資源簡介

湖南省瀏陽市2023-2024學年高一下學期期末質量監測數學試卷
1．（2024高一下·瀏陽期末）已知向量，若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·瀏陽期末）復數在復平面內對應的點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·瀏陽期末）邊長為的正三角形的直觀圖的面積是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·瀏陽期末）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·瀏陽期末）下列說法正確的是（　　）
①已知為三條直線，若異面，異面，則異面；
②若a不平行于平面，且，則內的所有直線與a異面；
③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；
④若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則，三點共線．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6．（2024高一下·瀏陽期末）已知某樣本的容量為50，平均數為70，方差為75.現發現在收集這些數據時，其中的兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·瀏陽期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，，則的最小值為（　　）
A． B． C．4 D．2
8．（2024高一下·瀏陽期末）某工業園區有、、共3個廠區，其中，，，現計劃在工業園區內選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·瀏陽期末）給定一組數5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（　　）
A．平均數為3 B．標準差為
C．眾數為2 D．85%分位數為5
10．（2024高一下·瀏陽期末）有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件：為偶數，：為偶數，C：，則（　　）
A． B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
11．（2024高一下·瀏陽期末）正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規律的立體結構），是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體的棱長都是2（如圖），則（　　）
A．平面
B．直線與平面所成的角為60°
C．若點為棱上的動點，則的最小值為
D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值
12．（2024高一下·瀏陽期末）如圖，某學校共有教師200人，按老年教師、中年教師、青年教師的比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數為　 　 .
13．（2024高一下·瀏陽期末）拋兩枚質地均勻的骰子，向上的點數分別為x，y，則x，y，3能夠構成三角形三邊長的概率為　 　.
14．（2024高一下·瀏陽期末）在中，點分別在邊和邊上，且交于點，設.用表示為　 　；若為上一動點且，則的最小值為　 　.
15．（2024高一下·瀏陽期末）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.
16．（2024高一下·瀏陽期末）在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（2）表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求“”的事件概率．
17．（2024高一下·瀏陽期末）為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節約用水.計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.
（1）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數（每組數據用該組區間中點值作為代表）；
（2）設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數；
（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值.
18．（2024高一下·瀏陽期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，平面，且是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的正切值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
19．（2024高一下·瀏陽期末）任意一個復數的代數形式都可寫成復數三角形式，即，其中為虛數單位，.棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗（1667~1754）創立.設兩個復數用三角函數形式表示為：，則：.如果令，則能導出復數乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.
（1）試將寫成三角形式；
（2）試應用復數乘方公式推導三倍角公式：；
（3）計算：的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】平面向量垂直的坐標表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因為，可得，解得.
故答案為：A.
【分析】根據題意結合向量垂直的坐標表示，從而列出方程得出實數m的值.
2．【答案】D
【知識點】復數在復平面中的表示；復數代數形式的乘除運算
【解析】【解答】解：，在復平面內對應的點為，位于第四象限.
故答案為：D.
【分析】根據復數代數形式的除法運算求，再結合復數的幾何意義判斷即可.
3．【答案】A
【知識點】斜二測畫法直觀圖
【解析】【解答】解：易知正三角形的面積為：，
則直觀圖的面積為：.
故答案為：A.
【分析】先求正三角形的面積，再由直觀圖和原圖的面積比為求直觀圖的面積即可.
4．【答案】C
【知識點】旋轉體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結構特征；球的表面積與體積公式及應用
【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為，因為圓錐的高為3，所以圓錐母線長，
又因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，所以，即，
即，解得，則，
故球的表面積為.
故答案為：C.
【分析】設出圓錐的底面半徑，結合圓錐底面半徑、母線及高的關系與側面面積計算即可得其母線長，再結合球的表面積計算公式計算即可.
5．【答案】B
【知識點】平面的基本性質及推論；異面直線的判定
【解析】【解答】解：①、直線異面，異面，則可能平行、相交或異面，故①錯誤；
②、易知a與相交，設，在內過點P的直線l與a共面，故②錯誤；
③、兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內，故③正確；
④、設平面平面，因為平面，所以，
同理，故三點共線，故④正確.
故答案為：B．
【分析】利用空間中直線、平面的位置關系逐項判斷即可.
6．【答案】A
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：由題意可知： 更正后樣本的均值為，
設收集的個準確數據分別記為，
則
，
，所以．
故答案為：A．
【分析】根據平均數、方差公式計算即可.
