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廣東省部分學校2023-2024學年高一下學期聯(lián)合教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題
1．（2024高一下·廣東期末）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算
【解析】【解答】解： 復數(shù)滿足，
則，虛部為.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的概念判斷即可.
2．（2024高一下·廣東期末）某高中為增強學生的海洋國防意識，組織本校1000名學生參加了“逐夢深藍，山河榮耀”的國防知識競賽，從中隨機抽取200名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
①頻率分布直方圖中a的值為0.005
②估計這200名學生競賽成績的第60百分位數(shù)為80
③估計這200名學生競賽成績的眾數(shù)為78
④估計總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為150
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知識點】頻率分布直方圖；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【解答】解：①、由頻率分布直方圖各矩形的面積和為1可得：
，解得，故①正確；
②、前三個矩形的面積為，即第60百分位數(shù)為80，故②正確；
③、由圖可知：這200名學生競賽成績的眾數(shù)為，故③錯誤；
④、總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，故④正確.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)逐項分析判斷即可.
3．（2024高一下·廣東期末）若向量，，則在上的投影向量的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；平面向量數(shù)量積的坐標表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由題得：，，
所以在上的投影向量.
故選：B.
【分析】
根據(jù)投影向量的概念求解即可。
4．（2024高一下·廣東期末）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，則的面積為（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知識點】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，即，解得，
是三角形內(nèi)角，或
當時，，；
當時，．
故答案為：C．
【分析】先利用正弦定理可求出，據(jù)此可反推出角，再利用三角形內(nèi)角和定理可求出，利用三角形的面積公式進行計算可求出答案．
5．（2024高一下·廣東期末）如圖正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】臺體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：過作下底面的投影，垂足為，如圖所示：
由正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，
可得上底面對角線長，下底面對角線長，
則，即正四棱臺的高，
則正四棱臺的體積.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)臺體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合臺體的體積公式運算求解即可.
6．（2024高一下·廣東期末）蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內(nèi)，二塔“外貌”幾乎完全一樣（高度相等，二塔根據(jù)位置稱為東塔和西塔）.某測繪小組為了測量蘇州雙塔的實際高度，選取了與塔底，（為東塔塔底，為西塔塔底）在同一水平面內(nèi)的測量基點，并測得米.在點測得東塔頂?shù)难鼋菫椋邳c測得西塔頂?shù)难鼋菫椋遥瑒t蘇州雙塔的高度為（　　）
A．30米 B．33米 C．36米 D．44米
【答案】B
【知識點】解三角形；余弦定理的應用；解三角形的實際應用
【解析】【解答】解：設蘇州雙塔的高度為h米，即米，如圖所示，
因為在中，，且，
所以，
即，
又因為，
所以。
因為，，
所以在中，由余弦定理得：
，
即，
解得.
故選：B
【分析】本題主要考察了余弦定理在解三角形中的應用，設蘇州雙塔的高度為h米，可得，，由題意利用余弦定理求解即可.
7．（2024高一下·廣東期末）某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，隨意撥號（撥過的號碼后面不再重復撥），則撥號不超過三次而接通電話的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：設{第i次撥號接通電話}，，
撥號不超過3次而接通電話可表示為，
則撥號不超過3次而接通電話的概率為
.
故選答案為：B.
【分析】設{第i次撥號接通電話}，，分第一次接通，第一次沒接通第二次接通和第一、第二次沒接通，第三次接通，利用互斥事件和獨立事件的概率求解即可.
8．（2024高一下·廣東期末）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】基本不等式；兩角和與差的正切公式；解三角形
【解析】【解答】解：由，且，可得，
由余弦定理可得，可得，
即，由正弦定理可得，
因為，所以，所以，
，
化簡可得，
且為銳角三角形，則，
則，
即，解得，
所以，當且僅當時等號成立，
則的最大值為.
故答案為：B
【分析】由題意，利用余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結(jié)果.
