資源簡介

山東省淄博市2023-2024學年高一下學期期末教學質量檢測數學試題
1．（2024高一下·淄博期末）已知復數，則的實部為（　　）
A．2 B． C．5 D．
2．（2024高一下·淄博期末）已知一組數據2，3，4，1，5，則其上四分位數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高一下·淄博期末）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·淄博期末）向量在向量上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·淄博期末）若，則（　　）
A． B．0 C．1 D．
6．（2024高一下·淄博期末）如圖，在矩形中，，，為上一點，．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·淄博期末）已知梯形按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現將梯形繞 轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的側面積為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·淄博期末）已知函數在上有且僅有個零點，直線為函數圖象的一條對稱軸，則（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·淄博期末）下列說法正確的是（　　）
A．用簡單隨機抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體甲被抽到的概率是0.2
B．已知一組數據的平均數為4，則的值為5
C．數據27，12，14，30，15，17，19，23的中位數是17
D．若樣本數據的標準差為8，則數據的標準差為16
10．（2024高一下·淄博期末）如圖，在四邊形中，，點滿足，是的中點.設，，則下列等式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·淄博期末）已知函數，則（　　）
A．的最小正周期是
B．的圖象關于點中心對稱
C．是偶函數
D．在上恰有4個零點
12．（2024高一下·淄博期末）平行四邊形中，交于，則等于　 　．
13．（2024高一下·淄博期末）如圖，在正方體中，分別為和的中點，則下列說法正確的序號有　 　.
①，，，四點共面；②平面；③與所成角為.
14．（2024高一下·淄博期末） 已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為　 　.
15．（2024高一下·淄博期末）設兩個向量滿足，
（1）求方向的單位向量；
（2）若向量與向量反向，求實數的值．
16．（2024高一下·淄博期末）如圖，在三棱柱中，，點是的中點.
（1）求證：平面；
（2）若側面為菱形，求證：平面.
17．（2024高一下·淄博期末）在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
18．（2024高一下·淄博期末）如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面，二面角的大小為．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．
19．（2024高一下·淄博期末）從某小區抽100戶居民進行月用電量調查，發現他們的月用電量（單位：度）都在內，進行適當分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）請結合頻率分布直方圖，估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數；
（3）抽取的100戶居民月用電量落在內的用戶月用電量的方差為1600，所有這100戶的月用電量的平均數為188度，方差為5200，且小區月用電量落在內的用戶數的頻率恰好與頻率分布直方圖中的數據相同，估計本小區月用電量在內的用戶月用電量的標準差．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算
【解析】【解答】解：因為，
所以的實部為.
故答案為：D.
【分析】先利用復數的乘除法運算法則化簡復數z，再利用復數的實部的定義，從而得出復數z的實部.
2．【答案】D
【知識點】用樣本估計總體的百分位數
【解析】【解答】解：因為數據從小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位數即為分位數，
又因為，
則第4個數即4為上四分位數.
故答案為：D .
【分析】從小到大排序后結合百分位數求解公式，從而得出這組數據的上四分位數.
3．【答案】C
【知識點】正弦定理的應用
【解析】【解答】解：由和正弦定理，
可得，
因為，
所以.
故答案為：C.
【分析】根據已知條件和正弦定理，從而得出角A的正弦值.
4．【答案】C
【知識點】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因為向量在向量上的投影向量為.
故答案為：C.
【分析】利用已知條件和數量積求投影向量的方法，進而得出向量在向量上的投影向量.
5．【答案】B
【知識點】二倍角的余弦公式；三角函數誘導公式二~六
【解析】【解答】解：因為，
所以，
所以.
故答案為：B.
【分析】由已知條件結合誘導公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式求出的值.