7．【答案】A
【知識點】基本不等式；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：點是的重心，則，
因為，所以，
又因為三點共線，所以，
則
當且僅當，即時等號成立，
則的最小值為.
故答案為：A.
【分析】利用重心的性質結合平面向量共線定理得到，再利用基本不等式求最值即可.
8．【答案】B
【知識點】簡單的三角恒等變換；正弦定理的應用；余弦定理的應用
【解析】【解答】解：法一：設，，
則，，
在中，由正弦定理，
則，所以，
在中，
（其中），
所以，當時，
所以最小值為．
法二：如圖，因為，
所以點在如圖所示的圓上，
則圓的直徑為，
由圓周角的性質可得，
所以，．
連接，可得（當為與圓的交點時取等號），
在中，，，，
根據余弦定理可知，
即，所以的最小值為．
故答案為：B.
【分析】設，，利用正弦定理得到，在中利用余弦定理得到，再由三角恒等變換公式和三角函數的性質，從而求出，進而得出的最小值.
9．【答案】A,D
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【解答】解：由平均數的計算公式，可得，所以A正確；
由方程的公式，可得，
所以標準差為，所以B錯誤；
由眾數的定義，可得數據的眾數為2和3，所以C錯誤；
將數據從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位數為5，所以D正確.
故答案為：AD.
【分析】根據平均數、方差、眾數和百分位數的概念與計算方法，逐項判定，從而找出正確的選項.
10．【答案】A,C,D
【知識點】相互獨立事件；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由題意，可得，故A正確；
B、，，
則，即與不相互獨立，故B錯誤；
C、，，
則，即與相互獨立，故C正確；
D、，
則，即與相互獨立，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】由題意，根據獨立事件乘法公式計算即可判斷A；根據相互獨立事件定義，分別計算出、、后，驗證是否滿足即可判斷BCD.
11．【答案】A,C
【知識點】多面體和旋轉體表面上的最短距離問題；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：A、連接，如圖所示：
由正八面體的性質可知，⊥平面，
且相交于點，為和的中點，
因為，所以四邊形為菱形，所以，
又因為平面，平面，所以平面，故A正確；
B、連接，如圖所示：
則相交于點，
因為四邊形為正方體，所示，
由A選項，同理可得四邊形為菱形，故，
又因為，平面，所以平面，
即直線與平面所成的角為，
由題意得，，故，即，故B錯誤；
C、由題意得，，故只需最小，
在等邊三角形中，當為的中點時，⊥，此時最小，
且，故若點為棱上的動點，則的最小值為，故C正確；
D、，其中到平面的距離為，
設菱形的面積為，則，，
若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值，故D錯誤.
故答案為：AC.
【分析】由對稱性可得四邊形為菱形，故，從而得到線面平行即可判斷A；作出輔助線，得到直線與平面所成的角為，求出邊長，得到夾角即可判斷B；，故只需最小，當為的中點時，⊥，此時最小，且，從而求出的最小值即可判斷C；等體積法得到三棱錐的體積為定值即可判斷D.
12．【答案】
【知識點】分層抽樣方法
【解析】【解答】解：易知青年教師的比例為，則青年教師被抽出的人數為．
故答案為：.
【分析】根據青年教師的比例計算即可．
13．【答案】
【知識點】古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】解：易知拋兩枚骰子，共有36種結果，
因為x，y，3構成三角形的三邊長，所以，
當，有5種情況：；
當（的情況只需與互換即可，即兩種情況相同）時，
；，；，；，；，，
共有（種）情況，則所求概率為.
故答案為：.
【分析】由題意，利用列舉法、結合古典概型概率公式計算即可.
14．【答案】；
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量數量積的坐標表示
【解析】【解答】解：如圖所示：
因為，，所以，，
設，
則
，
設，則
，
由平面向量基本定理得，，解得，
則；
以為原點，所在直線為軸，垂直于方向為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，
因為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為：，
設點的坐標為，
，，
則，
當時，有最小值為.
故答案為：；.
【分析】利用向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可；
以為原點，建立平面直角坐標系，由，得直線的斜率，求得直線的方程，再由點在直線上，設點的坐標，再根據向量數量積的坐標表示，得到關于的函數，最后根據一元二次函數的最值求解即可.
15．【答案】由題意，作出圖形，如圖所示：
易知，，
則，，
即合速度的方向與水流的方向成150°的角，
設小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，
.
則小船航行速度的大小為.