9．（2024高一下·廣東期末）已知復數(shù)，，則（　　）
A．
B．在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限
C．
D．為純虛數(shù)
【答案】A,B,C
【知識點】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的模；復數(shù)運算的幾何意義
【解析】【解答】解：A.，A正確，
B.，對應的點為，B正確，
C.，故，C正確，
D.，不為純虛數(shù)，D錯誤，
故答案為：ABC
【分析】先利用復數(shù)除法運算：分子和分母同時乘以，通過化簡可求出，據(jù)此可判斷A選項；利用復數(shù)的減法運算可求出，利用復數(shù)的幾何意義可求出其對應點，判斷其對應象限，判斷B選項；先求出，再利用復數(shù)的模長公式進行計算，可判斷C選項；利用復數(shù)的乘法運算先求出，利用純虛數(shù)定義可判斷D選項.
10．（2024高一下·廣東期末）已知事件，且，，則下列說法正確的是（　　）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若與相互獨立，則
D．若與相互獨立，則
【答案】B,C
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 事件，且，，
A、若，則，故A錯誤；
B、若與互斥，則，故B正確；
C、若與相互獨立，則與相互獨立，，故C正確；
D、若與相互獨立，
則，故D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解即可.
11．（2024高一下·廣東期末）如圖，在棱長為4的正方體中，，分別為棱，的中點，點是棱上的一點，則下列說法正確的是（　　）
A．存在點，使得平面
B．二面角的余弦值為
C．三棱錐的內(nèi)切球的體積為
D．的周長的最小值為
【答案】A,C,D
【知識點】球內(nèi)接多面體；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：A、 在棱長為4的正方體中，
當點是棱的中點時，平面，因為在正方形中，
點是棱的中點，點是棱的中點，所以，
在正方體中，平面，又平面，
所以，又，平面，所以平面，
又因為平面，所以，同理可得，
又因為，平面，所以平面，故A正確；
B、取的中點，連接，，，如圖所示：
在中，，，
所以，．
在中，，，
所以，，
所以是二面角的平面角．
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為，故B錯誤；
C、設三棱錐的內(nèi)切球半徑為，
，
又，又
，
解得，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積為，故C正確；
D、將平面沿展開到與平面共面，
此時當，，三點共線時，取得最小值，
所以，又，
所以的周長的最小值為，故D正確．
故答案為：ACD．
【分析】當點是棱的中點時，平面，利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可判斷A；取的中點，可得是二面角的平面角，由余弦定理即可判斷B；設三棱錐的內(nèi)切球半徑為，利用求出即可判斷C；將平面沿展開到與平面共面，此時當，，三點共線時，取得最小值即可判斷D．
12．（2024高一下·廣東期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為　 　．
【答案】
【知識點】解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，即，
解得，則的面積為.
故答案為：.
【分析】利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.
13．（2024高一下·廣東期末）一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白球、1個紅球．先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機取出2個小球，記下顏色計算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”加1分，“2個小球顏色一黃一白”得0分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為　 　．
【答案】
【知識點】古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】解：由題意可得：“兩次得分和為0分”情況分第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”、第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”、兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，
記黃球為，2個白球為、1個紅球為，
一次取2個小球的情況包括：，
共有10種取法，而顏色相同的取法有兩種，
則第一次取2個小球顏色相同的概率為，第二次取2個小球中有紅球的概率為，
第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”的概率為，
第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，
第一次取2個小球中有紅球的概率為，第二次2個小球顏色相同的概率為，
所以第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”的概率為．
兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，
第一次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，
第二次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，
所以兩次均為“2個小球顏色一黃一白”的概率為．
所以兩次先后取2個小球，得分為零分的概率為.
故答案為：.
【分析】分第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，或第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，或兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，三種情況計算即可，分別計算即可.
14．（2024高一下·廣東期末）如圖，所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，下底面邊長為且上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為，則該擬柱體的表面積為　 　.
