資源簡介

2024-2025學年蘇科版數(shù)學八年級下學期期末高頻考點優(yōu)選題匯編復習
解答題典型必刷練30題（培優(yōu)題）
（解析版）
同學你好，該份練習結合課本內容同步選題制作，貼合書本內容。題目精選近兩年江蘇省各市近兩年常考易錯真題，典型常規(guī)題等重點題目！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，按照考點劃分，解析思路清晰，難度中上，非常適合成績拔尖的同學使用，講義可作為章節(jié)復習，期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
1．（24-25八年級下·山西呂梁·期中）如圖，在中，于點E，于點F，且．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形．
(2)若，求的度數(shù)和．
【答案】(1)見解析；
(2)
【思路引導】（1）要證四邊形是菱形，已知是平行四邊形，根據(jù)菱形定義，需證鄰邊相等．利用平行四邊形面積公式（底高 ），結合、且，推出 ．
（2）先由平行四邊形鄰角互補得、與的關系，再結合垂直條件，分別表示出、，進而求它們的和．
【完整解答】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
又∵，
∴．
∴四邊形是菱形．
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，
∵，
∴ ．
∵，
∴，
在中， ．
同理，，，
∴ ，
∵，，
在中， ．
∴ ．
【考點評析】本題主要考查了平行四邊形的性質、菱形的判定、直角三角形的性質，熟練掌握平行四邊形面積公式、菱形判定定理及直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．
2．（24-25八年級下·上海嘉定·期末）如圖，點是邊長為6的正方形的邊上的一點，聯(lián)結，將沿折疊得到．聯(lián)結并延長交于
(1)當時，求的長；
(2)設，求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．
【答案】(1)
(2)關于的函數(shù)解析式為，函數(shù)的定義域為
【思路引導】本題考查了正方形折疊問題、勾股定理、三角形全等的判定與性質、函數(shù)的解析式等知識，熟練掌握正方形和折疊的性質是解題關鍵．
（1）連接，先根據(jù)正方形的性質可得，，再根據(jù)折疊的性質可得，，，然后證出，最后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再同（1）可得，則可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得函數(shù)解析式，最后根據(jù)點是邊長為6的正方形的邊上的一點可得函數(shù)的定義域．
【完整解答】（1）解：如圖，連接，
∵正方形的邊長為6，
∴，，
由折疊的性質得：，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
∴，
在中，，即，
解得，
即．
（2）解：∵正方形的邊長為6，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
在中，，即，
整理得：，
∵點是邊長為6的正方形的邊上的一點，
∴，
綜上，關于的函數(shù)解析式為，函數(shù)的定義域為．
3．（24-25八年級下·河南安陽·期中）閱讀下列材料，并解決相應問題：，用上述類似的方法化簡下列各式．
(1)；
(2)若是的小數(shù)部分，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【思路引導】（1）觀察材料可知是利用平方差公式對分母進行有理化，將原式分子分母同乘，把分母中的根式去掉來化簡．
（2）先根據(jù)的取值范圍確定其小數(shù)部分，再將代入，通過分母有理化和合并同類二次根式來計算．
本題主要考查了二次根式的分母有理化以及無理數(shù)的小數(shù)部分求解，熟練掌握平方差公式進行分母有理化和無理數(shù)取值范圍的分析是解題的關鍵．
【完整解答】（1）解：；
（2）解：是的小數(shù)部分，
，
4．（24-25八年級下·四川巴中·期中）請用所學知識認真化簡計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)3
(4)
【思路引導】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的化簡求值，
（1）先計算立方根，乘方，算術平方根，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，再計算加減即可；
（2）先計算乘方，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，再將分母通分，最后計算加減即可；
（3）分子提取公因式3計算即可；
（4）先將分母通分，計算得到，再提取公因式計算即可．
【完整解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
5．（24-25八年級下·河南漯河·期中）觀果計算：
（1）_____
____
____（填“>” “<”“=”）
歸納發(fā)現(xiàn)：
（2）由（1）中的各式比較與的大小，并說明理由．
實踐應用：
（3）設計師要對某區(qū)域進行設計改造，將該區(qū)域用籬笆圍成一個長方形花圃，如圖，該花圓恰好可以借用一段墻體，若要圍成一個面積為的花圃，則所用的籬笆至少需要______．
【答案】（1）>，>，=；（2），理由見解析；（3）
【思路引導】本題主要考查了二次根式的應用，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負性求證．
（1）分別進行出對應小題中兩個式子的結果，再比較大小即可；
（2）根據(jù)第（1）問填大于號或等于號，所以猜想；根據(jù)，可由完全平方公式得到，據(jù)此可證明結論；
（3）設花圃的平行于墻的一邊長為a米，寬為b米，需要籬笆的長度為米，利用第（2）問的公式即可求得最小值．
【完整解答】解：（1）①，，
∵，
∴；
②，，
∵，
∴；
③，
∴
故答案為：>，>，=；
（2）猜想，理由如下：
當，時，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）設花圃的平行于墻的一邊長為a米，寬為b米，則，
∴，
根據(jù)（2）的結論可得：．
∴籬笆至少需要40米．
故答案為：
6．（24-25八年級下·湖北孝感·期中）在中，，.點D在的延長線上，，，連接，.，.
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)四邊形能否為正方形？如能，請求出此時的值；如不能，也請說明理由.