【知識點】向量在物理中的應用；余弦定理
【解析】【分析】由題意，作出圖形，利用直角三角形結合余弦定理求解即可．
16．【答案】解：（1）設表示事件“觀眾甲選中號歌手”，表示事件“觀眾乙選中號歌手”則，
事件與相互獨立，與相互獨立
則表示事件“甲選中號歌手，且乙沒選中號歌手”
即觀眾甲選中號歌手且觀眾乙未選中號歌手的概率是
（2）設表示事件“觀眾丙選中號歌手”，則
依題意，，，相互獨立，，，相互獨立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率為
【知識點】相互獨立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計算公式
【解析】【分析】（1）根據古典概型計算公式（一個事件的概率等于該事件包含的基本事件數除以樣本空間中所有可能的基本事件數）分別求出甲、乙選中號歌手的概率；利用求得結果；
（2）根據，分別求解出兩人選擇號歌手和三人選擇號歌手的概率，加和得到結果.
17．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1，可得，
因為，所以，，
則該市居民用水的平均數估計為：
；
（2）解：由頻率分布直方圖可得：月均用水量不超過2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
即全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：（萬）；
（3）解：由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：，
月均用水量不超過5噸的頻率為：，
則85%的居民每月的用水量不超過的標準（噸），，
，解得，即標準為5.8噸.
【知識點】頻率分布直方圖；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各矩形面積和為1以及列方程組求得的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計算平均數即可；
（2）計算不低于2噸人數對應的頻率，求出對應的人數即可；
（3）由頻率分布直方圖計算頻率，可判斷，再根據頻率列出方程，求的值即可.
（1）由頻率分布直方圖可得，
又，則，，
該市居民用水的平均數估計為：
；
（2）由頻率分布直方圖可得，
月均用水量不超過2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：（萬）；
（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：，
月均用水量不超過5噸的頻率為：，
則85%的居民每月的用水量不超過的標準（噸），，
，解得，即標準為5.8噸.
18．【答案】（1）證明： 在四棱錐中 ，因為平面，平面，所以，
又因為底面是矩形，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以 ，
又因為是的中點，，所以，
又因為，所以平面；
（2）解：因為底面是矩形，所以，則異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，
由（1）得平面，則平面，
因為平面，所以，所以為直角三角形，
又因為是的中點，，所以，
在中，即為異面直線與所成角，，
即異面直線與所成角的正切值為；
（3）解：取中點為，連接，，如圖所示：
在中，分別為線段的中點，故，
因為平面，所以平面，
所以，
由（1）得平面，因為平面，所以，
因為，所以，又因為，所以，
所以，
設點到平面的距離為，直線與平面所成角為，
則，解得，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【知識點】異面直線所成的角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，證明，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據題意可得異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，利用線面垂直可證為直角三角形，求的正切值即可；
（3）利用等體積法求解點到平面的距離，直線與平面所成角為，，再求解直線與平面所成角的正弦值即可.
（1）解：∵平面，平面，∴，
又四邊形是矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
又是的中點，，∴，
∵，所以平面.
（2）解：∵底面是矩形，∴，
∴異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，
由（1）得平面，∴平面，
∵平面，∴，∴為直角三角形，
又是的中點，，∴，
∴在中，即為異面直線與所成角，故，
∴異面直線與所成角的正切值為.
（3）解：取中點為，連接，，
在中，分別為線段的中點，故，
∵平面，∴平面，
∴，
由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，
設點到平面的距離為，直線與平面所成角為，
則，解得：，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．【答案】（1）解：復數，則，故；
（2）解：設模為1的復數為，
則
，
由復數乘方公式可得，
故，；
（3）解：
，
由于，則，
則
，故，
則
，
，
故
.
【知識點】復數的模；復數的三角形式
【解析】【分析】（1）由題意計算出模長及其即可；
（2）設模為1的復數為，直接計算出及借助復數乘方公式得到后，結合復數定義即可得；
（3）先證明，再借助（2）中所得公式將四次方分別化簡后結合積化和差公式計算即可.
（1）由于，故，
則；
（2）設模為1的復數為，
則
，
由復數乘方公式可得，
故，；
（3）首先證明：
，
由于，則，
則
，故，
則可得
，
，
所以
.
1 / 1湖南省瀏陽市2023-2024學年高一下學期期末質量監測數學試卷
1．（2024高一下·瀏陽期末）已知向量，若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】平面向量垂直的坐標表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
因為，可得，解得.
