資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
第01講 二次根式
知識點 1 二次根式的相關概念
1.二次根式
二次根式的定義：一般地，我們把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，a叫做被開方數．
【易錯易混】
1）二次根式的兩個要素（判斷依據）：含有二次根號“”，且根指數為2；被開方數為非負數；
2）二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：，-都是二次根式；
3)二次根式的被開方數a可以是一個數，也可以是一個式子，但都要滿足 ≥0；
4)在具體問題中，如果已知是二次根式，相當于給出了 ≥0.
2.二次根式有意義的條件
1）單個二次根式，如有意義的條件是 ≥0；
2）二次根式作為分母時，如有意義的條件是 >0；
3）二次根式與分式相加，如有意義的條件是 ≥0且b＞0.
知識點 2 二次根式的性質
二次根式的性質
1）式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非負數a的算術平方根（），所以具有雙重非負性；
2），即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身；
3），即一個數平方的算術平方根等于它本身的絕對值.
知識點 3 二次根式的化簡
二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．
，
【易錯易混】
1.在使用 = 時一定要注意
2.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意
知識點 4 二次根式的混合運算
1.二次根式的乘法
乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即：
2.二次根式的除法
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即：
3.最簡二次根式
定義：1）被開方數不含分母；2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，把滿足上述兩個條件的二次根數，叫做最簡二次根式.例：都是最簡二次根式.
最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數或字母，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，即被開方數的因數或因式的指數都為1.
4.二次根式的加減
同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式.
【補充】幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.
二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，先把各個二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合運算
內容：二次根式的混合運算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算.
運算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號要先算括號里面的.
易錯易混
1）結果要化為最簡二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.
知識點 5 分母有理化
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
考點一：二次根式的相關概念
例1．下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【變式1-1】下列式子中，一定是二次根式的為（　　）
A． B． C． D．
【變式1-2】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填寫序號）．
【變式1-3】已知，則以a、b為邊的等腰三角形的底邊長為 ．
【變式1-4】已知、、滿足．
(1)求 、、 的值；
(2)判斷： 以 、、為三角形的三邊長能否構成三角形 若能，判斷這個三角形的形狀；若不能，請說 明理由．
考點二：二次根式有意義的條件
例2．已知a，b為實數，且，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式2-1】已知，則a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-2】已知實數a滿足，那么的值是 ．
【變式2-3】已知，則a的值為 ．
【變式2-4】已知a、b滿足，求的平方根．
考點三：二次根式的化簡
例3．化簡二次根式的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知，則計算 ．
【變式3-3】已知、滿足，則 ．
【變式3-4】我們定義：一個整數能表示成（、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為．所以5是“完美數”．
【解決問題】（1）已知10是“完美數”，請將它寫成（、是整數）的形式_____；
（2）已知（、是整數，是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．
【探究問題】（3）已知，求的值；
（4）已知實數、滿足，求的最值．
【實際應用】（5）已知的三邊長、、滿足，求的周長．
考點四：二次根式的混合運算
例4．化簡計算：
(1)
(2)
【變式4-1】計算：
(1)
(2)
【變式4-2】計算：
(1)；
(2)．
【變式4-3】計算：
(1)；
(2)．
【變式4-4】配方思想，是初中數學重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以簡化數學運算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面問題：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：，，求的值；
(3)已知：，，，求的值．
考點五：最簡二次根式
例5．下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】若與最簡二次根式能合并成一項，則t的值為（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【變式5-2】將根式，，，，中是最簡二次根式的填在橫線上 ．
【變式5-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最簡二次根式的是 （填序號）．
【變式5-4】化簡：
(1)
(2)
(3)
(4)．
考點六：同類二次根式
例6．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】如果最簡二次根式和是同類二次根式，那么a，b的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式6-2】下列二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【變式6-3】最簡二次根式與是同類二次根式，則 ．
【變式6-4】若最簡二次根式與可以合并．
(1)求的值；
(2)對于任意不相等的兩個數，，定義一種運算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．請求※[※（－2）]的值．
考點七：分母有理化
例7．把式子分母有理化過程中，錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式7-1】已知，，，那么，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】對于任意不相等的兩個數，，定義一種運算如下：，如，那么 ．
【變式7-3】閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號．例如：，
（1）將分母有理化可得 ；
（2）關于的方程的解是 ．
【變式7-4】小辰在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：
．
，
．
請你根據小辰的分析過程，解決如下問題：
(1)①化簡___________．
②當時，求的值．
(2)已知，求的值．
考點八：已知字母的值化簡求值
例8．已知，則代數式的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】已知，，則代數式的值為( )
A．9 B．±3 C．3 D．
【變式8-2】已知，，則 ．
【變式8-3】已知，則代數式的值為 ．
【變式8-4】已知，，求代數式的值：
(1)；
(2) ．
考點九：比較二次根式的大小
例9．比較大小：，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，則a，b，c的關系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【變式9-2】比較大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”號）．
【變式9-3】比較大小（填“<”、“大于”或“=”）： ．
【變式9-4】已知，．
(1)比較a，b的大小，并寫出比較過程；
(2)求代數式的值．
考點十：二次根式的應用
例10．如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（ ）
A．4 B． C．9 D．
【變式10-1】高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據研究，高空拋物下落的時間（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風速的影響）．記從高空拋物到落地所需時間為．從高空拋物到落地所需時間為，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
【變式10-2】如圖，將長、寬的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為 ．
【變式10-3】如圖，正方形被分成兩個小正方形和兩個長方形，如果兩小正方形的面積分別是2和5，那么 ， ，兩個長方形的面積和 ．