【答案】(1)見解析
(2)能，
【思路引導】（1）先證明是等腰直角三角形得，再證明，進而可依據(jù)“”判定得，再根據(jù)平行線性質得，繼而得，由此可得出，然后再根據(jù)，由此即可得出結論；
（2）當時，四邊形正方形，由得，再根據(jù)四邊形是矩形即可得出四邊形是正方形；過點A作于點H，設，則，則，，再根據(jù)當時，四邊形正方形得，繼而得，由此即可得出的值．
【完整解答】（1）證明：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：四邊形能為正方形，理由如下：
∵點D在的延長線上，
∴當時，四邊形正方形，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四邊形是矩形，
∴矩形是正方形；
過點A作于點H，如圖所示：
∴，
設，
在中，，
∴，則，
在中，由勾股定理得：，
∵當時，四邊形正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【考點評析】本題主要考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，理解等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．
7．（24-25七年級上·河南鄭州·期末）某中學開展了“人工智能機器人”知識網(wǎng)上答題競賽，對收集到的數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析．將學生競賽成績的樣本數(shù)據(jù)分成，，，，四組進行整理（滿分100分，所有競賽成績均不低于60分），如表：
組別
成績（/分）
人數(shù)（人）
【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖
【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)本次共調查了______名學生，______，并補全條形統(tǒng)計圖：
(2)在扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應的扇形的圓心角為______度；
(3)人工智能在跨境電商發(fā)展中起到關鍵作用，該校同學查閱到某數(shù)據(jù)中心給出的2019－2025年中國跨境電商出口規(guī)模及預測圖，哪一年的同比增長率最高？從圖中你還能發(fā)現(xiàn)哪些信息？寫出一條．
【答案】(1)；，作圖見解析
(2)
(3)年的同比增長率最高；從圖中還能發(fā)現(xiàn)，年中國跨境電商出口規(guī)模逐步增長
【思路引導】（1）由等級人數(shù)及其所占百分比可得被調查的總人數(shù)；
（2）用乘以等級人數(shù)所占的百分比得出等級所對應的扇形的圓心角度數(shù)；用總人數(shù)減去其他等級的人數(shù)，求出等級的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)年中國跨境電商出口規(guī)模及預測圖解答即可．
【完整解答】（1）解：本次共調查學生（名），
（名），
補全圖形如下：
故答案為：；；
（2）扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應的扇形的圓心角為，
故答案為：；
（3）從年中國跨境電商出口規(guī)模及預測圖中發(fā)現(xiàn)，年的同比增長率最高；從圖中還能發(fā)現(xiàn)，年中國跨境電商出口規(guī)模逐步增長．
【考點評析】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖及用頻數(shù)分布表．解題的關鍵是讀懂統(tǒng)計圖，能從條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖中得到準確的信息．
8．（24-25八年級下·江蘇淮安·期中）【問題情境】在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對正方形的折疊問題進行了探究．如圖，正方形的邊長為，是邊上一動點，將正方形折疊，使得點落在邊上的點處，點落在處，交于，折痕為．
【嘗試初探】
（1）如圖1，若，則_______．
【深入思考】
（2）如圖2，連接．
①求證：平分；
②設，，請說明的值為定值，并求出這個定值．
【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析，這個定值為1
【思路引導】本題考查的是翻轉變換的性質、勾股定理的應用、正方形的性質，根據(jù)翻轉變換的性質得到是解題的關鍵．
（1）根據(jù)折疊性質可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可；
（2）由可得，由折疊可得，由此證明；
作，容易證明，得，，進而可得；可得，，由在中，，可得，對等式變形即可得出結論．
【完整解答】解：（1）∵正方形的邊長為，
∴，，
設，則，
∵在中，，，
∴，
解得：，
故答案為；
（2）①∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
②作，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
的值為定值，這個定值是1.
9．（24-25八年級下·河南周口·期中）如圖，，兩點在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)求的值．
(2)求直線的函數(shù)解析式．
(3)過點作軸于點，過點作軸于點，是線段上一點，當時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引導】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）求出，計算即可得到答案；
（2）設直線的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可
（3）由題得，，設點，得到，求出，即可得到答案．
【完整解答】（1）解： ，兩點在反比例函數(shù)的圖象上，
將代入得，
解得：，
∴，
解得．
（2）解：設直線的函數(shù)解析式為，
將，代入得，
解得：，
直線的函數(shù)解析式為．
（3）解：由題意得，，
設點．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴點的坐標為．
10．（24-25八年級下·廣東江門·期中）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題．
，
，
，
．．．．．．
(1)觀察以上規(guī)律，請寫出第個等式： （n為正整數(shù)）．
(2)利用上面的規(guī)律，計算：．
(3)請利用上面的規(guī)律，比較與的大小．
【答案】(1)
(2)18
(3)
【思路引導】本題考查了二次根式的運算、數(shù)字類規(guī)律探究，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．
（1）根據(jù)前幾個等式的變化規(guī)律，即可寫出第個等式；
（2）根據(jù)規(guī)律將各項分母有理化即可求解；
（3）先求倒數(shù)，再分母有理化，然后比較大小即可求解．
【完整解答】（1）解：根據(jù)前幾個等式可得第n個等式為：，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：由于，，
，
，
．
11．（24-25八年級下·福建漳州·期中）我們已經學習了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質，下面，我們研究函數(shù)的圖象和性質，我們不妨特殊化，設，，即．
(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是 ；圖象在第 象限；
(2)閱讀材料：當時，．當時，即，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；
(3)某隧道長，一個勻速前進的車隊有10輛車，每輛車長，相鄰兩車的距離與車速的關系式為，求自第1輛車車頭進隧道至第10輛車車尾出隧道所用時間的最小值．
【答案】(1)；一、三
(2)時，有最大值
(3)
【思路引導】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，通過求自變量的取值范圍，函數(shù)圖象探究函數(shù)的基本性質，繼而考查函數(shù)的應用，解題的關鍵是準確理解函數(shù)的圖象特點，靈活使用函數(shù)性質．
（1）依據(jù)題意，借助分式分母不能為零求解，然后根據(jù)橫縱坐標符號，可判斷象限；
（2）依據(jù)題意，將代入表達式仿照時即可得解；
（3）依據(jù)題意，車隊行駛的路程為，速度是，時間，列出解析式求最值．