6．【答案】C
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量數量積的坐標表示
【解析】【解答】解：由題意建立如圖所示直角坐標系，
因為，，
則，，，
所以，，
設，因為，
所以，解得，
因為，
所以，
所以，解得，
則．
故答案為：．
【分析】利用已知條件建立平面直角坐標系，設，利用數量積的坐標表示和，從而得出a的值，再由和向量的坐標運算，從而建立方程組求解得出的值，進而得出的值．
7．【答案】C
【知識點】斜二測畫法直觀圖；圓柱/圓錐/圓臺的表面積及應用
【解析】【解答】解：根據斜二測畫法可知：梯形的原圖為直角梯形，如圖所示：
其中，，
將梯形繞 轉一周得到一個幾何體為圓臺，
圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，母線長為5，
則該幾何體的側面積為.
故答案為：C.
【分析】根據斜二測畫法可知：梯形的原圖為直角梯形，確定相關的邊長，結合題意以及圓臺的側面積公式求解即可.
8．【答案】A
【知識點】正弦函數的性質；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質
【解析】【解答】解：當時，，
因為函數在上有且僅有個零點，
所以，解得，
又因為直線為函數圖象的一條對稱軸，
所以，解得，
當時，，
則.
故答案為：A.
【分析】以為整體，由題意結合零點可得，再由對稱性可得，求得函數解析式，再求即可.
9．【答案】A,D
【知識點】簡單隨機抽樣；眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：A、 由簡單隨機抽樣可知：某個個體被抽到的概率為 ，故A正確；
B、數據1，2，，6，7的平均數是4，則，故B錯誤；
C、數據從小到大排列為12，14，15，17，19，23，27，30，中位數為，故C錯誤；
D、方差為，則，
即數據的標準差為16，故D正確.
故答案為：AD.
【分析】利用概率即可判斷A；根據平均數求得m的值即可判斷B；根據中位數的求法即可判斷C；利用方差性質即可判斷D.
10．【答案】B,C
【知識點】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：對于A，因為，故A錯誤；
對于B，因為，故B正確；
對于C，因為故C正確；
對于D，由選項B知：，故D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】根據已知條件和平面向量基本定理，從而找出等式正確的選項.
11．【答案】A,B,D
【知識點】含三角函數的復合函數的周期；輔助角公式；含三角函數的復合函數的對稱性；含三角函數的復合函數的奇偶性
【解析】【解答】解：.
對于A，因為的最小正周期是，所以A正確；
對于B，因為，
所以的圖像關于點中心對稱，所以B正確；
對于C，因為，
令，
則，
所以不是偶函數，所以C錯誤；
對于D，由，得，
所以或，
得或，
因為，
所以，，，，
所以在上恰有4個零點，所以D正確.
故答案為：ABD.
【分析】先利用三角函數恒等變換公式對函數化簡變形，從而得出，再由正弦型函數的最小正周期公式、換元法結合正弦函數對稱性判斷正弦型函數的對稱性的方法、偶函數定義，零點存在性定理，從而逐項判斷找出正確的選項.
12．【答案】
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量的數量積運算
【解析】【解答】解：如圖所示：
則
.
故答案為：.
【分析】將都用基底表示，再利用數量積運算律得出的值.
13．【答案】②③
【知識點】異面直線所成的角；直線與平面平行的判定；共面向量定理
【解析】【解答】解：對于①：在平面中，平面，平面，
又因為，則為異面直線，
因此，，，四點不共面，故①錯；
對于②：連結，如圖：
在正方體中，，
又因為，則四邊形為平行四邊形，所以，
因為分別為的中點，
所以，，
又因為平面，平面，
故平面，故②對；
對于③：在正方體中，連結，
因為分別為和的中點，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以
因為，
所以為正三角形，
所以與成角60°，
則與所成角為，故④對.
故答案為：②③.
【分析】用異面直線判定定理判斷①；利用線面平行的判定定理判斷②；利用為正三角形可得與所成角，從而求出與所成角，則判斷出③，從而找出說法正確的序號.
