資源簡介

2024-2025學年蘇科版數學八年級下學期期末高頻考點優選題匯編復習
解答題典型必刷練30題（壓軸題）
（原卷版）
同學你好，該份練習結合課本內容同步選題制作，貼合書本內容。題目精選近兩年江蘇省各市近兩年常考易錯真題，典型常規題等重點題目！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，按照考點劃分，解析思路清晰，難度中上，非常適合成績拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
1．（24-25八年級下·四川遂寧·階段練習）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形的周長與面積的數值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．
【嘗試初探】：
（1）點 “美好點”（填“是”或“不是”）；若點是第一象限內的一個“美好點”，則 ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好點”（）在雙曲線（，且k為常數）上，則 ；
②在①的條件下，在雙曲線上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我們可以從函數的角度研究“美好點”，已知點是第一象限內的“美好點”．
①直接寫出y關于x的函數表達式及自變量的取值范圍
②對于圖象上任意一點，求代數式的值，（直接寫出結果）．
【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②
【思路引導】（1）過點分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D，E，得到，于是矩形的周長為，面積為，不相等，判斷即可；根據點是第一象限內的一個“美好點”，得到，解答即可．
（2）①根據點是“美好點”（），得到，確定m的值，繼而得到點，把確定的坐標代入解析式確定k值即可；
②把代入雙曲線中，得到，得到，過點F作軸于點H，交的延長線于點G，設，直線的解析式為，確定直線的解析式，點G的坐標，根據解答即可．
（3）①根據定義，得，整理表示y即可．
②根據，變形得即，變形解答即可．
【完整解答】（1）解：如圖，過點分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D，E，根據題意，得，
∴矩形的周長為，面積為，不相等，
∴點不是“美好點”；
∵點是第一象限內的一個“美好點”，
∴，
解得．
（2）①∵點是“美好點”（），
∴，
解得，
∴點，
把代入解析式中，得，
解得；
②∵，
∴雙曲線的解析式為，
∵點在上，
解得，
故點，
過點F作軸于點H，交的延長線于點G，
設，直線的解析式為，
根據題意，得，
解得，
∴直線的解析式為，
∵在直線上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（3）①∵點是第一象限內的“美好點”．
∴，
∴，
∵點是第一象限內的“美好點”，
∴，
∴，
∴，
∴或．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
【考點評析】本題考查了矩形的周長和面積，點的坐標特點，待定系數法求反比例函數，正比例函數的解析式，分割法求圖形的面積，正確理解新定義，熟練掌握待定系數法，分割法求圖形的面積是解題的關鍵．
2．（24-25八年級下·福建龍巖·期中）如圖，在矩形中，是邊上一點，連接，過點作交于點，連接．
(1)若，求證：．
(2)若恰好是邊的中點，試探究的形狀，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，當時，直接寫出的值．
【答案】(1)見解析
(2)等腰三角形，理由見解析
(3)
【思路引導】（1）證明．即可得到結論；
（2）延長、交于點，可證，利用全等結論可得為斜邊上的中線，即可得出結論；
（3）連接，當時，，又，則為的中垂線，故．設，則，．在△中，由勾股定理可得，故．
【完整解答】（1）證明：，
．
四邊形為矩形，
，
，
，，
．
在和中，
，
．
．
（2）證明：為等腰三角形，理由如下：
如圖1所示，延長、交于點，
在和中，
，
．
，
又，
．
又，
則為斜邊上的中線，
故有，
故為等腰三角形．
（3）解：如圖所示，連接，
當時，，
又，
則為的垂直平分線，
故．
設，則，
又是邊的中點，
．
在中，由勾股定理可得，
故．
【考點評析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，作出恰當的輔助線是解題關鍵．
3．（24-25八年級下·安徽蕪湖·階段練習）定義：對于平面直角坐標系中的點和直線，我們稱點是直線的“友誼點”，直線是點的“友誼直線”．特別地，當時，直線（為常數）的“友誼點”為．
(1)已知點，則點的“友誼直線”的解析式為______________；直線的“友誼點”的坐標為_________________；
(2)兩點關于軸對稱，且點的“友誼直線”經過點和點，求該直線的解析式；
(3)直線不經過第二象限，為直線的“友誼點”．
①若為整數，求點的坐標；
②直線與軸，軸分別相交于兩點，，為平面內一點，當以為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)；
(2)
(3)①點的坐標為；點的坐標為或或
【思路引導】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，正確理解題意是解題的關鍵．
（1）根據定義可得點的“友誼直線”的解析式為，再根據A、B坐標可得直線的解析式為，則直線的“友誼點”的坐標為．
（2）利用待定系數法得到直線解析式為，則的坐標為，點的坐標為，據此利用待定系數法求解即可；
（3）①根據直線不經過第二象限，得到，則的值為2，由定義可得的坐標為，則點的坐標為．
②求出點的坐標為，點的坐標為，根據，得到，則，再分當為對角線時，，當為對角線時，當為對角線時， 三種情況根據平行四邊形對角線中點坐標相同討論求解即可．
【完整解答】（1）解：由題意得，點的“友誼直線”的解析式為，
∵，
∴直線的解析式為，
∴直線的“友誼點”的坐標為．
（2）解：將代入，得，解得，
∴直線解析式為，
根據定義，的“友誼點”的坐標為，
∵兩點關于軸對稱，
∴點的坐標為，
將代入，得，
解得，
∴直線的解析式為．
（3）解：①∵直線不經過第二象限，
∴，
解得，
又∵為整數，
∴的值為2，
根據題意，直線的“友誼點”的坐標為，
∴點的坐標為．
②當時，，
∴點的坐標為，
當時，即，
解得，
∴點的坐標為，
∵直線不經過第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
當為對角線時，則，
∴，
∴點N的坐標為；
當為對角線時，則，
∴，
∴點N的坐標為；
當為對角線時，則，
∴，
∴點N的坐標為；
綜上所述，點的坐標為或或．
4．（24-25八年級下·吉林松原·期中）如圖，已知四邊形為正方形，點為對角線上的點，連接，過點作，交邊于點，以為鄰邊作矩形，連接．
(1)求證：矩形是正方形；
(2)求證：；
(3)當五邊形為軸對稱圖形時，若，直接寫出的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【思路引導】（1）過點作，，如圖所示，由正方形的判定與性質得到相關角度與線段關系，再由兩個三角形全等的判定得到，則，再由正方形的判定即可得證；
（2）由正方形性質得到相關角度與線段關系，再由兩個三角形全等的判定即可得證；
（3）由五邊形為軸對稱圖形，正方形的邊，得到，，在中，由勾股定理求得，數形結合表示出，代值求解即可得到答案．
【完整解答】（1）證明：過點作，，如圖所示：
四邊形是矩形，
是正方形的對角線，
是的角平分線，
，
四邊形是正方形，
為矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
為矩形，
矩形是正方形；
（2）證明：由（1）知矩形是正方形，
，，
四邊形為正方形，
，，
，
，
在和中，
；
（3）解：五邊形為軸對稱圖形，正方形的邊，
，，
在中，，，則由勾股定理可得，
，
由（2）知，
，
．
【考點評析】本題考查特殊平行四邊形綜合，涉及矩形的性質、正方形的判定與性質、角平分線判定與性質、全等三角形的判定與性質、軸對稱圖形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關幾何判定與性質是解決問題的關鍵．
5．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在正方形中，，點是邊的中點，點是正方形內的一個動點，連結，，將線段繞著點順時針旋轉得到，連結，．
(1)按照題意補全圖形．
(2)求證：．