【變式10-4】我國南宋時期數學家秦九韶，古希臘的幾何學家海倫都給出了三角形面積計算公式，這兩個公式實質相同，我們稱之為“海倫—秦九韶公式”．即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．根據上述知識，解決下列問題．
(1)如圖，中，，，，請利用上述公式求的面積；
(2)在（1）的條件下，作于點D，求，的長．
拓展訓練一：復合二次根式的化簡問題
1．觀察下列各式：
，
，……．請運用以上的方法化簡 ．
2．化簡 ．
3．已知，那么的值等于 ．
4．“分母有理化”是我們常用的一種化簡方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于，設，易知，故．
由，
解得，即．
根據以上方法，求的值．
5．先閱讀下列材料，再解決問題：
閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去一層根號．例如：
．
解決問題：
(1)在橫線和括號內上填上適當的數：
；
(2)根據上述思路，試將予以化簡．
拓展訓練二：二次根式的混合運算綜合
6．化簡 ．
7．已知，則的值為 ．
8．已知，且，則 ．
9．化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，
(1)若，求的值；
(2)比較與的大小，并說明理由．
(3)利用這一規律計算：．
10．材料：如何將雙重二次根式（，，）化簡呢？如能找到兩個數， （，），使得，即，且使，即，那么，，雙重二次根式得以化簡．
例如化簡：，
因為且，
，
由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．
請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
(1)填空：=　　，=　　；
(2)化簡：；
(3)計算：．
拓展訓練三：分母有理化綜合
11．先觀察下列的計算，再完成習題：
；；根據你的猜想、歸納，運用規律計算：的結果為（ ）
A．1 B．2014 C．2013 D．
12．計算： ．
13．定義：不超過實數的最大整數稱為的整數部分，記作，又把稱為的小數部分，記作，則有．如：，，；，，，若且，則
14．在進行二次根式化簡時，我們可以將進一步化簡，如：
===
則 ．
15．在數學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：
已知，求的值，他是這樣解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
請你根據小明的解題過程，解決如下問題：
(1)________；_______；
(2)化簡：；
(3)若，求的值．
拓展訓練四：二次根式的新定義問題
16．定義運算“★”：對于任意實數a，b，都有a★b=．若，則★的值為（ ）
A．0 B． C． D．5
17．定義運算“*”的運算法則為：，其中a，b為非負實數，且，則 ．
18．對于任意兩個不相等的數a，b，定義一種運算※如下：，例如．那么 ．
19．對于任意兩個非零實數a、b，定義運算如下：
如：，．
根據上述定義，解決下列問題：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
20．閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．
如：將分母有理化，解：原式．
運用以上方法解決問題：
已知：，．
(1)化簡m，n；
(2)求的值．
拓展訓練五：二次根式的幾何應用
21．閱讀材料：已知，為非負實數，∵，∴，當且僅當“”時，等號成立，這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應用．
例：已知，求函數的最小值．
解：令，，則由，得．
當且僅當，即時，函數取到最小值，最小值為4．
根據以上材料解答下列問題：
(1)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？
(2)已知，則當_____時，代數式取到最小值，最小值為_____；
(3)已知為任意實數，代數式的值為，求的最大值和最小值．
22．我們已經學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料：
當時：
又
當且僅當時，．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為______，此時______；
(2)若，求y的最小值．
23．現有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所示的方式，在長方形木板①上截出三個面積分別為，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的邊長為___________，B的邊長為___________，C的邊長為___________；
(2)求木板①中剩余部分（陰影部分）的面積；
(3)乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個面積均為的正方形木板，請你判斷能否截出，并說明理由．
24．材料一：我國南宋的數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為a，中斜為b，大斜為c，則三角形的面積為，這個公式稱之為秦九韶公式；
材料二：希臘數學家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為a，b，c，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式．
請解決下列問題：
(1)若一個三角形邊長依次為，求這個三角形的面積．小明利用海倫公式很快就可以求出這個三角形的面積．以下是他的部分求解過程，請你把它補充完整．
解：∵一個三角形邊長依次為，即，，，
∴___________．
根據海倫公式可得：___________．
(2)請你選擇海倫公式或秦九韶公式計算：若一個三角形的三邊長分別是，，，求這個三角形的面積．
25．某班同學們以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數學活動，同學們想到借助曾經閱讀的數學資料進行探究：
材料1．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：（其中a，b，c為三角形的三邊長）．
材料2．古希臘的幾何學家海倫在《度量》一書中，給出了求面積的海倫公式（其中a，b，c為三角形的三邊長，）
請你用適合的公式解決問題．
(1)三角形的三邊長為，，，則面積為 ；
(2)如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
1．如圖所示是某同學寫的推理過程，其中開始錯誤的步驟是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若的小數部分是，則代數式的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．已知，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，、分別是的高線、中線，，，．則長為（ ）
A． B． C． D．1
6．在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
7．已知二次根式的值是正整數，其中n為整數，則n的最小值為 ．
8．設，其中為正整數，則的值為 ．
9．如圖，在中，D、分別是、的中點，已知，，．則的面積為 ．
10．觀察下列各式：①；②；③；④；…，則第7個等式是 ．
11．已知，當分別取，，，……，時，所對應值的總和是 .
12．計算：
(1)；
(2)．
13．定義：已知，都是實數，若，則稱與是關于3的“實驗數”．
(1)4與_____是關于3的“實驗數”，與是關于3的“實驗數”，則是_____，表示的值的點落在數軸上的位置位于_____．
(2)若，判斷與是否是關于3的“實驗數”，并說明理由．
14．先化簡，再求值：，其中，．
15．【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求的值．
他是這樣分析與解答的：
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
請你根據小名的分析過程，解決如下問題：
(1)計算：_________；
(2)已知：，則_______；
(3)計算：________
16．閱讀下面內容：
我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：
當，時，∵
∴，當且僅當時取等號．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為 ；
(2)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？
(3)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？
(4)如圖，四邊形的對角線，相交于點O，的面積分別為4和9，求四邊形的面積的最小值．
17．我校八年級六班的小靜、小智、小慧是同一學習小組里的成員，小靜在計算時出現了一步如下的錯誤：．
在小組合作環節中，小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜對這一錯誤進行分析：
小智的思路：將，兩個式子分別平方后再進行比較；
小慧的思路：以，，為三邊構造一個三角形，再由三角形的三邊的關系判斷與的大小關系．
根據小智與小慧的思路，請解答下列問題：
(1)填空：
∵ ， ，
∴，
∴．
(2)如圖，以，，為三邊構造△ABC．
①請判斷△ABC是什么特殊的三角形，并說明理由；
②根據圖形直接寫出與的大小關系．/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
第01講 二次根式
知識點 1 二次根式的相關概念
1.二次根式
二次根式的定義：一般地，我們把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，a叫做被開方數．
【易錯易混】
1）二次根式的兩個要素（判斷依據）：含有二次根號“”，且根指數為2；被開方數為非負數；
2）二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：，-都是二次根式；
3)二次根式的被開方數a可以是一個數，也可以是一個式子，但都要滿足 ≥0；
4)在具體問題中，如果已知是二次根式，相當于給出了 ≥0.
2.二次根式有意義的條件
1）單個二次根式，如有意義的條件是 ≥0；
2）二次根式作為分母時，如有意義的條件是 >0；
3）二次根式與分式相加，如有意義的條件是 ≥0且b＞0.