【答案】
【知識點】組合幾何體的面積、表面積、體積問題
【解析】【解答】解：上底面正六邊形的頂點在下底面上的射影分別為點，如圖所示：
易知，，四邊形為矩形，
點是下底面正六邊形邊的中點，
則，，，
底邊上的高為，則，
即，則該擬柱體上底面面積為，
下底面面積為，
側(cè)面積為，
所以該擬柱體的表面積為.
故答案為：.
【分析】根據(jù)給定條件，求出該擬柱體的上底面邊長，上底面正六邊形的邊為底邊的等腰三角形底邊上的高，再依次求出面積即可.
15．（2024高一下·廣東期末）在五一假期中，某校組織全校學生開展了社會實踐活動，抽樣調(diào)查了其中的100名學生，統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實踐活動的時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.
（1）求的值并估計該學校學生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；
（2）試估計至少參加多少小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
（3）根據(jù)社會實踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學生.從這5名學生中，任選3人，求這3名學生成績各不相同的概率.
【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得：，解得，
因為小時，
所以該學校學生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為20.32小時；
（2）解：時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格，
由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，
所以60百分位數(shù)位于18~22之間，
設60百分位數(shù)為，則，解得小時.
故至少參加21.73小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀；
（3）解：根據(jù)分層抽樣可知：優(yōu)秀生有人，
良好生人，
合格生有人，
優(yōu)秀記為，良好記為，合格記為，
從這5名學生中，任選3人， 總共有，10種情況，
其中符合條件的有，共4種，
故概率為.
【知識點】分層抽樣方法；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各矩形面積和為1列方程，求出，利用平均數(shù)的定義進行計算即可；
（2）即求60百分位數(shù)，先得到60百分位數(shù)位于18~22之間，設出60百分位數(shù)為，從而得到方程，求解即可；
（3）按照分層抽樣的概念得到優(yōu)秀，良好，及格的人數(shù)，并列舉結(jié)合古典概型概率公式求概率即可.
（1）由，解得，
因為小時，
所以該學校學生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為20.32小時.
（2）時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格，
由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，
所以60百分位數(shù)位于18~22之間，
設60百分位數(shù)為，則，解得小時.
故至少參加21.73小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.
（3）易知，5名學生中，
優(yōu)秀有人，設為，
良好有人，設為，
合格有人，設為.
任選3人，總共有，10種情況，
其中符合的有，共4種，
故概率為.
16．（2024高一下·廣東期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長
【答案】（1）解：，
由正弦定理可得，
即，
即
因為，所以，所以，則；
（2）解：若，的面積為， 則，得，
由余弦定理，可得，
則，解得，
故的周長為．
【知識點】兩角和與差的正弦公式；解三角形；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和誘導公式求角即可；
（2）由三角形面積公式和角，可求的值，再結(jié)合余弦定理可求，即可得三角形的周長.
（1）由
又得
其中
化簡得
又得.
即
因為是三角形的內(nèi)角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長為．
17．（2024高一下·廣東期末）如圖，在直角梯形中，，，，，，邊上一點滿足，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明：平面圖形中，連接，如圖所示：
因為，，所以，則，
又因為，所以四邊形為平行四邊形，
在Rt中，由勾股定理得，且，
因為，，所以為等邊三角形，
四邊形為菱形，為等邊三角形，
取中點，連接，如圖所示：
則，
連接，，，滿足，則，
又因為，平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，平面，平面，所以，
作于，連接，
因為，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以，所以為二面角的平面角，
在直角中，，，可得，
，故二面角的余弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為菱形，，為等邊三角形，從而得到，由勾股定理逆定理得到，證明線面垂直，再由面面垂直的判定定理證明即可；
（2）作出輔助線，得到為二面角的平面角，根據(jù)邊長求余弦值即可.