【完整解答】（1）解：函數(shù)，根據(jù)分式分母不能為零得，；
當時，，點在第一象限；
當時，．點在第三象限，
故答案為：；一、三．
（2）解：由題意，當時，，
，
當，即時，有最大值．
（3）解：由題意，每輛車長，相鄰兩車的距離，從第1輛車車頭進隧道至第10輛車車尾出隧道車隊走過路程為，
，
，
，
由題意知，當時，有最小值，此時解得，
的最小值為．
12．（24-25八年級下·江蘇鹽城·期中）【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．
解：由知，，即①
，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了同分母分式加法運算的法則：_______；
第②步運用了乘法公式：________；（法則，公式都用式子表示）
【模仿應用】
（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知，求的值；
【舉一反三】
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）
【思路引導】此題考查了分式的求值，分式加法的逆運算，完全平方公式的變形計算，正確理解題意掌握解題思路及分式的性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)分式加法的逆運算法則，完全平方公式的變形進行解答；
（2）仿照例題計算即可；
（3）將已知三個等式相加，得到，再利用倒數(shù)法解答．
【完整解答】（1）解：第①步由得到逆用了同分母分式加法運算的法則：；
第②步運用了乘法公式：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（24-25八年級下·江西贛州·期中）【特例感知】
化簡：；
解：．
（1）請在橫線上直接寫出化簡的結果：
①__________；
②__________．
【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）第n個式子是（n為正整數(shù)），請求出該式子化簡的結果（需要寫出推理步驟）．
【拓展應用】（3）從上述結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：．
【答案】（1）①；②；（2），步驟見解析；（3）2023
【思路引導】本題考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運算，熟練掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運算是解題的關鍵．
（1）利用分母有理化求解作答即可；
（2）根據(jù)，求解作答即可；
（3）①利用（2）的結論，結合平方差公式計算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加減法則變形后，結合互為相反數(shù)的和為零，計算即可．
【完整解答】（1）①解：．
故答案為：．
②解：．
故答案為：．
（2）解：，
∴的化簡結果為．
（3）解：
．
14．（24-25八年級下·河南開封·期中）如圖，的對角線與相交于點，其周長為20，且的周長比的周長小4．
(1)求邊和的長；
(2)若，如圖，過點作交于點，且，求和之間的距離．
【答案】(1)，
(2)
【思路引導】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
（1）利用平行四邊形的性質得到，，再結合題意可得，聯(lián)立解方程組即可求出邊和的長；
（2）根據(jù)題意可得，則有，設和之間的距離為，利用平行四邊形的面積公式求出的值，即可解答．
【完整解答】（1）解：的對角線與相交于點，其周長為20，
，，
又的周長比的周長小4，
，
，
解得：，．
（2）解：，，，
，
，
設和之間的距離為，
，
，
和之間的距離為．
15．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）已知在平面直角坐標系中，若一個點的橫、縱坐標分別是另一個點橫、縱坐標的，則稱這個點是另一個點與原點連接線段的中點．
例：有點，若點的坐標為，則點為線段的中點．
根據(jù)以上材料解決下列問題：
如圖，點在反比例函數(shù)上，點在反比例函數(shù)上．
(1)求、的值；
(2)點在反比例函數(shù)上，連接，分別交反比例函數(shù)圖像于兩點，連接．試猜想與的關系，并說明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由見解析
【思路引導】（1）利用點在反比例函數(shù)圖象上，坐標滿足函數(shù)解析式，將點代入求，再將代入求；
（2）先求直線、解析式，聯(lián)立求、坐標，根據(jù)中點定義及三角形中位線定理判斷與關系 ．
【完整解答】（1）解：將點代入得，
將代入得，
（2）解：設直線解析式為，把代入得，即．
聯(lián)立，
得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是中點．
設直線解析式為，把代入得，
∴．
聯(lián)立，
得，，
∵，
∴，則，
∴，可知是中點．
根據(jù)三角形中位線定理，
∴， ．
16．（24-25八年級下·福建泉州·期中）綜合與實踐
函數(shù)復習課后，數(shù)學興趣小組的同學們對函數(shù)的圖象與性質進行探究，過程如下．請完成探究過程：
(1)初步感知：函數(shù)的自變量x的取值范圍是_____．
(2)作出圖象步驟如下：
①列表：
x … 1 2 n 4 …
y … m 2 3 5 0 …
填空：_____，_____．
②描點：以表中各組x，y的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點．
連線：如圖，將圖中y軸兩側的各點分別用一條光滑的曲線順次連接起來，請畫出圖象．
(3)研究性質：
小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，結合反比例函數(shù)的知識，小明將函數(shù)轉化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)的圖象通過某種平移轉化而來的．已知反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為點，結合小明的分析，可知函數(shù)的圖象的對稱中心為點______．
(4)若直線與函數(shù)的圖象相交于P，Q兩點，點P的橫坐標是p，點Q的縱坐標是q，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)①；3；②畫函數(shù)的圖象見解析
(3)
(4)．
【思路引導】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化-平移，正確記憶修改知識點是解題關鍵．
（1）根據(jù)分母不能為0，即可解決問題；
（2）①求得時的函數(shù)值，求得時的x的值，即可求得m、n的值；
②描點、連線畫出圖形即可；
（3）根據(jù)平移的性質，可得結論；
（4）求得直線函數(shù)的圖象中心對稱點，結合圖象即可求解．
【完整解答】（1）解：∵，
∴函數(shù)的自變量x的取值范圍是．
故答案為：；
（2）解：①時，，
∴，
當時，則，解得，
∴，
故答案為：；3；
②畫出函數(shù)圖象如圖：
；
（3）解：觀察圖象發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象的對稱中心為點為；
故答案為：；
（4）解：∵，
則直線過定點，
∵函數(shù)的圖象關于點中心對稱，
∴則兩函數(shù)交點P，Q關于對稱，
∵點P的橫坐標是p，
∴點Q的橫坐標是，
又Q的縱坐標為q，
∴，
將代入，
∴，
整理得．
17．（24-25八年級下·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．
(1)求A，B兩點的坐標及反比例函數(shù)的表達式．
(2)若P為x軸上的一動點，且，求點P的坐標．
(3)觀察圖象，直接寫出當時，x的取值范圍．
【答案】(1)點A的坐標為，點B的坐標為，該反比例函數(shù)的表達式為
(2)點P的坐標為或
(3)x的取值范圍為或
【思路引導】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、求函數(shù)解析式、運用圖像求不等式的解集的等知識點，掌握兩函數(shù)圖像的交點坐標必滿足兩函數(shù)解析式成為解題的關鍵．
（1）先根據(jù)兩函數(shù)圖像的交點情況確定a、b的值，進而確定A、B的坐標，然后代入反比例函數(shù)解析式即可解答；
（2）設點P的坐標為，直線與x軸交點為C，求出點C的坐標，根據(jù)，即可解答．
直接根據(jù)函數(shù)圖像即可解答．
【完整解答】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點．