(3)連結，若，求線段的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)線段的最小值為
【思路引導】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，旋轉的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1）由題意畫出圖形即可；
（2）證明，得出；
（3）連結，將線段繞著點順時針旋轉得到，連結，．證明，得出．得出，即可求解．
【完整解答】（1）解：如圖即為所求圖形．
（2）證明：四邊形是正方形，
，．
又，
．
，
．
．
（3）連結，將線段繞著點順時針旋轉得到，連結，，．
，
．
又，，
．
．
點是邊的中點，
，．
在中，，
．
即線段的最小值為．
6．（24-25八年級下·山東濟南·期中）已知是等邊三角形．
(1)將繞點A逆時針旋轉角，得到，和所在直線相交于點O．
①如圖a，當時，與是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度；
②當旋轉到如圖b所在位置時，求的度數；
(2)如圖，在和上分別截取點和，使，，連接，將繞點逆時針旋轉角，得到，和所在直線相交于點，請利用圖探索的度數，說明理由．
【答案】(1)①是，；②
(2)當時，，當時，點，點，點共線．當時，．
【思路引導】本題考查了旋轉變換的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，根據旋轉變換的性質找出證明全等三角形的條件是解題的關鍵．
（1）①根據旋轉變換的性質以及等邊三角形的性質可得，，然后利用“邊角邊”證明與全等；根據三角形的內角和等于求出與的度數，再根據旋轉角為求出的度數，然后利用四邊形的內角和公式求解即可；
②先利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，再利用四邊形的內角和等于推出，再根據等邊三角形的每一個角都是得到，從而得解；
（2）先求出，證明是等邊三角形，再根據旋轉變換的性質可得，，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，再利用三角形的內角和定理求出的度數，然后分與兩種情況求解．
【完整解答】（1）解：①是由繞點旋轉得到，是等邊三角形，
，，
在與中，
，
；
，
，
又，
在四邊形中，；
②由已知得：和是全等的等邊三角形，
，
是由繞點旋轉得到的，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）如圖，，，
，
，
是等邊三角形，
是等邊三角形，
根據旋轉變換的性質可得，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當時，，
當時，點，點，點共線．
當時，．
7．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，在四邊形中，點、分別在邊、上．連接、．
(1)如圖1，四邊形為正方形時，連結，且，
①已知，，求的長；
②已知，求的值；
(2)如圖2，四邊形為矩形，，點為的中點，，，求的長．
【答案】(1)①10；②4
(2)
【思路引導】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及勾股定理，根據全等三角形對應邊之間的關系，設未知數利用勾股定理列方程為解題關鍵．
（1）①利用勾股定理可直接得出結論；
②延長至點，使，連接，可證明，所以，；進而可得，所以；設，，則，，．所以，在中，利用股定理可得關于和的等式，解之即可得出結論；
（2）如圖，延長、交于點．可證，所以，由，可得，所以，設，則，即，解之即可得出結論．
【完整解答】（1）解：（1）①在正方中，，
在中，，，，
，
即的長為10．
②如圖，延長至點，使，連接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
設，，則，，．
，
在中，，
，
，
，
，即，
的值為4．
（2）解：如圖，延長、交于點．
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
設，則，
即，
解得：，
．
8．（24-25八年級下·福建三明·期中）如圖，在中，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作于點．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接并延長，與的延長線相交于點，證明：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，將沿折疊，當為某個數值時，點落在點的位置，若，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【思路引導】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．
（1）可證得，，從而，進而證得，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）可證得，從而，進而證得，從而得出，根據等腰三角形的定義即可得到結論；
（3）由折疊得，，可證得，，從而，從而得出，進而得出，設，，從而，根據折疊的性質可得，從而得出，從而，在中，根據勾股定理得出，，從而得出，由得，根據三角形的面積公式進一步得出結果．
【完整解答】（1）證明：，
，
，
，
，
線段繞點順時針旋轉得到線段，
，，
，
，
；
（2）證明：是的平分線，
，
由知，，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：沿折疊，點落在點，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
點是的中點；
設，，
，
，
折疊的性質可得，
，
，
，，，，
，
化簡得，，
或，
，
舍去，
，
，
，
，
的面積是．
9．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）在由小正方形組成的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫做格點．其中A、B兩點在格點上．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）
(1)在圖1中先畫出一個以為邊的正方形，再畫出一個以為邊的菱形（菱形不是正方形），并直接寫出__________．
(2)如圖2，點M在格點上，先過點A作交于點G，再在上畫點H，使．
【答案】(1)畫圖見解析；
(2)畫圖見解析
【思路引導】（1）由勾股定理可得，若連接，則由勾股定理逆定理可證明，則正方形即為所求；可得，故菱形即為所求；
（2）取格點，連接并延長交即為點，可得，則，可得，再根據全等三角形對應角相等以及互余關系可證明；
取格點，連接并延長與交點即為點，可得平行四邊形，則，得到，由為中點得到，而，則，故是的垂直平分線，則．
【完整解答】（1）解：如圖，正方形，菱形即為所求；
∵，
，
．
（2）解：如圖，點，即為所求：
【考點評析】本題考查了使用無刻度直尺作圖，涉及正方形和菱形的判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜邊中線的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質等知識點，難度較大，解題的關鍵在于找準格點．
10．（24-25八年級下·江蘇揚州·階段練習）（1）如圖1，正方形中，E、F分別是、上的動點，且，與交于點G，直接寫出與的關系： （不要求證明）
（2）利用上述結論解決以下問題：
【問題1】
在（1）的條件下，在上截取的平分線交于點N，連接，如圖2，求證：．
【問題2：延伸】
①如圖3，已知正方形的邊長為2，點E，F分別是邊，上的兩個動點，且滿足，連接，，則的最小值為 ．
②如圖4，在正方形中，M為上一點，且，E、F分別為、上的動點，且，若，求的最小值．
【答案】（1），；（2）問題1：見解析；問題2：①；②
【思路引導】（1）根據正方形的性質證明即可得到答案；
（2）問題1：如圖，過作，與交于點，由正方形的性質結合已知條件證明，是等腰直角三角形，從而可得結論；
問題2：①連接，由（1）可知，，延長至，使得，連接，則垂直平分，得，則，當在上時取等號，再根據勾股定理即可求解；
②設，則，，最小值可以看作在平面直角坐標系中，點到定點，距離之和最小，進而求得．
【完整解答】解：（1）在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，則，
∴，
故答案為：，；
（2）問題1：如圖，過作，與交于點，
四邊形是正方形，則
，
由（1）得：，
，
，
，則是的垂直平分線，
，則，
平分
，
，
，
，則，
，
；
