，得到線段AC，點C恰好在反比例函數的圖象上．
(1)求，的值；
(2)若P，Q分別為反比例函數，圖象上一點，且以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標．
3．已知一次函數（）和反比例函數的圖象如圖所示．
(1)一次函數必定經過點 ________．（寫點的坐標）
(2)當時，一次函數與反比例函數圖象交于點A，B，與x，y軸分別交于點C，D，連接并延長，交反比例另一支于點E，求出此時A，B兩點的坐標及的面積．
(3)直線繞點C旋轉，直接寫出當直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍．
拓展訓練三：反比例函數與幾何綜合
1．如圖，已知、，P為雙曲線上的任意一點，過點P作軸于點C，軸于點D，求四邊形面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．
2．如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于兩點、．
(1)反比例函數和一次函數的解析式；
(2)觀察圖象，請直接寫出滿足的取值范圍；
(3)若軸上的存在一點，使的周長最小，請直接寫出點的坐標．
3．如圖直角坐標系中，矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，．
(1)若反比例函數的圖象經過直線上的點，且點的坐標為，求的值及反比例函數的解析式；
(2)若（2）中的反比例函數的圖象與相交于點，連接，在直線上找一點，使得，求點的坐標．
拓展訓練四：反比例函數與一次函數綜合
1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，與軸和軸分別交于點和點，其中點坐標為，點在反比例函數圖象上．
(1)求點的坐標及反比例函數的表達式；
(2)若點在點的右側，過點作軸，垂足為，若，求的長；
(3)是否存在一點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．綜合與探究
如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象分別交于點和．
(1)求的值及反比例函數的表達式；
(2)如圖2，過點與點分別作軸和軸的垂線，垂足分別為點，點，兩垂線交于點，連接，求的面積；
(3)如圖3，延長交反比例函數在第三象限內的圖象于點，連接，，將直線沿著軸向下平移若干個單位長度，使得直線經過點，平移后的直線與軸交于點，若在直線上存在點，使得，直接寫出點的坐標．
3．在平面直角坐標系xOy中，將任意兩點與之間的“直距”定義為：．例如：點，點，則．
(1)已知兩點，則______；
(2)已知點M在反比例函數第一象限的圖像上，若線段，求；
(3)已知兩點，如果直線AB上存在點C，使得，請直接寫出點C的坐標．
4．如圖所示，已知直線與雙曲線交于、兩點，且點的橫坐標為4．
(1)k的值為_____，點B的坐標為_____．
(2)若雙曲線上一點的縱坐標為8，求的面積．
(3)過原點的另一條直線交雙曲線于、兩點（點在第一象限），若由點、、、為頂點組成的四邊形面積為24，求點的坐標．
5．如圖，直線與軸和軸分別交于點和點，與反比例函數的圖象在第一象限內交于點．
(1)求直線和反比例函數的解析式；
(2)將直線平移得到直線，若直線與兩坐標軸圍成的三角形面積是面積的倍，求直線的解析式；
(3)對于點，我們定義：當點滿足時，稱點是點的等和點．試探究在反比例函數圖象上是否存在點，使點的等和點在直線上 若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．
拓展訓練五：反比例函數的應用綜合
1．如圖1，在平面直角坐標系中，點，過函數（，常數）圖象上一點作軸的平行線交直線：于點，且．

(1)求的值，并寫出函數（）的解析式；
(2)過函數（）圖象上任意一點，作軸的平行線交直線于點，是否總有成立？并說明理由；
(3)如圖2，若是函數（）圖象上的動點，過點作軸的垂線交直線于點，分別過點作的垂線交軸于點，問是否存在點，使得矩形的周長取得最小值？若存在，請求出此時點的坐標及矩形的周長；若不存在，請說明理由．
2．定義：把橫、縱坐標均為整數的點稱為整點．如圖，反比例函數與正比例函數相交于整點A，與一次函數相交于整點B、C，正比例函數與一次函數相交于點D，線段與線段上的整點個數之比記作．

(1)當時，求D點的坐標和m值．
(2)當線段BC上的整點個數為7，時，求t的值．
(3)當時，請直接寫出t與m之間的關系式．
3．如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，且A點坐標為．

(1)求雙曲線解析式及B點坐標；
(2)將直線向下平移一個單位得直線l，P是y軸上的一個動點，Q是l上的一個動點，求的最小值；
(3)若點M為y軸上的一個動點，N為平面內一個動點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，直接寫出N點坐標．
4．【模型建立】（1）如圖一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于D，過點B作BE⊥ED于E．求證：AD＝CE．
【模型應用】（2）如圖二，直線l1：y＝x＋4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點B順時針旋轉45°得到直線l2，求直線l2的函數表達式；
【拓展探究】（3）如圖三，一次函數的圖象與坐標軸分別相交于點A、B，點C在反比例函數的圖象上，若△ABC為等腰直角三角形，請直接寫出k的所有可能的值 ．
5．如圖，正方形在平面直角坐標系中的點和點的坐標為、，點在雙曲線上.若正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點恰好落在該雙曲線上，則的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1．已知某函數圖象經過，，三個點，則該函數圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知點，，在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
3．若雙曲線與直線的一個交點坐標為，則關于x的不等式的解集為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
4．如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象的兩個交點的橫坐標分別為和1．當時，的取值范圍是（　　）
A． B．或
C．或 D．
5．已知反比例函數，第一象限有一點，過向坐標軸作垂線，分別交軸，軸于A，點，分別交反比例函數于，點，若，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若點，點，點都在反比例函數的圖象上，則與的大小關系是： （填“”、“”或“”中的一個）．
7．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作軸交軸于點，軸交軸于點，連結．若矩形的周長為8，對角線的長為，則的值為 ．
8．已知點是反比例函數圖象上一點，將點A向右平移2個單位，再向下平移4個單位后的點仍在這個反比例函數圖象上，則 ．
9．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，點落在反比例函數圖象上，點落在反比例函圖象上，延長交軸于點，若四邊形的面積為3，則的值為 ．
10．如圖，點，均在反比例函數的圖象上．連結，并延長，分別與反比例函數的圖象交于點，，連結，，，．若，，則k的值為 ．
11．函數（為常數）的圖象過點．
(1)求的值；
(2)小明說：“該函數圖象上的任意一點，若，則”，你贊同小明的說法嗎？請說明理由．
12．在直角坐標系中，設函數與函數（，，是常數，）的圖象交于點，．
(1)求函數，的表達式．
(2)當時，比較與的大小．（直接寫出結果）
(3)若點在函數的圖象上，將點先向左平移1個單位，再向下平移6個單位得點，點恰好落在函數的圖象上，求點的坐標．
13．某研究性學習小組通過調查發現，在一節40分鐘的課中，學生的注意力會隨時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐漸集中，中間一段時間保持較為理想的穩定狀態，隨后開始分散．經試驗分析可知，學生的注意力指數隨時間（分）的變化規律如圖所示，其中線段的函數表達式為：，線段持續的時間恰為10分鐘，曲線為反比例函數圖象的一部分．
(1)求的值及曲線的函數表達式．
(2)若一道數學難題，需要講解18分鐘，為了效果較好，要求學生注意力指數不低于32，那么老師能否在學生注意力全程達到要求的狀態下講解完這道題？請說明理由．
14．在直角坐標系中，函數與函數的圖象交于兩個不同的點A，B，點A的橫坐標為2．
(1)求k的值和點B的坐標．
(2)若函數的圖象向下平移個單位后經過點，與y軸交于點D．
①求m的值．
②求的面積，
15．如圖，12個邊長為1的正方形擺放在平面直角坐標系中，直線平分這12個正方形組合圖形的面積，且與軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數在第二象限的圖象交于點．若的面積之比為．
(1)求直線的解析式．
(2)求的值．
16．根據以下素材，完成設計貨船通過雙曲線橋的方案：一座曲線橋如圖1所示，當水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于對稱．如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數表達式．
(1)問題解決：確定橋洞的形狀．
建立平面直角坐標系如圖3所示，落在第一象限的角平分線上．設點C為，
①點A的坐標為______．（用m的代數式表示）；
②求出經過點A的雙曲線的函數表達式．
(2)探索應用：
這艘貨船運載貨物高3米（即米），此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（已知，．）
17．某電子科技公司研發出一套學習軟件，并對這套學習軟件在周的銷售時間內，做出了下面的預測：設第x周該軟件的周銷售量為（單位：千套），當時，與成反比；當時，與成正比，并預測得到了如表中對應的數據．
周
千套
設第周銷售該軟件每千套的利潤為（單位：千元），與滿足如圖中的函數關系圖象：
(1)求與的函數關系式；
(2)觀察圖象，當時，與的函數關系式為_______．
(3)第周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為多少？
(4)在這周的銷售時間內，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．
18．
設計貨船通過雙曲線橋的方案
素材 一座曲線橋如圖所示，當水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖是其示意圖，且該橋關于對稱．
素材 如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米，米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度（米）與貨船增加的載重量（噸）滿足函數表達式．
問題解決
任務 確定橋洞的形狀 建立平面直角坐標系如圖所示，顯然，落在第一象限的角平分線上． 甲說：點可以在第一象限角平分線的任意位置． 乙說：不對吧？當點落在時，點A的坐標為_______________，此時過點的雙曲線的函數表達式為_____________，而點所在雙曲線的函數表達式為顯然不符合題意．
任務 擬定方案 此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？ （提示：先求出橋洞所在雙曲線的函數表達式）
19．
確定有效消毒的時間段
背景素材 預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物釋放階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與釋放時間x（min）成一次函數；釋放后，y與x成反比例如圖1所示，且2min時，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）達到最大值．某興趣小組記錄部分y（mg）與x（min）的測量數據如表1．滿足的自變量x（min）的取值范圍為有效消毒時間段． x…123…y…34…
表1
問題解決
任務1 確定y關于x的一次函數及反比例函數的表達式．
任務2 初步確定有效消毒時間段即自變量x的取值范圍．
任務3 若實際生活中有效消毒時間段要求滿足，其中a為常數，請確定實際生活中有效消毒的時間段．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
第05講 反比例函數
知識點 1 反比例函數的有關概念
定義：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數. 其中x是自變量，y是x的函數.
待定系數法求反比例函數解析式：由于反比例函數中，只有一個待定系數k，因此只需要知道一對對應值或圖像上一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式.