∴，，
∴，
∴A點坐標為，點B點坐標為．
∴，
∴反比例函數(shù)．
（2）設點P的坐標為，直線與x軸交點為C，如圖
當時，，
解得，
∴，
∵A點坐標為，點B點坐標為．
∴
解得或，
點P的坐標為或．
（3）如圖：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A，B兩點．
∴當時，x的取值范圍或．
18．（24-25八年級下·福建泉州·期中）下面是王林同學在作業(yè)中計算的過程，請仔細閱讀后，解答下列問題．
王林的作業(yè)： 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)王林的作業(yè)是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是______．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)二；不應該去分母
(2)
【思路引導】本題考查了分式的化簡與求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．
（1）根據(jù)分式的加減運算法則即可解答；
（2）先根據(jù)分式的運算法則化簡，由得到，再整體代入求值即可．
【完整解答】（1）解：王林的作業(yè)是從第二步開始出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是不應該去分母．
故答案為：二；不應該去分母．
（2）解：
，
，
，
原式．
19．（24-25八年級下·河南駐馬店·期中）概念閱讀：
如圖1，在四邊形中，如果對角線和相等，那么我們把這樣的四邊形稱為“和諧四邊形”．
問題提出：
（1）在“平行四邊形、矩形、菱形”中，一定是“和諧四邊形”的是__________（填寫圖形名稱）若“和諧四邊形”的中點四邊形（各邊中點順次連接而成的四邊形）是正方形，那么對角線還需要滿足的條件是_________．
問題探究：
（2）如圖2，已知中，，，請你在圖中找一點D，滿足，且使四邊形是“和諧四邊形”，并求四邊形的面積．
【答案】（1）矩形；；（2）圖見解析，
【思路引導】本題主要考查了正方形的性質，菱形的性質，矩形的性質，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，勾股定理等等，熟知相關知識是解題的關鍵．
（1）根據(jù)矩形，菱形，平行四邊形的性質可得第一空答案；如圖所示，分別是的中點，由三角形中位線定理可得，由正方形的性質可得，則；
（2）取的中點E，過點E作的垂線，在這個垂線上截取一點D使得，連接，則四邊形即為所求；先由勾股定理得到，再利用勾股定理求出的長，再由列式計算即可．
【完整解答】解：（1）在菱形，矩形，平行四邊形中，對角線一定相等的只有矩形，故只有矩形一定是“和諧四邊形”；
如圖所示，分別是的中點，
∴分別是的中位線，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴；
；
（2）如圖所示，取的中點E，過點E作的垂線，在這個垂線上截取一點D使得，連接，則四邊形即為所求；
在中，，，
，
∵四邊形是等角線四邊形，
，
在中，，
．
∴四邊形的面積為
20．（24-25八年級下·山西呂梁·期中）綜合與實踐
【問題情境】綜合與實踐課上，王老師提出了一個有關正方形中“十字型”的問題：
如圖1，在正方形中，邊長為，，分別是邊，上的點，．
【獨立思考】（1）試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．
【問題解決】（2）陽光小組在王老師的問題上繼續(xù)思考．如圖，記與的交點為，若陰影部分的面積之和為，求的面積．
【實踐探究】（3）繽紛小組進一步探究，如圖3，連接并延長，交的延長線于點．已知，，請直接寫出的長．
【答案】[獨立思考] ；[問題解決]；[實踐探究]
【思路引導】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，面積法等知識，解決問題的關鍵是運用面積法尋求線段之間的關系．
獨立思考 可證得，從而；
問題解決 可推出，根據(jù)，進而求得結果；
實踐探究 連接，作，交的延長線于，設，可推出，從而，進而得出，從而，進而得出，從而得出，根據(jù)，設在中，根據(jù)勾股定理列出方程，進一步得出結果．
【完整解答】[獨立思考 解：，理由如下：
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
（），
；
[問題解決]
，
，
，
，
，
，
[實踐探究] 如圖，
連接，作，交的延長線于，
，
設，
，，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
設
在中，由勾股定理得，，
解得：（負值舍去）
，，
四邊形是正方形，
，
四邊形是矩形，
，，
，
21．（24-25八年級下·江蘇南通·期中）如圖，點是菱形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個菱形，且，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
(3)連接、，若，，，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)1
【思路引導】（1）證明即可；
（2）連接交于點P，得到，則，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即；
（3）設，由勾股定理得，由，結合菱形性質得到，那么，則，則，而，則，化簡得到，而，則，即可求解面積．
【完整解答】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵是菱形，是菱形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在菱形中，連接交于點P，則，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴
∴；
（3）解：如圖：
設
∵，
∴，
∴
∵菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵
∴，
∴，而
∴，
∴．
【考點評析】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，角直角三角形的性質，解題的關鍵是合理利用菱形的性質．
22．（24-25八年級下·江蘇鹽城·期中）【問題初探】
（1）如圖1，在正方形中，點、分別在邊、上，且，垂足為．那么與相等嗎？直接判斷：______（填“”或“”）；
【問題遷移】
（2）如圖2，在正方形中，點、、分別在邊、和上，且，垂足為．那么與相等嗎？證明你的結論；
【問題延伸】
（3）如圖3，正方形中，點為線段上一動點，若垂直平分線段，分別交，，，于點，，，．求證：；
【問題拓展】
（4）如圖4，在邊長為4的正方形中，是的中點．是上的動點，過點作，分別交，于點，．直接寫出的最小值為______．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）詳見解析
（4）40
【思路引導】（1）證明，得到
（2），理由如下，作，交于點，由（1）得，推出，可證明四邊形是平行四邊形，得到，即可得到結論；
（3）連接，求出，得到 ， 由（2）得，推出，即可得到結論；
（4）過點作，過點作，連接，推出四邊形是平行四邊形，得到，，，推出當三點共線時的值最小，由（2）知，得到，根據(jù)勾股定理求出，，得到的最小值為，求得的最小值為，即可得到答案．
【完整解答】（1）解：正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：，理由如下，
如圖，作，交于點，
，
，
由（1）得，
，
正方形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
；
（3）證明：如圖，連接，
是正方形對角線上一點，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）得，
，
；
（4）解：過點作，過點作，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
當三點共線時的值最小，
由（2）知，
，
正方形，
，
，
，
，
，
的最小值為，
的最小值為，
故答案為：．
【考點評析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，勾股定理，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正確作輔助線是解題的關鍵．
23．（24-25八年級下·浙江金華·期中）如圖1，在平而直角坐標系中，直線： 與坐標軸交于A，B兩點，點C為的中點，動點P從點A出發(fā)，沿方向以每秒1個單位的速度向終點O運動，同時動點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線方向運動，當點P到達點O時，點Q也停止運動．以，為鄰邊構造，設點P運動的時間為t秒．