問題2：①在正方形中，，
連接，由（1）可知，，
延長至，使得，連接，則垂直平分，
∴，

則，當在上時取等號，
∵，則，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：；
②如圖，

作于，
∵，，
∴，
設，則，
∴，
在中，，
在中，，
∴
，
最小值可以看作在平面直角坐標系中，點到定點，的距離之和最小，
如圖，

作J的對稱點，連接，
則與x軸的交點是H點，此時最小，
作軸于T，
．
【考點評析】本題考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，軸對稱的性質等知識，正確作圖和掌握相關圖形的判定與性質是解題的關鍵．
11．（24-25八年級下·四川成都·期中）如圖：在平面直角坐標系中， ，，，將繞點B順時針旋轉得．
(1)求直線解析式．
(2)點P是第一象限直線上一點，當時，求點P的坐標．
(3)在（2）的前提下，點N是直線上的點，點M是x軸上的點，當點B、P、M、N四點構成平行四邊形時，請求出點M的橫坐標．
【答案】(1)直線解析式為
(2)
(3)的橫坐標為
【思路引導】此題考查了一次函數的圖象和性質、平行四邊形的性質，熟練掌握一次函數的圖象和性質是關鍵．
（1）求出，，利用待定系數法求出直線解析式即可；
（2）連接，設，根據和，，列方程解方程即可得到答案；
（3）設，，當，為對角線，當，為對角線，當，為對角線，分以上三種情況進行解答即可．
【完整解答】（1）解：過E作軸于K，如圖：
∵ ，，，
∴，
∵將繞點B順時針旋轉得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線解析式為，把，代入，
得：，
解得，
∴直線解析式為；
（2）連接，如圖：
設，
，
，
，
，
解得，
；
（3）設，，
由，，
當，為對角線，則，的中點重合，
，
解得，
，此時，重合，不符合題意，舍去；
當，為對角線，同理可得，
解得，
，此時的橫坐標為；
當，為對角線，同理可得，
解得，
，此時，重合，不符合題意，舍去；
綜上所述，的橫坐標為．
12．（24-25八年級下·四川成都·期中）定義：如果四邊形的一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離都等于這條對角線長的一半，那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”．
(1)在下列圖形中：①平行四邊形、②矩形、③菱形，一定是“等距四邊形”的是______；（填序號）
(2)①：如圖1，在菱形中，于點E，點F是菱形邊上的一點，順次連接B、E、D、F，若四邊形為“等距四邊形”，求線段EF的長；
②：將①中條件改為，其余條件不變，請畫出圖形，并求出以為邊的正方形面積．
(3)如圖2，在平行四邊形中，，點P是內任意一點，在上是否分別存在點，使得這些點與點P的連線將恰好分割成三個“等距四邊形”，若存在，求這三個“等距四邊形”的周長和，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)②；
(2)①或8；②圖見解析，以為邊的正方形面積為或；
(3)存在，這三個“等距四邊形”的周長和為．
【思路引導】本題考查了矩形、菱形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）根據“等距四邊形”的定義逐一判斷即可．
（2）①分兩種情況：當點F在上且BF⊥AD時，當點在上且時，分別求解即可；
②分兩種情況：當點在上且時， 當點在上且時，四邊形是等距四邊形，分別求解即可；
（3）過點分別作于，于，于，先證明四邊形是菱形，再得到是等邊三角形，根據勾股定理得到，根據三角形面積公式即可求解．
【完整解答】（1）解：①平行四邊形對角線互相平分，一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離不等于另一條對角線長的一半，不符合題意；
②矩形的對角線相等且互相平分，一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離等于這條對角線的一半，符合題意；
③菱形的對角線互相平分，對角線不一定相等，因此一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離不等于另一條對角線的一半，不符合題意；
故答案為：②；
（2）解：①根據等距四邊形的定義，當點F在上且BF⊥AD時，四邊形是等距四邊形，如圖1，取的中點O，連接，
∵，
，
，
四邊形是等距邊形，
在菱形中，，，，
，
，
，
，
根據菱形的對稱性得，，
是等邊三角形，
在中，，
，
根據勾股定理得，，
，
當點在上且時，四邊形是等距四邊形，如圖，
連接，，交于點，
，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，在菱形中，，，
，
；
②根據等距四邊形的定義，當點在上且時，四邊形是等距四邊形，如圖，取的中點，連接，，，
，，
，
，
四邊形是等距邊形，
在菱形中，，，，
，
，
，
，
根據菱形的對稱性得，，
是等腰三角形，
在中，，
，
過作于，
，
，
，
∴以為邊的正方形面積為；
當點在上且時，四邊形是等距四邊形，如圖，
連接，，交于點，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴以為邊的正方形面積為；
（3）解：過點分別作于，于，于，如圖2，
同（2）的方法得，四邊形，四邊形，四邊形是等距四邊形，過點作于，
∵在平行四邊形中，，
∴四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形．
在中，，，
∵，
∴，
根據勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形，四邊形，四邊形的周長的和為．
13．（24-25八年級下·廣東珠海·期末）已知：在正方形中，為上一點，過作于，延長至點，連接．
(1)如圖1，求的度數；
(2)如圖2，延長、交于點，連接、，若為中點，，求正方形的周長．
【答案】(1)
(2)
【思路引導】本題主要考查了正方形的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、四點公圓等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
（1）由正方形的性質可得，再根據同角的余角相等可得，然后再根據三角形內角和定理以及等量代換即可解答；
（2）如圖：過作于I，連接、，則；根據正方形的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質可得以及四點共圓，進而得到，再證明；再證明可得，即；然后證明，、，即；最后運用勾股定理以及正方形的性質即可解答．
【完整解答】（1）解： ∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：如圖：過作于I，連接、，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵為中點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴正方形的周長為．
14．（24-25八年級下·江蘇南京·期中）已知，在正方形中，，，將線段繞點D逆時針旋轉得到，連接，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，直線與交于O，與交于H，，；
①求證：四邊形是正方形；
②在線段旋轉的過程中，請直接寫出四邊形面積的最小值________．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②20
【思路引導】（1）根據證明三角形全等即可；
（2）①根據鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；
過點D作于點Q，證明，得出，根據勾股定理得出，根據，得出最大時，最小，根據，得出，即可得出答案．
【完整解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
根據旋轉可知：，，
∴，
，
在和中，
；
（2）證明：根據解析（1）可知：，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形；
過點D作于點Q，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，，
最大時，最小，
∵，
，
∵四邊形為正方形，
∴正方形面積的最小值為．
【考點評析】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
15．（24-25八年級下·浙江杭州·階段練習）在矩形中，，點在線段上運動，作關于直線的對稱（點的對稱點分別為）