知識點 2 二次根式的性質
二次根式的性質
1）式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非負數a的算術平方根（），所以具有雙重非負性；
2），即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身；
3），即一個數平方的算術平方根等于它本身的絕對值.
知識點 3 二次根式的化簡
二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．
，
【易錯易混】
1.在使用 = 時一定要注意
2.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意
知識點 4 二次根式的混合運算
1.二次根式的乘法
乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即：
2.二次根式的除法
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即：
3.最簡二次根式
定義：1）被開方數不含分母；2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，把滿足上述兩個條件的二次根數，叫做最簡二次根式.例：都是最簡二次根式.
最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數或字母，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，即被開方數的因數或因式的指數都為1.
4.二次根式的加減
同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式.
【補充】幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.
二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，先把各個二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合運算
內容：二次根式的混合運算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算.
運算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號要先算括號里面的.
易錯易混
1）結果要化為最簡二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.
知識點 5 分母有理化
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
考點一：二次根式的相關概念
例1．下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】D
【分析】根據二次根式的定義進行解答即可．
【詳解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2個，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握定義，一般地，形如的代數式叫做二次根式．
【變式1-1】下列式子中，一定是二次根式的為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據被開方數為非負數，再列不等式，逐一分析即可．
本題考查了二次根式的定義，掌握被開方數是非負數是關鍵．
【詳解】解：A、不是二次根式，故本選項不符合題意；
B、當時，則它無意義，故本選項不符合題意；
C、由于，所以它符合二次根式的定義，故本選項符合題意；
D、當時，它無意義，故本選項不符合題意；
故選：C．
【變式1-2】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填寫序號）．
【答案】③④⑥
【分析】本題考查了二次根式的識別，形如這樣的式子稱為二次根式，根據這個定義去判斷即可．
【詳解】解：，中被開方數是負數，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式；
故答案為：③④⑥．
【變式1-3】已知，則以a、b為邊的等腰三角形的底邊長為 ．
【答案】3
【分析】由題意得，，可求，由等腰三角形可知，第三條邊為3或6，然后根據三角形三邊關系分情況求解作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得，，
由等腰三角形可知，第三條邊為3或6，
當第三條邊為3時，此時無法構成三角形，舍去；
當第三條邊為6時，此時能構成三角形，則三邊分別為6，6，3，底邊長為3，
綜上所述，以a、b為邊的等腰三角形的底邊長為3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了二次根式的非負性，絕對值的非負性，等腰三角形的定義，三角形三邊關系的應用．熟練掌握二次根式的非負性，絕對值的非負性，等腰三角形的定義，三角形三邊關系的應用是解題的關鍵．
【變式1-4】已知、、滿足．
(1)求 、、 的值；
(2)判斷： 以 、、為三角形的三邊長能否構成三角形 若能，判斷這個三角形的形狀；若不能，請說 明理由．
【答案】(1)，，
(2)以 、、為三角形的三邊長能構成三角形，這個三角形是直角三角形
【分析】（1）根據非負數之和等于零，則每個非負數等于零，分別建立方程求解即可；
（2）用較小兩邊之和與最大邊比較即可判斷能夠構成三角形；然后根據勾股定理的逆定理求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，，，
解得：，，；
（2），，，且，
，
以 、、為三角形的三邊長能構成三角形；
，
這個三角形是直角三角形．
【點睛】本題考查了非負數的性質，二次根式有意義的條件和構成三角形的條件，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是靈活運用相關知識．
考點二：二次根式有意義的條件
例2．已知a，b為實數，且，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了實數的運算、實數的性質、二次根式有意義的條件，根二次根式有意義的條件求得a的值成為解題的關鍵．
根據實數的性質可得，解得：，進而求得，然后代入據此可得求解即可．
【詳解】解：由題意得，，解得：，
∴，
∴．
故選；B．
【變式2-1】已知，則a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次根式的性質、二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，二次根式的性質，二次根式有意義的條件為被開方數為非負數；分式有意義的條件為分母不為0；熟練掌握相關知識點是解題關鍵．根據二次根式的性質及二次根式有意義的條件、分式有意義的條件計算即可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴，即，
∴，
故選：C．
【變式2-2】已知實數a滿足，那么的值是 ．
【答案】2026
【分析】根據二次根式的有意義的條件，化簡絕對值，后計算解答即可．
本題考查了二次根式的被開方數的非負性，絕對值的化簡，有理數的乘方，熟練掌握非負性是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意得，
解得，
，
，
，
，
，
故答案為：2026.
【變式2-3】已知，則a的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、化簡絕對值、算術平方根的應用，由二次根式有意義的條件得出，從而可得，化簡絕對值并整理可得，計算即可得解．
【詳解】解：由題意可得：，
∴，
∴，
∴式子可化為，
整理可得，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式2-4】已知a、b滿足，求的平方根．
【答案】
【分析】此題主要考查了實數的性質以及二次根式的性質，直接利用算術平方根的性質得出a的值，再利用絕對值的性質得出b的值，進而得出答案．
【詳解】解：有意義，
，
則，
解得：，
故，
解得：，
則，
故的平方根為：．
考點三：二次根式的化簡
例3．化簡二次根式的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查二次根式的性質與化簡，先根據二次根式有意義的條件判斷，再利用二次根式的性質化簡可得．
【詳解】解：由知，
則原式，
故選：D．
【變式3-1】實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數軸的定義、絕對值運算、算術平方根、整式的加減，根據數軸的定義判斷出是解題關鍵．
先根據數軸的定義得出，，，，再根據絕對值運算、算術平方根進行化簡，然后計算整式的加減即可得．
【詳解】解：由題意得：，，，
∴ ，，
∴
．
故選：D．
【變式3-2】已知，則計算 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了二次根式的性質，掌握二次根式的非負性成為解題的關鍵．
由可得，，然后根據二次根式的性質化簡即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案為：1．
【變式3-3】已知、滿足，則 ．
【答案】或34
【分析】本題考查二次根式有意義的條件；根據被開方數大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代數式進行計算即可得解．
【詳解】解：依題意，得：，
解得：；
當時，
；
∴；
當時，
；
∴；
∴的值為或34，
故答案為：或34．
【變式3-4】我們定義：一個整數能表示成（、是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為．所以5是“完美數”．
【解決問題】（1）已知10是“完美數”，請將它寫成（、是整數）的形式_____；
（2）已知（、是整數，是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．
【探究問題】（3）已知，求的值；
（4）已知實數、滿足，求的最值．
【實際應用】（5）已知的三邊長、、滿足，求的周長．
【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14
【分析】本題考查了非負數的性質，完全平方公式，二次根式的性質，讀懂題目信息，理解“完美數”的定義并熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
（1）根據“完美數”的定義即可求解；
（2）利用完全平方公式把原式變形，根據“完美數”的定義即可求解；
（3）利用配方法和非負數的性質即可求解；
（4）利用配方法和非負數的性質即可求解；
（5）利用配方法和非負數的性質即可求解．
【詳解】解：（1）∵10是“完美數”
∴；
故答案為：；
（2）
要使S為“完美數”，
則，即．
（3）∵，
∴
∴，
∴， ，
解得， ，
則．
（4），
，
，
，
無論x取何值，，
當時，的值最大，為.