故答案為：A.
【分析】根據題意結合向量垂直的坐標表示，從而列出方程得出實數m的值.
2．（2024高一下·瀏陽期末）復數在復平面內對應的點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知識點】復數在復平面中的表示；復數代數形式的乘除運算
【解析】【解答】解：，在復平面內對應的點為，位于第四象限.
故答案為：D.
【分析】根據復數代數形式的除法運算求，再結合復數的幾何意義判斷即可.
3．（2024高一下·瀏陽期末）邊長為的正三角形的直觀圖的面積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】斜二測畫法直觀圖
【解析】【解答】解：易知正三角形的面積為：，
則直觀圖的面積為：.
故答案為：A.
【分析】先求正三角形的面積，再由直觀圖和原圖的面積比為求直觀圖的面積即可.
4．（2024高一下·瀏陽期末）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】旋轉體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結構特征；球的表面積與體積公式及應用
【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為，因為圓錐的高為3，所以圓錐母線長，
又因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，所以，即，
即，解得，則，
故球的表面積為.
故答案為：C.
【分析】設出圓錐的底面半徑，結合圓錐底面半徑、母線及高的關系與側面面積計算即可得其母線長，再結合球的表面積計算公式計算即可.
5．（2024高一下·瀏陽期末）下列說法正確的是（　　）
①已知為三條直線，若異面，異面，則異面；
②若a不平行于平面，且，則內的所有直線與a異面；
③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；
④若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則，三點共線．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【知識點】平面的基本性質及推論；異面直線的判定
【解析】【解答】解：①、直線異面，異面，則可能平行、相交或異面，故①錯誤；
②、易知a與相交，設，在內過點P的直線l與a共面，故②錯誤；
③、兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內，故③正確；
④、設平面平面，因為平面，所以，
同理，故三點共線，故④正確.
故答案為：B．
【分析】利用空間中直線、平面的位置關系逐項判斷即可.
6．（2024高一下·瀏陽期末）已知某樣本的容量為50，平均數為70，方差為75.現發現在收集這些數據時，其中的兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差
【解析】【解答】解：由題意可知： 更正后樣本的均值為，
設收集的個準確數據分別記為，
則
，
，所以．
故答案為：A．
【分析】根據平均數、方差公式計算即可.
7．（2024高一下·瀏陽期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，，則的最小值為（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【知識點】基本不等式；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：點是的重心，則，
因為，所以，
又因為三點共線，所以，
則
當且僅當，即時等號成立，
則的最小值為.
故答案為：A.
【分析】利用重心的性質結合平面向量共線定理得到，再利用基本不等式求最值即可.
8．（2024高一下·瀏陽期末）某工業園區有、、共3個廠區，其中，，，現計劃在工業園區內選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】簡單的三角恒等變換；正弦定理的應用；余弦定理的應用
【解析】【解答】解：法一：設，，
則，，
在中，由正弦定理，
則，所以，
在中，
（其中），
所以，當時，
所以最小值為．
法二：如圖，因為，
所以點在如圖所示的圓上，
則圓的直徑為，
由圓周角的性質可得，
所以，．
連接，可得（當為與圓的交點時取等號），
在中，，，，
根據余弦定理可知，
即，所以的最小值為．
故答案為：B.
【分析】設，，利用正弦定理得到，在中利用余弦定理得到，再由三角恒等變換公式和三角函數的性質，從而求出，進而得出的最小值.
9．（2024高一下·瀏陽期末）給定一組數5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（　　）
A．平均數為3 B．標準差為
C．眾數為2 D．85%分位數為5
【答案】A,D
【知識點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【解答】解：由平均數的計算公式，可得，所以A正確；
由方程的公式，可得，
所以標準差為，所以B錯誤；
由眾數的定義，可得數據的眾數為2和3，所以C錯誤；
將數據從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位數為5，所以D正確.
故答案為：AD.
【分析】根據平均數、方差、眾數和百分位數的概念與計算方法，逐項判定，從而找出正確的選項.
10．（2024高一下·瀏陽期末）有6個相同的小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標號，用表示第二次取到的小球的標號，記事件：為偶數，：為偶數，C：，則（　　）
A． B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】A,C,D
【知識點】相互獨立事件；相互獨立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由題意，可得，故A正確；
B、，，
則，即與不相互獨立，故B錯誤；
C、，，
則，即與相互獨立，故C正確；
D、，
則，即與相互獨立，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】由題意，根據獨立事件乘法公式計算即可判斷A；根據相互獨立事件定義，分別計算出、、后，驗證是否滿足即可判斷BCD.