(1)直接寫出點C的坐標為______；
(2)如圖2，過點D作軸，過點C作軸．證明： ；
(3)如圖3，連接，當點D恰好落在的邊所在的直線上時，求所有滿足要求的t的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)或或．
【思路引導】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式分別求出與x，y軸的交點，再根據(jù)中點坐標公式求出點C的坐標即可；
（2）要想證明三角形全等，需要證明三個條件，通過四邊形是平行四邊形易得兩個條件，再根據(jù)一個垂直得到一組角相等，即可解決問題；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等，求出點D的坐標，再分類討論點D在三條邊即是在三條直線上，分別把點D的橫縱坐標代入直線解析式，求得t值即可；
【完整解答】（1）解：∵直線與坐標軸交于A，B兩點，
當時，，當時，，
點A的坐標是，點B的坐標是
∵點C為的中點，
點
故答案為：
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：或或
∵，
∴，
∵點，點，點，
∴，
∴，
∴點，
當點D落在直線上時，則，即，
當點D落在直線上時，
∵點，
∴直線解析式為： ，
∴，
∴，
當點D落在上時，
∵直線解析式為： ，
∴
∴，
綜上所述：或或．
【考點評析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，中點坐標公式，全等三角形的判斷和性質，平行四邊形的性質等知識點，解決此題的關鍵是要能正確的求出點D的坐標．
24．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）反比例函數(shù)的圖象經過點和點．

(1)求、的值；
(2)如圖①，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，小明發(fā)現(xiàn)將點繞原點順時針方向旋轉后得到的點在另一個反比例函數(shù)圖象上，求出點所在的函數(shù)表達式，并寫出自變量取值范圍；
(3)如圖②，已知直線和，將反比例函數(shù)的圖象繞原點旋轉后得到新圖象，在新圖象上任取一點，過點作，垂足分別為點，點．求四邊形的面積．
【答案】(1)，
(2)點所在的函數(shù)表達式為
(3)矩形的面積為6
【思路引導】（1）將點和點代入，解答即可．
（2）作軸，軸，構造一線三垂直全等模型，確定Q的坐標解答即可．
（3）在上取點，使得，作軸，軸，根據(jù)旋轉性質，三角形全等的判定和性質，反比例函數(shù)的性質解答即可．
【完整解答】（1）解：將點和點代入，得：
，
解得．
（2）解：作軸，軸，

根據(jù)題意，得
，
，
軸，軸，
，
，
，
設，則，
設，
，
點所在的函數(shù)表達式為．
（3）解：方法①：

在上取點，使得，作軸，軸，
由旋轉得，
，
，
即四邊形和四邊形為矩形，
，
設，
矩形的面積矩形的面積．
方法②：

設，作，交延長線于點，
為等腰直角三角形，
點，
直線的函數(shù)表達式為，
設，
，
，
，
，
，
，
矩形的面積
．
【考點評析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形全等的判定和性質，旋轉的性質，矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握性質，待定系數(shù)法是解題的關鍵．
25．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
【初步理解】
如圖1，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形；
【嘗試運用】
如圖2，在菱形中，，點、分別在、上（不含端點），連接，，若，證明四邊形是“等鄰邊四邊形”；
【拓展延伸】
如圖3，現(xiàn)有一個平行四邊形材料，連接，，點在上，且，在邊上有一點，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形的面積．
【答案】（1）一定
（2）四邊形是“等鄰邊四邊形”
（3）或或
【思路引導】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義和正方形的判定可得出結論；
（2）如圖②中，結論：四邊形是等鄰四邊形，利用全等三角形的性質證明即可；
（3）如圖③中，過點作于，點作于N，則四邊形是矩形．分三種情形：①當時，②當時，③當時，分別求解即可．
【完整解答】解：（1）∵四邊形的鄰邊相等，
∴矩形一定是正方形；
故答案為：一定；
（2）如圖②，四邊形是等鄰四邊形；
理由：連接，
∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，都是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是等鄰四邊形，
．（3）如圖③中，過點作于，點作于N，則四邊形是矩形．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
①當時，
．
②當時，設，
∵，在中，，
∴，
∴，即，
∴．
③當時，點與重合，此時,
∴．
綜上：四邊形的面積為或或．
【考點評析】本題考查了“等鄰邊四邊形”的定義，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，梯形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．
26．（24-25八年級下·福建漳州·期中）綜合與實踐，問題情境∶活動課上，同學們以等腰三角形為背景展開有關圖形旋轉的探究活動，如圖1，已知中．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉，得到(點D，E分別是點B，C的對應點)，旋轉角為(，設線段與相交于點M，線段分別交于點O，N．
特例分析∶（1）如圖2，當旋轉到時，求旋轉角的度數(shù)？
探究規(guī)律∶（2）如圖3，在繞點A逆時針旋轉過程中，“求真”小組的同學發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你證明這一結論．
拓展延伸∶（3）①求出當是等腰三角形時旋轉角α的度數(shù)．
②在圖3中，作直線，交于點P，直接寫出當是直角時旋轉角的度數(shù)．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）①或；②
【思路引導】本題考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是畫出圖形，正確分類．
（1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得結果；
（2）可證明，從而得出結論；
（3）①分成，及，根據(jù)，利用旋轉的性質、等腰三角形的性質，每種情形可求得另外兩個角，進一步求得結果；
②根據(jù)旋轉的性質進行計算即可．
【完整解答】（1）解：，，
，，
，
，
故答案為：；
（2）證明：，
，
即：，
由旋轉知，；
在和中，
，
，
；
（3）解：①如圖1，
當時，，
，，
，
，
如圖2，
當時，，
，
如圖3，
當時，，
，
此時和重合，這種情形不存在．
綜上所述：或．
②如圖：
當時，
，
，
由旋轉知，，
∴是等邊三角形，
，
，
旋轉角為．
27．（24-25八年級下·吉林長春·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線分別與雙曲線（k是常數(shù)）和軸相交于點和點，且點的縱坐標為3．點在雙曲線上，其橫坐標為．
(1)求雙曲線對應的函數(shù)表達式；
(2)不等式的解集為_____；
(3)當?shù)拿娣e與面積相等時，求點的坐標；
(4)連結．將繞點順時針旋轉得到，連結，當與直線有交點時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或或；
(4)或．
【思路引導】（1）先求出點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出的值即可；
（2）先求出直線與雙曲線的兩個交點的橫坐標，再結合圖象找出直線在雙曲線上方部分對應的自變量取值范圍即可；
（3）過點作直線，則直線，由平行線間距離相等可知，直線與雙曲線的交點為點，聯(lián)立直線和雙曲線，求出交點；在軸上截取，過點作直線，同理求出交點即可；
（4）討論兩個臨界點：①當點在第一象限雙曲線的圖象上，點在直線上時，設，過點作軸于點，過點作延長線于點，證明，得到，，從而得到點的坐標，求出的值；②當點在第三象限雙曲線和直線的交點上時，此時，即可求解．