（5），
∴，
，，，
，，，
．
考點四：二次根式的混合運算
例4．化簡計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了實數的混合運算，零指數冪，去絕對值，負整數指數冪，熟練掌握實數的運算法則是解題關鍵．
（1）先根據二次根式的除法法則、乘法法則化簡，再加減即可求解；
（2）根據零指數冪的定義、去絕對值、負整數指數冪化簡，再加減即可求解．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
【變式4-1】計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)4
【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵：
（1）先化簡二次根式，進行二次根式的乘法運算，再合并同類二次根式即可；
（2）先進行平方差公式的計算，化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）原式．
【變式4-2】計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，解決本題的關鍵是把二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式．
（1）首先把二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）把二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式4-3】計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根據二次根式的性質和運算法則計算即可求解；
（）利用平方差公式計算即可；
本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【變式4-4】配方思想，是初中數學重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以簡化數學運算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面問題：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：，，求的值；
(3)已知：，，，求的值．
【答案】(1)23
(2)17
(3)
【分析】本題主要考查完全平方公式的變形以及二次根式的混合運算，正確變形、熟練掌握相關公式是解答本題的關鍵．
（1）運用完全平方公式的變形求解即可；
（2）分別求出的值，再將所要求的式子變形，最后整體代入計算即可；
（3）將變形為，最后整體代入計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：，，
，
，
則
．
（3）解：∵，，
∴．
考點五：最簡二次根式
例5．下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．據此進行判斷即可．
【詳解】A、，被開方數里含有能開得盡方的因數4，故不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
B、符合最簡二次根式的條件，故是最簡二次根式，本選項符合題意；
C、，被開方數里含有分母，故不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
D、，被開方數里含有能開得盡方的因式，故不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
故選：B．
【變式5-1】若與最簡二次根式能合并成一項，則t的值為（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先化簡，再根據與最簡二次根式是同類二次根式建立方程，解方程即可得．
【詳解】解：，
∵與最簡二次根式能合并成一項，
∴與最簡二次根式是同類二次根式，
，
解得，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡、最簡二次根式、同類二次根式，熟練掌握二次根式的化簡是解題關鍵．
【變式5-2】將根式，，，，中是最簡二次根式的填在橫線上 ．
【答案】，
【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，根據最簡二次根式的定義進行求解即可：被開方數不含能開的盡的因數或因式；被開方數的因數是整數，因式是整式．
【詳解】解：和是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
不是最簡二次根式，
故答案為：，．
【變式5-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最簡二次根式的是 （填序號）．
【答案】②③/③②
【分析】本題考查了最簡二次根式及分母有理化，根據最簡二次根式的定義及分母有理化逐一判斷即可求解，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：①，不是最簡二次根式；
②是最簡二次根式；
③是最簡二次根式；
④，不是最簡二次根式；
故答案為：②③．
【變式5-4】化簡：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)156
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據二次根式的乘法計算，即可求解；
（2）根據二次根式的性質化簡，即可求解；
（3）化成最簡二次根式即可求解；
（4）化成最簡二次根式即可求解．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡方法與運用，熟練掌握時，；時，；時，是解題的關鍵．
考點六：同類二次根式
例6．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同類二次根式、二次根式的性質與化簡，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．
把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式，由此判斷即可．
【詳解】解：A：被開方數為，與不是同類二次根式，故此選項不合題意；
B：，與不是同類二次根式，故此選項不合題意；
C：，與是同類二次根式，故此選項符合題意；
D：，與不是同類二次根式，故此選項不合題意．
故選：C ．
【變式6-1】如果最簡二次根式和是同類二次根式，那么a，b的值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查了同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
根據同類二次根式的定義得到，，然后解兩個方程組成的方程組即可．
【詳解】解：根據題意得，，
解得，．
故選：D．
【變式6-2】下列二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】B
【分析】本題考查了同類二次根式的定義．掌握同類二次根式的定義是解答本題的關鍵．
把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式，由此判斷即可．
【詳解】解：A．，，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
B．，，所以與是同類二次根式，故此選項符合題意；
C．，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
D．，，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
故選：B．
【變式6-3】最簡二次根式與是同類二次根式，則 ．
【答案】12
【分析】此題考查了同類二次根式的定義，熟記定義是解題的關鍵．結合同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，進行求解即可．
【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案為：12．
【變式6-4】若最簡二次根式與可以合并．
(1)求的值；
(2)對于任意不相等的兩個數，，定義一種運算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．請求※[※（－2）]的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根據同類二次根式的性質列出等式即可求解a；
（2）代入a的值，根據新定義的運算法則即可求解．
【詳解】（1）∵最簡二次根式與可以合并，
∴，
∴，
（2）當時
．
【點睛】本題考查了同類二次根式的性質、新定義下的實數的運算等式，理解新定義的運算法則是解答本題的關鍵．
考點七：分母有理化
例7．把式子分母有理化過程中，錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本題考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知識，解題關鍵是掌握式子恒等變形的方法，注意分子分母同乘或除以一個不為零的數或式子，原式的值才不變，本題據此依次判斷即可．
【詳解】解：A、將式子的分子分母同乘以，式子的值不變，故該選項正確，不符合題意；
B、將分子因式分解為，與分母約分后得到，故該選項正確，不符合題意；
C、因為有可能為0，所以分子分母同時乘以錯誤，故該選項符合題意；
D、將分子因式分解為，與分母約分后得到，故該選項正確，不符合題意；
故選：C ．
【變式7-1】已知，，，那么，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平方差公式，利用分子有理化比較二次根式的大小，熟練掌握分子有理化的方法是解答本題的關鍵．
利用平方差公式，進行分子有理化，進而比較三個數的大小關系，由此得到答案．
【詳解】解：根據題意得：
，
，
，
，
，
，
故選：．
【變式7-2】對于任意不相等的兩個數，，定義一種運算如下：，如，那么 ．
【答案】
【分析】利用新定義的運算規則將原式轉化為二次根式的運算，然后化簡得出答案即可．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，二次根式的混合運算，利用二次根式的性質化簡，分母有理化等知識點，讀懂題意，熟練掌握新定義的運算規則是解題的關鍵．