(1)如圖1，當點在的延長線上時，求的長．
(2)如圖2，當點與點重合時，連結，交分別于點、，求證：．
(3)當直線經過點時，求的長．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【思路引導】本題主要考查了軸對稱的性質，矩形的性質，勾股定理，三角形中位線定理，熟知相關知識是解題的關鍵．
（1）由勾股定理求出，由軸對稱的性質得到，則，據此利用勾股定理求解即可；
（2）連結交于點，可證明為的中位線，得到，由，即可證明．
（3）連接，導角證明，當直線經過點時，，則，由勾股定理可得解方程即可得到答案．
【完整解答】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵、關于直線對稱，
∴，
∴
在中，；
∴的長為；
（2）證明：連結交于點，
∵四邊形為矩形，
∴，
∵關于對稱，
∴垂直平分，
∴為的中點，
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴．
（3）解：連接，
∵、關于直線對稱，
∴，
∵，
∴，即，
當直線經過點時，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
∴，
∴．
16．（24-25八年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中有，，，、、．
(1)求C點坐標；
(2)將沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點、正好落在某反比例函數圖象上．請求出這個反比例函數和此時的直線的解析式；
(3)在（2）的條件下，直線交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【思路引導】（1）過點C作軸于點N，證明得到，，即可求解；
（2）根據平移的性質，用待定系數法求出反比例函數和直線的解析式；
（3）根據平行四邊形對角線互相平分的性質，取的中點Q，過點Q作直線與x軸交于點，與的圖象交于點，求出的點M和P的坐標即可．
【完整解答】（1）解：過點C作軸于點N．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：設反比例函數解析式為，沿x軸的正方向平移a個單位長度，
∴，，
∵點、正好落在反比例函數圖象上，
∴，，
∴，解得，
∴，即反比例函數解析式為．
∵，
∴，，
設直線的函數解析式為，
∴，解得
∴直線的解析式為．
（3）解：對于直線，當時，，
∴，
設是的中點，
∵，，
∴，
過點作直線與軸交于點，與的圖象交于點，
若四邊形是平行四邊形，
則有，
易知點的橫坐標大于，點的橫坐標小于，
作軸于點，軸于點，與交于點，作軸于點，
則，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設，
∴點的橫坐標，點的縱坐標，點的坐標是，
∵在反比例函數的圖像上，即，
解得，
∴，．
【考點評析】本題主要考查了坐標與圖形、全等三角形的判定與性質、求反比函數解析、求一次函數解析式、一次函數與反比例函數綜合應用、平行四邊形的性質等知識，運用數形結合和分類討論的思想分析問題是解題關鍵．
17．（24-25八年級下·山東青島·階段練習）如圖1，以為邊構造平行四邊形、，，，，，，動點從點出發向點運動，速度為，同時，動點從點出發向點運動，速度為，設與的交點為．
(1)當運動時間________，是等腰三角形；
(2)當_________，四邊形是平行四邊形；
(3)當_________時，點在的角平分線上；
(4)如圖，若將平行四邊形繞點逆時針旋轉之后得到平行四邊形，再將它沿方向平移得到平行四邊形，當點落在上時，則線段________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【思路引導】（）由平行四邊形性質可得，，當是等腰三角形時，則有是等邊三角形，所以，從而求解；
（）延長交于點，由四邊形是平行四邊形，得，故，由，則，可得，當四邊形是平行四邊形時，，故有，然后解出的值即可；
（）由在的角平分線上，則，由（）得，，證明四邊形是平行四邊形，根據性質可得，故有，然后解出的值即可；
（）由題意可得，則，所以三點共線，過作交延長線于點，過作交延長線于點，則，所以四邊形是矩形，則，，根據平行四邊形性質得，，，所以，得到，由勾股定理得：，同理得：，最后用線段和差即可求解．
【完整解答】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
當是等腰三角形時，則有是等邊三角形，
∴，
∴運動時間，
故答案為：；
（2）解：延長交于點，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當四邊形是平行四邊形時，，
∴，解得：；
故答案為：；
（3）解：如圖，
∵在的角平分線上，
∴，
由（）得，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，解得：，
故答案為：；
（4）解：如圖，由題意可得，
∴，
∴三點共線，
過作交延長線于點，過作交延長線于點，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
同理得：，
∴，
∴，
故答案為：．
【考點評析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，旋轉和平移的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
18．（24-25八年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點、點，直線與相交于點，與軸相交于點，與軸相交于點．
(1)求直線的表達式；
(2)結合圖象直接寫出不等式的解集：
(3)求的面積；
(4)點在軸上，坐標平面內是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)：或或或．
【思路引導】（1）把點代入可得，再代入可得答案；
（2）結合函數圖象可得答案；
（3）先求解，可得，再利用三角形的面積公式計算即可；
（4）由以點，，，為頂點的四邊形是菱形，如圖，當為對角線時，記交點為，如圖，當為對角線時，記交點為，如圖，當為對角線時，再進一步求解即可．
【完整解答】（1）解：∵直線分別與軸、軸相交于點、點，直線與相交于點，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴直線的表達式為：；
（2）解：由圖象可得：不等式的解集為：；
（3）解：∵直線分別與軸、軸相交于點、點，
∴當時，，當時，，
解得：，
∴，；
∵直線與軸相交于點，與軸相交于點，
∴當時，，
當，解得：，
∴，，
∴，
∴．
（4）解：∵以點，，，為頂點的四邊形是菱形，
如圖，當為對角線時，記交點為，
∴，，，
∵，
∴，
如圖，當為對角線時，記交點為，
設，則，
∴，
解得：或，
∴或，
結合平移可得：
或；
如圖，當為對角線時，
設，則，
∴，
解得：，
∴，
結合平移可得：，
綜上：或或或．
【考點評析】本題考查的是一次函數的幾何應用，菱形的性質，勾股定理的應用，熟練的畫出圖形，利用數形結合的方法解題是關鍵．
19．（24-25八年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸相交于、兩點，點在線段上，將線段繞著點順時針旋轉得到，此時點恰好落在直線上，過點作軸于點．
(1)求證：；
(2)如圖2，將沿軸正方向平移得到，當直線經過點時，
①點的坐標為______；
②求出平移的距離；
(3)若點在軸上，點在直線上，是否存在以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
(3)存在，點的坐標為或
【思路引導】（1）根據證明；
（2）①設，由（1）知得，，表示，由點在直線上，求出，再根據、坐標求出直線的解析式，由平移知可設直線的解析式，再求出的坐標；②代入的坐標求出，計算出坐標即可求出的長度；
（3）分為平行四邊形的邊和對角線分別考慮，當為邊時，根據平移可知的橫坐標，代入直線的解析式，求出的坐標，從而得到的坐標，當為對角線同理解決．
【完整解答】（1）證明：線段繞著點順時針旋轉得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）解：①與軸、軸相交于、兩點，
，，
設，
由（1）知，
，，
，
點在直線上，
，
解得，
，，
故答案為：；
②設直線的解析式為，
則，
，
直線得到解析式為，
設的解析式為，
點在直線上，
，
，
直線的解析式為，
，
，
，
平移的距離為．
（3）解：，，
當為平行四邊形的一邊時，如圖，
可看成平移得到，
橫坐標為6，
當時，，
，