雙曲線
定義：反比例函數的圖像由兩條曲線組成，我們稱之為雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關于原點對稱，永遠不會與x軸，y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
知識點 2 反比例函數的性質
表達式
圖像
k＞0 k＜0
圖像無限接近坐標軸，但不相交 圖像無限接近坐標軸，但不相交
經過象限 一、三象限（x、y同號） 二、四象限（x、y異號）
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
【易錯易混】
1. 反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統地說當k＞0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當k＜0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大．
2. 反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。
3. 雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．
反比例函數的對稱性
反比例函數的圖像既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x或y= -x，對稱中心為原點.
知識點 3 反比例函數中k的幾何意義（2種基礎模型）
【模型結論1】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為.
【模型結論2】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為.
知識點 4 反比例函數與一次函數的交點問題
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定．
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；
②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）【熱考】從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
反比例函數與一次函數關系
從圖像可以看出,在①，③部分，反比例函數圖像在一次函數圖像上方,所以的解集為或 ；在②，④部分,反比例函數圖像在一次函數圖像下方，所以的解集為或.
知識點 5 反比例函數的實際應用
1. 用反比例函數解決問題的兩種思路：
1）通過題目已知條件，明確變量之間的關系，設相應的函數關系式，然后根據題中條件求出函數關系式；
2）已知反比例函數關系式，通過反比例函數的圖像和性質解決問題.
2. 列反比例函數解決問題的步驟：
1）審：審題，找出題目中的常量和變量，以及它們之間的關系；
2）設：根據常量與變量之間的關系，設出函數表達式；
3）求：根據題中條件列方程，求出待定系數的值；
4）寫：寫出函數表達式，并注意表達式中自變量的取值范圍；
5）解：用函數解析式去解決實際問題．
利用反比例函數解決實際問題，要做到：
1）能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型；
2）注意在自變量和函數值的取值上的實際意義；
3）問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．
【易錯點】
1.利用反比例函數的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；
2.利用函數圖像解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．
考點一：反比例函數的定義及求參問題
例1．下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數的判斷，根據形如或或，這樣的函數叫做反比例函數，進行判斷即可．
【詳解】解：由題意，，，能表示是的反比例函數，共3個；
故選B．
【變式1-1】已知函數是反比例函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的解析式，反比例函數的解析式為，其中，因為函數是反比例函數，從而得到，，解方程和不等式求出的值即可．
【詳解】解：函數是反比例函數，
，，
由，
可得：，
由，
可得：，
的值為．
故選：A ．
【變式1-2】已知函數是反比例函數，且正比例函數的圖象經過第二、四象限，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的定義以及正比例函數的性質．此題應根據反比例函數的定義求得k的值，再由正比例函數圖象的性質確定出k的最終取值．
【詳解】解：∵是反比例函數，
∴且，
∴，
∵正比例函數的圖象經過第二、四象限，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式1-3】已知函數是反比例函數，則k的值為 ．
【答案】1
【分析】根據反比例函數的定義，從x的指數，比例系數的非零性兩個角度思考求解即可．
【詳解】解：∵是反比例函數，
∴且，
解得：，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義，熟練掌握反比例函數的系數特點、指數特點是解題的關鍵．
【變式1-4】已知，與成正比例，與成反比例，當時，；當時，．
（1）求與之間的函數關系式；
（2）當時，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）設，則有，然后把當時，；當時，代入求解即可；
（2）由（1）可直接把x=3代入求解．
【詳解】解：（1）設，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y與x的函數解析式為：；
（2）由（1）可把x=3代入得：
．
【點睛】本題主要考查反比例函數的定義及函數解析式，熟練掌握反比例函數的定義及求函數解析式的方法是解題的關鍵．
考點二：用反比例函數描述數量關系
例2．如果等腰三角形的面積為10，底邊長為，底邊上的高為，那么與之間的函數關系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了列反比例函數解析式，根據等腰三角形的面積為10，底邊長為，底邊上的高為，可以得到，即可得到函數解析式．正確進行計算是解題關鍵．
【詳解】解：等腰三角形的面積為10，底邊長為，底邊上的高為，
，
與之間的函數關系式為．
故選：C．
【變式2-1】下列問題中，兩個變量間的函數關系是反比例函數的是( )
A．小穎每分鐘可以制作2朵花，x分鐘可以制作y朵花
B．體積為10cm3的長方體，高為hcm，底面積為Scm2
C．用一根長50 cm的鐵絲彎成一個矩形，一邊長為xcm，面積為Scm2
D．汽車油箱中共有油50升，設平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量為y升
【答案】B
【分析】根據題意寫出函數表達式再判斷它們的關系則可，找到符合反比例函數解析式的一般形式（k≠0）的選項．
【詳解】解：A、根據題意可知，y與x之間的關系式為y＝2x，故該選項錯誤；
B、根據題意可知，S與h之間的關系式為S＝，故該選項正確；
C、根據題意可知，S與x之間的關系式為S＝（25 x）x，故該選項錯誤；
D、根據題意可知，y與x之間的關系式為y＝50 5x，故該選項錯誤；
故選：B．
【點睛】本題主要考查反比例函數的定義，反比例函數解析式的一般形式為（k≠0），也可轉化為y＝kx 1（k≠0）的形式，特別注意不要忽略k≠0這個條件．
【變式2-2】一個物體重，該物體對地面的壓強隨它與地面的接觸面積的變化而變化，則p與S之間的函數表達式為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了實際問題中的函數關系，解題關鍵是知道壓強與受力面積成反比．根據物理中的壓強與接觸面積、物體的重量之間的關系：壓強壓力受力面積，構造反比例模型，解決實際問題即可．
【詳解】解：∵壓強與接觸面積成反比例關系，
∴根據壓強公式得： ，
故答案為：．
【變式2-3】在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如，，……，都是“雁點”，函數圖像的“雁點”坐標為 ．
【答案】
【分析】根據一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”，即可得到答案．
【詳解】解：一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”，
函數圖像的“雁點”坐標為：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了坐標系的新定義問題，理解“雁點”的定義，是解題的關鍵．
【變式2-4】計算
若長方形的兩鄰邊長度分別為、，面積保持不變，下表給出了與的一些值求長方形的面積．
(1)長方形的面積是多少？
(2)與之間是什么關系？用式子表示與之間的關系．
(3)根據關系式完成上表．
【答案】(1)
(2)反比例關系，
(3)見解析
【分析】本題考查求反比例函數解析式、求函數的自變量或函數值，
（1）根據表格中，利用長方形面積公式進行計算即可求解；
（2）根據長方形面積公式列出函數關系式，即可求解；
（3）利用函數解析式求自變量或函數值即可．
【詳解】（1）解：
長方形的面積為4
（2）x與y是反比例關系，可得
（3）如表所示
考點三：反比例函數函數值
例3．反比例函數必過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，將各個坐標代入解析式逐一計算判斷，即可求解；理解圖象經過點的意義是解題的關鍵．
【詳解】解：A、當時，，故不符合題意；
B、當時，，故不符合題意；
C、當時，，故符合題意；
D、當時，，故不符合題意；
故選：C．
【變式3-1】如果y是x的反比例函數，那么當x增加它的時，y將（ ）
A．減少它的 B．減少它的 C．增加它的 D．增加它的
【答案】B
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，根據y是x的反比例函數，得出，根據當x增加它的時，自變量變為，設因變量變為，得出，求出，得出答案．
【詳解】解：∵y是x的反比例函數，
∴，
當x增加它的時，自變量變為，設因變量變為，則：
，
∴，
∴y將減少它的，
故選：B．
【變式3-2】在平面直角坐標系中，若函數的圖象經過點和，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，已知自變量求函數值，熟練掌握反比例函數的圖象特點是解題關鍵．
將和代入函數解析式，求得和的值，再相加即可．
【詳解】解：把和代入解析式得：，，
∴，
故答案為：．
【變式3-3】已知，兩點都在反比例函數的圖像上，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數的有關計算，根據得到，，根據得到，代入式子即可得到答案．
【詳解】解：∵，兩點都在反比例函數的圖像上，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【變式3-4】一個反比例函數的圖象經過點．
(1)求該反比例函數的解析式．
(2)當時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數的解析式及通過解析式求函數值，解題的關鍵是掌握待定系數法．
（1）將代入利用待定系數法求解即可；
（2）將代入求解即可．
【詳解】（1）解：將代入得
∴該反比例函數的解析式為；
（2）解：當時，代入得
．
考點四：反比例函數的解析式
例4．已知是的反比例函數，如表給出了與的一些值，表中“”處的數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了用待定系數法求反比例函數解析式，根據反比例函數解析式求函數值，先利用待定系數法求出反比例函數解析式，再把代入計算即可求解，利用待定系數法求出反比例函數解析式是解題的關鍵．
【詳解】解：設反比例函數解析式為，將代入解析式得，，
∴，
∴反比例函數解析式為，
把代入，得，
表中“”處的數為，
故選：D．
【變式4-1】若反比例函數的圖象經過點，則圖象必經過另一點（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征．將代入即可求出的值，再根據解答即可．
【詳解】解：反比例函數的圖象經過點，
，
∵，，，，
∴B選項符合題意．
故選：B．
