資源簡介

數學試卷
考生注意：本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．所有試題均在答題卡上作答，否則無效．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項．
1．（ ）
A． B． C． D．3
2．根據國家統計局的數據，2024年中國生產芯片約451420000000顆，彰顯了中國芯片產業的強大實力．數據451420000000用科學記數法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖1，三根木條a，b，c相交成，，固定木條b，c，將木條a繞點A順時針轉動至如圖2所示，使木條a與木條b平行，則可將木條a旋轉（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
5．關于x的一元二次方程有兩個實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，一個多邊形紙片的內角和為，按圖示的剪法剪去一個內角后，所得新多邊形的邊數為（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
7．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，，連接BD，若，則的度數為（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
8．習近平總書記致首屆全民閱讀大會舉辦的賀信指出：閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發，樹立崇高理想，涵養浩然之氣．中華民族自古提倡閱讀，講究格物致知、誠意正心，傳承中華民族生生不息的精神，塑造中國人民自信自強的品格．如圖是某網站連續多年對其用戶書籍閱讀量的統計圖，下列結論錯誤的是（ ）
A．2022年，人均紙質書籍閱讀量為5本
B．2023年，人均電子書籍閱讀量為11本
C．2024年，人均電子書籍閱讀量是人均紙質書籍閱讀量的3倍
D．2016年至2024年，人均電子書籍閱讀量逐年上升
9．如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OM，噴頭M向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度與水平距離之間的關系式是，則水流噴出的最大高度是（ ）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
10．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，點D為邊AB的中點．動點P從點A出發，沿邊AC→CB方向勻速運動，運動到點B時停止．設點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到CB的中點時，PD的長為（ ）
A．2 B．2．5 C． D．4
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．
11．因式分解：_______．
12．方程的解是_______．
13．已知點，在反比例函數的圖象上，如果，那么_______（請寫出一個符合條件的k值）．
14．如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點處，與AD相交于點E，此時恰為等邊三角形．若，則_______．
15．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．風箏古稱紙鳶，起源于春秋戰國時期，風箏制作技藝已被列入國家非物質文化遺產名錄．為豐富校園生活，某校開展風箏制作活動，小言和哥哥制作了一大一小兩個形狀相同的風箏，風箏的形狀如圖所示，其中對角線．已知大、小風箏的對應邊之比為，如果小風箏兩條對角線的長分別為30cm和35cm，那么大風箏兩條對角線長的和為________cm．
16．勾股樹是一個可以無限生長的樹形圖形，它既展示了數學中的精確與秩序，還蘊含了自然界的生長與繁衍之美．如圖是勾股樹及它的形成過程，其中第1個圖形是正方形，第2個圖形是以這個正方形的邊長為斜邊在其外部構造一個直角三角形，再以這個直角三角形的兩條直角邊為邊長，分別向外生成兩個新的正方形，重復上述步驟得到第3個圖形，……，則第5個圖形中共有_______個正方形．
三、解答題：本大題共6小題，共46分．解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（6分）計算：．
18．（6分）解不等式組：
19．（6分）化簡：．
20．（8分）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術典籍之一．如圖2是古人根據《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設計圖，月洞門呈圓弧形，用表示，點O是所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高．現在我們也可以用尺規作圖的方法作出月洞門的設計圖．如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a．作法如下：
①作線段AB的垂直平分線MN，垂足為D；
②在射線DM上截取；
③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O；
④以點O為圓心，OC的長為半徑作．
則就是所要作的圓弧．
請你依據以上步驟，用尺規作圖的方法在圖3中作出月洞門的設計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．
21．（10分）如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤被等分成3個扇形，分別涂有“紅、白、藍”三種顏色，轉盤指針固定．轉動轉盤、等轉盤停止轉動后，觀察指針所落區域的顏色．若指針落在區域分界線上，則重新轉動轉盤．
（1）任意轉動轉盤一次，指針落在紅色區域的概率為_______；