【變式7-3】閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號．例如：，
（1）將分母有理化可得 ；
（2）關于的方程的解是 ．
【答案】 /
【分析】本題考查二次根式分母有理化，及其規律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，發現規律，解方程方法，找到有理化分母是解題關鍵．
（1）根據材料進行分母有理化即可．
（2）先分母有理化，再根據式子的規律化簡，解方程即可求解．
【詳解】解：（1），
故答案為：；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式7-4】小辰在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：
．
，
．
請你根據小辰的分析過程，解決如下問題：
(1)①化簡___________．
②當時，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)①；②2；
(2)2025．
【分析】此題考查了二次根式的混合運算，二次根式的分母有理化是關鍵．
（1）①進行分母有理數化即可；②原式變形后整體代入即可；
（2）把二次根式化簡后，進行加減法求出的值，再代入代數式進行求值即可．
【詳解】（1）解：（1）①；
②，
（2）
故
考點八：已知字母的值化簡求值
例8．已知，則代數式的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入計算解題即可．
【詳解】解：
，
故選D．
【點睛】本題考查已知未知數的值，求代數式的值，掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
【變式8-1】已知，，則代數式的值為( )
A．9 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【分析】先把代數式化簡，再把和的值計算出來，最后代值計算即可得到答案；
【詳解】解：=
又∵，
，
∴==，
故選C．
【點睛】本題考查了代數式的求值，直接把m和n代進去算比較難算，解題的關鍵要懂得把代數式化簡，即可簡化過程．
【變式8-2】已知，，則 ．
【答案】10
【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，先根據完全平方公式將原式整理成，再代入求解即可．
【詳解】解：
故答案為：10．
【變式8-3】已知，則代數式的值為 ．
【答案】
【分析】
將已知條件變形得，，再將所求代數式變形為，由此即可求解．
【詳解】解：已知，
∴，即，
等式兩邊同時平方得，，整理得，，即，
∴，
∵
把代入得，
把代入得，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，整式的化簡求出，掌握二次根式的化簡，整式的等量變形，構造為已知條件的形式，代入求值的方法是解題的關鍵．
【變式8-4】已知，，求代數式的值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)16
(2)4
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的運用，注意整體思想的運用；
（1）先分別計算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可；
（2）原式化為，再整體代入即可．
【詳解】（1）解：∵，；
∴；
（2）解：．
考點九：比較二次根式的大小
例9．比較大小：，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查比較二次根式的大小，利用平方法進行比較即可．
【詳解】解：，，，
∵，
∴；
故選D．
【變式9-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，則a，b，c的關系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【答案】D
【分析】利用平方差公式計算a，利用完全平方公式和二次根式的化簡求出b，利用二次根式大小的比較辦法，比較b、c得結論．
【詳解】解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故選：D．
【點睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡、二次根式大小的比較等知識點，利用完全平方公式計算出值，是解決本題的關鍵．
【變式9-2】比較大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”號）．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式比較大小，第一空直接根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小求解即可；第二空兩數平方，平方大的數大；第三空利用作差法求解即可．
【詳解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
，由于，則，
∴
故答案為：；；．
【變式9-3】比較大小（填“<”、“大于”或“=”）： ．
【答案】
【分析】根據二次根式的性質可得，，由此即可得．
【詳解】解：，，且，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的大小比較方法是解題關鍵．
【變式9-4】已知，．
(1)比較a，b的大小，并寫出比較過程；
(2)求代數式的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性質即可比較出大小；
（2）代入和b的值，利用二次根式的混合運算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算的法則是解題的關鍵．
考點十：二次根式的應用
例10．如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為15，重疊部分的面積為1，空白部分的面積為，則較小的正方形面積為（ ）
A．4 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式的應用，觀察圖形得到各個正方形邊長之間的關系是解題的關鍵．根據面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即可求出面積．
【詳解】解：∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，
∴重疊部分也為正方形，
∵空白部分的面積為，
∴一個空白長方形面積為，
∵大正方形面積為15，重疊部分面積為1，
∴大正方形邊長為，重疊部分邊長1，
∴空白部分的長為，
設空白部分寬為x，可得：，解得：，
∴小正方形的邊長=空白部分的寬+重疊部分邊長，
∴小正方形面積，
故選：C．
【變式10-1】高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據研究，高空拋物下落的時間（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風速的影響）．記從高空拋物到落地所需時間為．從高空拋物到落地所需時間為，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】將代入進行計算即可；將代入進行計算，再計算與的比值即可得出結論．
【詳解】當時，（秒；
當時，（秒；
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法．
【變式10-2】如圖，將長、寬的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查圖形的拼接，根據正方形的面積等于長方形的面積進行計算即可．
【詳解】解：∵長方形的長、寬
∴長方形的面積為：，
∵正方形是由這樣的長方形拼接面成的，
∴正方形的面積為，
因此正方形的邊長為，
故答案為：．
【變式10-3】如圖，正方形被分成兩個小正方形和兩個長方形，如果兩小正方形的面積分別是2和5，那么 ， ，兩個長方形的面積和 ．

【答案】 /
【分析】依據正方形的面積公式可求及，再用大正方形的面積減去兩個小正方形的面積即得兩個長方形的面積和．
【詳解】解：由正方形的面積邊長邊長，
∴面積為5的正方形的邊長為，面積為2的正方形的邊長為，
∴，，
∴兩個長方形的面積的和為：
．
故答案為：；；．
【點睛】本題考查了正方形的面積公式的逆運用及二次根式的運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確計算．
【變式10-4】我國南宋時期數學家秦九韶，古希臘的幾何學家海倫都給出了三角形面積計算公式，這兩個公式實質相同，我們稱之為“海倫—秦九韶公式”．即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．根據上述知識，解決下列問題．
(1)如圖，中，，，，請利用上述公式求的面積；
(2)在（1）的條件下，作于點D，求，的長．
【答案】(1)；
(2)，
【分析】本題考查三角形的面積和勾股定理，掌握三角形的面積公式和勾股定理是解題的關鍵．
（1）根據公式先求出，再求出即可；
（2）根據三角形面積公式求出，再根據勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：，
，
的面積是；
（2）解：，即，
，
．
拓展訓練一：復合二次根式的化簡問題
1．觀察下列各式：
，
，……．請運用以上的方法化簡 ．
【答案】/
【分析】本題考查了復合二次根式的化簡，完全平方公式的應用；按照題中提供的方法進行化簡即可．
【詳解】解：
；
故答案為：．
2．化簡 ．
【答案】
【分析】設，將等式的兩邊平方，然后根據完全平方公式和二次根式的性質化簡即可得出結論．
【詳解】解：設，由算術平方根的非負性可得t≥0，
則
．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是二次根式的化簡，掌握完全平方公式和二次根式的性質是解題關鍵．