【完整解答】（1）解：點在直線的圖象上，且縱坐標為3，
則，解得：，
，
點在雙曲線的圖象上，
，
雙曲線對應的函數(shù)表達式為；
（2）解：聯(lián)立，整理得：，
解得：，，
即直線與雙曲線的兩個交點的橫坐標分別為和，
由圖象可知，當或時，直線在雙曲線上方，
即不等式的解集為或，
故答案為：或；
（3）解：的面積與面積相等，
點到直線的距離等于點到直線的距離，
如圖，過點作直線，則直線，
平行線間距離相等，
直線與雙曲線的交點為點，
聯(lián)立，整理得：，
解得：，
點的坐標為或；
如圖，在軸上截取，過點作直線，
令，則，
，
，
，
直線，
聯(lián)立，整理得：，
解得：，
點的坐標為或；
綜上可知，點的坐標為或或或；
（4）解：由旋轉的性質可知，，，
①當點在第一象限雙曲線的圖象上，點在直線上時，
設，
過點作軸于點，過點作延長線于點，則，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
點在直線上，
，
解得：，
則當時， 與直線有交點，
②當點在第三象限雙曲線和直線的交點上時，此時，
則當時， 與直線有交點，
綜上可知，與直線有交點時，的取值范圍為或．
【考點評析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的圖象和性質，反比例函數(shù)的圖象和性質，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質等知識，利用數(shù)形結合的思想解決問題是關鍵．
28．（24-25八年級下·遼寧大連·階段練習）綜合與實踐
如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，點A在y軸負半軸上，，點D在y軸正半軸上，過點B作軸，過點D作交于點C，點E坐標為，．
(1)分別求出點A、點B的坐標；
(2)連結，，取的中點F，連結并延長交直線于點H．
①當t為何值時，四邊形為平行四邊形？
②當是以為腰的等腰三角形時，求t的值．
【答案】(1)A的坐標為，點B的坐標為
(2)①；②或或
【思路引導】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）①根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形的判定和性質即可求解；
②根據(jù)點E的位置進行分類討論即可．
【完整解答】（1）解：∵，，，
∴，解得：（負值舍去），
∴，點B的坐標為
∴A的坐標為；
（2）①∵，，
∴，
∴點，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
即點E是的中點，
∴，
∴當時，四邊形為平行四邊形．
②如圖，當時，，
∴，
，
當點E在線段上時，，
∴，
當點E在延長線上時，，
∴，
如圖，
當時，
連結，
∵，，
∴，
∴，，
又，
，
，
，
即，
又，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵并延長交直線于點H，，
，
又，
∴，
∴，
∴點E與點O重合，
∴，
綜上所述，當或或時，存在以為腰的等腰三角形．
【考點評析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，矩形的判定與性質，直角三角形的判定等知識點，解題關鍵是進行分類討論．
29．（24-25八年級下·江蘇宿遷·期中）（1）問題背景：如圖1，點，分別在正方形的邊，上，，為的中點，求證：；
（2）變式關聯(lián)：如圖2，點在正方形內，點在直線的上方，，，為的中點，求證：．
（3）拓展應用：如圖3，正方形的邊長為2，在線段上，在線段上，，直接寫出的最小值．
【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）
【思路引導】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.
（1）證明 由全等三角形的性質得出；
（2）延長交于， 交于，證明， 由全等三角形的性質得出， 則可得出結論；
（3）過點作， 且使， 連接，， 過點作， 交的延長線于點，證明， 由全等三角形的性質得出，， 即當， ， 三點共線時，的最小值為，求出即可得出答案.
【完整解答】（1）證明：∵四邊形是正方形，
，
，
，
；
（2）證明： 延長交于， 交于，
∵四邊形為正方形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴；
（3）過點作， 且使， 連接，， 過點作， 交的延長線于點，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴， 即當， ，三點共線時，的最小值為，
∵，
，
，
的最小值為．
30．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）已知：線段，點為上一動點（不與，重合），分別以，為邊，在線段的同側作等邊和等邊，連接，
(1)如圖1，若，為邊上的高，
①求的長；
②求證：四邊形為矩形；
(2)只用無刻度的直尺，在圖2中作出的中點，不寫作法，保留作圖痕跡；
(3)在（2）的條件下，當?shù)拈L取最小值時，的長為______（直接寫出結果）．
【答案】(1)①，②見詳解
(2)見詳解
(3)
【思路引導】（1）①根據(jù)題意可得，再利用等邊三角形性質可得；
②由等邊三角形性質可得：，，進而證得四邊形是平行四邊形，再由，即可證得四邊形是矩形；
（2）延長、交于點G，連接交于點M，根據(jù)，，得四邊形是平行四邊形，結合對角線互相平分，故點M是的中點；
（3）由四邊形是平行四邊形，則， ，當最小時，最小，當且僅當時，最小，再利用等邊三角形性質和三角形中位線定理即可求得答案．
【完整解答】（1）解：①如圖1，
∵，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∵為邊上的高，
∴；
②∵和是等邊三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵為邊上的高，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：如圖2，點M即為所求；
（3）解：∵和是等邊三角形，
∴，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴， ，
當最小時，最小，當且僅當時，最小，
∵，
∴是等邊三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【考點評析】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形性質，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形中位線定理，垂線段最短等，熟練掌握平行四邊形的判定和性質等是解題關鍵．2024-2025學年蘇科版數(shù)學八年級下學期期末高頻考點優(yōu)選題匯編復習
解答題典型必刷練30題（培優(yōu)題）
（原卷版）
同學你好，該份練習結合課本內容同步選題制作，貼合書本內容。題目精選近兩年江蘇省各市近兩年常考易錯真題，典型常規(guī)題等重點題目！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，按照考點劃分，解析思路清晰，難度中上，非常適合成績拔尖的同學使用，講義可作為章節(jié)復習，期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
1．（24-25八年級下·山西呂梁·期中）如圖，在中，于點E，于點F，且．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形．
(2)若，求的度數(shù)和．
2．（24-25八年級下·上海嘉定·期末）如圖，點是邊長為6的正方形的邊上的一點，聯(lián)結，將沿折疊得到．聯(lián)結并延長交于
(1)當時，求的長；
(2)設，求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．
3．（24-25八年級下·河南安陽·期中）閱讀下列材料，并解決相應問題：，用上述類似的方法化簡下列各式．
(1)；
(2)若是的小數(shù)部分，求的值．
4．（24-25八年級下·四川巴中·期中）請用所學知識認真化簡計算：
(1) (2)
(4)
5．（24-25八年級下·河南漯河·期中）觀果計算：
（1）_____
____
____（填“>” “<”“=”）
歸納發(fā)現(xiàn)：
（2）由（1）中的各式比較與的大小，并說明理由．
實踐應用：
（3）設計師要對某區(qū)域進行設計改造，將該區(qū)域用籬笆圍成一個長方形花圃，如圖，該花圓恰好可以借用一段墻體，若要圍成一個面積為的花圃，則所用的籬笆至少需要______．
6．（24-25八年級下·湖北孝感·期中）在中，，.點D在的延長線上，，，連接，.，.