（2）任意轉動轉盤兩次（第一次轉動轉盤，等轉盤停止轉動后，再第二次轉動轉盤），用畫樹狀圖或列表的方法求指針所落區域顏色不同的概率．
22．（10分）如圖1，位于嘉峪關的長城第一墩，又稱天下第一墩，是明代萬里長城最西端的一座墩臺，始建于明嘉靖十八年（1539年）．該墩臺雄踞于討賴河峽谷的懸崖之上，扼守絲綢之路咽喉要道，與嘉峪關關城、懸壁長城共同構成河西走廊的軍事防御體系．隨著歲月的變遷和自然的風化，長城第一墩的高度在慢慢降低．為了解長城第一墩的現存高度，某校同學們開展了“測量長城第一墩高度”的綜合實踐活動．如圖2是他們測量長城第一墩高度AB的示意圖，點A為最高點，點B，F，D是地面同一直線上的三個點（點D，F都在保護柵欄外），在D，F處分別用測角儀測得．，，其中（測角儀的高度），，求長城第一墩的高度AB（結果精確到0.1m）．（參考數據：，，，，，）
四、解答題：本大題共5小題，共50分．解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
23．（8分）某校要從甲、乙兩位射擊隊員中挑選一人參加比賽．在最近10次的選拔賽中，他們的射擊成績（單位：環）信息如下：
信息一：甲、乙隊員的射擊成績
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙隊員射擊成績的部分統計量
隊員 平均數 中位數 眾數 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根據以上信息，回答下列問題：
（1）寫出表中m，n的值：_______，_______；
（2）_______隊員在射擊選拔賽中發揮的更穩定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜認為甲、乙兩人射擊成績的平均數一樣，推薦哪位隊員參賽都可以．你認為他說的對嗎？請說明理由（寫出一條合理的理由即可）．
24．（10分）如圖，一次函數的圖象交x軸于點A，交反比例函數的圖象于點．．將一次函數的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交x軸于點C．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）當的面積為3時，求m的值．
25．（10分）如圖，四邊形ABCO的頂點A，B，C在⊙O上，，直徑BE與弦AC相交于點F、點D是EB延長線上的一點．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若四邊形ABCO是平行四邊形，．求CD的長．
26．（10分）四邊形ABCD是正方形，點E是邊AD上一動點（點D除外），是直角三角形，，點G在CD的延長線上．
（1）如圖1，當點E與點A重合，且點F在邊BC上時，寫出BF和DG的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，當點E與點A不重合，且點F在正方形ABCD內部時，FE的延長線與BA的延長線交于點P，如果，寫出AE和DG的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BF，寫出BF和DG的數量關系，并說明理由．
27．（12分）如圖1，拋物線分別與x軸，y軸交于A，兩點，M為OA的中點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）連接AB，過點M作OA的垂線，交AB于點C，交拋物線于點D，連接BD，求的面積；
（3）點E為線段AB上一動點（點A除外），將線段OE繞點O順時針旋轉得到OF．
①當時，請在圖2中畫出線段OF后，求點F的坐標，并判斷點F是否在拋物線上，說明理由；
②如圖3，點P是第四象限的一動點，，連接PF，當點E運動時，求PF的最小值．
武威市2025年初中學業水平考試
數學試題參考答案及評分標準
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B A C C B A
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11． 12． 13．1（答案不唯一，寫出一個正數即可）
14．12 15．195 16．31
三、解答題：本大題共6小題，共32分．解答時，應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．（解法合理、答案正確均可得分）
17．解：原式
．
18．解：解不等式組：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
不等式組的解集為．
19．解：原式
．
20．解：
如圖即為月洞門的設計圖．（四個步驟中，每完成一步得1．5分）
21．解：（1）；
（2）列表：
第二次 第一次 紅 白 藍
紅 （紅，紅） （紅，白） （紅，藍）
白 （白，紅） （白，白） （白，藍）
藍 （藍，紅） （藍，白） （藍，藍）
共有9種等可能結果，顏色不同的結果有6種，
．
22．解：設AG長為xm，由題意得，
在中，．
在中，．
，
25．（1）證明：如圖1，連接AE，可得，
，．
，．
BE是⊙O的直徑，
，即．
，
，即．
OC為⊙O的半徑，CD是⊙O的切線．
（用三角形內角和定理和等腰三角形的性質等方法證明，過程正確均可得分．）
（2）解：如圖2，四邊形ABCO是平行四邊形，．
又，
，．
，是菱形
．
為等邊三角形，．
在中，．．
26．解：（1）．理由如下：
四邊形ABCD是正方形，，
．
，點E與點A重合，，
，．
（2）．理由如下：
四邊形ABCD是正方形，，
．
是直角三角形，
，，
，即．
（3）①如圖2，畫出線段OF，連接BF，
，即，
，，
，，
過點F作于點Q，
，，
點．
當時，．
點在拋物線上．
②如圖3，連接BF并延長交x軸于點G（若點E與點B重合，則點F與點G重合），
過點M作，垂足為H，連接PM，MF．
由①，同理可得，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，．
，M為OA的中點，．
要PF的值最小，只需的值最小，
，
當時，取得最小值，此最小值為MH的值，
，，
PF的最小值為．

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