【變式4-2】已知點和均在雙曲線（k為常數，且）上，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了求反比例函數解析式，掌握待定系數法是解題關鍵．根據點的坐標，得到，進而求出的值即可．
【詳解】解：點在雙曲線上，
，
點在雙曲線上，
，
故答案為：．
【變式4-3】已知，是同一個反比例函數圖象上的兩點，若，且，則這個反比例函數的表達式為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，根據題意可知，再由得出，再根據即可得出結論．根據題意得出是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，是同一個反比例函數圖象上的兩點，
∴，
∵，
∴，
∵，則，
∴，則，
∴這個反比例函數的表達式為．
故答案為：．
【變式4-4】已知，其中與x成正比例．與x成反比例．且當和時，y的值都為19，求y與變量x的函數關系式．
【答案】y與變量x的函數關系式是
【分析】設，，代入得出，把x、y的值代入，求出a和的值即可．
【詳解】解：∵與x成正比例．與x成反比例，
∴設，，
∴，
∵當和時，y的值都為19，
∴代入得：，
解得：，
所以y與變量x的函數關系式是．
【點睛】本題考查了反比例函數的定義和正比例函數的定義，能熟記正比例函數和反比例函數的定義的內容是解此題的關鍵．
考點五：反比例函數的圖象
例5．函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查反比例函數的定義，反比例函數的圖象與性質，如果兩個變量之間的對應關系可以表示成（k為常數，）的形式，那么稱y是x的反比例函數；其圖像是由兩支曲線組成的，當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內；當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．解題的關鍵是熟練掌握反比例函數圖像的相關知識．根據定義確定為反比例函數，由，即可得到答案．
【詳解】解：根據定義，為反比例函數
∵
∴兩支曲線分別位于第二、四象限內
故選A．
【變式5-1】函數與在同一平面直角坐標系內的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，關鍵是由的取值確定函數所在的象限．因為的符號不確定，所以應根據的符號及一次函數與反比例函數的特點解答．
【詳解】解：當時，，反比例函數的圖象在一、三象限，一次函數的圖象過一、二、四象限，選項符合；
當時，，
∴反比例函數的圖象在二、四象限，一次函數的圖象過一、三、四象限，無選項符合．
故選：．
【變式5-2】在函數中，其圖象是中心對稱圖形且對稱中心是原點的有 個．
【答案】2
【分析】本題考查函數的圖象性質與中心對稱圖形的定義，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
根據中心對稱圖形的定義與函數的圖象即可求解．
【詳解】解：在函數中，其圖象是中心對稱圖形且對稱中心是原點的是．共有2個，
故答案為：2．
【變式5-3】表示關系式①，②，③，④的圖象依次是 ， ， ， ．
A． B． C． D．
【答案】 C B D A
【分析】注意對比函數的圖象和解析式，利用函數的性質解答．
【詳解】解：①∵，
∴，即，
∴，故的圖象為C；
②∵，即，
∴，
∴的圖象為B；
③∵，即，
∴，即，
∴的圖象為D；
④的圖象為A；
故答案為：C；B；D；A．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與反比例函數的性質，明確函數的性質是解題的關鍵
【變式5-4】已知反比例函數的圖象經過點．
(1)求反比例函數表達式，并在平面直角坐標系中直接畫出該圖象；
(2)若點在該函數圖象上，求的值．
【答案】(1)，圖見解析
(2)或
【分析】本題主要考查了反比例函數圖像上點的性質、畫函數圖象，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數圖像上點的特征．
（1）將點代入求解即可；
（2）將點代入（1）求出的表達式中即可求出的值．
【詳解】（1）解：反比例函數的圖象經過．
將代入，得．
反比例函數解析式為．
畫出該圖象如圖所示；
（2）解：點在這個函數圖象上，
把代入得，整理得，
解得：或．
考點六：反比例函數的對稱性
例6．如圖，直線與雙曲線相交于兩點，點坐標為，則點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數圖象的對稱性，由題意可得點關于原點對稱，進而根據關于原點對稱的點的坐標特征解答即可求解，掌握反比例函數圖象的對稱性是解題的關鍵．
【詳解】解：∵直線與雙曲線相交于兩點，
∴點關于原點對稱，
∵點坐標為，
∴點坐標為，
故選：．
【變式6-1】如圖，雙曲線與直線相交于、兩點，點坐標為，則點坐標為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】反比例函數與正比例函數的圖像都是中心對稱圖形，則它們的交點關于原點對稱．
【詳解】解：∵雙曲線與直線相交于、兩點，
∴點與關于原點對稱，
∵點坐標為，
∴點的坐標為．
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數圖像的中心對稱性，熟練掌握關于原點中心對稱的點的橫縱坐標分別互為相反數是解答本題的關鍵．
【變式6-2】在如圖所示的平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于、兩點，過點作軸于點，已知，，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據對稱性可得，從而可得，利用勾股定理求得，由此可求出點的坐標，然后運用待定系數法就可解決問題．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于、兩點，
∴，
∵，
∴，
∵軸，，
∴，
∴，
∵反比例函數的圖象過點，
∴，
∴的值為．
故答案為：．
【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查反比例函數的中心對稱性，勾股定理的應用，坐標與圖形，待定系數法求反比例函數的解析式，利用函數的對稱性求得的長度是解題的關鍵．
【變式6-3】如圖，已知點是反比例函數的圖象上的一點，連接并延長，交雙曲線的另一支于點，點是軸上一動點，若是等腰三角形，則點的坐標是 ．
【答案】或或或
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質和反比例函數的對稱性，勾股定理的應用，判斷出只有或兩種情況是解題的關鍵，注意方程思想的應用．
由對稱性可知為的中點，則當為等腰三角形時只能有或，設點坐標為，可分別表示出和，從而可得到關與的方程，可求得，可求得點坐標．
【詳解】解：反比例函數圖象關于原點對稱，
、兩點關于對稱，
為的中點，且，
當為等腰三角形時有或，
設點坐標為，
，，
，，，
當時，則有，解得或10，此時點坐標為或；
當時，則有，解得或，此時點坐標為或；
綜上可知點的坐標為或或或，
故答案為：或或或．
【變式6-4】如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線在第一象限內交于點，與軸交于點．
(1)求，的值；
(2)在軸上取一點，當的面積為3時，求點的坐標．
(3)點在雙曲線上，且是以為腰的等腰三角形，則滿足條件的點共有______個，任意寫出一個滿足條件的點的坐標，可以為______．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】（1）將點，代入直線，得出，繼而得出，待定系數法求解析式即可得；
（2）設，根據的面積為3，得出，解方程即可求解；
（3）根據等腰三角形的性質，畫出圖形，根據等腰三角形以及反比例函數的對稱性求得點，，即可求解．
【詳解】（1）解：∵雙曲線與直線在第一象限內交于點，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直線與軸交于點．
令，得，
∴，
設，
∵的面積為3
∴
∴,
∵，，
∴，
解得：或，
∴或，
（3）如圖，以為圓心，為半徑畫弧交反比例函數的圖象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直線上不能構成三角形，
根據對稱性可知，，
故滿足條件的點有個，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數結合，等腰三角形的性質，反比例函數圖象的性質，一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積，數形結合是解題的關鍵．
考點七：反比例函數的增減性
例7．反比例函數的圖象的每一支上，都隨的增大而增大，那么的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得出，解不等式即可求解．
【詳解】解：∵在反比例函數圖象的每一支上，都隨的增大而增大．
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．
【變式7-1】對于反比例函數，若當時有最大值，則當時，有（　?。?br/>A．最大值 B．最大值
C．最小值 D．最小值
【答案】C
【分析】根據自變量的取值范圍、函數的最大值，可得圖象位于第二象限，根據第二象限內反比例函數隨的增大而增大，可得最大值時的自變量，根據待定系數法，可得反比例函數解析式，根據自變量的取值范圍，可得函數值的取值范圍．
【詳解】
解：由當時有最大值，得
時，．
，
反比例函數解析式為，
當時，圖象位于第四象限，隨的增大而增大，
當時，最小值，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，利用當時有最大值得出函數圖象位于第二象限是解題關鍵．
【變式7-2】已知反比例函數，其圖象在所在的每一個象限內都隨的增大而增大，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的增減性是解題關鍵．根據反比例函數的增減性可得，由此即可得．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在每一個象限內，都隨的增大而增大，
∴，
解得，
故答案為：．
【變式7-3】反比例函數，當時，函數的最大值和最小值之差為，則 ．
【答案】或
【分析】根據反比例函數的增減性質列解一元一次方程解答即可．此題考查反比例函數的增減性：當>時，在每個象限內隨的增大而減小，當時，在每個象限內隨的增大而增大，以及正確解一元一次方程．
【詳解】解：當>時，在每個象限內隨的增大而減小，
∴設時，則當時，，
∴，
解得，
∴；
當時，在每個象限內隨的增大而增大，
∴設時，則當時，，
∴，
解得，
∴；
∴或，
故答案為：或．
【變式7-4】已知函數．
(1)在什么條件下，函數的圖象分布在第一、第三象限？在什么條件下，函數的圖象分布在第二、第四象限？
(2)在什么條件下，隨的增大而減??？在什么條件下，隨的增大而增大？
【答案】(1)；
(2)當時，在每一個象限內，隨的增大而減??；當時，在每一個象限內，隨的增大而增大
【分析】（1）根據函數圖象經過的象限列出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可；
（2）根據函數的增減性列出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：∵函數的圖象分布在第一、第三象限，
∴，
∴；
∵函數的圖象分布在第二、第四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵在每一個象限內，函數隨的增大而減小，
∴，
∴，
即當時，在每一個象限內，隨的增大而減小；
∵在每一個象限內，函數隨的增大而增大，
∴，
∴，
即當時，在每一個象限內，隨的增大而增大．
【點睛】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數中，當時，函數圖象經過一、三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當時，函數圖象經過二、四象限，且y隨x的增大而增大是解答此題的關鍵．
考點八：反比例函數的象限問題
例8．若函數的圖像在第二、四象限，則函數的圖像過（ ）
A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【分析】本題考查反比例函數以及一次函數的概念，已知反比例函數的圖像在第二、四象限，根據反比例函數的圖像及性質，可得k為負，則直線的函數值y隨著x的增大而減小，且與y軸交于負半軸，即可判斷直線經過的象限．
【詳解】解：∵反比例函數的圖像在第二、四象限，
∴，
∴直線的圖像經過第二、三、四象限．
故選：A．