，
由對稱性可知，
當為平行四邊形的對角線時，如圖，
，
與重合．
綜上點的坐標為或，
【考點評析】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征、三角形全等的判定與性質，平行四邊形的性質等知識，根據平移的特征表示出點的橫坐標是解題的關鍵．
20．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，B的坐標分別為，，點D為對角線中點，點E在x軸上運動，連接，把沿翻折，點O的對應點為點F，連接．
(1)當點F在第四象限時(如圖1)，求證：．
(2)當點F落在矩形的某條邊上時，求的長．
(3)是否存在點E，使得以D，E，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)6或7.5
(3)點或或或
【思路引導】（1）根據折疊的性質及等邊對等角，得到，利用平行線的判定即可得證；
（2）分情況討論，當時，，此時點與點重合；當點與點重合時，利用勾股定理即可解答；
（3）分情況討論，當四邊形為平行四邊形時，，且；當四邊形為平行四邊形時，；當四邊形為平行四邊形時，，利用勾股定理即可解答．
【完整解答】（1）證明：由折疊可知，，
點為中點，
，
，
，
，
，
；
（2）解：當時，，此時點與點重合，
，
，四邊形是矩形，
，
；
如圖①，當點與點重合時，，，
在中，，
即，
解得，
；
綜上，的長為6或；
（3）解：存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．
如圖②，當四邊形為平行四邊形時，，且，
，，
，
是的中點，，
，
，
或；
如圖③，當四邊形為平行四邊形時，，
，
，
，
在中，，
；
如圖④，當四邊形為平行四邊形時，，
，
，，
在中，，
．
綜上，點坐標為點或或或．
【考點評析】本題考查四邊形的綜合應用，主要考查矩形的性質，平行四邊形的性質，坐標與圖形的性質，掌握矩形的性質，平行四邊形的性質是解題的關鍵．
21．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究發現】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【嘗試應用】如圖3，已知為的一條中線，，求的長．
【拓展提升】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為 ．
【答案】探究發現：依然成立，見解析；嘗試應用：；拓展提升：200
【思路引導】此題考查了勾股定理、三角形全等的判定與性質、平行四邊形的判定和性質、矩形的性質等知識，熟練掌握勾股定理和數形結合是解題的關鍵．
探究發現：作于點E，作交的延長線于點F，則，證明，，利用勾股定理進行計算即可得到答案；
嘗試應用：延長到點C，使，證明四邊形是平行四邊形，由【探究發現】可知，，則，代入數據計算即可得到結果；
拓展提升：由四邊形是矩形，，得到，，設，，由勾股定理得到，根據非負數的性質即可得到答案．
【完整解答】解：探究發現：結論依然成立，理由如下：
作于點E，作交的延長線于點F，則，
∵四邊形為平行四邊形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
嘗試應用：延長到點C，使，
∵為的一條中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵．
∴由探究發現可知，，
∴，
∴，
∴（負值舍去）；
拓展提升：∵四邊形是矩形，，
∴，，
設，則，
∴
，
∵，
∴當時，的最小值是．
22．（24-25八年級下·遼寧大連·期中）如圖，在矩形中，對角線，交于點O，過O作，交邊于點E．
(1)如圖1，連接，求證：；
(2)如圖2，過E作于F，若，，求的值；
(3)過A作于G，交邊于點H．
①如圖3，當點H在點E左側時，猜想與的數量關系，并證明；
②如圖4，當點H在點E右側時，直接寫出，，之間的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①，證明見解析；②
【思路引導】（1）利用矩形性質，得，結合，證是垂直平分線，推出，，進而．再由矩形對角線相等且互相平分，得，推出．通過角的等量代換，證得．
（2）先根據矩形性質及勾股定理求出對角線長度，進而得的值．利用矩形面積公式求出面積，再由是中點，得面積，根據面積等于與面積和，結合，列出關于的等式，求解得出其值．
(3)①取中點或利用構造中位線，結合平行關系證明平行四邊形，通過邊的等量代換得出．構造全等三角形，證明與其他三角形全等，再結合中位線或其他線段關系，得到與的數量關系．通過中位線得到線段平行，利用角的等量關系證明全等或相似，進而推出．②取中點，連接、，類比第一小問思路，得到、．由，將代入；再根據，把與的關系代入等式，經過等式變形和化簡，最終得出．
【完整解答】（1）證明：四邊形是矩形，
．
又，
是線段的垂直平分線，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
；
（2）四邊形是矩形，
，
，，
在中，
根據勾股定理，得
，
，
，
，
為中點，
．
，
，
，
；
（3）①猜想：．
證明：方法一：如圖1，取中點，連接，，
為中點，為中點，
為的中位線，
．
，
，
．
于，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
；
方法二：如圖2，延長交于，延長，交于點．
四邊形是矩形，
，．
．
又，
，
，
．
，
，
，
于，
，
，
，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，即，
；
方法三：如圖3，取的中點，連接．
四邊形是矩形，
，
為中點，
是的中位線，
，
．
四邊形是矩形，
，，，
，
，
．
，于，
．
，，，
，
，
．
又，
．
，
，
；
方法四：如圖4，延長交于點，過作于，
四邊形是矩形，
，．
，
又，
，即．
于，
，
又四邊形是矩形，
，
四邊形為矩形，
．
四邊形為矩形，
，，，
，
，
于，
，
，
，
，，
，
，
，
；
方法五：如圖5，在上取點，使，連接，
四邊形是矩形．
，
又，
是中位線．
，．
，
四邊形是矩形，
，，，
，
．
，
，
于，
，
，
，
．
四邊形是矩形，
，．
，
，；
方法六：如圖6，延長至，使，連接，
四邊形是矩形，
，，
是的中位線，
，．
四邊形是矩形，
，，，
，
．
于，，
．
，，
．
，
，
，
，
．
方法七：如圖7，連接并延長至點，使，過作于．
四邊形是矩形，
，
是的中位線，
，．
四邊形是矩形，
，
，
，
．
又，
，
．
四邊形是矩形．
，，，
，
，
于，
，
，
，
，
，
，
，
．
又，
，
，
；
②．
解析：如圖8，取中點，連接，，
同理可得，．
，
，
，
，
，
．
【考點評析】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、中位線定理、平行四邊形的判定和性質等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
23．（2025·江蘇揚州·二模）在平面直角坐標系xOy中，將任意兩點與之間的“直距”定義為：．例如：點，點，則．
(1)已知兩點，則______；
(2)已知點M在反比例函數第一象限的圖像上，若線段，求；
(3)已知兩點，如果直線AB上存在點C，使得，請直接寫出點C的坐標．
【答案】(1)5
(2)
(3)點C的坐標為或
【思路引導】本題考查了新定義下的兩點之間的“直距”定義，考查了絕對值的幾何意義，解不等式，理解新定義是解題的關鍵．
（1）根據“直距”的定義即可得出答案；
（2）設點M的坐標為，且，根據“直距”的定義可得，化簡，即可求解；
（3）設直線的解析式為，可求出直線的解析式為，設點C的坐標為，根據“直距”的定義列出等式，再分類討論，即可解答．
【完整解答】（1）解：，
故答案為5．
（2）∵點M在反比例函數第一象限的圖像上，
∴設點M的坐標為，且．
∵，
∴，
即，
即，
∴．
（3）設直線的解析式為，
將分別代入，得
，解得，
∴直線的解析式為．
設點C的坐標為，
∴，
①當時，，
∴，
解得，不合題意，舍去．
②當時，，
∴，
解得，
∴C；
③當時，，
∴，
解得，
∴C；
綜上所述，點C的坐標為或．
24．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖直角坐標系中，矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，．
(1)若反比例函數的圖象經過直線上的點，且點的坐標為，求的值及反比例函數的解析式；
(2)若（2）中的反比例函數的圖象與相交于點，連接，在直線上找一點，使得，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)或