（1）平面圖形中，連接，因為，，
所以，故，又，
所以四邊形為平行四邊形，
Rt中，由勾股定理得，且，
因為，，
所以為等邊三角形，四邊形為菱形，為等邊三角形，
取中點，連接，則，
連接，，又，
故，即，
又，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）由（1）知，平面，平面，所以，
作于，連接，
因為，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以為二面角的平面角.
在直角中，，，可得，
，故二面角的余弦值為.
18．（2024高一下·廣東期末）平面四邊形中，，，，．
（1）求；
（2）求四邊形周長的取值范圍；
（3）若為邊上一點，且滿足，，求的面積．
【答案】（1）解： 在平面四邊形中，，，則，
在中，由余弦定理
；
（2）解：在中，由余弦定理，
可得，
，，當且僅當時取等號，
，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長的取值范圍為；
（3）解：因為，所以，又，
所以，，又，所以，
在中，由余弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得，
又因為，所以，所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，所以，
故.
【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）由題意，先求出，再由余弦定理計算即可；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，求出的范圍，求出四邊形周長的取值范圍；
（3）依題意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算即可.
（1）因為，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，當且僅當時取等號，
又，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長的取值范圍為；
（3）因為，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
19．（2024高一下·廣東期末）為了增添學習生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．
（1）求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；
（2）求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率．
【答案】（1）解：由題意：若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，
故甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
（2）解：若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）對總次數(shù)分三種情況討論，結(jié)合相互獨立事件的概率公式計算即可；
（2）分甲贏得比賽與乙贏得比賽兩類討論，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算即可.
（1）若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
（2）若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
1 / 1廣東省部分學校2023-2024學年高一下學期聯(lián)合教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題
1．（2024高一下·廣東期末）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·廣東期末）某高中為增強學生的海洋國防意識，組織本校1000名學生參加了“逐夢深藍，山河榮耀”的國防知識競賽，從中隨機抽取200名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
①頻率分布直方圖中a的值為0.005
②估計這200名學生競賽成績的第60百分位數(shù)為80
③估計這200名學生競賽成績的眾數(shù)為78
④估計總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為150
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
3．（2024高一下·廣東期末）若向量，，則在上的投影向量的坐標是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·廣東期末）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，則的面積為（　　）
A． B． C．或 D．
5．（2024高一下·廣東期末）如圖正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·廣東期末）蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內(nèi)，二塔“外貌”幾乎完全一樣（高度相等，二塔根據(jù)位置稱為東塔和西塔）.某測繪小組為了測量蘇州雙塔的實際高度，選取了與塔底，（為東塔塔底，為西塔塔底）在同一水平面內(nèi)的測量基點，并測得米.在點測得東塔頂?shù)难鼋菫椋邳c測得西塔頂?shù)难鼋菫椋遥瑒t蘇州雙塔的高度為（　　）
A．30米 B．33米 C．36米 D．44米
7．（2024高一下·廣東期末）某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，隨意撥號（撥過的號碼后面不再重復撥），則撥號不超過三次而接通電話的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·廣東期末）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·廣東期末）已知復數(shù)，，則（　　）
A．
B．在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限
C．
D．為純虛數(shù)
10．（2024高一下·廣東期末）已知事件，且，，則下列說法正確的是（　　）
A．若，則
B．若與互斥，則
C．若與相互獨立，則
D．若與相互獨立，則
11．（2024高一下·廣東期末）如圖，在棱長為4的正方體中，，分別為棱，的中點，點是棱上的一點，則下列說法正確的是（　　）
A．存在點，使得平面
B．二面角的余弦值為
C．三棱錐的內(nèi)切球的體積為
D．的周長的最小值為
12．（2024高一下·廣東期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為　 　．
13．（2024高一下·廣東期末）一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白球、1個紅球．先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機取出2個小球，記下顏色計算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”加1分，“2個小球顏色一黃一白”得0分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為　 　．
14．（2024高一下·廣東期末）如圖，所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，下底面邊長為且上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為，則該擬柱體的表面積為　 　.