3．已知，那么的值等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式；將兩邊同時平方，可求的值，將式子化為即可求解；掌握的典型解法是解題的關鍵．
【詳解】解：由得
，
整理得：，
=
=
=．
故答案為：．
4．“分母有理化”是我們常用的一種化簡方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于，設，易知，故．
由，
解得，即．
根據以上方法，求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了化簡復合二次根式，仿照題意設，再把等式兩邊同時平方進行計算求解即可．
【詳解】解：設，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．先閱讀下列材料，再解決問題：
閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質化去一層根號．例如：
．
解決問題：
(1)在橫線和括號內上填上適當的數：
；
(2)根據上述思路，試將予以化簡．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】本題主要考查了復合二次根式化簡：
（1）根據結合完全平方公式得到，據此化簡即可；
（2）根據結合完全平方公式得到，據此化簡即可．
【詳解】（1）解：
；
故答案為：；；；；
（2）解：
．
拓展訓練二：二次根式的混合運算綜合
6．化簡 ．
【答案】
【分析】將原式變形為，再求出，繼而化簡得到．
【詳解】解：設
則
，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則和二次根式的性質．
7．已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】先對已知條件進行化簡，再依次代入所求的式子進行運算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
故答案為：
【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是逐步把代入所求式子進行化簡求值．
8．已知，且，則 ．
【答案】．
【分析】利用題目給的求出，再把它們相乘得到，再對原式進行變形湊出的形式進行計算．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【點睛】本題考查二次根式的運算和乘法公式的應用，解題的關鍵是熟練運用乘法公式對式子進行巧妙運算．
9．化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，
(1)若，求的值；
(2)比較與的大小，并說明理由．
(3)利用這一規律計算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）先化簡，再代入代數式計算即可；
（）利用倒數的關系，先分別化簡、，比較結果的大小，進而可比較與的大小；
（）由題意可得每項可表示為，利用該規律拆項后計算即可求解；
本題考查了二次根式的化簡及化簡求值，二次根式的混合運算，掌握二次根式的化簡是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴原式
，
，
；
（2）解：∵，
，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
∴原式
，
．
10．材料：如何將雙重二次根式（，，）化簡呢？如能找到兩個數， （，），使得，即，且使，即，那么，，雙重二次根式得以化簡．
例如化簡：，
因為且，
，
由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．
請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
(1)填空：=　　，=　　；
(2)化簡：；
(3)計算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解答本題的關鍵．
（1）根據閱讀材料中的二次根式的化簡方法，將配方成，配方成，即得答案；
（2）先將變形為，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先將變形為，再運用（1）的方法化簡 和，最后分兩種情況分別進行化簡，即得答案．
【詳解】（1）因為且，
，
，
故答案為：；
因為且，
，
，
故答案為：；
（2）
因為且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
拓展訓練三：分母有理化綜合
11．先觀察下列的計算，再完成習題：
；；根據你的猜想、歸納，運用規律計算：的結果為（ ）
A．1 B．2014 C．2013 D．
【答案】C
【分析】此題考查了分母有理化，由題意得出規律，再根據得出的規律將原式化簡即可得到結果．
【詳解】解：∵；；，
∴得出規律，
∴
，
故選：C．
12．計算： ．
【答案】9
【分析】本題考查了二次根式的計算，掌握二次根式運算法則以及分母有理化是解題的關鍵．
先分母有理化，然后合并同類二次根式即可．
【詳解】解：原式
．
故答案為：9．
13．定義：不超過實數的最大整數稱為的整數部分，記作，又把稱為的小數部分，記作，則有．如：，，；，，，若且，則
【答案】或
【分析】本題主要考查分母有理化與實數有關的新定義問題，需要注意分類討論思想的運用．先根據分母有理化法則進行化簡，再根據定義即可得出答案．
【詳解】解：，
，
，
當時，，
，
，
，
當時，，
，
，
綜上，的值為或．
故答案為：或．
14．在進行二次根式化簡時，我們可以將進一步化簡，如：
===
則 ．
【答案】
【分析】先讀懂閱讀材料，再模仿材料中的方法解答即可．
【詳解】
解：∵，……
∴
，
故答案為：
【點睛】本題考查的是二次根式的分母有理化，解題的關鍵是類比題目中的方法先化簡各式，再整體運算．
15．在數學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：
已知，求的值，他是這樣解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
請你根據小明的解題過程，解決如下問題：
(1)________；_______；
(2)化簡：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)12
(3)4
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是要掌握二次根式的化簡規則．
（1）利用分母有理化計算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】（1）解：，
故答案為：，；
（2）解：
；
（3）解：
拓展訓練四：二次根式的新定義問題
16．定義運算“★”：對于任意實數a，b，都有a★b=．若，則★的值為（ ）
A．0 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根據被開方數和完全平方式的非負性求得x，y的值，然后根據定義運算列式求解．
【詳解】解：由，得
∴，
解得：x=-2，y=2
由題意可得★=
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式和完全平方式的性質及二次根式的化簡，掌握二次根式和完全平方式的非負性，理解題意正確計算是解題關鍵．
17．定義運算“*”的運算法則為：，其中a，b為非負實數，且，則 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了新定義下的實數的運算，根據，求的算術平方根，即可求解．
【詳解】解：∵
∴
故答案為：．
18．對于任意兩個不相等的數a，b，定義一種運算※如下：，例如．那么 ．
【答案】/
【分析】根據新定義運算進行運算，即可求得．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義運算，二次根式的性質，理解題意，正確進行運算是解決本題的關鍵．
19．對于任意兩個非零實數a、b，定義運算如下：
如：，．
根據上述定義，解決下列問題：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查定義新運算，二次根式的運算，解分式方程：
（1）根據新運算的法則，列出算式進行計算即可；
（2）分和，列出方程進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：，
∵，
∴；
故答案為：，；
（2）當，即：時，則：，解得：，
經檢驗，是原方程的解，
∵，
∴（舍去）；
當，即：時，則：，
∴或（舍去）；
∴．
20．閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．
如：將分母有理化，解：原式．
運用以上方法解決問題：
已知：，．
(1)化簡m，n；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查分母有理化，二次根式的混合運算，掌握分母有理化的方法，是解題的關鍵．
（1）根據分母有理化的方法，進行化簡即可；
（2）根據二次根式的混合運算法則，進行計算即可．
【詳解】（1）解：；
；
（2）原式
．
拓展訓練五：二次根式的幾何應用
21．閱讀材料：已知，為非負實數，∵，∴，當且僅當“”時，等號成立，這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一類最值問題中有著廣泛的應用．
例：已知，求函數的最小值．
解：令，，則由，得．
當且僅當，即時，函數取到最小值，最小值為4．
根據以上材料解答下列問題：
(1)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？
(2)已知，則當_____時，代數式取到最小值，最小值為_____；
(3)已知為任意實數，代數式的值為，求的最大值和最小值．
【答案】(1)這個矩形花園的長、寬均為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長度是40米
(2)4，3
(3)的最小值為，的最大值為
【分析】本題考查了二次根式的應用，利用完全平方公式變形求值，正確理解“均值不等式”是解題的關鍵．
（1）設這個矩形的長為米，籬笆周長為米，則矩形的寬為米，那么得到，再運用“均值不等式”求解；
（2）將變形為，再運用“均值不等式”求解；
