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普通高等學校招生全國統一考試
數學
本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，，則滿足條件的集合共有（ ）
A. 2個 B. 3.個 C. 4個 D. 5個
2. 已知復數滿足，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知數列的前項和為，設甲：，乙：數列為等比數列，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
4. 過點作直線與圓相切，斜率的最大值為，若，，，則的最小值是（ ）
A. 12 B. 9 C. D.
5. 已知角是銳角，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，準線為直線，過點的直線與相交于，兩點，則面積的最小值為（ ）
A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
7. 如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，是棱上一點，且，，，，，則當最大時，四棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知對于，，，，且，則（ ）
A. B. C. 1 D. 0
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數在點處的切線方程為，則（ ）
A. B. C. 有兩個極值點 D. 有兩個零點
10. 定義：對一個三位數來說，如果其十位數字比個位數字和百位數字都小，則稱它為“三位凹數”，如果其十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱其為“三位凸數”，現從1至9共9個數中，選取3個不同的數排成三位數，則（ ）
A. 排成的“三位凹數”共有168個
B. 排成“三位凸數”和“三位凹數”的可能性相等
C. 從所有的中隨機抽取一個三位數，該三位數是“三位凸數”的概率為
D. 從所有的中隨機抽取兩個三位數，至少有一個是“三位凹數”的概率為
11. 已知邊長為l的等邊的三個頂點到平面α的距離分別為1，2，3，且的重心G到平面α的距離恰有兩個可能值，則l的取值可以為（ ）
A. B. C. 5 D. 6
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若函數，是定義在上的增函數，則實數的取值范圍是__________.
13. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點到該漸近線的距離為，過點作傾斜角為的直線，與雙曲線交于，兩點，記為坐標原點，則的余弦值為__________.
14. 若數列是有窮數列，且各項之和為0，各項的絕對值之和為1，則稱數列是“項優待數列”.若等差數列是“項優待數列”，，則__________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 已知是銳角三角形，內角，，的對邊分別為，，，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周長；
（3）求面積的取值范圍.
16. 2025年春節期間，電影《哪吒之魔童降世2》票房破百億，整個電影界都為之歡騰，這是中國動畫電影的一大步，也是世界電影史上的一次壯麗篇章.某調查小組隨機抽取100位市民，將市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》的樣本觀測數據整理如下：
看過 沒看過 合計
不超過35周歲 30 20 50
超過35周歲 15 35 50
合計 45 55 100
（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》有關聯？
（2）根據列聯表信息，表示“選到的市民沒看過《哪吒之魔童降世2》”，表示“選到的市民超過35周歲”，求和的值；
（3）現從參與調查的不超過35周歲的市民中，按是否看過用分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，從抽取的5人中再抽取3人贈送《哪吒之魔童降世2》的電影票，求這3人中，看過《哪吒之魔童降世2》的人數的概率分布和數學期望.
附：，其中
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10828
17. 已知函數.
（1）試判斷函數的單調性與極值；
（2）已知，若有兩個極值點，證明：.
18. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，四邊形為正方形，點，且的面積為.
（1）求橢圓標準方程；
（2）過的直線與交于，兩點，求證：；
（3）已知直線交橢圓于，兩點，直線，相交于點.試判斷點是否在定直線上，若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.
19. 圓柱的標準方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圓柱任意一點的坐標.已知圓柱的方程為，如圖，點，分別為上、下底面圓的圓心，四邊形是圓柱的一個軸截面，點，，分別為，，的中點，點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合）.
（1）證明：平面；
（2）若點是下底面圓周上的動點，是點在上底面的投影，且，與下底面所成的角分別為，，求的取值范圍；
（3）當三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成角的余弦值.
普通高等學校招生全國統一考試
數學
本試卷滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
【1題答案】
【答案】C
【2題答案】
【答案】C
【3題答案】
【答案】B
【4題答案】
【答案】A
【5題答案】
【答案】B
【6題答案】
【答案】B
【7題答案】
【答案】C
【8題答案】
【答案】D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
【9題答案】
【答案】AC
【10題答案】
【答案】ABC
【11題答案】
【答案】BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
【12題答案】
【答案】
【13題答案】
【答案】
【14題答案】
【答案】
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
【15題答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【16題答案】
【答案】（1）答案見解析
（2），.
（3）分布列見解析，
【17題答案】
【答案】（1）答案見解析；
（2）證明見解析.
【18題答案】
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）在，
【19題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）

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