14．【答案】
【知識點】棱臺的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積
【解析】【解答】解：作出正四棱臺的軸截面，如圖所示：
設上底面邊長為，則下底面邊長為，
則，，
故，
在中，，則由射影定理，可得，解得，
則棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，
故該正四棱臺的體積為：.
故答案為：.
【分析】由題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱臺的體積公式計算即可.
15．【答案】（1）解：因為，
所以，
因為方向的單位向量為，
所以，
所以方向的單位向量為.
（2）解：解法1：
設，則，
則，所以，則.
解法2：
因為，
由向量平行關系，令，得，
由向量反向，得.
【知識點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
【解析】【分析】（1）先計算出向量的坐標，再結合向量的模的坐標表示得出向量的模，再結合單位向量坐標求解方法，從而得出向量方向的單位向量.
（2）利用兩種方法求解.
解法一：根據向量與向量反向結合向量共線定理，從而得出實數t的值.
解法二：利用已知條件和向量的坐標運算和向量共線反向的坐標表示，從而得出實數t的值.
（1）由已知，所以，
由方向的單位向量為，所以
即方向的單位向量為；
（2）解法1：
設，即，
則，得，得
解法2：
，
由平行，令，得，
由反向，.
16．【答案】（1）證明：連接交于，連接，
由為三棱柱，
則為平行四邊形，
所以是中點，
又因為是的中點，
所以，在△中，面，面，
所以平面.
（2）證明：由，
因為，面，
所以面，
又因為面，則，
由側面為菱形，故，
又因為，面，
故平面.
【知識點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）連接交于，連接，再利用中位線定理得出，再根據線面平行的判定定理證出平面.
（2）利用線面垂直的判定得出直線面，再根據線面垂直的性質定理、菱形的性質，從而可得、，由線面垂直的判定定理證出平面..
（1）連接交于，連接，
由為三棱柱，則為平行四邊形，
所以是中點，又是的中點，
故在△中，面，面，
所以平面.
（2）由，而，面，
所以面，又面，則，
由側面為菱形，故，
又，面，故平面.
17．【答案】（1）因為，
由正弦定理可得，
而，
則
即，
因為，所以，因為，所以.
（2）由余弦定理得，
因為，，
所以，所以，
因為，所以，，
所以的面積為.
【知識點】兩角和與差的正弦公式；解三角形；正弦定理的應用；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可進行邊角互化，再根據三角恒等變換計算即可；
（2）根據余弦定理計算邊，再代入面積公式計算即可.
（1）因為中，，
由正弦定理可得，
得，
因為，所以，因為，所以.
（2）由余弦定理得，
因為，，所以，所以，
因為，所以，，
所以的面積為.
18．【答案】（1）證明：連接為中點，
，
四邊形為平行四邊形，
，
在中，，
又平面平面，
平面，平面，
又因為平面，
平面，
又平面
所以，平面平面.
（2）解：由平面平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
故為二面角的平面角，
在中，作，垂足為，
由（1）知，平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
則直線為直線在平面上的射影，
所以為直線與平面所成的角，
四邊形為平行四邊形，，
在中，，
.
（3）解：在三棱錐中，平面，
為三棱錐底面上的高，
又，
，
在三棱錐中，設到平面的距離為，
，
，
又.
【知識點】平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算
【解析】【分析】（1） 根據面面垂直判定定理證明即可 ；
（2）先由線線垂直、線面垂直的推導關系得出為二面角的平面角，再結合（1）知平面平面，從而得出平面，則直線為直線在平面上的射影，
從而得出為直線與平面所成的角，解三角形可得；
（3）利用三棱錐中，平面，從而得出PA為三棱錐底面上的高，再利用三角形的面積公式和三棱錐的體積公式以及等體積法，從而得出點到平面的距離．
（1）連接為中點，
，
四邊形為平行四邊形，
，在中，
又平面平面，
平面，平面，
又平面，平面，
又平面平面平面.