15．（2024高一下·廣東期末）在五一假期中，某校組織全校學生開展了社會實踐活動，抽樣調(diào)查了其中的100名學生，統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實踐活動的時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.
（1）求的值并估計該學校學生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；
（2）試估計至少參加多少小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
（3）根據(jù)社會實踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學生.從這5名學生中，任選3人，求這3名學生成績各不相同的概率.
16．（2024高一下·廣東期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長
17．（2024高一下·廣東期末）如圖，在直角梯形中，，，，，，邊上一點滿足，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．（2024高一下·廣東期末）平面四邊形中，，，，．
（1）求；
（2）求四邊形周長的取值范圍；
（3）若為邊上一點，且滿足，，求的面積．
19．（2024高一下·廣東期末）為了增添學習生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．
（1）求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；
（2）求比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算
【解析】【解答】解： 復數(shù)滿足，
則，虛部為.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的概念判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】頻率分布直方圖；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【解答】解：①、由頻率分布直方圖各矩形的面積和為1可得：
，解得，故①正確；
②、前三個矩形的面積為，即第60百分位數(shù)為80，故②正確；
③、由圖可知：這200名學生競賽成績的眾數(shù)為，故③錯誤；
④、總體中成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為，故④正確.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)逐項分析判斷即可.
3．【答案】B
【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；平面向量數(shù)量積的坐標表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由題得：，，
所以在上的投影向量.
故選：B.
【分析】
根據(jù)投影向量的概念求解即可。
4．【答案】C
【知識點】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，即，解得，
是三角形內(nèi)角，或
當時，，；
當時，．
故答案為：C．
【分析】先利用正弦定理可求出，據(jù)此可反推出角，再利用三角形內(nèi)角和定理可求出，利用三角形的面積公式進行計算可求出答案．
5．【答案】B
【知識點】臺體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：過作下底面的投影，垂足為，如圖所示：
由正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，
可得上底面對角線長，下底面對角線長，
則，即正四棱臺的高，
則正四棱臺的體積.
故答案為：B.
【分析】根據(jù)臺體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合臺體的體積公式運算求解即可.
6．【答案】B
【知識點】解三角形；余弦定理的應用；解三角形的實際應用
【解析】【解答】解：設蘇州雙塔的高度為h米，即米，如圖所示，
因為在中，，且，
所以，
即，
又因為，
所以。
因為，，
所以在中，由余弦定理得：
，
即，
解得.
故選：B
【分析】本題主要考察了余弦定理在解三角形中的應用，設蘇州雙塔的高度為h米，可得，，由題意利用余弦定理求解即可.
7．【答案】B
【知識點】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：設{第i次撥號接通電話}，，
撥號不超過3次而接通電話可表示為，
則撥號不超過3次而接通電話的概率為
.
故選答案為：B.
【分析】設{第i次撥號接通電話}，，分第一次接通，第一次沒接通第二次接通和第一、第二次沒接通，第三次接通，利用互斥事件和獨立事件的概率求解即可.
8．【答案】B
【知識點】基本不等式；兩角和與差的正切公式；解三角形
【解析】【解答】解：由，且，可得，
由余弦定理可得，可得，
即，由正弦定理可得，
因為，所以，所以，
，
化簡可得，
且為銳角三角形，則，
則，
即，解得，
所以，當且僅當時等號成立，
則的最大值為.
故答案為：B
【分析】由題意，利用余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結(jié)果.
9．【答案】A,B,C
【知識點】復數(shù)的基本概念；復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的模；復數(shù)運算的幾何意義
【解析】【解答】解：A.，A正確，
B.，對應的點為，B正確，
C.，故，C正確，
D.，不為純虛數(shù)，D錯誤，
故答案為：ABC
【分析】先利用復數(shù)除法運算：分子和分母同時乘以，通過化簡可求出，據(jù)此可判斷A選項；利用復數(shù)的減法運算可求出，利用復數(shù)的幾何意義可求出其對應點，判斷其對應象限，判斷B選項；先求出，再利用復數(shù)的模長公式進行計算，可判斷C選項；利用復數(shù)的乘法運算先求出，利用純虛數(shù)定義可判斷D選項.