11．（2024高一下·瀏陽期末）正多面體也稱柏拉圖立體（被譽為最有規律的立體結構），是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）．數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正八面體的棱長都是2（如圖），則（　　）
A．平面
B．直線與平面所成的角為60°
C．若點為棱上的動點，則的最小值為
D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值
【答案】A,C
【知識點】多面體和旋轉體表面上的最短距離問題；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角；錐體的體積公式及應用
【解析】【解答】解：A、連接，如圖所示：
由正八面體的性質可知，⊥平面，
且相交于點，為和的中點，
因為，所以四邊形為菱形，所以，
又因為平面，平面，所以平面，故A正確；
B、連接，如圖所示：
則相交于點，
因為四邊形為正方體，所示，
由A選項，同理可得四邊形為菱形，故，
又因為，平面，所以平面，
即直線與平面所成的角為，
由題意得，，故，即，故B錯誤；
C、由題意得，，故只需最小，
在等邊三角形中，當為的中點時，⊥，此時最小，
且，故若點為棱上的動點，則的最小值為，故C正確；
D、，其中到平面的距離為，
設菱形的面積為，則，，
若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值，故D錯誤.
故答案為：AC.
【分析】由對稱性可得四邊形為菱形，故，從而得到線面平行即可判斷A；作出輔助線，得到直線與平面所成的角為，求出邊長，得到夾角即可判斷B；，故只需最小，當為的中點時，⊥，此時最小，且，從而求出的最小值即可判斷C；等體積法得到三棱錐的體積為定值即可判斷D.
12．（2024高一下·瀏陽期末）如圖，某學校共有教師200人，按老年教師、中年教師、青年教師的比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數為　 　 .
【答案】
【知識點】分層抽樣方法
【解析】【解答】解：易知青年教師的比例為，則青年教師被抽出的人數為．
故答案為：.
【分析】根據青年教師的比例計算即可．
13．（2024高一下·瀏陽期末）拋兩枚質地均勻的骰子，向上的點數分別為x，y，則x，y，3能夠構成三角形三邊長的概率為　 　.
【答案】
【知識點】古典概型及其概率計算公式
【解析】【解答】解：易知拋兩枚骰子，共有36種結果，
因為x，y，3構成三角形的三邊長，所以，
當，有5種情況：；
當（的情況只需與互換即可，即兩種情況相同）時，
；，；，；，；，，
共有（種）情況，則所求概率為.
故答案為：.
【分析】由題意，利用列舉法、結合古典概型概率公式計算即可.
14．（2024高一下·瀏陽期末）在中，點分別在邊和邊上，且交于點，設.用表示為　 　；若為上一動點且，則的最小值為　 　.
【答案】；
【知識點】平面向量的基本定理；平面向量數量積的坐標表示
【解析】【解答】解：如圖所示：
因為，，所以，，
設，
則
，
設，則
，
由平面向量基本定理得，，解得，
則；
以為原點，所在直線為軸，垂直于方向為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
則，
因為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為：，
設點的坐標為，
，，
則，
當時，有最小值為.
故答案為：；.
【分析】利用向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可；
以為原點，建立平面直角坐標系，由，得直線的斜率，求得直線的方程，再由點在直線上，設點的坐標，再根據向量數量積的坐標表示，得到關于的函數，最后根據一元二次函數的最值求解即可.
15．（2024高一下·瀏陽期末）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.
【答案】由題意，作出圖形，如圖所示：
易知，，
則，，
即合速度的方向與水流的方向成150°的角，
設小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，
.
則小船航行速度的大小為.
【知識點】向量在物理中的應用；余弦定理
【解析】【分析】由題意，作出圖形，利用直角三角形結合余弦定理求解即可．
16．（2024高一下·瀏陽期末）在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1到5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．
（1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（2）表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求“”的事件概率．
【答案】解：（1）設表示事件“觀眾甲選中號歌手”，表示事件“觀眾乙選中號歌手”則，
事件與相互獨立，與相互獨立
則表示事件“甲選中號歌手，且乙沒選中號歌手”
即觀眾甲選中號歌手且觀眾乙未選中號歌手的概率是
（2）設表示事件“觀眾丙選中號歌手”，則
依題意，，，相互獨立，，，相互獨立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率為
【知識點】相互獨立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計算公式
【解析】【分析】（1）根據古典概型計算公式（一個事件的概率等于該事件包含的基本事件數除以樣本空間中所有可能的基本事件數）分別求出甲、乙選中號歌手的概率；利用求得結果；
（2）根據，分別求解出兩人選擇號歌手和三人選擇號歌手的概率，加和得到結果.