（2）由平面平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
故為二面角的平面角，
在中，作，垂足為，
由（1）知，平面平面，平面平面平面，
所以平面，則直線為直線在平面上的射影，
所以為直線與平面所成的角，
四邊形為平行四邊形，，
在中，，
.
（3）在三棱錐中，平面，
為三棱錐底面上的高，
又，
，
在三棱錐中，設到平面的距離為，
，
，
又.
19．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖，
可得，
所以．
（2）解：因為月用電量落在
內的用戶數分別為：
，
所以估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數為：
（度）.
（3）解：由（2）知月用電量落在的戶數為60，
用戶的月用電量的平均數為140，
則月用電量落在內的戶數為，
設前60戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
后40戶的月用電量分別為，
平均數為，方差為，
全部100戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
所以，所以，
則，得；
則，得，
所以
，
所以，
所以月用電量在區間內的用戶的月用電量的標準差為．
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差；概率的基本性質
【解析】【分析】（1）根據已知條件和頻率分布直方圖中各小組的矩形面積等于各小組的頻率，再結合頻率和為1，從而求出x的值.
（2）利用頻率分布直方圖求平均數公式，從而估計出本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數.
（3）先由已知條件分別求出平均數和方差，再根據方差公式估計出本小區月用電量在內的用戶月用電量的標準差.
（1）由頻率分布直方圖，可得，
所以．
（2）月用電量落在內的用戶數分別為：
，
所以估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數為：
（度）
（3）由（2）知月用電量落在的戶數為60，用戶的月用電量的平均數為140，則月用電量落在內的戶數為，
設前60戶的月用電量分別為，平均數，方差，
后40戶的月用電量分別為，平均數為，方差為，
全部100戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
所以，所以．
，得，
，得，
所以
，
所以．
所以月用電量在區間內的用戶的月用電量的標準差為．
1 / 1山東省淄博市2023-2024學年高一下學期期末教學質量檢測數學試題
1．（2024高一下·淄博期末）已知復數，則的實部為（　　）
A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【知識點】復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算
【解析】【解答】解：因為，
所以的實部為.
故答案為：D.
【分析】先利用復數的乘除法運算法則化簡復數z，再利用復數的實部的定義，從而得出復數z的實部.
2．（2024高一下·淄博期末）已知一組數據2，3，4，1，5，則其上四分位數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知識點】用樣本估計總體的百分位數
【解析】【解答】解：因為數據從小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位數即為分位數，
又因為，
則第4個數即4為上四分位數.
故答案為：D .
【分析】從小到大排序后結合百分位數求解公式，從而得出這組數據的上四分位數.
3．（2024高一下·淄博期末）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】正弦定理的應用
【解析】【解答】解：由和正弦定理，
可得，
因為，
所以.
故答案為：C.
【分析】根據已知條件和正弦定理，從而得出角A的正弦值.
4．（2024高一下·淄博期末）向量在向量上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因為向量在向量上的投影向量為.
故答案為：C.
【分析】利用已知條件和數量積求投影向量的方法，進而得出向量在向量上的投影向量.
5．（2024高一下·淄博期末）若，則（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【知識點】二倍角的余弦公式；三角函數誘導公式二~六
【解析】【解答】解：因為，
所以，
所以.
故答案為：B.
【分析】由已知條件結合誘導公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式求出的值.
6．（2024高一下·淄博期末）如圖，在矩形中，，，為上一點，．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量數量積的坐標表示
【解析】【解答】解：由題意建立如圖所示直角坐標系，
因為，，
則，，，
所以，，
設，因為，
所以，解得，
因為，
所以，
所以，解得，
則．
故答案為：．
【分析】利用已知條件建立平面直角坐標系，設，利用數量積的坐標表示和，從而得出a的值，再由和向量的坐標運算，從而建立方程組求解得出的值，進而得出的值．
7．（2024高一下·淄博期末）已知梯形按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現將梯形繞 轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的側面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】斜二測畫法直觀圖；圓柱/圓錐/圓臺的表面積及應用
【解析】【解答】解：根據斜二測畫法可知：梯形的原圖為直角梯形，如圖所示：
其中，，
將梯形繞 轉一周得到一個幾何體為圓臺，
圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為4，高為4，母線長為5，
則該幾何體的側面積為.