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)四邊形能否為正方形？如能，請求出此時的值；如不能，也請說明理由.
7．（24-25七年級上·河南鄭州·期末）某中學開展了“人工智能機器人”知識網(wǎng)上答題競賽，對收集到的數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析．將學生競賽成績的樣本數(shù)據(jù)分成，，，，四組進行整理（滿分100分，所有競賽成績均不低于60分），如表：
組別
成績（/分）
人數(shù)（人）
【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖
【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)本次共調查了______名學生，______，并補全條形統(tǒng)計圖：
(2)在扇形統(tǒng)計圖中，等級所對應的扇形的圓心角為______度；
(3)人工智能在跨境電商發(fā)展中起到關鍵作用，該校同學查閱到某數(shù)據(jù)中心給出的2019－2025年中國跨境電商出口規(guī)模及預測圖，哪一年的同比增長率最高？從圖中你還能發(fā)現(xiàn)哪些信息？寫出一條．
8．（24-25八年級下·江蘇淮安·期中）【問題情境】在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對正方形的折疊問題進行了探究．如圖，正方形的邊長為，是邊上一動點，將正方形折疊，使得點落在邊上的點處，點落在處，交于，折痕為．
【嘗試初探】
（1）如圖1，若，則_______．
【深入思考】
（2）如圖2，連接．
①求證：平分；
②設，，請說明的值為定值，并求出這個定值．
9．（24-25八年級下·河南周口·期中）如圖，，兩點在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)求的值．
(2)求直線的函數(shù)解析式．
(3)過點作軸于點，過點作軸于點，是線段上一點，當時，求點的坐標．
10．（24-25八年級下·廣東江門·期中）觀察下列一組等式，然后解答后面的問題．
，
，
，
．．．．．．
(1)觀察以上規(guī)律，請寫出第個等式： （n為正整數(shù)）．
(2)利用上面的規(guī)律，計算：．
(3)請利用上面的規(guī)律，比較與的大小．
11．（24-25八年級下·福建漳州·期中）我們已經學習了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質，下面，我們研究函數(shù)的圖象和性質，我們不妨特殊化，設，，即．
(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是 ；圖象在第 象限；
(2)閱讀材料：當時，．當時，即，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；
(3)某隧道長，一個勻速前進的車隊有10輛車，每輛車長，相鄰兩車的距離與車速的關系式為，求自第1輛車車頭進隧道至第10輛車車尾出隧道所用時間的最小值．
12．（24-25八年級下·江蘇鹽城·期中）【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．
解：由知，，即①
，故的值為．
（1）第①步由得到逆用了同分母分式加法運算的法則：_______；
第②步運用了乘法公式：________；（法則，公式都用式子表示）
【模仿應用】
（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知，求的值；
【舉一反三】
已知，，，求的值．
13．（24-25八年級下·江西贛州·期中）【特例感知】
化簡：；
解：．
（1）請在橫線上直接寫出化簡的結果：
①__________；
②__________．
【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）第n個式子是（n為正整數(shù)），請求出該式子化簡的結果（需要寫出推理步驟）．
【拓展應用】（3）從上述結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：．
14．（24-25八年級下·河南開封·期中）如圖，的對角線與相交于點，其周長為20，且的周長比的周長小4．
(1)求邊和的長；
(2)若，如圖，過點作交于點，且，求和之間的距離．
15．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）已知在平面直角坐標系中，若一個點的橫、縱坐標分別是另一個點橫、縱坐標的，則稱這個點是另一個點與原點連接線段的中點．
例：有點，若點的坐標為，則點為線段的中點．
根據(jù)以上材料解決下列問題：
如圖，點在反比例函數(shù)上，點在反比例函數(shù)上．
(1)求、的值；
(2)點在反比例函數(shù)上，連接，分別交反比例函數(shù)圖像于兩點，連接．試猜想與的關系，并說明理由．
16．（24-25八年級下·福建泉州·期中）綜合與實踐
函數(shù)復習課后，數(shù)學興趣小組的同學們對函數(shù)的圖象與性質進行探究，過程如下．請完成探究過程：
(1)初步感知：函數(shù)的自變量x的取值范圍是_____．
(2)作出圖象步驟如下：
①列表：
x … 1 2 n 4 …
y … m 2 3 5 0 …
填空：_____，_____．
②描點：以表中各組x，y的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點．
連線：如圖，將圖中y軸兩側的各點分別用一條光滑的曲線順次連接起來，請畫出圖象．
(3)研究性質：
小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，結合反比例函數(shù)的知識，小明將函數(shù)轉化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)的圖象通過某種平移轉化而來的．已知反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為點，結合小明的分析，可知函數(shù)的圖象的對稱中心為點______．
若直線與函數(shù)的圖象相交于P，Q兩點，點P的橫坐標是p，點Q的縱坐標是q，直接寫出的值．
17．（24-25八年級下·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．
(1)求A，B兩點的坐標及反比例函數(shù)的表達式．
(2)若P為x軸上的一動點，且，求點P的坐標．
(3)觀察圖象，直接寫出當時，x的取值范圍．
18．（24-25八年級下·福建泉州·期中）下面是王林同學在作業(yè)中計算的過程，請仔細閱讀后，解答下列問題．