（3）當和時，原式變形為，然后對分母運用“均值不等式”即可求解，再討論時代數式的值與和時的比較即可．
【詳解】（1）解：設這個矩形的長為米，籬笆周長為米，
根據題意，用籬笆圍一個面積為的矩形花園，
則矩形的寬為米，
∴，
當且僅當時，取等號，即當時，周長有最小值，最小值為40，
∴這個矩形花園的長、寬均為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長度是40米；
（2）解：∵，
∴，
∴，
當且僅當時，即時，等號成立，
∴最小值為3，
故答案為：4，3；
（3）解：，
當時，，
∵，
∴，
當且僅當時，即時，等號成立，
∴當時，取得最大值為；
當時，，
∴，
∵，
∴
∴，
當且僅當時，即時，等號成立，
∴當時，取得最小值為；
當時，，可知，
綜上：的最小值為，的最大值為．
22．我們已經學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料：
當時：
又
當且僅當時，．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為______，此時______；
(2)若，求y的最小值．
【答案】(1)4，
(2)y的最小值為
【分析】本題考查了二次根式和完全平方公式的應用，讀懂題意，能熟練仿照示例是解題的關鍵．
（1）根據示例，得到，即可求出x的值，得到最小值；
（2）仿照示例，，得到最小值．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
當且僅當時，，
解得，
∴當時，的最小值為4，此時，
故答案為：4，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
當且僅當，即時，的最小值為，
∴y的最小值為．
23．現有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所示的方式，在長方形木板①上截出三個面積分別為，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的邊長為___________，B的邊長為___________，C的邊長為___________；
(2)求木板①中剩余部分（陰影部分）的面積；
(3)乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個面積均為的正方形木板，請你判斷能否截出，并說明理由．
【答案】(1)2，，
(2)陰影部分面積為；
(3)不能截出；理由見解析
【分析】本題主要考查了二次根式混合運算的實際應用，
（1）根據正方形的面積，即可求出邊長；
（2）先求出木板①的邊長，根據長方形面積公式即可求解；
（3）求出兩個面積為的正方形木板的邊長，即可得出所需木板的長和寬，將其與實際木板長和寬進行比較，即可解答．
【詳解】（1）解：∵正方形木板A的面積為，正方形木板B的面積為，正方形木板C的面積為，
∴正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，
故答案為：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，
∴長方形木板①的長為，寬為，
∴陰影部分面積為；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴兩個正方形木板放在一起的寬為，長為．
由（2）可得長方形木板的長為，寬為．
∵，但，
∴不能截出．
24．材料一：我國南宋的數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為a，中斜為b，大斜為c，則三角形的面積為，這個公式稱之為秦九韶公式；
材料二：希臘數學家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為a，b，c，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式．
請解決下列問題：
(1)若一個三角形邊長依次為，求這個三角形的面積．小明利用海倫公式很快就可以求出這個三角形的面積．以下是他的部分求解過程，請你把它補充完整．
解：∵一個三角形邊長依次為，即，，，
∴___________．
根據海倫公式可得：___________．
(2)請你選擇海倫公式或秦九韶公式計算：若一個三角形的三邊長分別是，，，求這個三角形的面積．
【答案】(1)9，
(2)
【分析】本題主要考查三角形面積的計算方法，實數的運算，二次根式的運算，理解材料提示的計算方法，掌握實數的計算，二次根式的運算法則是解題的關鍵．
（1）直接代入求解即可；
（2）根據材料提示，運用二次根式的性質化簡即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
故答案為：，．
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴
．
25．某班同學們以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數學活動，同學們想到借助曾經閱讀的數學資料進行探究：
材料1．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：（其中a，b，c為三角形的三邊長）．
材料2．古希臘的幾何學家海倫在《度量》一書中，給出了求面積的海倫公式（其中a，b，c為三角形的三邊長，）
請你用適合的公式解決問題．
(1)三角形的三邊長為，，，則面積為 ；
(2)如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查二次根式的應用，勾股定理，關鍵是根據三角形的面積公式解答．
（1）根據秦九韶公式即可得到結論；
（2）根據勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的計算解答即可．
【詳解】（1）解：，，，
，
故答案為：；
（2）解：連接，
四邊形中，，，，
，
的面積，
，
的面積，
四邊形的面積為．
1．如圖所示是某同學寫的推理過程，其中開始錯誤的步驟是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式的性質，掌握二次根式的非負性成為解題的關鍵．
直接根據乘方、二次根式的性質逐步分析即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，即③出現錯誤．
故選：C．
2．下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．根據二次根式的性質進行化簡判斷即可．
【詳解】解：A、，故A錯誤；
B、的被開方數為負數，故B錯誤；
C、，故C錯誤；
D、，故D正確；
故選：D．
3．若的小數部分是，則代數式的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本題主要考查了無理數的估算，二次根式的混合運算，
先確定與的小數部分相同，即，再代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴與的小數部分相同，即，
∴．
故選：D．
4．已知，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的非負性是解題的關鍵．
由二次根式的非負性運算出的值，代入中求出的值，再一起代入運算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，解得：，
∴，
∴把代入可得：，
∴，
故選：C．
5．如圖，、分別是的高線、中線，，，．則長為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的中線，高線，直角三角形的性質，勾股定理，先根據三角形高的定義結合，利用直角三角形兩銳角互余，求出，利用直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半得到，再利用勾股定理求出，進而得到，求出，最后利用中線的定義求出，由即可求解．
【詳解】解：∵是的高線，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中線，
∴，
∴．
故選：B．
6．在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題主要考查了求自變量的取值范圍，分式和二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是被開方數大于等于0，二次根式有意義的條件是分母不為0，據此求解即可．
【詳解】解；∵有意義，
∴，
∴且，
故答案為：且．
7．已知二次根式的值是正整數，其中n為整數，則n的最小值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了二次根式的定義，正確計算是解題的關鍵．先化簡二次根式，再根據題意求出的最小值即可．
【詳解】解：，
二次根式的值是正整數，其中為整數，
的最小值為3，
故答案為：3．
8．設，其中為正整數，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數式規律問題，二次根式的性質，有理數的加減混合運算，將分數裂項，再尋找抵消規律是解題關鍵．
先求出、、的值，代入原式，利用二次根式和進行化簡與計算，即可求解．
【詳解】解：，，
……
，
．
故答案為：．
9．如圖，在中，D、分別是、的中點，已知，，．則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，解二元二次方程組．設，，根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方得出，，解方程組可求得、，再利用三角形面積公式結合三角形中線的性質即可求解．
【詳解】解：設，，，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴，
故答案為：．
10．觀察下列各式：①；②；③；④；…，則第7個等式是 ．
【答案】
【分析】本題考查數式規律探究，總結歸納出數式變化規律是解題的關鍵．
通過觀察，歸納總結出規律為，再把代入即可求解．
【詳解】解：第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：，
…
第n個等式∶
當時，．
故答案為：
11．已知，當分別取，，，……，時，所對應值的總和是 .