故答案為：C.
【分析】根據斜二測畫法可知：梯形的原圖為直角梯形，確定相關的邊長，結合題意以及圓臺的側面積公式求解即可.
8．（2024高一下·淄博期末）已知函數在上有且僅有個零點，直線為函數圖象的一條對稱軸，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】正弦函數的性質；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質
【解析】【解答】解：當時，，
因為函數在上有且僅有個零點，
所以，解得，
又因為直線為函數圖象的一條對稱軸，
所以，解得，
當時，，
則.
故答案為：A.
【分析】以為整體，由題意結合零點可得，再由對稱性可得，求得函數解析式，再求即可.
9．（2024高一下·淄博期末）下列說法正確的是（　　）
A．用簡單隨機抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體甲被抽到的概率是0.2
B．已知一組數據的平均數為4，則的值為5
C．數據27，12，14，30，15，17，19，23的中位數是17
D．若樣本數據的標準差為8，則數據的標準差為16
【答案】A,D
【知識點】簡單隨機抽樣；眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：A、 由簡單隨機抽樣可知：某個個體被抽到的概率為 ，故A正確；
B、數據1，2，，6，7的平均數是4，則，故B錯誤；
C、數據從小到大排列為12，14，15，17，19，23，27，30，中位數為，故C錯誤；
D、方差為，則，
即數據的標準差為16，故D正確.
故答案為：AD.
【分析】利用概率即可判斷A；根據平均數求得m的值即可判斷B；根據中位數的求法即可判斷C；利用方差性質即可判斷D.
10．（2024高一下·淄博期末）如圖，在四邊形中，，點滿足，是的中點.設，，則下列等式正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知識點】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：對于A，因為，故A錯誤；
對于B，因為，故B正確；
對于C，因為故C正確；
對于D，由選項B知：，故D錯誤.
故答案為：BC.
【分析】根據已知條件和平面向量基本定理，從而找出等式正確的選項.
11．（2024高一下·淄博期末）已知函數，則（　　）
A．的最小正周期是
B．的圖象關于點中心對稱
C．是偶函數
D．在上恰有4個零點
【答案】A,B,D
【知識點】含三角函數的復合函數的周期；輔助角公式；含三角函數的復合函數的對稱性；含三角函數的復合函數的奇偶性
【解析】【解答】解：.
對于A，因為的最小正周期是，所以A正確；
對于B，因為，
所以的圖像關于點中心對稱，所以B正確；
對于C，因為，
令，
則，
所以不是偶函數，所以C錯誤；
對于D，由，得，
所以或，
得或，
因為，
所以，，，，
所以在上恰有4個零點，所以D正確.
故答案為：ABD.
【分析】先利用三角函數恒等變換公式對函數化簡變形，從而得出，再由正弦型函數的最小正周期公式、換元法結合正弦函數對稱性判斷正弦型函數的對稱性的方法、偶函數定義，零點存在性定理，從而逐項判斷找出正確的選項.
12．（2024高一下·淄博期末）平行四邊形中，交于，則等于　 　．
【答案】
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量的數量積運算
【解析】【解答】解：如圖所示：
則
.
故答案為：.
【分析】將都用基底表示，再利用數量積運算律得出的值.
13．（2024高一下·淄博期末）如圖，在正方體中，分別為和的中點，則下列說法正確的序號有　 　.
①，，，四點共面；②平面；③與所成角為.