17．（2024高一下·瀏陽期末）為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節約用水.計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.
（1）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數（每組數據用該組區間中點值作為代表）；
（2）設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數；
（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值.
【答案】（1）解：由頻率分布直方圖各矩形面積和為1，可得，
因為，所以，，
則該市居民用水的平均數估計為：
；
（2）解：由頻率分布直方圖可得：月均用水量不超過2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
即全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：（萬）；
（3）解：由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：，
月均用水量不超過5噸的頻率為：，
則85%的居民每月的用水量不超過的標準（噸），，
，解得，即標準為5.8噸.
【知識點】頻率分布直方圖；用樣本估計總體的百分位數
【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各矩形面積和為1以及列方程組求得的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計算平均數即可；
（2）計算不低于2噸人數對應的頻率，求出對應的人數即可；
（3）由頻率分布直方圖計算頻率，可判斷，再根據頻率列出方程，求的值即可.
（1）由頻率分布直方圖可得，
又，則，，
該市居民用水的平均數估計為：
；
（2）由頻率分布直方圖可得，
月均用水量不超過2噸的頻率為：，
則月均用水量不低于2噸的頻率為：，
所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：（萬）；
（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：，
月均用水量不超過5噸的頻率為：，
則85%的居民每月的用水量不超過的標準（噸），，
，解得，即標準為5.8噸.
18．（2024高一下·瀏陽期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，平面，且是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的正切值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明： 在四棱錐中 ，因為平面，平面，所以，
又因為底面是矩形，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以 ，
又因為是的中點，，所以，
又因為，所以平面；
（2）解：因為底面是矩形，所以，則異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，
由（1）得平面，則平面，
因為平面，所以，所以為直角三角形，
又因為是的中點，，所以，
在中，即為異面直線與所成角，，
即異面直線與所成角的正切值為；
（3）解：取中點為，連接，，如圖所示：
在中，分別為線段的中點，故，
因為平面，所以平面，
所以，
由（1）得平面，因為平面，所以，
因為，所以，又因為，所以，
所以，
設點到平面的距離為，直線與平面所成角為，
則，解得，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【知識點】異面直線所成的角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，證明，再利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）根據題意可得異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，利用線面垂直可證為直角三角形，求的正切值即可；
（3）利用等體積法求解點到平面的距離，直線與平面所成角為，，再求解直線與平面所成角的正弦值即可.
（1）解：∵平面，平面，∴，
又四邊形是矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
又是的中點，，∴，
∵，所以平面.
（2）解：∵底面是矩形，∴，
∴異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，
由（1）得平面，∴平面，
∵平面，∴，∴為直角三角形，
又是的中點，，∴，
∴在中，即為異面直線與所成角，故，
∴異面直線與所成角的正切值為.
（3）解：取中點為，連接，，
在中，分別為線段的中點，故，
∵平面，∴平面，
∴，
由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，
設點到平面的距離為，直線與平面所成角為，
則，解得：，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．（2024高一下·瀏陽期末）任意一個復數的代數形式都可寫成復數三角形式，即，其中為虛數單位，.棣莫弗定理由法國數學家棣莫弗（1667~1754）創立.設兩個復數用三角函數形式表示為：，則：.如果令，則能導出復數乘方公式：.請用以上知識解決以下問題.
（1）試將寫成三角形式；
（2）試應用復數乘方公式推導三倍角公式：；
（3）計算：的值.
【答案】（1）解：復數，則，故；
（2）解：設模為1的復數為，
則
，
由復數乘方公式可得，
故，；
（3）解：
，
由于，則，
則
，故，
則
，
，
故
.
【知識點】復數的模；復數的三角形式
【解析】【分析】（1）由題意計算出模長及其即可；
（2）設模為1的復數為，直接計算出及借助復數乘方公式得到后，結合復數定義即可得；
（3）先證明，再借助（2）中所得公式將四次方分別化簡后結合積化和差公式計算即可.
（1）由于，故，
則；
（2）設模為1的復數為，
則
，
由復數乘方公式可得，
故，；
（3）首先證明：
，
由于，則，
則
，故，
則可得
，
，
所以
.
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