【變式8-1】數學興趣小組借助繪圖軟件探究函數的圖象．現輸入一組m，n的值，得到的函數圖象如圖所示，由此可以推斷輸入的m，n的值滿足（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質，是解題的關鍵．由兩支曲線的分界線在y軸左側可以判斷m的正負，由時的函數圖象判斷n的正負．
【詳解】解：∵，
∴x的取值范圍是，
由圖可知，兩支曲線的分界線位于y軸的右側，
∴，
由圖可知，當時的函數圖象位于x軸的下方，
∴當時，，
又∵當時，，
∴，
故選：D．
【變式8-2】反比例函數的圖象在第一、三象限，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數圖象及性質．根據題意可知，繼而得到本題答案．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第一、三象限，
∴，即：，
故答案為：．
【變式8-3】已知點在反比例函數的圖象上，若，則a的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】根據反比例函數的增減性和點的位置解答．
【詳解】∵，
∴圖象經過第一、三象限，在每個象限內，y隨著x的增大而減小，
∵，
∴異號，
∵點，在反比例函數（是常數）的圖象上，
∴A點在第三象限，B點在第一象限，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數的性質，會根據函數值的大小確定點的位置是解題關鍵．
【變式8-4】已知常數a（a為整數）滿足下面兩個條件：
①關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根；
②反比例函數的圖象在二、四象限．
(1)求a的值；
(2)根據自己所畫的圖象直接寫出：
①當時，y的取值范圍；
②當時，x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式以及反比例函數的性質得出關于的不等式組，解不等式組求得的取值范圍，即可求得整數的值；
（2）畫出反比例函數的圖象，根據函數圖象即可得．
【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
且，
解得且，
∵反比例函數的圖象在二、四象限，
，
解得，
，
又為整數，
．
（2）解：由（1）可知，反比例函數的解析式為，畫出圖象如下：
當時，，
當時，，
則由函數圖象可知，①當時，，
②當時，或．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題關鍵．
考點九：比較反比例函數值或自變量的大小
例9．若點都在反比例函數的圖象上，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．先根據函數解析式中的比例系數k確定函數圖象所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．
【詳解】解：∵反比例函數解析式為，
∴反比例函數圖象經過第一，三象限，且在每個象限內y隨x增大而減小，
∵，
∴，
∴．
故選：D．
【變式9-1】已知，，三點在反比例函數的圖象上，則下列判斷正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】B
【分析】根據反比例函數的圖象上有，，三點，比較三點的橫坐標的大小，結合性質和m的符號分類解答即可．
本題考查了反比例函數的性質，有理數的大小比較，熟練掌握性質是解題的關鍵．
【詳解】解：根據反比例函數的圖象上有，，三點，
且，
故，
故在每一個象限內，y隨x的增大而增大，
由，
解得
當時，則，且
故，
故A選項不符合題意；
當時，則，且
故，
故B選項符合題意；
當時，則，且
故，
故C選項不符合題意；
當時，則，且，
故，
故D選項不符合題意；
故選：B．
【變式9-2】已知點在反比例函數的圖像上．當時，的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題考查待定系數法確定反比例函數、反比例函數圖象與性質等知識，先由待定系數法求出反比例函數的表達式為，從而得到反比例函數圖象在第二、四象限，則在第四象限中，值隨著值的增大而增大，從而得到答案．熟記反比例函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：點在反比例函數的圖像上，
，則反比例函數的表達式為，
反比例函數圖象在第二、四象限，
當時，；當時，；
反比例函數圖象在第四象限中，值隨著值的增大而增大，
當時，的取值范圍是，
故答案為：．
【變式9-3】已知反比例函數 ，下列結論∶①圖象必經過；②圖象在一、二象限內；③y隨的增大而增大；④當 時，則 ，其中錯誤的結論有 ．(填序號)
【答案】②③④
【分析】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題關鍵．根據反比例函數的性質，逐一進行判斷即可得答案．
【詳解】解：①當時，，即圖象必經過點，正確；
②，圖象在第二、四象限內，錯誤；
③，每一象限內，y隨x的增大而增大，錯誤；
④，每一象限內，y隨x的增大而增大，當時，；當時，；當時，函數無意義，錯誤，
故答案為：②③④．
【變式9-4】若一個函數當自變量在不同范圍內取值時，函數表達式不同，我們稱這樣的函數為分段函數．下面我們參照學習函數的過程與方法，探究分段函數的圖象與性質．請結合函數圖象研究函數性質，并回答下列問題：
(1)點，在函數圖象上，則______；（填“>”、“=”或“<”）
(2)當函數值時，自變量x的值為______；
(3)當2時，求的最大值和最小值；
(4)當關于x的方程有兩個不同的解時，直接寫出b的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或2
(3)當時，；當時，
(4)
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，熟練掌握函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）根據反比例函數的性質得到結論；
（2）把代入，把y=1代入數，解方程即可得到結論；
（3）根據函數的圖象即可得到結論；
（4）根據圖象即可求出b的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵點，在函數的圖象上，且，
∴；
故答案為：＞；
（2）把代入得，
把代入數得，
故答案為：或2；
（3）由圖可知，當時，；
當時，．
（4）當過點時，
可得，
解得，
∴當方程有兩個不同的解時，
則b的取值范圍為．
考點十：反比例函數的k值意義
例10．如圖，點B，C在反比例函數的圖象上，點A在x軸上，連結交y軸于點E，延長交x軸于點D．已知點，且，．若面積為10，則k的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數值的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的中位線的性質，熟練掌握以上知識點是關鍵．如圖，連接、，由題意得，是的中位線，則，可得，再根據反比例函數值的幾何意義解答即可．
【詳解】解：如圖，連接、，
∵，面積為10，
∴，
∵，．
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【變式10-1】反比例函數和在第一象限的圖象如圖所示，A，B分別為圖象上兩點，且軸，若的面積為2，則k的值為（　　）
A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】A
【分析】此題考查反比例函數比例系數與幾何圖形及面積關系，延長交y軸于點C，根據比例系數的幾何意義，得到，進而得到，即可求出．
【詳解】解：延長交y軸于點C，
∵點A在圖象上，
∴，
∵，
∴，
∵點B在圖象上，
∴，
故選：A．
【變式10-2】如圖，函數與函數的圖象交于點A，C，垂直于y軸，垂足為點B，連接，已知的面積為1，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質．過點C作軸于點D，根據反比例函數的性質可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作軸于點D，
∵函數與函數的圖象交于點A，C，
∴點A，C兩點關于坐標原點對稱，
∵軸，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案為：
【變式10-3】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在反比例函數的圖象上，軸于點軸于點，點分別為的中點，連接，若的面積為4.5，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求反比例函數解析式，矩形的判定與性質，三角形的面積．設，，則，，由，求得，點P在第四象限內，則，然后代入求出k值即可．
【詳解】解：∵軸于點軸于點，
∴
∴四邊形是矩形，
設，，
點分別為的中點，
則，，
∴
∴
∵點P在第四象限內，
∴，
把代入，得
∴
故答案為：．
【變式10-4】如圖，A，B，C是反比例函數（k≠0）在第一象限的圖象上的點，它的橫坐標分別為2，4，6．過點A，B，C分別作x軸，y軸的垂線段，構成多個矩形．若圖中陰影部分的面積為12，則k的值為 ．

【答案】/
【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義，得出，求得答案．
【詳解】解：因為點A，B，C是反比例函數（k≠0）在第一象限的圖象上的點，它的橫坐標分別為2，4，6，
，，，
，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數系數k的意義，根據題意得出關于k的方程是解題關鍵．
考點十一：反比例函數與一次函數的交點問題
例11．已知一次函數與反比例函數的圖像交于、兩點，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數交點求不等式解集，掌握一次函數、反比例函數圖形的性質是關鍵．
根據題意，反比例函數圖象經過第一、三象限，交點在第一象限，在第三象限，由此即可求解．
【詳解】解：一次函數與反比例函數的圖像交于、兩點，
把點、代入反比例函數解析式得到，，
∴，
代入一次函數中得，，
解得，，
∴一次函數解析式為，
∵反比例函數中，，
∴反比例函數圖象經過第一、三象限，
∴交點在第一象限，在第三象限，
如圖所示，
∴不等式的解集為：或，
故選：B．
【變式11-1】如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐標為2，當時，x的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合：一次函數與反比例函數的交點問題，結合圖象信息得點A的橫坐標為2，因為正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，故點B的橫坐標為，即可作答．
【詳解】解：∵點A的橫坐標為2，且正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，
∴點B的橫坐標為，
則當時，x的取值范圍是或，
故選：B
【變式11-2】如圖，一次函數（為常數）與反比例函數交于兩點，其中點的坐標為，則當時，自變量的取值范圍為 ．
【答案】或
【分析】本題考查一次函數與反比例函數綜合，涉及待定系數法確定函數表達式、由函數圖象解不等式等知識，先由待定系數法求出一次函數表達式為；反比例函數表達式為，再由，是指一次函數圖象在反比例函數圖象上方，作出圖象，數形結合即可得到答案．熟練掌握待定系數法確定函數表達式、由函數圖象解不等式等知識是解決問題的關鍵．
【詳解】解：一次函數（為常數）與反比例函數交于兩點，其中點的坐標為，
，解得，
一次函數表達式為；反比例函數表達式為，
聯立，則，即，
，解得或，
，
如圖所示：
當時，是指一次函數圖象在反比例函數圖象上方，則自變量的取值范圍為或，
故答案為：或．
【變式11-3】如圖，一次函數和（和均為常數且）與反比例函數（為常數且）的圖象交于兩點，其橫坐標為和3，則關于的不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查一次函數與反比例函數圖象的交點問題的綜合，掌握一次函數圖象的性質，反比例函數圖象的性質，圖形結合分析解不等式的知識是解題的關鍵．依題意且結合圖象，運用數形結合思想進行作答即可．
【詳解】解：∵一次函數和（和均為常數且）與反比例函數（為常數且）的圖象交于兩點，其橫坐標為和3，
∴關于的不等式的解集是或
故答案為：或
【變式11-4】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點．
(1)求反比例函數的解析式；