【思路引導】（1）由題意易得，，求出直線的解析式，把的坐標代入求出的值，從而求得反比例函數的解析式；
（2）當點在下面時，延長至，使，連接，過點作直線 交直線于，則，求出直線的解析式，進而得出直線的解析式，從而求出點的坐標；當點在上面時，在上取點，使，連接，則，，過點作直線 交直線的延長線于，則，求出直線的解析式，從而求出點的坐標．
【完整解答】（1）解：∵矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，，
∴，，，
∴，，
設直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為，
∵點直線上，
∴，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴反比例函數的解析式為．
（2）解：情況一：延長至，使，連接，則，
在 中，當 時，，
，
∴，
過點作直線 交直線于，則，
設直線的解析式為，
則，得 ，
，
設直線的解析式為，代入 解得：，
，
當時，
點；
情況二：在上取點，使，連接，則，，
過點作直線 交直線的延長線于，則，
設直線的解析式為，代入 解得：，
，
當時，
點；
綜上所述，點坐標為或．
【考點評析】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，坐標與圖形性質，平行線的性質，待定系數法確定函數解析式，數形結合是解題的關鍵．
25．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）【問題背景】（材料原題）已知：如圖①，在菱形中，，點、分別在邊、上．
【問題探究】（1）①，②，從上面兩個條件中選擇一個說明是等邊三角形；
【問題拓展】（2）如圖②，在（1）的條件下，與交于點，若，求的長；
【問題延伸】（3）如圖③，在（1）的條件下，點在延長線上，若，取的中點，連接，求的最小值．
【答案】（1）選①，說明見解析；選②，說明見解析；（2）；（3）最小值為
【思路引導】（1）①，根據菱形的性質，等邊三角形的判定解答即可．
②，根據菱形的性質，等邊三角形的判定解答即可．
（2）作垂直于延長線，垂足為，作，垂足分別為，；
（3）取中點中點，作，交于點，連接，，取中點，根據垂線段最短解答即可．
【完整解答】（1）選①證明：菱形，
，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形．
選②證明：
菱形，
，
，
，
又，
，
，
，
是等邊三角形．
（2）解：作垂直于延長線，垂足為，作，垂足分別為，
由題得，
，
，
平分，
，
，
．
（3）解：取中點中點，作，交于點，連接，，取中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
為中點，
又為中點，
與重合，
共線，
點在線段上運動，
當時，值最小，
，
，
，
，
，
，
最小值．
【考點評析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，熟練掌握性質是解題的關鍵．
26．（24-25八年級下·天津和平·期中）將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點．
(1)如圖①，點在邊上，（點不與、重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經過點，并與軸的正半軸相交于點，且，點的對應點落在第一象限，設，則的大小為___________，并用含有字母的式子表示點的坐標為___________；
(2)如圖②，若在邊上一點，沿翻折得到新，且交邊于點，若面積為．
①求長；
②求點坐標；
(3)如圖③，點是的中點，點在邊上，且．若為軸上的動點，為軸上的動點，則四邊形的周長最小值為___________（直接寫出結果）．
【答案】(1)；
(2)①；②P點坐標為
(3)
【思路引導】（1）由翻折可得，如圖①，過點作于點E，利用含度角的直角三角形即可求出點O′的坐標；
（2）①根據三角形的面積可得的長，利用等腰三角形的判定得即可；
②根據勾股定理求出的長，然后可得，再根據翻折的性質可得，進而可得P點坐標；
（3）先判斷出點M，N是直線和x，y軸的交點，再利用兩點間的距離公式即可得出結論．
【完整解答】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
由翻折可知：，
∴，
如圖①，過點作于點E，
由翻折可知：,
∴,
∴,
∴,
∴點的坐標為，
故答案為：；；
（2）①∵點，點，
∴，，
∵，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由翻折可知：，
∴，
∴，
∴P點坐標為；
（3）∵點E是的中點，，，，
∴，，
∴，，
∴，
如圖，作點E關于x軸的對稱點為，點F關于y軸的對稱點為，
連接和x軸交于M，和y軸交于N，此時四邊形的周長最小，
∴，，
∵，，
∴，
∴四邊形的周長的最小值
．
故答案為：．
【考點評析】本題考查了四邊形綜合問題，矩形的性質，翻折變換，勾股定理，三角形面積，最短路徑問題，解題關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
27．（24-25八年級下·江蘇泰州·階段練習）矩形是最基本的幾何圖形之一，其性質為構建幾何知識體系提供支撐，通過研究矩形，同學們能理解角、邊、對角線的關系，掌握幾何圖形的研究方法，培養空間觀念和幾何邏輯推理能力．
【知識感知】善于動腦的小紅發現，如果在矩形所在平面內任意取一點，連結，，，，必然會有，請在圖1和圖2中任意選擇一個證明．
【性質應用】如圖3，在矩形中，為對角線交點，已知，，且，求的長度；
【拓展延伸】如圖4，在中，，，是外一點，且，，求的取值范圍．
【答案】[知識感知]見詳解 [性質應用] [拓展延伸]
【思路引導】[知識感知]如圖1，當點P在矩形內部時，過P作于G，交于N，四邊形、四邊形是矩形，得，再由勾股定理即可得出結論；如圖2，當點P在矩形外部時，同理可得出結論；
[性質應用]運用矩形的性質以及勾股定理得，結合點在矩形內，則，因為，代入數值得，解得，（舍去），即可作答．
[拓展延伸]充分理解題意，過點A作，過點B作，與交于點E，連接，證明四邊形為矩形，結合在矩形所在平面內任意取一點，連結，，，，必然會有，同理得，代入數值解得，在中，由三角形的三邊關系可得：，當C、D、E三點共線時，，或，則的取值范圍為，即可作答．
【完整解答】解：[知識感知]
如圖1，當點P在矩形內部時，過P作于G，交于H，
∴
∴四邊形是矩形
同理得四邊形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，，
∴；
如圖2，當點P在矩形外部時，過P作于G，交于H，
同理證明四邊形、四邊形是矩形，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，，
∴；
[性質應用]
在矩形中，為對角線交點，已知，，
∴，，
∴設則，
∵點在矩形內，
∴，
連接
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，（舍去），
∴；
[拓展延伸]
過點A作，過點B作，與交于點E，連接，如圖，
∵，，
∴
∴四邊形為矩形，
∴，
∵在矩形所在平面內任意取一點，連結，，，，必然會有
∴同理得，
∵，，
即，
解得：（負值已舍去），
在中，由三角形的三邊關系可得：，
∴
∴當C、D、E三點共線時，，此時取最小值為，
即的最小值為．
∴當C、D、E三點共線時，，此時取最大值為，
即的最大值為．
∴的取值范圍為．
【考點評析】本題考查了矩形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系，運用平方根解方程，熟練運用數形結合以及分類討論思想是解題的關系，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
28．（24-25八年級下·重慶·階段練習）是等腰直角三角形，，在外有一點D，連接、．
(1)如圖1，與相交于點P， ，，，求的長度．
(2)如圖2，將線段繞點A逆時針旋轉得線段，且點E恰好在的延長線上，過點A作交于點F、交于點G，連接，求證：．
(3)如圖3，在（2）的條件下，，，點H是直線上的一動點，連接．將繞點G順時針旋轉到，連接．點N是內部的一動點，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【思路引導】(1)可得是等腰直角三角形，從而得出和的長，進而在直角三角形中求得，進一步得出結果；
(2)可證得，從而，可證得是的中位線，從而，進一步得出結論；
(3)以為邊，在上方作等邊三角形，作平分，并延長至，使，連接，，作于，連接，可證得，從而．從而得出點在與成的直線上運動，可證得點、、共線，求得，解三角形，求得的值，進一步得出結果.