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值、絕對值運算等知識點，掌握二次根式的化簡方法是解題關鍵．先化簡二次根式求出的表達式，再將的取值依次代入，然后求和即可得．
【詳解】解：，
當時，，
當時，，
則所求的總和為：
故答案為：．
12．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，混合運算；
（1）先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）先計算二次根式的乘法與除法運算，再合并即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
13．定義：已知，都是實數，若，則稱與是關于3的“實驗數”．
(1)4與_____是關于3的“實驗數”，與是關于3的“實驗數”，則是_____，表示的值的點落在數軸上的位置位于_____．
(2)若，判斷與是否是關于3的“實驗數”，并說明理由．
【答案】(1)；；④
(2)是；理由見解析
【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，二次根式的乘除運算和加減運算．掌握本題的關鍵是：①能理解題述1 的“實驗數”的定義，并據此作出計算；②掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．
（1）根據所給的例子，可得出實驗數的求法，由此即可計算4與是關于3的“實驗數”；
（2）根據進行計算，計算與的和，根據所求得結果即可判斷．
【詳解】（1）解：∵，
∴與是關于的“實驗數”；
∵，
∴與是關于的“實驗數”，即；
∵，
∴，
∴表示的值的點落在數軸上的位置位于1和2之間，即位置④；
（2）解：與是關于的“實驗數”．理由如下：
∵，
∴
，
∴與是關于的“實驗數”．
14．先化簡，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化；先根據分式的混合運算進行計算，然后將字母的值代入進行計算即可求解．
【詳解】解：原式
當，時，
原式．
15．【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求的值．
他是這樣分析與解答的：
∵，，
∴，即，
∴，
∴．
請你根據小名的分析過程，解決如下問題：
(1)計算：_________；
(2)已知：，則_______；
(3)計算：________
【答案】(1)
(2)2
(3)9
【分析】本題考查了分母有理化的應用，能正確變形是解此題的關鍵．
（1）根據分母有理化的步驟進行計算即可；
（2）根據題干中的步驟進行計算即可；
（2）結合題干的方法進行分母有理化，再合并即可得結果．
【詳解】（1）；
（2）∵，
∴
∴
∴
∴；
（3）根據題意得，
．
16．閱讀下面內容：
我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：
當，時，∵
∴，當且僅當時取等號．
請利用上述結論解決以下問題：
(1)當時，的最小值為 ；
(2)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？
(3)當時，求當x取何值，有最小值，最小值是多少？
(4)如圖，四邊形的對角線，相交于點O，的面積分別為4和9，求四邊形的面積的最小值．
【答案】(1)2
(2)當時，有最小值，為8
(3)當時，有最小值，為4
(4)25
【分析】本題考查了配方法在二次根式，分式及四邊形面積計算中的應用與拓展，讀懂閱讀材料中的方法并正確運用是解題的關鍵．
（1）當時，直接根據公式計算即可；
（2）將原式的分子分別除以分母，變形為可利用公式計算的形式，計算即可；
（3）將原式變形為，可利用公式計算的形式，計算即可；
（4）設，根據等高三角形的性質得出，結合圖形確定，代入計算，利用題中性質求解即可．
【詳解】（1）解：當時，，
∴的最小值為 2 ；
（2）解：∵，
，
而，
當時，即時，等號成立，
∴，
∴當時，有最小值，為8 ．
（3）解：∵，
，
而，
當時，即時，等號成立，
∴，
∴當時，有最小值，為4．
（4）解：設，
∵與同高，與同高，
，
由題知，
，
，
，
，
，
∴四邊形面積的最小值為 25 ，
故答案為：25 ．
17．我校八年級六班的小靜、小智、小慧是同一學習小組里的成員，小靜在計算時出現了一步如下的錯誤：．
在小組合作環節中，小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜對這一錯誤進行分析：
小智的思路：將，兩個式子分別平方后再進行比較；
小慧的思路：以，，為三邊構造一個三角形，再由三角形的三邊的關系判斷與的大小關系．
根據小智與小慧的思路，請解答下列問題：
(1)填空：
∵ ， ，
∴，
∴．
(2)如圖，以，，為三邊構造△ABC．
①請判斷△ABC是什么特殊的三角形，并說明理由；
②根據圖形直接寫出與的大小關系．
【答案】(1)18， 10
(2)①直角三角形，理由見解析；②
【分析】本題考查了二次根式的應用，掌握二次根式的運算法則和三角形的三邊關系是解題的關鍵．
（1）根據二次根式的混合運算法則進行運算；
（2）①根據勾股定理的逆定理進行判斷；②根據三角形的三邊關系求解．
【詳解】（1）解：∵，
，
故答案為：18，10；
（2）①為直角三角形；理由：
∵，
∴為直角三角形；
②
∴．

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