(2)當時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了一次函數和反比例函數綜合，解題的關鍵是掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟．
（1）先求出點A的坐標，再把點A的坐標代入，求出k的值即可；
（2）求出點B的坐標，結合圖象，找出一次函數圖象高于反比例函數圖象時自變量的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：把代入得，
將代入，得，
解得，，
反比例函數的解析式為；
（2）解：把代入得：，
解得：，
，
由圖可知：當時，或．
考點十二：反比例函數的實際應用
例12．電磁波由振蕩的電場和磁場構成，我國嫦娥六號探測器就是通過無線電波（電磁波的一種）與地球通信，電磁波的波長（單位：）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知某段電磁波在同種介質中，波長與頻率f的部分對應值如下表：
頻率 5 10 15 20 25 30
波長 60 30 20 15 12 10
(1)根據表格中的數據，選擇合適的函數模型，求出波長關于頻率的函數表達式．
(2)當該電磁波的頻率為時，它的波長是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，正確理解表格得到與成反比例函數關系是解題的關鍵．
（1）觀察表格可得是一個定值，即與成反比例函數關系，據此設出解析式利用待定系數法求解即可；
（2）求出當時的值即可得到答案．
【詳解】（1）解；根據表格數據的關系，可得與成反比例函數關系，
設，把代入中得：，解得，
∴．
（2）解：當時，，
∴當該電磁波的頻率為時，它的波長是．
【變式12-1】春節期間燃放煙花爆竹是我國的傳統習俗．經檢測，煙花燃放后產生的有害氣體濃度與擴散時間之間成反比例函數關系．當擴散5時，有害氣體濃度為．
(1)求關于的函數表達式；
(2)按照環保標準，當有害氣體濃度不高于時，對人體健康無危害，則至少需要擴散多長時間，對人體健康無危害？
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了反比例函數的應用，弄清題意，理清各量間關系是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法進行解答即可；
（2）求出當時的自變量的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設關于的函數表達式為，
∵當擴散5時，有害氣體濃度為．
∴，
∴，
∴關于的函數表達式為；
（2）當時，，解得，
即至少需要擴散，對人體健康無危害．
【變式12-2】在某一電路中，電源電壓U（單位：V）保持不變，電流I（單位：A）關于電阻R（單位：Ω）的函數圖象如圖所示．
(1)寫出I關于R的函數解析式；
(2)如果該電路中的電流不得超過，那么電阻R的取值范圍是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了反比例函數的應用，反比例函數的圖象性質，求反比例函數的解析式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據題意可知圖象經過，即可求出；
（2）根據，且，得，解出，即可作答．
【詳解】（1）解：根據題意可知圖象經過
，
解得，
關于的函數解析式為；
（2）解：∴，且，
∴，
解得，
電流不得超過，電阻R不得低于
【變式12-3】大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高（單位：）是物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數．當時，．
(1)求關于的函數表達式．
(2)若物距（小孔到蠟燭的距離）為，求火焰的像高．
(3)若火焰的像高不得超過，求小孔到蠟燭的距離至少是多少厘米？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查的是反比例函數的應用，掌握待定系數法是解本題的關鍵；
（1）由題意設，再利用待定系數法求解函數解析式即可；
（2）把代入，再計算可得答案；
（3）由再建立不等式求解即可．
【詳解】（1）解：由題意設：，
把，代入，得，
關于x的函數解析式為：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高為．
（3）時，
，
，
，
答：小孔到蠟燭的距離至少是．
【變式12-4】如圖1，利用秤桿研究杠桿原理．用細繩綁在秤桿上的點處并將其吊起來，在點右側的秤鉤上掛一個物體，在點左側的秤桿上有一個動點（最大距離為），在點處用一個彈簧秤向下拉．當秤桿處于水平狀態時，分別測得彈簧秤的示數（單位：）與的長度（單位：）的五組對應值，已在平面直角坐標系中描點如圖2．
(1)請在圖2中畫出與的函數圖象，并判斷它是什么函數．
(2)求關于的函數表達式．
(3)移動彈簧秤的位置，若秤桿仍處于水平狀態，求彈簧秤的示數的最小值．
【答案】(1)圖見解析，反比例函數
(2)
(3)
【分析】本題考查反比例函數的實際應用，正確的求出函數解析式是解題的關鍵：
（1）描線，畫出函數圖象即可；
（2）待定系數法求出函數解析式即可；
（3）根據反比例函數的增減性，進行求解即可．
【詳解】（1）解：如圖：
它是反比例函數．
（2）設這個反比例函數的表達式為
由圖像可知，圖像過，
∴，
∴．
（3）時，中隨的增大而減小，
當的值最大時，最?。?br/>即當時，
拓展訓練一：反比例函數的圖象與性質綜合
1．如圖，矩形的面積為8，邊在y軸上，E是邊的中點，若B，E兩點在函數的圖象上，則m的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的的幾何意義，矩形的性質，設，則，根據B，E兩點在函數的圖象，列方程即可解答，熟練運用反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：設，，則，
四邊形為矩形，且面積為，
，，
E是邊的中點，
，
，
B，E兩點在函數的圖象，
，
可得，即，
故選：D．
2．如圖，一次函數與反比例函數交于C、D兩點，，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合、根與系數的關系等知識點，過作軸于，過作軸于，利用面積法得到，代入數值得到，再聯立解析式根據根與系數的和得到，代入求值即可．
【詳解】解：過作軸于，過作軸于，則，
設，，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
聯立得到，
∴，
∴，解得，
∵，
∴，即
解得，
故選：D．
3．如圖，平面直角坐標系中，點為反比例函數的圖像一點，點為軸上一點，連接，過點作，交反比例函數的圖像于點，連接，若為等腰直角三角形，則點的橫坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質，全等三角形的判定與性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
過作，過作，交延長線于點，過作，交延長線于點，延長交軸于點，然后證明，則有，，，即點橫坐標為，然后求出反比例函數解析式為，故有，最后通過線段和差即可求解．
【詳解】解：如圖，過作，過作，交延長線于點，過作，交延長線于點，延長交軸于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，即點橫坐標為，
∵點為反比例函數的圖象一點，
∴，
∴反比例函數圖象為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點的橫坐標為，
故答案為：．
4．如圖，點，點在反比例函數的圖象上，射線交軸于點，且，延長交反比例函數圖象另一分支于點，連接交軸于點，若，則的值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，首先設點的坐標為，點的坐標為，根據反比例函數的性質可得的坐標為，點的坐標為，設直線的解析式為，利用待定系數法可求直線的解析式為，從而可得點的縱坐標為，根據反比例函數是中心對稱圖形可得，根據三角形的面積公式可得，解方程求出的值即可．
【詳解】解：如下圖所示，設點的坐標為，點的坐標為，
，
，
，
則有，
點的坐標為，
又點與點關于原點對稱，
點的坐標為，
設直線的解析式為，
則有，
解得：，
直線的解析式為，
當時，，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案為： 3．
5．已知，矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，已知點B的坐標為，反比例函數的圖象經過的中點D，且與交于點E，順次連接O，D，E．
(1)求線段的長；
(2)在線段上存在一點M，當的面積等于時，求點M的坐標；
(3)平面直角坐標系中是否存在一點N，使得O、D、E、N四點構成平行四邊形？若存在，請直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N的坐標為或或
【分析】此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，平行四邊形的性質，中點坐標公式，矩形的性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．
（1）根據B的坐標，利用中點坐標公式求出D的坐標，確定出反比例函數解析式，進而求出E的坐標，即可求出的長；
（2）根據D坐標確定出直線與直線解析式，過點M作軸交于點N，設，，由，把已知面積代入求出t的值，即可確定出M坐標；
（3）由題意得：，，，設，分三種情況考慮：當四邊形為平行四邊形時；當四邊形為平行四邊形時；當四邊形為平行四邊形時即可．
【詳解】（1）解：∵點B的坐標為，D為中點，
∴，
∵反比例函數的圖象經過的中點D，
∴，
∴反比例函數解析式為，
把代入得：，即，
則；
（2）解：由，得到直線解析式為，
由，得到直線解析式為，
過點M作軸交于點N，
設，則，
∵
，
∴，解得：，
則點M坐標為；
（3）解：存在；
由題意得：，，，設，
分三種情況考慮：當四邊形為平行四邊形時，可得，，
解得：，，即；
當四邊形為平行四邊形時，可得，，
解得：，，即；
當四邊形為平行四邊形時，可得，，
解得：，，即，
綜上，N的坐標為或或．
拓展訓練二：反比例函數中的翻折、旋轉、最值問題
1．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數（，是常數）在第一象限部分的圖像與矩形的兩邊和分別交于，兩點，將沿翻折得到，的延長線恰好經過點．若，則的值是 ．

【答案】
【分析】設，根據矩形的性質和翻折的性質可得，，根據等角對等邊和勾股定理可得，，繼而得到，，可得，根據點在反比例函數圖像上，可得點的縱坐標，可得，再求出，即可得到的值．
【詳解】解：設，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，，，
將沿翻折得到，的延長線恰好經過點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點在反比例函數圖像上，
∴，
∴，
∴反比例函數的解析式為，
∵點在反比例函數圖像上，，即點的橫坐標為，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值是．
故答案為：．
【點睛】本題考查待定系數法確定解析式，函數圖像上點的坐標特征，矩形的性質，折疊的性質，等角對等邊，勾股定理等知識．掌握矩形的性質和折疊的性質是解題的關鍵．
2．如圖，在中，，點A的坐標為，點在反比例函數的圖象上．若將線段AB繞點A按順時針方向旋轉90°，得到線段AC，點C恰好在反比例函數的圖象上．
(1)求，的值；
(2)若P，Q分別為反比例函數，圖象上一點，且以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）過B作于E，得到，，，根據勾股定理得到，求得；過C作軸于F，根據全等三角形的性質得到，，得到，求得；
（2）由（1）知，，設，，根據平行四邊形的性質列方程組即可得到結論．
【詳解】（1）解：過B作于E，
∵A的坐標為，點，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
過C作軸于F，
∴，
∵將線段繞點A按順時針方向旋轉，得到線段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵點C恰好在反比例函數的圖象上，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵P，Q分別為反比例函數，圖象上一點，
∴設，，
