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中央民大附中紅河州實驗學校2024-2025學年下學期
高二期中考 數學試卷
一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．在復平面內，復數對應點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
4．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（ ）
A．24種 B．16種 C．12種 D．8種
5．等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．已知點，，在所在平面內，且，，，則點，，依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內心
7．若函數 在 上有且僅有 1 個零點和 1 個極值點，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數的定義域為，且都有，則下列說法正確的命題是（ ）
①；②；
③關于點對稱；④
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
二、多選題
9．圓與圓的交點為、，則（ ）
A．公共弦所在直線的方程為
B．兩圓圓心距
C．線段中垂線的方程為
D．公共弦的長為
10．如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點，為側面正方形內一動點，且滿足平面，則（ ）
A．動點的軌跡是一條線段
B．直線與的夾角為
C．三棱錐的體積是隨點的運動而變化的
D．若過，，三點作正方體的截面，為截面上一點，則線段長度最大值為
11．已知函數則下列判斷正確的有（ ）
A．方程的所有解之和為
B．若直線與的圖象有且僅有兩個公共點，則
C．若方程恰有四解，則
D．若有兩正根，則
三、填空題
12．二項式的展開式中含項的系數為 ．
13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過右焦點向圓引一條切線交橢圓于點，連接，如圖，若，則橢圓的離心率 ．
14．紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產卵數與溫度有關．現收集到一只紅鈴蟲的產卵數y（個）和溫度的8組觀測數據，制成圖1所示的散點圖．現用兩種模型①，，②分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．
根據收集到的數據，計算得到如下值：
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中，，，；
（1）根據殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，模型 比較合適？
（2）根據（1）中所選擇的模型，求出y關于x的回歸方程是 ．附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
四、解答題
15．在中，內角所對的邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點，當取得最小值時，求的長.
16．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，F，E分別是PB，PC的中點．
(1)證明：；
(2)求平面ADEF與平面PCD的夾角．
17．已知拋物線C：（）與圓O：交于A，B兩點，且，直線l過C的焦點F，且與C交于M，N兩點.
(1)拋物線C的方程；
(2)求的最小值.
18．已知數列滿足，，數列是公比為正數的等比數列，，且，，8成等差數列，
(1)求數列，的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和；
(3)若數列滿足，求證：.
19．定義：如果函數和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數和具有C關系．
(1)判斷函數和是否具有C關系；
(2)若函數和不具有C關系，求實數a的取值范圍；
(3)若函數和在區間上具有C關系，求實數m的取值范圍．
一、單選題
1．A．
2．A.
3．B
4．C
5．D.
6．A
7．A.
8．D
二、多選題
9．ABC
10．ABD
11．AD
三、填空題
12．720
13．
14．①；．
四、解答題
15．（1）通解：由及正弦定理，
得，
即，
即，
因為，所以，所以.
優解：因為，
所以，
由題意得，即，
所以，得，即，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，
所以.
在中，由余弦定理可得，
，
當且僅當，即，時等號成立，
此時，
故.
16．（1）∵平面ABCD，平面，
∴，
又四邊形ABCD為正方形，
故，AB，PA為平面PAB上的相交直線，
∴平面PAB，
∵平面，
∴，
∵等腰三角形PAB中F是PB的中點，
∴，
∵，平面，
∴平面ADEF，
∵平面ADEF，
∴．
（2）平面ABCD，平面，
故，
易知AB，AD，AP兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標軸建系，
如圖所示，則，，，，，，
由（1）得平面ADEF，
可得平面ADEF的一個法向量，
設平面PCD的一個法向量，
則，
解得，令得，故，
∴，
設平面ADEF與平面PCD的夾角為，則，
故，
∴平面ADEF與平面PCD的夾角為60°．
17．（1）設，根據拋物線和圓的對稱性得，
由，解得，
故點在拋物線：上，
所以，解得，
故拋物線：；
（2）由拋物線：，得，
設直線：，，，
聯立方程，消去得，
則，，
故，
則，
當且僅當，即，時等號成立，
故的最小值為.
18．（1）數列滿足，，
所以（常數），故數列是首項為1，公差為1的等差數列，
故.
數列是公比為正數的等比數列，設公比為，
，且，，8成等差數列，
所以，即，解得，
所以數列是首項為2，公比為2的正數的等比數列.
所以.
故：，.
（2）數列滿足，由（1）得，，
所以，
，
∴；
（3）證明：數列滿足，
時，，
所以
，
故.
19．（1）與是具有C關系，理由如下：
根據定義，若與具有C關系，則在與的定義域的交集上存在，使得，
因為，，，
所以，
令，即，解得，
所以與具有C關系.
（2）令，
因為，，所以，
令，則，故，
因為與不具有C關系，所以在上恒為負或恒為正，
又因為開口向下，所以在上恒為負，即在上恒成立，
當時，顯然成立；
當時，在上恒成立，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
所以，所以，
綜上：，即.
（3）因為和，
令，則，
因為與在上具有C關系，所以在上存在零點，
因為，
當且時，因為，所以，
所以在上單調遞增，則，
此時在上不存在零點，不滿足題意；
當時，顯然當時，，
當時，因為在上單調遞增，且，
故在上存在唯一零點，設為，則，
所以當；當；又當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上存在唯一極小值點，
因為，所以，
又因為，所以在上存在唯一零點，
所以函數與在上具有C關系，
綜上：，即.
試卷第2頁，共4頁

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