10．【答案】B,C
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 事件，且，，
A、若，則，故A錯誤；
B、若與互斥，則，故B正確；
C、若與相互獨立，則與相互獨立，，故C正確；
D、若與相互獨立，
則，故D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知識點】球內(nèi)接多面體；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：A、 在棱長為4的正方體中，
當點是棱的中點時，平面，因為在正方形中，
點是棱的中點，點是棱的中點，所以，
在正方體中，平面，又平面，
所以，又，平面，所以平面，
又因為平面，所以，同理可得，
又因為，平面，所以平面，故A正確；
B、取的中點，連接，，，如圖所示：
在中，，，
所以，．
在中，，，
所以，，
所以是二面角的平面角．
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為，故B錯誤；
C、設三棱錐的內(nèi)切球半徑為，
，
又，又
，
解得，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積為，故C正確；
D、將平面沿展開到與平面共面，
此時當，，三點共線時，取得最小值，
所以，又，
所以的周長的最小值為，故D正確．
故答案為：ACD．
【分析】當點是棱的中點時，平面，利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可判斷A；取的中點，可得是二面角的平面角，由余弦定理即可判斷B；設三棱錐的內(nèi)切球半徑為，利用求出即可判斷C；將平面沿展開到與平面共面，此時當，，三點共線時，取得最小值即可判斷D．
12．【答案】
【知識點】解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，即，
解得，則的面積為.
故答案為：.
【分析】利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.
13．【答案】
【知識點】古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】解：由題意可得：“兩次得分和為0分”情況分第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”、第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”、兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，
記黃球為，2個白球為、1個紅球為，
一次取2個小球的情況包括：，
共有10種取法，而顏色相同的取法有兩種，
則第一次取2個小球顏色相同的概率為，第二次取2個小球中有紅球的概率為，
第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”的概率為，
第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，
第一次取2個小球中有紅球的概率為，第二次2個小球顏色相同的概率為，
所以第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”的概率為．
兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，
第一次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，
第二次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，
所以兩次均為“2個小球顏色一黃一白”的概率為．
所以兩次先后取2個小球，得分為零分的概率為.
故答案為：.
【分析】分第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，或第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，或兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，三種情況計算即可，分別計算即可.
14．【答案】
【知識點】組合幾何體的面積、表面積、體積問題
【解析】【解答】解：上底面正六邊形的頂點在下底面上的射影分別為點，如圖所示：
易知，，四邊形為矩形，
點是下底面正六邊形邊的中點，
則，，，
底邊上的高為，則，
即，則該擬柱體上底面面積為，
下底面面積為，
側(cè)面積為，
所以該擬柱體的表面積為.
故答案為：.
【分析】根據(jù)給定條件，求出該擬柱體的上底面邊長，上底面正六邊形的邊為底邊的等腰三角形底邊上的高，再依次求出面積即可.
15．【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積和為1可得：，解得，
因為小時，
所以該學校學生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為20.32小時；
（2）解：時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格，
由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，
所以60百分位數(shù)位于18~22之間，
設60百分位數(shù)為，則，解得小時.
故至少參加21.73小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀；
（3）解：根據(jù)分層抽樣可知：優(yōu)秀生有人，
良好生人，
合格生有人，
優(yōu)秀記為，良好記為，合格記為，
從這5名學生中，任選3人， 總共有，10種情況，
其中符合條件的有，共4種，
故概率為.