∵以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴當為平行四邊形的對角線時，由圖象得這種情況不存在；
當為平行四邊形的對角線時，
，
解得，
∴；
當AQ為平行四邊形的對角線時，
，
解得（不合題意），
綜上所述，．
【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．
3．已知一次函數（）和反比例函數的圖象如圖所示．
(1)一次函數必定經過點 ________．（寫點的坐標）
(2)當時，一次函數與反比例函數圖象交于點A，B，與x，y軸分別交于點C，D，連接并延長，交反比例另一支于點E，求出此時A，B兩點的坐標及的面積．
(3)直線繞點C旋轉，直接寫出當直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)A，B兩點的坐標分別為，，的面積為6
(3)
【分析】（1）由題意知，令，求，的值，進而可得結果；
（2）由，可得，聯立，求解可得，，由題意知，如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，，，，根據，計算求解即可；
（3）由題意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范圍．
【詳解】（1）解：由題意知，
令，即，則，
∴一次函數必定經過點，
故答案為：；
（2）解：∵，則，
聯立，解得，，
∴，，
∴，
如圖，過作軸，過作于，過作于，
則，，，，，
∴
∴A，B兩點的坐標分別為，，的面積為6．
（3）解：由題意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直線與反比例圖象無交點時m的取值范圍為．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，反比例函數與幾何綜合等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
拓展訓練三：反比例函數與幾何綜合
1．如圖，已知、，P為雙曲線上的任意一點，過點P作軸于點C，軸于點D，求四邊形面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．
【答案】69．4； 70．8； 71．4； 72．存在，當時，L最小值為35； 73．，四邊形為菱形
【分析】（1）利用得到， 當，時， 有最小值；
（2）將整理得，利用得到，當時，y有最小值；
（3）將整理得，利用得到，當時，y有最小值；
（4）由題意得，利用求解即可得出答案；
（5）設，如圖表示四邊形的面積，由（1）可得，當時，四邊形的面積得最小值，因此也可求出此時點C、D的坐標，根據點的坐標可知，故四邊形是平行四邊形，又由，進而可得四邊形是菱形．
69．解：，
，
，
當且僅當，即時， 有最小值為4；
70．解：，
，
，
當且僅當，即時，y有最小值為8；
71．解：，
，，
，
當且僅當，即時，y有最小值為4；
72．解：存在，當時，L最小值為35，理由如下：
由題意，得，
當且僅當，即時，等號成立，
故當 時，L有最小值，且最小值為35；
73．解：設，則，，
四邊形的面積，
由（1）知，若， 有最小值為4，
四邊形的面積，
四邊形的面積得最小值為12，
此時，即，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
【點睛】本題是閱讀材料題，考查了坐標與圖形的性質、矩形的面積、菱形的判定、反比例函數圖象上點的坐標特征以及不等式的求法，熟練掌握相關知識，結合題意綜合應用是解題的關鍵．
2．如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于兩點、．
(1)反比例函數和一次函數的解析式；
(2)觀察圖象，請直接寫出滿足的取值范圍；
(3)若軸上的存在一點，使的周長最小，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)反比例函數和一次函數的表達式分別為，
(2)或
(3)
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求解析式，軸對稱最短路線問題，數形結合是本題的關鍵．
（1）利用待定系數法即可求得；
（2）根據圖象即可求得；
（3）作關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，此時的周長最小，根據待定系數法求得直線的解析式，進而即可求得的坐標．
【詳解】（1）解：反比例函數與一次函數的圖象交于、兩點．
，，
，．
反比例函數和一次函數的表達式分別為，；
（2）由圖象可得：滿足的取值范圍是或．
（3）如圖，作關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，此時的周長最小，
，
關于軸的對稱點的坐標為，
設直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
令，則，
點的坐標是．
3．如圖直角坐標系中，矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，．
(1)若反比例函數的圖象經過直線上的點，且點的坐標為，求的值及反比例函數的解析式；
(2)若（2）中的反比例函數的圖象與相交于點，連接，在直線上找一點，使得，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）由題意易得，，求出直線的解析式，把的坐標代入求出的值，從而求得反比例函數的解析式；
（2）當點在下面時，延長至，使，連接，過點作直線 交直線于，則，求出直線的解析式，進而得出直線的解析式，從而求出點的坐標；當點在上面時，在上取點，使，連接，則，，過點作直線 交直線的延長線于，則，求出直線的解析式，從而求出點的坐標．
【詳解】（1）解：∵矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，，
∴，，，
∴，，
設直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為，
∵點直線上，
∴，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴反比例函數的解析式為．
（2）解：情況一：延長至，使，連接，則，
在 中，當 時，，
，
∴，
過點作直線 交直線于，則，
設直線的解析式為，
則，得 ，
，
設直線的解析式為，代入 解得：，
，
當時，
點；
情況二：在上取點，使，連接，則，，
過點作直線 交直線的延長線于，則，
設直線的解析式為，代入 解得：，
，
當時，
點；
綜上所述，點坐標為或．
【點睛】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，坐標與圖形性質，平行線的性質，待定系數法確定函數解析式，數形結合是解題的關鍵．
拓展訓練四：反比例函數與一次函數綜合
1．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，與軸和軸分別交于點和點，其中點坐標為，點在反比例函數圖象上．
(1)求點的坐標及反比例函數的表達式；
(2)若點在點的右側，過點作軸，垂足為，若，求的長；
(3)是否存在一點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在滿足條件的點，其坐標為或
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，
（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的表達式，然后聯立方程組求解即可得出點A的坐標；
（2）過點作軸，垂足為．根據已知可得，設，根據圖形面積建立方程，求出點M的坐標，然后勾股定理，即可求解．
（3）根據角的2倍關系，考慮分類畫出圖形（點在直線下方，點在直線上方），由于是直線與軸相交得到的，利用平行線轉換到以為頂點的等角，再結合等腰三角形的三線合一，求出直線的表達式，聯立反比例函數的表達式求解．
【詳解】（1）解： 在直線上，
，解得，
點的坐標為，直線的表達式為．
將點代入反比例函數中，得，
反比例函數的表達式為．
聯立，
解得或，
點的坐標為；
（2）如解圖①，過點作軸，垂足為．
在一次函數中，令，得，
．
軸，
．
點在反比例函數的圖象上，軸，軸，
．
，
．
設，
則，
解得或，
經檢驗，或是所列方程的解，
點在點的右側，
，
，
；
（3）如解圖②，若點在直線AB下方，過點作軸于點，延長CE至點，使得．
，
．
由（1）（2）得，
，
，
聯立，
解得或，
；
若點在直線上方，過點作交的延長線于點，延長至點，使得，連接并延長交反比例函數的圖象于點，即為所求的點．
，
聯立，
解得，
．
此時，
是GH的中點，
，
，
聯立，
解得或，
．
綜上所述，存在滿足條件的點，其坐標為或．
2．綜合與探究
如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象分別交于點和．
(1)求的值及反比例函數的表達式；
(2)如圖2，過點與點分別作軸和軸的垂線，垂足分別為點，點，兩垂線交于點，連接，求的面積；
(3)如圖3，延長交反比例函數在第三象限內的圖象于點，連接，，將直線沿著軸向下平移若干個單位長度，使得直線經過點，平移后的直線與軸交于點，若在直線上存在點，使得，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)點的坐標為或
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數綜合，一次函數與幾何圖形，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵；
（1）將分別代入一次函數，得出的值，進而求得反比例函數表達式；
（2）過點作軸于點，根據矩形的性質以及的坐標，分別求得進而根據的面積等于梯形的面積，即可求解；
（3）根據中心對稱得出，進而求得過點的直線解析式為，求得，設交軸于點，求得的坐標，得出，進而根據，求得點的坐標，即可求解．
【詳解】（1）解：將和分別代入一次函數
∴
解得：
∴，，
將代入
∴
∴；
（2）解：如圖，過點作軸于點，
∵，，
∴，，
∵，
∴
（3）解：如圖, 設交軸于點，
∵，延長交反比例函數在第三象限內的圖象于點，
∴，
∵一次函數平移得到直線，
設直線的解析式為
將點代入得，
解得：
∴直線的解析式為
當時，，即
當時，，即
∵，，
∴
又∵
∵，
∴重合，即
∵
∴在的中點位置，
即即
綜上所述，點的坐標為或
3．在平面直角坐標系xOy中，將任意兩點與之間的“直距”定義為：．例如：點，點，則．
(1)已知兩點，則______；
(2)已知點M在反比例函數第一象限的圖像上，若線段，求；
(3)已知兩點，如果直線AB上存在點C，使得，請直接寫出點C的坐標．
【答案】(1)5
(2)
(3)點C的坐標為或
【分析】本題考查了新定義下的兩點之間的“直距”定義，考查了絕對值的幾何意義，解不等式，理解新定義是解題的關鍵．
（1）根據“直距”的定義即可得出答案；
（2）設點M的坐標為，且，根據“直距”的定義可得，化簡，即可求解；
（3）設直線的解析式為，可求出直線的解析式為，設點C的坐標為，根據“直距”的定義列出等式，再分類討論，即可解答．
【詳解】（1）解：，
故答案為5．
（2）∵點M在反比例函數第一象限的圖像上，
∴設點M的坐標為，且．
∵，
∴，
即，
即，
∴．
（3）設直線的解析式為，
將分別代入，得
，解得，
∴直線的解析式為．
設點C的坐標為，
∴，
①當時，，
∴，
解得，不合題意，舍去．
②當時，，
∴，
解得，
∴C；
③當時，，
∴，
解得，
∴C；
綜上所述，點C的坐標為或．
4．如圖所示，已知直線與雙曲線交于、兩點，且點的橫坐標為4．
(1)k的值為_____，點B的坐標為_____．
(2)若雙曲線上一點的縱坐標為8，求的面積．
(3)過原點的另一條直線交雙曲線于、兩點（點在第一象限），若由點、、、為頂點組成的四邊形面積為24，求點的坐標．
【答案】(1)8；
(2)15
(3)或
【分析】（1）根據一次函數與反比例函數相交于點A，將點A的橫坐標代入，求出點A的坐標，再將點A的坐標代入函數解析式即可求得k的值，聯立兩個函數解析式，求出點B的坐標即可；
（2）求出點C的坐標為，過點A、C分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形，得出，，，，，根據，求出結果即可；
（3）設點P的橫坐標為（且），則，分兩種情況：當時，當時，分別畫出圖形求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵點A橫坐標為4，
∴把代入得：，
∴，
∵點A是直線與雙曲線的交點，
∴，
∴反比例函數解析式為：，
聯立，
解得：或，
∴點B的坐標為：；
（2）解：如圖，

∵點C在雙曲線上，縱坐標為8，
∴把代入得：，
∴點C的坐標為，