【完整解答】（1）解：是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
在中， ，，
，
；
（2）證明：∵線段繞點A逆時針旋轉得線段，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
是的中位線，
，
，，
，
，
∴，
；
（3）解：如圖，
以為邊，在上方作等邊三角形，作平分，并延長至W，使，連接，，作于T，連接，
，，
，
繞點G順時針旋轉到，
，，
，
，
，
，
，
∴點M在與成的直線上運動，
由（2）知，
是的中位線，
，
，
，
，
，
∴點W、M、E共線，
是的垂直平分線，
，
，
，
設，則，，
，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
（舍去），
，
∴當M在T處時，最小．
【考點評析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，旋轉的性質等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．
29．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）德強學校初三學年數學興趣小組開展綜合實踐活動，趙老師讓同學們以“三角形與四邊形的相互轉化”為主題展開數學活動．智慧小組發現，特殊三角形和特殊四邊形之間可以相互轉化解決問題．例如矩形可以轉化為兩個直角三角形，菱形可以轉化為兩個等腰三角形等；而特殊三角形也可以轉化為特殊四邊形．他們通過探究，提出“以等腰三角形為背景可以構造出平行四邊形”，由此抽象出下列幾何圖形，并設置相關問題，請你幫助解答下面問題：
【初步感知】如圖1，在等腰三角形ABC中，，過點B作，F為BC延長線上一點，連接FE并延長與CA的延長線相交于點G，．求證：四邊形ABEG為平行四邊形；
【觀察發現】如圖2，在（1）的條件下，D為AB上一點，連接GD，通過觀察、猜想并填空，當時，請直接寫出直線DG與BC的位置關系為：______；
【圖形綜合應用】如圖3，在（2）的條件下，，連接BG與AE相交于點O，連接CD，當射線CD恰好經過點O時，取BC中點，連接ON，，求線段ON的長度．
【答案】【初步感知】見解析
【觀察發現】
【圖形綜合應用】
【思路引導】（1）利用等腰三角形性質和可知，平行線性質可知，兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形．
（2）根據等腰三角形性質，再利用等腰三角形三線合一可知證．
（3）根據等腰直角三角形性質可證 是矩形，然后證，接著說明是線段的垂直平分線，最后根據中位線可證．
【完整解答】【初步感知詳解】證明：∵在等腰中，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形
【觀察發現詳解】
證明：由（1）得
∵
∴
∴
∵
∴
∴，平分
由（1）知，
∴
∴
【圖形綜合應用詳解】由（1）（2）可知，，
∴，
∴都是等腰直角三角形
∴ 是矩形，
連接BG與AE相交于點O，點是， 的中點，
∵ ，， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴是線段的垂直平分線，
∴ ，
∵ ，
∵是中點，是中點，
∴在中， ，
【考點評析】本題考查了等腰三角形性質，平行線的性質，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形判定，中位線的性質，垂直平分線的證明，是一道綜合題型，解題關鍵是要熟練掌握相關知識點的綜合運用．
30．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，已知平行四邊形中，C是的中點，連接，．
(1)求證∶；
(2)如圖2，點H在上，，連接，過點H作 交延長線于點 F，交 于點 G，求證∶；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作交延長線于點K，連接并延長交于點 P， 過點 P作 于點 M，若 ，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【思路引導】（1）根據平行四邊形性質得，結合，得；（2）過H點作，交于點J，則，可得四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，結合，得，，根據，得，可得，即得；
（3）過H點作，交于點J，過點C作,交于點Q，作于點N，則 ，
由第(2)小題得四邊形是菱形，，根據，得，得，，證明，得，證明，可得，得，，得，得．，得,得，得,證明，得．
【完整解答】（1）證明：∵在中，，
且，
∴；
（2）證明：過H點作，交于點J，
∵中，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：同（2）過H點作，交于點J，再過點C作,交于點Q，作于點N，
則，
由第（2）小題知，四邊形是菱形，，
∴，
∵ ，
∴，
∵ C是中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考點評析】本題考查了平行四邊形的應用．熟練掌握平行四邊形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，菱形的判定和性質，全等三角形的判定及應用，勾股定理，是解題的關鍵．2024-2025學年蘇科版數學八年級下學期期末高頻考點優選題匯編復習
解答題典型必刷練30題（壓軸題）
（原卷版）
同學你好，該份練習結合課本內容同步選題制作，貼合書本內容。題目精選近兩年江蘇省各市近兩年常考易錯真題，典型常規題等重點題目！題目新穎，題量充沛，精選名校真題，模擬題等最新題目，按照考點劃分，解析思路清晰，難度中上，非常適合成績拔尖的同學使用，講義可作為章節復習，期末強化鞏固學習使用。相信本套講義資料可以幫助到你！
1．（24-25八年級下·四川遂寧·階段練習）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形的周長與面積的數值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．
【嘗試初探】：
（1）點 “美好點”（填“是”或“不是”）；若點是第一象限內的一個“美好點”，則 ______；
【深入探究】：
（2）①若“美好點”（）在雙曲線（，且k為常數）上，則 ；
②在①的條件下，在雙曲線上，求的值．
【拓展延伸】：
（3）我們可以從函數的角度研究“美好點”，已知點是第一象限內的“美好點”．
①直接寫出y關于x的函數表達式及自變量的取值范圍
②對于圖象上任意一點，求代數式的值，（直接寫出結果）．
2．（24-25八年級下·福建龍巖·期中）如圖，在矩形中，是邊上一點，連接，過點作交于點，連接．
(1)若，求證：．
(2)若恰好是邊的中點，試探究的形狀，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，當時，直接寫出的值．
3．（24-25八年級下·安徽蕪湖·階段練習）定義：對于平面直角坐標系中的點和直線，我們稱點是直線的“友誼點”，直線是點的“友誼直線”．特別地，當時，直線（為常數）的“友誼點”為．
(1)已知點，則點的“友誼直線”的解析式為______________；直線的“友誼點”的坐標為_________________；
(2)兩點關于軸對稱，且點的“友誼直線”經過點和點，求該直線的解析式；
(3)直線不經過第二象限，為直線的“友誼點”．
①若為整數，求點的坐標；
②直線與軸，軸分別相交于兩點，，為平面內一點，當以為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．
4．（24-25八年級下·吉林松原·期中）如圖，已知四邊形為正方形，點為對角線上的點，連接，過點作，交邊于點，以為鄰邊作矩形，連接．
(1)求證：矩形是正方形；
(2)求證：；
(3)當五邊形為軸對稱圖形時，若，直接寫出的長．
5．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在正方形中，，點是邊的中點，點是正方形內的一個動點，連結，，將線段繞著點順時針旋轉得到，連結，．
(1)按照題意補全圖形．
(2)求證：．
(3)連結，若，求線段的最小值．
6．（24-25八年級下·山東濟南·期中）已知是等邊三角形．
(1)將繞點A逆時針旋轉角，得到，和所在直線相交于點O．
①如圖a，當時，與是否全等？_____（填“是”或“否”），_____度；
②當旋轉到如圖b所在位置時，求的度數；
如圖，在和上分別截取點和，使，，連接，將繞點逆時針旋轉角，得到，和所在直線相交于點，請利用圖探索的度數，說明理由．
7．（23-24八年級下·福建泉州·期末）如圖，在四邊形中，點、分別在邊、上．連接、．
(1)如圖1，四邊形為正方形時，連結，且，
①已知，，求的長；
②已知，求的值；
如圖2，四邊形為矩形，，點為的中點，，，求的長．
8．（24-25八年級下·福建三明·期中）如圖，在中，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作于點．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接并延長，與的延長線相交于點，證明：；
(3)如圖3，在(2)的條件下，將沿折疊，當為某個數值時，點落在點的位置，若，，求的面積．
9．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）在由小正方形組成的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫做格點．其中A、B兩點在格點上．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）
(1)在圖1中先畫出一個以為邊的正方形，再畫出一個以為邊的菱形（菱形不是正方形），并直接寫出__________．
(2)如圖2，點M在格點上，先過點A作交于點G，再在上畫點H，使．
10．（24-25八年級下·江蘇揚州·階段練習）（1）如圖1，正方形中，E、F分別是、上的動點，且，與交于點G，直接寫出與的關系： （不要求證明）
（2）利用上述結論解決以下問題：