【答案】②③
【知識點】異面直線所成的角；直線與平面平行的判定；共面向量定理
【解析】【解答】解：對于①：在平面中，平面，平面，
又因為，則為異面直線，
因此，，，四點不共面，故①錯；
對于②：連結，如圖：
在正方體中，，
又因為，則四邊形為平行四邊形，所以，
因為分別為的中點，
所以，，
又因為平面，平面，
故平面，故②對；
對于③：在正方體中，連結，
因為分別為和的中點，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以
因為，
所以為正三角形，
所以與成角60°，
則與所成角為，故④對.
故答案為：②③.
【分析】用異面直線判定定理判斷①；利用線面平行的判定定理判斷②；利用為正三角形可得與所成角，從而求出與所成角，則判斷出③，從而找出說法正確的序號.
14．（2024高一下·淄博期末） 已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為　 　.
【答案】
【知識點】棱臺的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積
【解析】【解答】解：作出正四棱臺的軸截面，如圖所示：
設上底面邊長為，則下底面邊長為，
則，，
故，
在中，，則由射影定理，可得，解得，
則棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，
故該正四棱臺的體積為：.
故答案為：.
【分析】由題意作出棱臺的軸截面，利用切線長定理和射影定理求出上下底面邊長，代入棱臺的體積公式計算即可.
15．（2024高一下·淄博期末）設兩個向量滿足，
（1）求方向的單位向量；
（2）若向量與向量反向，求實數的值．
【答案】（1）解：因為，
所以，
因為方向的單位向量為，
所以，
所以方向的單位向量為.
（2）解：解法1：
設，則，
則，所以，則.
解法2：
因為，
由向量平行關系，令，得，
由向量反向，得.
【知識點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
【解析】【分析】（1）先計算出向量的坐標，再結合向量的模的坐標表示得出向量的模，再結合單位向量坐標求解方法，從而得出向量方向的單位向量.
（2）利用兩種方法求解.
解法一：根據向量與向量反向結合向量共線定理，從而得出實數t的值.
解法二：利用已知條件和向量的坐標運算和向量共線反向的坐標表示，從而得出實數t的值.
（1）由已知，所以，
由方向的單位向量為，所以
即方向的單位向量為；
（2）解法1：
設，即，
則，得，得
解法2：
，
由平行，令，得，
由反向，.
16．（2024高一下·淄博期末）如圖，在三棱柱中，，點是的中點.
（1）求證：平面；
（2）若側面為菱形，求證：平面.
【答案】（1）證明：連接交于，連接，
由為三棱柱，
則為平行四邊形，
所以是中點，
又因為是的中點，
所以，在△中，面，面，
所以平面.
（2）證明：由，
因為，面，
所以面，
又因為面，則，
由側面為菱形，故，
又因為，面，
故平面.
【知識點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）連接交于，連接，再利用中位線定理得出，再根據線面平行的判定定理證出平面.
（2）利用線面垂直的判定得出直線面，再根據線面垂直的性質定理、菱形的性質，從而可得、，由線面垂直的判定定理證出平面..
（1）連接交于，連接，
由為三棱柱，則為平行四邊形，
所以是中點，又是的中點，
故在△中，面，面，
所以平面.
（2）由，而，面，
所以面，又面，則，
由側面為菱形，故，
又，面，故平面.
17．（2024高一下·淄博期末）在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）因為，
由正弦定理可得，
而，
則
即，
因為，所以，因為，所以.
（2）由余弦定理得，
因為，，
所以，所以，
因為，所以，，
所以的面積為.
【知識點】兩角和與差的正弦公式；解三角形；正弦定理的應用；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可進行邊角互化，再根據三角恒等變換計算即可；
（2）根據余弦定理計算邊，再代入面積公式計算即可.
（1）因為中，，
由正弦定理可得，
得，
因為，所以，因為，所以.
（2）由余弦定理得，
因為，，所以，所以，
因為，所以，，
所以的面積為.