過點A、C分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形，
則，，，，，，
∴
；
（3）解：∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
設點P的橫坐標為（且），則，
過點P、A分別作x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴，
若，如圖所示，

∵，
∴，
∴．
∴，（舍去），
∴；
若，如圖所示，

∵，
∴．
∴，
解得，（舍去），
∴．
∴點P的坐標是或．
【點睛】本題主要考查反比例函數與一次函數的圖像交點問題，反比例函數幾何綜合，求反比例函數解析式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的性質，注意進行分類討論．
5．如圖，直線與軸和軸分別交于點和點，與反比例函數的圖象在第一象限內交于點．
(1)求直線和反比例函數的解析式；
(2)將直線平移得到直線，若直線與兩坐標軸圍成的三角形面積是面積的倍，求直線的解析式；
(3)對于點，我們定義：當點滿足時，稱點是點的等和點．試探究在反比例函數圖象上是否存在點，使點的等和點在直線上 若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)存在，點的坐標為或．
【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函數的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函數的解析式；
將直線沿軸方向向上平行移動時，根據平移的性質可得，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得，的長度就是直線中的；將直線沿軸方向向下平行移動時，根據平移的性質可得，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得：，其中的長度是直線中的的相反數；
根據等和點的關系和點、點所在的解析式，設點，點，根據等和點的坐標之間的關系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函數解析式，即可求出符合要求的點的坐標．
【詳解】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函數的解析式為，
把代入，
可得：，
，
直線的解析式為；
（2）解：，
點的坐標是，
，
如下圖所示，
將直線沿軸方向向上平行移動時，
設直線與，軸分別交于點，，則，
，
，
，
，
直線與直線平行，，
直線的解析式為；
將直線沿軸方向向下平行移動時，
設直線與，軸分別交于點，，則，
，
，
，
，
直線與直線平行，，
直線的解析式為；
綜上所述，直線的解析式為或；
（3）解：點的坐標為或，
點在圖象上，點在直線上，
設點，點，
點是點的等和點，
，
，
，
，，
經檢驗，，均是原分式方程的根，
當時，，此時點的坐標為，
當時，，此時點的坐標為，
綜上所述，在的圖象上存在點，使點的等和點在直線上，點的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合性、求一次函數的解析式、求反比例函數的解析式、相似三角形的判定與性質、函數圖象的平移，解決本題的關鍵是根據函數的圖象與性質找到相應的點的坐標，再根據坐標求出解析式．
拓展訓練五：反比例函數的應用綜合
1．如圖1，在平面直角坐標系中，點，過函數（，常數）圖象上一點作軸的平行線交直線：于點，且．

(1)求的值，并寫出函數（）的解析式；
(2)過函數（）圖象上任意一點，作軸的平行線交直線于點，是否總有成立？并說明理由；
(3)如圖2，若是函數（）圖象上的動點，過點作軸的垂線交直線于點，分別過點作的垂線交軸于點，問是否存在點，使得矩形的周長取得最小值？若存在，請求出此時點的坐標及矩形的周長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，（）
(2)見解析
(3)時，矩形的周長取得最小值為4
【分析】（1）由題意可得，，求出點，即可得出，根據得到，求出，從而得到點的坐標，將點的坐標代入函數解析式計算即可；
（2）設（），則，計算出和，進行比較即可得到答案；
（3）設（），則，，從而得到，，再表示出矩形的周長進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據題意得：，，
在中，當時，，
，
，
，
，
，
∴點，
將點代入函數（）得：，
，
∴（）；
（2）解：設（），則，
∴，
，
∴；
（3）解：存在滿足題設條件的點，
設（），則，，
，，
∴矩形的周長
∴當，即，時，矩形的周長取得最小值為4．
【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合、求反比例函數解析式、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識點，采用數形結合的思想解題，是解此題的關鍵．
2．定義：把橫、縱坐標均為整數的點稱為整點．如圖，反比例函數與正比例函數相交于整點A，與一次函數相交于整點B、C，正比例函數與一次函數相交于點D，線段與線段上的整點個數之比記作．

(1)當時，求D點的坐標和m值．
(2)當線段BC上的整點個數為7，時，求t的值．
(3)當時，請直接寫出t與m之間的關系式．
【答案】(1)D（），
(2)10
(3)當時，；當時，
【分析】（1）聯立方程組求解可得，根據點為整點，可得，代入，求得，與聯立，可求得，再通過聯立求解可得，，即可得出答案；
（2）根據題意可得，必為整點，即為偶數，由，可得，，進而推出，，建立方程求解即可得出答案；
（3）當時，線段上有2個整點：設D（d，d），，
，進而得出，建立方程求解即可求得；當時，線段上只有1個整點，設，則線段上有個整點，線段上有個整點，得出，，可推出，再把點的坐標代入，即可得出．
【詳解】（1），
，
由，解得：，
，
點為整點，且點的橫坐標是小于2的正整數，
點的橫坐標為1，
，
把代入，得，
解得：，
，
聯立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
線段上整點有1個：，線段上整點有4個：，，，．
；
（2）線段上的整點個數為7，，必為整點，
為偶數，
，
，，
，
線段上有3個整點，
，，
，
，
解得：；
（3）當時，線段AD上整點個數為2，即A、D兩點，
∴線段BC上整點個數為2m，由對稱可知，BD上整點個數為，
設D（d，d），則，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
當時，線段AD上只有一個整點A，
∴線段BC上整點個數為m，
由對稱BD上整點個數為，設A（a，a），則B，
∴，
∴，
∴，即；
綜上，當時，；當時，
【點睛】本題考查的是反比例函數與一次函數的綜合應用，抓住圖象中的交點及其他特殊點的坐標和性質是解決問題的關鍵．
3．如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，且A點坐標為．

(1)求雙曲線解析式及B點坐標；
(2)將直線向下平移一個單位得直線l，P是y軸上的一個動點，Q是l上的一個動點，求的最小值；
(3)若點M為y軸上的一個動點，N為平面內一個動點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，直接寫出N點坐標．
【答案】(1)，
(2)的最小值為
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系數法求出點A的坐標，再求出雙曲線的解析式，構建方程組確定交點B的坐標；
（2）作A關于y軸的對稱點，過作于，交y軸于K， 則取得最小值,此時, 再先求解 再利用等腰直角三角形的性質可得答案；
（3）分兩種情況討論，如圖，當為邊時，當為矩形的對角線時，再利用矩形的性質及勾股定理與中點坐標公式建立方程，解方程可得答案.
【詳解】（1）解：把點坐標為代入得：
，則，
，
雙曲線為，
解得：或 ，
．
（2）
如圖，作A關于y軸的對稱點，過作于，交y軸于點P，交y軸于K， 則取得最小值，此時，
，
將直線向下平移一個單位得直線l，
l的解析式為： 且l是第一，第三象限的角平分線組成的，
，
，
，
，
，
，，
，
所以最小值為；
（3）
如圖，當為邊時，設，
四邊形為矩形，
，
，
解得，
，則由平移的性質可得： 同理可得：，
，解得 ，
則 由平移的性質可得： ；

如圖，當為矩形的對角線時，設，
由矩形的性質：對角線相等且互相平分，再結合中點坐標可得，
，
解得：，
，
綜上：，，，．.
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解反比例函數解析式，軸對稱的性質，垂線段最短，矩形的性質，勾股定理的應用，中點坐標公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分類討論是解題的關鍵．
4．【模型建立】（1）如圖一，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于D，過點B作BE⊥ED于E．求證：AD＝CE．
【模型應用】（2）如圖二，直線l1：y＝x＋4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點B順時針旋轉45°得到直線l2，求直線l2的函數表達式；
【拓展探究】（3）如圖三，一次函數的圖象與坐標軸分別相交于點A、B，點C在反比例函數的圖象上，若△ABC為等腰直角三角形，請直接寫出k的所有可能的值 ．
【答案】（1）見解析；（2）y＝x＋4；（3）－112、－84、－49
【詳解】（1）根據為等腰直角三角形，，，可判定，從而得結論；
（2）根據，求得，最后運用待定系數法求直線的函數表達式；
（3）根據為等腰直角三角形分三種情況：以A，B，C三個頂點為直角頂點，作輔助線構建三角形全等可得點C的坐標，根據可得結論．
解：（1）如圖1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°．
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD與△CBE中
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD＝CE；
（2）∵直線y＝x＋4與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，4）、B（－3，0），
如圖2，
圖2
過點B做BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
∴OD＝OB＋BD＝3＋4＝7，
∴C點坐標為（－7，3），
設l2的解析式為y＝kx＋b，將A，C點坐標代入，
得，
解得，
∴l2的函數表達式為y＝x＋4；
（3）分三種情況：
①如圖3，，過點C作軸于E，
當時，，
當時，，
∴，
∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
②如圖4，，過點C作軸于F，
由（1）同理可得，
∴，，
∴，
∴；
③如圖5，，過點C作軸，過點B作軸，
同（1）可得，
∴，，
設，
則，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上，k的所有可能的值是-112或－84或-49．
故答案為：-112、－84、-49．
【點睛】本題屬于一次函數綜合題，主要考查了點的坐標、待定系數法、等腰直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的性質進行計算，解題時注意分類思想的運用．
5．如圖，正方形在平面直角坐標系中的點和點的坐標為、，點在雙曲線上.若正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點恰好落在該雙曲線上，則的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】過點作軸的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于，根據全等三角形的判定和性質，可得到點坐標和點坐標，從而求得雙曲線函數未知數和平移距離.
【詳解】過點作軸的垂線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，過點作的垂線交于.
，，，.
又，，，點坐標為
將點坐標為代入，可得=4.
與同理，可得到，，點坐標為，正方形沿軸負方向平移個單位長度后，點坐標為
將點坐標為代入，可得=2. 故選B.
【點睛】本題綜合考查反比例函數中未知數的求解、全等三角形的性質與判定、圖形平移等知識.涉及圖形與坐標系結合的問題，要學會通過輔助線進行求解.