【知識點】分層抽樣方法；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式；用樣本估計總體的百分位數(shù)
【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各矩形面積和為1列方程，求出，利用平均數(shù)的定義進行計算即可；
（2）即求60百分位數(shù)，先得到60百分位數(shù)位于18~22之間，設出60百分位數(shù)為，從而得到方程，求解即可；
（3）按照分層抽樣的概念得到優(yōu)秀，良好，及格的人數(shù)，并列舉結(jié)合古典概型概率公式求概率即可.
（1）由，解得，
因為小時，
所以該學校學生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為20.32小時.
（2）時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格，
由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，
所以60百分位數(shù)位于18~22之間，
設60百分位數(shù)為，則，解得小時.
故至少參加21.73小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.
（3）易知，5名學生中，
優(yōu)秀有人，設為，
良好有人，設為，
合格有人，設為.
任選3人，總共有，10種情況，
其中符合的有，共4種，
故概率為.
16．【答案】（1）解：，
由正弦定理可得，
即，
即
因為，所以，所以，則；
（2）解：若，的面積為， 則，得，
由余弦定理，可得，
則，解得，
故的周長為．
【知識點】兩角和與差的正弦公式；解三角形；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和誘導公式求角即可；
（2）由三角形面積公式和角，可求的值，再結(jié)合余弦定理可求，即可得三角形的周長.
（1）由
又得
其中
化簡得
又得.
即
因為是三角形的內(nèi)角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長為．
17．【答案】（1）證明：平面圖形中，連接，如圖所示：
因為，，所以，則，
又因為，所以四邊形為平行四邊形，
在Rt中，由勾股定理得，且，
因為，，所以為等邊三角形，
四邊形為菱形，為等邊三角形，
取中點，連接，如圖所示：
則，
連接，，，滿足，則，
又因為，平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，平面，平面，所以，
作于，連接，
因為，且，平面，所以平面，
又因為平面，所以，所以為二面角的平面角，
在直角中，，，可得，
，故二面角的余弦值為.
【知識點】直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為菱形，，為等邊三角形，從而得到，由勾股定理逆定理得到，證明線面垂直，再由面面垂直的判定定理證明即可；
（2）作出輔助線，得到為二面角的平面角，根據(jù)邊長求余弦值即可.
（1）平面圖形中，連接，因為，，
所以，故，又，
所以四邊形為平行四邊形，
Rt中，由勾股定理得，且，
因為，，
所以為等邊三角形，四邊形為菱形，為等邊三角形，
取中點，連接，則，
連接，，又，
故，即，
又，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）由（1）知，平面，平面，所以，
作于，連接，
因為，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以為二面角的平面角.
在直角中，，，可得，
，故二面角的余弦值為.
18．【答案】（1）解： 在平面四邊形中，，，則，
在中，由余弦定理
；
（2）解：在中，由余弦定理，
可得，
，，當且僅當時取等號，
，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長的取值范圍為；
（3）解：因為，所以，又，
所以，，又，所以，
在中，由余弦定理，可得，
在中，由余弦定理，可得，
又因為，所以，所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，所以，
故.
【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；解三角形；余弦定理；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）由題意，先求出，再由余弦定理計算即可；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，求出的范圍，求出四邊形周長的取值范圍；
（3）依題意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算即可.
（1）因為，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，當且僅當時取等號，
又，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長的取值范圍為；
（3）因為，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
19．【答案】（1）解：由題意：若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，
故甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
（2）解：若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
【知識點】互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）對總次數(shù)分三種情況討論，結(jié)合相互獨立事件的概率公式計算即可；
（2）分甲贏得比賽與乙贏得比賽兩類討論，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算即可.
（1）若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
記甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時且乙獲勝為事件，則，
所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率為；
（2）若比賽結(jié)束時甲贏得比賽且甲恰好投了2次籃，則甲連續(xù)投中次，則概率；
若比賽結(jié)束時乙贏得比賽，又甲恰好投了2次籃，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，則；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
則；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
則；
綜上可得比賽結(jié)束時，甲恰好投了2次籃的概率.
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