【問題1】
在（1）的條件下，在上截取的平分線交于點N，連接，如圖2，求證：．
【問題2：延伸】
①如圖3，已知正方形的邊長為2，點E，F分別是邊，上的兩個動點，且滿足，連接，，則的最小值為 ．
②如圖4，在正方形中，M為上一點，且，E、F分別為、上的動點，且，若，求的最小值．
11．（24-25八年級下·四川成都·期中）如圖：在平面直角坐標系中， ，，，將繞點B順時針旋轉得．
(1)求直線解析式．
(2)點P是第一象限直線上一點，當時，求點P的坐標．
(3)在（2）的前提下，點N是直線上的點，點M是x軸上的點，當點B、P、M、N四點構成平行四邊形時，請求出點M的橫坐標．
12．（24-25八年級下·四川成都·期中）定義：如果四邊形的一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離都等于這條對角線長的一半，那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”．
(1)在下列圖形中：①平行四邊形、②矩形、③菱形，一定是“等距四邊形”的是______；（填序號）
(2)①：如圖1，在菱形中，于點E，點F是菱形邊上的一點，順次連接B、E、D、F，若四邊形為“等距四邊形”，求線段EF的長；
②：將①中條件改為，其余條件不變，請畫出圖形，并求出以為邊的正方形面積．
如圖2，在平行四邊形中，，點P是內任意一點，在上是否分別存在點，使得這些點與點P的連線將恰好分割成三個“等距四邊形”，若存在，求這三個“等距四邊形”的周長和，若不存在，請說明理由．
13．（24-25八年級下·廣東珠海·期末）已知：在正方形中，為上一點，過作于，延長至點，連接．
(1)如圖1，求的度數；
(2)如圖2，延長、交于點，連接、，若為中點，，求正方形的周長．
14．（24-25八年級下·江蘇南京·期中）已知，在正方形中，，，將線段繞點D逆時針旋轉得到，連接，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，直線與交于O，與交于H，，；
①求證：四邊形是正方形；
②在線段旋轉的過程中，請直接寫出四邊形面積的最小值________．
15．（24-25八年級下·浙江杭州·階段練習）在矩形中，，點在線段上運動，作關于直線的對稱（點的對稱點分別為）
(1)如圖1，當點在的延長線上時，求的長．
(2)如圖2，當點與點重合時，連結，交分別于點、，求證：．
(3)當直線經過點時，求的長．
16．（24-25八年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中有，，，、、．
(1)求C點坐標；
(2)將沿x軸的正方向平移，在第一象限內B、C兩點的對應點、正好落在某反比例函數圖象上．請求出這個反比例函數和此時的直線的解析式；
(3)在（2）的條件下，直線交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
17．（24-25八年級下·山東青島·階段練習）如圖1，以為邊構造平行四邊形、，，，，，，動點從點出發向點運動，速度為，同時，動點從點出發向點運動，速度為，設與的交點為．
(1)當運動時間________，是等腰三角形；
(2)當_________，四邊形是平行四邊形；
(3)當_________時，點在的角平分線上；
(4)如圖，若將平行四邊形繞點逆時針旋轉之后得到平行四邊形，再將它沿方向平移得到平行四邊形，當點落在上時，則線段________．
18．（24-25八年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點、點，直線與相交于點，與軸相交于點，與軸相交于點．
(1)求直線的表達式；
(2)結合圖象直接寫出不等式的解集：
(3)求的面積；
(4)點在軸上，坐標平面內是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
19．（24-25八年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸相交于、兩點，點在線段上，將線段繞著點順時針旋轉得到，此時點恰好落在直線上，過點作軸于點．
(1)求證：；
(2)如圖2，將沿軸正方向平移得到，當直線經過點時，
①點的坐標為______；
②求出平移的距離；
若點在軸上，點在直線上，是否存在以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
20．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，B的坐標分別為，，點D為對角線中點，點E在x軸上運動，連接，把沿翻折，點O的對應點為點F，連接．
(1)當點F在第四象限時(如圖1)，求證：．
(2)當點F落在矩形的某條邊上時，求的長．
(3)是否存在點E，使得以D，E，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
21．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究發現】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【嘗試應用】如圖3，已知為的一條中線，，求的長．
【拓展提升】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為 ．
22．（24-25八年級下·遼寧大連·期中）如圖，在矩形中，對角線，交于點O，過O作，交邊于點E．
(1)如圖1，連接，求證：；
(2)如圖2，過E作于F，若，，求的值；
(3)過A作于G，交邊于點H．
①如圖3，當點H在點E左側時，猜想與的數量關系，并證明；
②如圖4，當點H在點E右側時，直接寫出，，之間的數量關系．
23．（2025·江蘇揚州·二模）在平面直角坐標系xOy中，將任意兩點與之間的“直距”定義為：．例如：點，點，則．
(1)已知兩點，則______；
(2)已知點M在反比例函數第一象限的圖像上，若線段，求；
(3)已知兩點，如果直線AB上存在點C，使得，請直接寫出點C的坐標．
24．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖直角坐標系中，矩形的邊在軸上，點的坐標分別為，．
(1)若反比例函數的圖象經過直線上的點，且點的坐標為，求的值及反比例函數的解析式；
(2)若（2）中的反比例函數的圖象與相交于點，連接，在直線上找一點，使得，求點的坐標．
25．（24-25八年級下·江蘇泰州·期中）【問題背景】（材料原題）已知：如圖①，在菱形中，，點、分別在邊、上．
【問題探究】（1）①，②，從上面兩個條件中選擇一個說明是等邊三角形；
【問題拓展】（2）如圖②，在（1）的條件下，與交于點，若，求的長；
【問題延伸】（3）如圖③，在（1）的條件下，點在延長線上，若，取的中點，連接，求的最小值．
26．（24-25八年級下·天津和平·期中）將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點．
(1)如圖①，點在邊上，（點不與、重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經過點，并與軸的正半軸相交于點，且，點的對應點落在第一象限，設，則的大小為___________，并用含有字母的式子表示點的坐標為___________；
(2)如圖②，若在邊上一點，沿翻折得到新，且交邊于點，若面積為．
①求長；
②求點坐標；
如圖③，點是的中點，點在邊上，且．若為軸上的動點，為軸上的動點，則四邊形的周長最小值為___________（直接寫出結果）．
27．（24-25八年級下·江蘇泰州·階段練習）矩形是最基本的幾何圖形之一，其性質為構建幾何知識體系提供支撐，通過研究矩形，同學們能理解角、邊、對角線的關系，掌握幾何圖形的研究方法，培養空間觀念和幾何邏輯推理能力．
【知識感知】善于動腦的小紅發現，如果在矩形所在平面內任意取一點，連結，，，，必然會有，請在圖1和圖2中任意選擇一個證明．
【性質應用】如圖3，在矩形中，為對角線交點，已知，，且，求的長度；
【拓展延伸】如圖4，在中，，，是外一點，且，，求的取值范圍．
28．（24-25八年級下·重慶·階段練習）是等腰直角三角形，，在外有一點D，連接、．
(1)如圖1，與相交于點P， ，，，求的長度．
(2)如圖2，將線段繞點A逆時針旋轉得線段，且點E恰好在的延長線上，過點A作交于點F、交于點G，連接，求證：．
(3)如圖3，在（2）的條件下，，，點H是直線上的一動點，連接．將繞點G順時針旋轉到，連接．點N是內部的一動點，請直接寫出的最小值．
29．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）德強學校初三學年數學興趣小組開展綜合實踐活動，趙老師讓同學們以“三角形與四邊形的相互轉化”為主題展開數學活動．智慧小組發現，特殊三角形和特殊四邊形之間可以相互轉化解決問題．例如矩形可以轉化為兩個直角三角形，菱形可以轉化為兩個等腰三角形等；而特殊三角形也可以轉化為特殊四邊形．他們通過探究，提出“以等腰三角形為背景可以構造出平行四邊形”，由此抽象出下列幾何圖形，并設置相關問題，請你幫助解答下面問題：
【初步感知】如圖1，在等腰三角形ABC中，，過點B作，F為BC延長線上一點，連接FE并延長與CA的延長線相交于點G，．求證：四邊形ABEG為平行四邊形；
【觀察發現】如圖2，在（1）的條件下，D為AB上一點，連接GD，通過觀察、猜想并填空，當時，請直接寫出直線DG與BC的位置關系為：______；
【圖形綜合應用】如圖3，在（2）的條件下，，連接BG與AE相交于點O，連接CD，當射線CD恰好經過點O時，取BC中點，連接ON，，求線段ON的長度．
30．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，已知平行四邊形中，C是的中點，連接，．
(1)求證∶；
(2)如圖2，點H在上，，連接，過點H作 交延長線于點 F，交 于點 G，求證∶；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作交延長線于點K，連接并延長交于點 P， 過點 P作 于點 M，若 ，求線段的長．

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