王林的作業(yè)： 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)王林的作業(yè)是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是______．
(2)已知，求的值．
19．（24-25八年級下·河南駐馬店·期中）概念閱讀：
如圖1，在四邊形中，如果對角線和相等，那么我們把這樣的四邊形稱為“和諧四邊形”．
問題提出：
（1）在“平行四邊形、矩形、菱形”中，一定是“和諧四邊形”的是__________（填寫圖形名稱）若“和諧四邊形”的中點四邊形（各邊中點順次連接而成的四邊形）是正方形，那么對角線還需要滿足的條件是_________．
問題探究：
如圖2，已知中，，，請你在圖中找一點D，滿足，且使四邊形是“和諧四邊形”，并求四邊形的面積．
20．（24-25八年級下·山西呂梁·期中）綜合與實踐
【問題情境】綜合與實踐課上，王老師提出了一個有關正方形中“十字型”的問題：
如圖1，在正方形中，邊長為，，分別是邊，上的點，．
【獨立思考】（1）試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．
【問題解決】（2）陽光小組在王老師的問題上繼續(xù)思考．如圖，記與的交點為，若陰影部分的面積之和為，求的面積．
【實踐探究】（3）繽紛小組進一步探究，如圖3，連接并延長，交的延長線于點．已知，，請直接寫出的長．
21．（24-25八年級下·江蘇南通·期中）如圖，點是菱形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個菱形，且，連接，．
(1)求證：；
(2)若，，，求的長．
(3)連接、，若，，，求的面積．
22．（24-25八年級下·江蘇鹽城·期中）【問題初探】
（1）如圖1，在正方形中，點、分別在邊、上，且，垂足為．那么與相等嗎？直接判斷：______（填“”或“”）；
【問題遷移】
（2）如圖2，在正方形中，點、、分別在邊、和上，且，垂足為．那么與相等嗎？證明你的結論；
【問題延伸】
（3）如圖3，正方形中，點為線段上一動點，若垂直平分線段，分別交，，，于點，，，．求證：；
【問題拓展】
（4）如圖4，在邊長為4的正方形中，是的中點．是上的動點，過點作，分別交，于點，．直接寫出的最小值為______．
23．（24-25八年級下·浙江金華·期中）如圖1，在平而直角坐標系中，直線： 與坐標軸交于A，B兩點，點C為的中點，動點P從點A出發(fā)，沿方向以每秒1個單位的速度向終點O運動，同時動點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線方向運動，當點P到達點O時，點Q也停止運動．以，為鄰邊構造，設點P運動的時間為t秒．
(1)直接寫出點C的坐標為______；
(2)如圖2，過點D作軸，過點C作軸．證明： ；
(3)如圖3，連接，當點D恰好落在的邊所在的直線上時，求所有滿足要求的t的值．
24．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）反比例函數(shù)的圖象經過點和點．

(1)求、的值；
(2)如圖①，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，小明發(fā)現(xiàn)將點繞原點順時針方向旋轉后得到的點在另一個反比例函數(shù)圖象上，求出點所在的函數(shù)表達式，并寫出自變量取值范圍；
(3)如圖②，已知直線和，將反比例函數(shù)的圖象繞原點旋轉后得到新圖象，在新圖象上任取一點，過點作，垂足分別為點，點．求四邊形的面積．
25．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
【初步理解】
如圖1，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形；
【嘗試運用】
如圖2，在菱形中，，點、分別在、上（不含端點），連接，，若，證明四邊形是“等鄰邊四邊形”；
【拓展延伸】
如圖3，現(xiàn)有一個平行四邊形材料，連接，，點在上，且，在邊上有一點，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形的面積．
26．（24-25八年級下·福建漳州·期中）綜合與實踐，問題情境∶活動課上，同學們以等腰三角形為背景展開有關圖形旋轉的探究活動，如圖1，已知中．將從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉，得到(點D，E分別是點B，C的對應點)，旋轉角為(，設線段與相交于點M，線段分別交于點O，N．
特例分析∶（1）如圖2，當旋轉到時，求旋轉角的度數(shù)？
探究規(guī)律∶（2）如圖3，在繞點A逆時針旋轉過程中，“求真”小組的同學發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你證明這一結論．
拓展延伸∶（3）①求出當是等腰三角形時旋轉角α的度數(shù)．
②在圖3中，作直線，交于點P，直接寫出當是直角時旋轉角的度數(shù)．
27．（24-25八年級下·吉林長春·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線分別與雙曲線（k是常數(shù)）和軸相交于點和點，且點的縱坐標為3．點在雙曲線上，其橫坐標為．
(1)求雙曲線對應的函數(shù)表達式；
(2)不等式的解集為_____；
(3)當?shù)拿娣e與面積相等時，求點的坐標；
(4)連結．將繞點順時針旋轉得到，連結，當與直線有交點時，直接寫出的取值范圍．
28．（24-25八年級下·遼寧大連·階段練習）綜合與實踐
如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，點A在y軸負半軸上，，點D在y軸正半軸上，過點B作軸，過點D作交于點C，點E坐標為，．
(1)分別求出點A、點B的坐標；
(2)連結，，取的中點F，連結并延長交直線于點H．
①當t為何值時，四邊形為平行四邊形？
②當是以為腰的等腰三角形時，求t的值．
29．（24-25八年級下·江蘇宿遷·期中）（1）問題背景：如圖1，點，分別在正方形的邊，上，，為的中點，求證：；
（2）變式關聯(lián)：如圖2，點在正方形內，點在直線的上方，，，為的中點，求證：．
（3）拓展應用：如圖3，正方形的邊長為2，在線段上，在線段上，，直接寫出的最小值．
30．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）已知：線段，點為上一動點（不與，重合），分別以，為邊，在線段的同側作等邊和等邊，連接，
(1)如圖1，若，為邊上的高，
①求的長；
②求證：四邊形為矩形；
(2)只用無刻度的直尺，在圖2中作出的中點，不寫作法，保留作圖痕跡；
(3)在（2）的條件下，當?shù)拈L取最小值時，的長為______（直接寫出結果）．

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