1．已知某函數圖象經過，，三個點，則該函數圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查點的坐標和函數的性質，根據函數圖象上點的坐標得到，關于y軸對稱，當時，y隨x的增大而增大，然后逐項判斷解答即可．
【詳解】根據題意可得，關于y軸對稱，當時，y隨x的增大而增大，
故符合要求的函數圖像為D選項，
故選：D．
2．已知點，，在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出，，，比較即可獲得答案．
【詳解】解：∵點，，在反比例函數的圖象上，
∴，，，
解得，
又∵，
∴．
故選：C．
3．若雙曲線與直線的一個交點坐標為，則關于x的不等式的解集為（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數及一次函數交點問題．根據題意利用交點坐標及圖像即可得到本題答案．
【詳解】解：∵雙曲線與直線的一個交點坐標為，
∴反比例函數經過二，四象限，一次函數經過二，四象限，另一個交點為，
∴的解集為：或，
故選：C．
4．如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象的兩個交點的橫坐標分別為和1．當時，的取值范圍是（　?。?br/>A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，熟練掌握函數圖象法是解題關鍵．結合函數圖象，找出一次函數的圖象位于反比例函數的圖象的上方時，的取值范圍，由此即可得．
【詳解】解：由函數圖象可知，當時，或，
故選：C．
5．已知反比例函數，第一象限有一點，過向坐標軸作垂線，分別交軸，軸于A，點，分別交反比例函數于，點，若，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例與幾何的綜合、矩形的判定與性質等知識點，圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關鍵．
設D的坐標為，由題意可知，則C點坐標為，由于C點和D點都在反比例函數上，即可求得，再根據線段的和差即可解答．
【詳解】解：設D的坐標為，
∴，，
∵，
∴，
∵垂直于y軸，垂直于x軸，
∴四邊形為矩形，即，
∴則C點坐標為，
∵C點和D點都在反比例函數上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
6．若點，點，點都在反比例函數的圖象上，則與的大小關系是： （填“”、“”或“”中的一個）．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質，由題意可得 ，再求得，由，得到，即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點，點，點都在反比例函數的圖象上，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
7．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作軸交軸于點，軸交軸于點，連結．若矩形的周長為8，對角線的長為，則的值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查反比例函數性質、矩形周長公式及勾股定理的綜合運用，解題關鍵是通過設點坐標，利用矩形周長和勾股定理建立等式求出反比例函數中的值．
設，由反比例函數性質得．根據矩形周長公式得出的值，兩邊平方得到的值．利用勾股定理得出的值，代入上式求出，進而得到的值．
【詳解】設A點坐標為（，），
∵點A在反比例函數圖象上，
∴．
∵矩形周長為，
即，，，
則，化簡得．
將兩邊同時平方得
，
即．
∵對角線長為，
在中，
根據勾股定理，
即．
把代入中得
．
解得．
∵，
∴．
故答案為：3．
8．已知點是反比例函數圖象上一點，將點A向右平移2個單位，再向下平移4個單位后的點仍在這個反比例函數圖象上，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了點的平移、反比例函數的性質等知識點，根據題意得出平移后的坐標是解題的關鍵．先求出點A向右平移2個單位，再向下平移4個單位后的點的坐標，然后根據平移后的點仍在這個反比例函數圖象上，得出，求出m的值，再求出k的值即可．
【詳解】解：把點A向右平移2個單位，向下平移4個單位后的點的坐標為，
∵點A和點在反比例函數的圖象上，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案為：6．
9．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，點落在反比例函數圖象上，點落在反比例函圖象上，延長交軸于點，若四邊形的面積為3，則的值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了反比例函數上點的坐標特征，反比例函數的幾何意義，平行四邊形的性質，三角形的面積求解，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．不妨設，可算得，那么的面積為2，由，推出，然后利用平行四邊形的性質，可推出點坐標，然后將其代入即可．
【詳解】解：，點落在反比例函數圖象上，不妨設，
那么，，
，
四邊形的面積為3，
的面積為，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
點落在反比例函圖象上，
，
．
故答案為：6．
10．如圖，點，均在反比例函數的圖象上．連結，并延長，分別與反比例函數的圖象交于點，，連結，，，．若，，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的判定與性質、反比例函數的圖象與性質、反比例函數中的幾何意義，根據反比例函數的圖象與性質可證四邊形是矩形，根據，，可知矩形的面積是，從而可知，根據矩形的性質可知，從而可知，根據，可得，可以求出、的值，從而可得的值．
【詳解】解：點，均在反比例函數的圖象上,
點的坐標是，點的坐標是，
，，，
四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
如下圖所示，過點作，過點作，
則，
，
，
，
，
，
，
點在第一象限，
，，
．
故答案為： ．
11．函數（為常數）的圖象過點．
(1)求的值；
(2)小明說：“該函數圖象上的任意一點，若，則”，你贊同小明的說法嗎？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)不贊同，理由見解析
【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數圖象性質是解題的關鍵．
（1）將代入求解即可．
（2）取特殊值判斷即可．
【詳解】（1）解：根據題意將代入，
則，
解得：，．
（2）解：不贊同
根據（1）可得，該函數圖象上的任意一點，則，
當時，則有，
故小明說法不正確．
12．在直角坐標系中，設函數與函數（，，是常數，）的圖象交于點，．
(1)求函數，的表達式．
(2)當時，比較與的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y果）
(3)若點在函數的圖象上，將點先向左平移1個單位，再向下平移6個單位得點，點恰好落在函數的圖象上，求點的坐標．
【答案】(1)，；
(2)當時，；
(3)點的坐標為或．
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．
（1）待定系數法求出兩個函數解析式即可；
（2）畫出圖象，利用數形結合解答即可；
（3）根據點的平移法則設點C坐標為，寫出點D的坐標再代入反比例函數解析式求出m值即可點的點C坐標．
【詳解】（1）解：∵兩個函數圖象交于點，．
∴,
∴，，
∴，
∵點，在直線圖象上，
，
解得，
∴；
（2）解：兩個函數圖象如圖所示，
由圖可知，當時，；
（3）解：設點C坐標為，
∵將點先向左平移1個單位，再向下平移6個單位得點，
∴，
∵點D恰好落在函數的圖象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴點的坐標為或．
13．某研究性學習小組通過調查發現，在一節40分鐘的課中，學生的注意力會隨時間的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐漸集中，中間一段時間保持較為理想的穩定狀態，隨后開始分散．經試驗分析可知，學生的注意力指數隨時間（分）的變化規律如圖所示，其中線段的函數表達式為：，線段持續的時間恰為10分鐘，曲線為反比例函數圖象的一部分．
(1)求的值及曲線的函數表達式．
(2)若一道數學難題，需要講解18分鐘，為了效果較好，要求學生注意力指數不低于32，那么老師能否在學生注意力全程達到要求的狀態下講解完這道題？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)能，理由見解析
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的實際應用，從函數圖象中有效的獲取信息，正確的求出函數解析式，是解題的關鍵：
（1）把代入函數解析式，求出的值，進而求出點坐標，待定系數法求出曲線的函數表達式即可；
（2）求出時的自變量的值，求出兩個自變量的差值與18進行比較即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴當時，，解得：，
∴，
∴，
∴，
設曲線的函數表達式為，
則：，
∴；
（2）能，理由如下：
當時，對于，解得：；
對于，解得：，
，
∴老師能在學生注意力全程達到要求的狀態下講解完這道題；
14．在直角坐標系中，函數與函數的圖象交于兩個不同的點A，B，點A的橫坐標為2．
(1)求k的值和點B的坐標．
(2)若函數的圖象向下平移個單位后經過點，與y軸交于點D．
①求m的值．
②求的面積，
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，正確求出對應的函數解析式是解題的關鍵．
（1）先求出點A坐標，進而求出反比例函數解析式，再聯立兩函數解析式求出點B坐標即可；
（2）①先表示出平移后的直線解析式，進而利用待定系數法求出平移后的解析式，即m的值；②求出點D坐標，再根據列式求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當時，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函數解析式為，
聯立，解得或，
∴；
（2）解：①函數的圖象向下平移個單位后的函數解析式為，
∵函數的圖象經過，
∴，
∴；
②由①可得平移后的函數解析式為，
在中，當時，，
∴，
∴．
15．如圖，12個邊長為1的正方形擺放在平面直角坐標系中，直線平分這12個正方形組合圖形的面積，且與軸交于點，與y軸交于點，與反比例函數在第二象限的圖象交于點．若的面積之比為．
(1)求直線的解析式．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數結合，待定系數法求函數解析式，熟悉掌握函數的表達式是解題的關鍵．
（1）利用面積關系求出點的坐標，再利用待定系數法求解即可；
（2）利用比值關系求出點的坐標，再利用待定系數法求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，如圖所示進行標注，
∵直線平分這12個正方形組合圖形的面積，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴設直線的解析式為，
把，代入可得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：；
（2）解：∵與的面積之比為，，
∴到軸的距離為，
∴把代入可得：，
∴，
∵反比例函數在第二象限且過點，
∴．
16．根據以下素材，完成設計貨船通過雙曲線橋的方案：一座曲線橋如圖1所示，當水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關于對稱．如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數表達式．
(1)問題解決：確定橋洞的形狀．
建立平面直角坐標系如圖3所示，落在第一象限的角平分線上．設點C為，
①點A的坐標為______．（用m的代數式表示）；
②求出經過點A的雙曲線的函數表達式．
(2)探索應用：
這艘貨船運載貨物高3米（即米），此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（已知，．）
【答案】(1)①；②
(2)此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞
【分析】本題考查反比例函數的實際應用；
（1）①過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F， 交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，根據落在第一象限的角平分線上，結合和作輔助線可得多個等腰直角三角形，即可表示出；
②設雙曲線接解析式為，把，代入計算即可；
（2）求出當能恰好通過，則，在雙曲線上，此時設和交于點，過作軸于，過作軸于，由等腰直角三角形求出點，代入得，求出，即此船最高載貨2.8米，得到船身下降的高度，代入計算即可．
【詳解】（1）解：①如圖，過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，過點A作于F， 交軸于P，過點C作軸于Q，則四邊形為矩形，
∴，，
∵點C為，
∴，
∵落在第一象限的角平分線上，
∴A、B關于對稱，即A、B關于第一象限角平分線對稱，，
∴點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∵過點C、D分別作x軸、y軸的平行線交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②設雙曲線接解析式為，
把，代入得
∴
解得，，
∴點A在雙曲線上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設和交于點，過作軸于，過作軸于，則，
若能恰好通過，則，在雙曲線上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴點，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高載貨2.8米
∵，
∴此船不能通過，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
答：此時貨船不能通過該橋洞；要至少增加2噸貨物此貨船能通過該橋洞．
17．某電子科技公司研發出一套學習軟件，并對這套學習軟件在周的銷售時間內，做出了下面的預測：設第x周該軟件的周銷售量為（單位：千套），當時，與成反比；當時，與成正比，并預測得到了如表中對應的數據．
周
千套
設第周銷售該軟件每千套的利潤為（單位：千元），與滿足如圖中的函數關系圖象：
(1)求與的函數關系式；
(2)觀察圖象，當時，與的函數關系式為_______．
(3)第周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為多少？
(4)在這周的銷售時間內，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)元
(4)存在，不變的值為240
【分析】本題考查了一次函數的應用，，正比例與反比例的應用；
（1）通過待定系數法求函數關系式．
（2）觀察圖象，分析函數圖象性質，分段求解．
（3）設第周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為，列出函數關系式，將代入，即可求解；
（4）先求得當時，與的函數關系式為，根據分段表示出的函數關系式，即可求解．
【詳解】（1）解：當時，設，
根據表格中的數據，當時，，
，
解得：，
，
當時，設，
根據表格中的數據，當時，，
，
解得：，
，
即：，
與的函數關系式為；
（2）解：當時，設與的函數關系式為，
將，；，代入，
得：，
解得：，
當時，設與的函數關系式為，
故答案為：；
（3）設第周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為，
當時，
當時，千元
即元
（4）存在，不變的值為，
由函數圖像得：當時，設與的函數關系式為，
將，；，代入，
得：，
解得：，
當時，與的函數關系式為，
當時，；
當時，；
當時，，
綜上所述，在這周的銷售時間內，存在所獲周利潤總額不變的情況，這個不變的值為．
18．
設計貨船通過雙曲線橋的方案
素材 一座曲線橋如圖

展開更多......

收起↑