18．（2024高一下·淄博期末）如圖，在四棱錐中，，為棱的中點，平面，二面角的大小為．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．
【答案】（1）證明：連接為中點，
，
四邊形為平行四邊形，
，
在中，，
又平面平面，
平面，平面，
又因為平面，
平面，
又平面
所以，平面平面.
（2）解：由平面平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
故為二面角的平面角，
在中，作，垂足為，
由（1）知，平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
則直線為直線在平面上的射影，
所以為直線與平面所成的角，
四邊形為平行四邊形，，
在中，，
.
（3）解：在三棱錐中，平面，
為三棱錐底面上的高，
又，
，
在三棱錐中，設到平面的距離為，
，
，
又.
【知識點】平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算
【解析】【分析】（1） 根據面面垂直判定定理證明即可 ；
（2）先由線線垂直、線面垂直的推導關系得出為二面角的平面角，再結合（1）知平面平面，從而得出平面，則直線為直線在平面上的射影，
從而得出為直線與平面所成的角，解三角形可得；
（3）利用三棱錐中，平面，從而得出PA為三棱錐底面上的高，再利用三角形的面積公式和三棱錐的體積公式以及等體積法，從而得出點到平面的距離．
（1）連接為中點，
，
四邊形為平行四邊形，
，在中，
又平面平面，
平面，平面，
又平面，平面，
又平面平面平面.
（2）由平面平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
故為二面角的平面角，
在中，作，垂足為，
由（1）知，平面平面，平面平面平面，
所以平面，則直線為直線在平面上的射影，
所以為直線與平面所成的角，
四邊形為平行四邊形，，
在中，，
.
（3）在三棱錐中，平面，
為三棱錐底面上的高，
又，
，
在三棱錐中，設到平面的距離為，
，
，
又.
19．（2024高一下·淄博期末）從某小區抽100戶居民進行月用電量調查，發現他們的月用電量（單位：度）都在內，進行適當分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）請結合頻率分布直方圖，估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數；
（3）抽取的100戶居民月用電量落在內的用戶月用電量的方差為1600，所有這100戶的月用電量的平均數為188度，方差為5200，且小區月用電量落在內的用戶數的頻率恰好與頻率分布直方圖中的數據相同，估計本小區月用電量在內的用戶月用電量的標準差．
【答案】（1）解：由頻率分布直方圖，
可得，
所以．
（2）解：因為月用電量落在
內的用戶數分別為：
，
所以估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數為：
（度）.
（3）解：由（2）知月用電量落在的戶數為60，
用戶的月用電量的平均數為140，
則月用電量落在內的戶數為，
設前60戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
后40戶的月用電量分別為，
平均數為，方差為，
全部100戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
所以，所以，
則，得；
則，得，
所以
，
所以，
所以月用電量在區間內的用戶的月用電量的標準差為．
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差；概率的基本性質
【解析】【分析】（1）根據已知條件和頻率分布直方圖中各小組的矩形面積等于各小組的頻率，再結合頻率和為1，從而求出x的值.
（2）利用頻率分布直方圖求平均數公式，從而估計出本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數.
（3）先由已知條件分別求出平均數和方差，再根據方差公式估計出本小區月用電量在內的用戶月用電量的標準差.
（1）由頻率分布直方圖，可得，
所以．
（2）月用電量落在內的用戶數分別為：
，
所以估計本小區月用電量落在內的用戶月用電量的平均數為：
（度）
（3）由（2）知月用電量落在的戶數為60，用戶的月用電量的平均數為140，則月用電量落在內的戶數為，
設前60戶的月用電量分別為，平均數，方差，
后40戶的月用電量分別為，平均數為，方差為，
全部100戶的月用電量分別為，
平均數，方差，
所以，所以．
，得，
，得，
所以
，
所以．
所以月用電量在區間內的用戶的月用電量的標準差為．
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