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上海市寶山區三校2024-2025學年九年級下學期5月月考數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列實數中，有理數是（ ）
A． B． C． D．
2．下列計算中，正確的是（ ）
A．a2 a4＝a8 B．（a3）4＝a7 C．（ab）4＝ab4 D．a6÷a3＝a3
3．下列函數中，若，則函數值隨自變量的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
4．某人統計九年級一個班35人的身高時，算出平均數與中位數都是158厘米，但后來發現其中一位同學的身高記錄錯誤，將160厘米寫成了166厘米，經重新計算后，正確的中位數是a厘米，那么中位數a應（　　）
A．大于158 B．小于158 C．等于158 D．無法判斷
5．下列說法中，不正確的是（ ）
A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合
C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點O在邊AB上，且BO＝2OA．以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
二、填空題
7．計算： ．
8．因式分解： ．
9．函數y＝的定義域是 ．
10．如果關于的一元二次方程有實數根，那么m的取值范圍是 ．
11．有一枚材質均勻的正方體骰子，它六個面上分別標有數字1、2、3、4、5、6，擲這枚骰子，向上一面出現的點數是素數的概率是 ．
12．如果一個正多邊形的外角是度，那么它的中心角是 度
13．已知：是單位向量，且，若（是一個實數），則
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以點A為圓心，1為半徑作⊙A，將⊙A繞著點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α＜90°），若⊙A與直線BC相切，則∠α的余弦值為 ．
15．空氣質量檢測標準規定：當空氣質量指數W≤50時，空氣質量為優；當50＜W≤100時，空氣質量為良，當100＜Q≤150時，空氣質量為輕微污染．已知某城市4月份30天的空氣質量狀況，統計如表：
空氣質量指數（W） 40 60 90 110 120 140
天數 3 5 10 7 4 1
這個月中，空氣質量為良的天數的頻率為 ．
16．某市出租車計費辦法如圖所示，如果小張在該市乘坐出租車行駛了10千米，那么小張需要支付的車費為 元．
17．如圖，在中，點是的黃金分割點，如果，，則 ．
18．我們知道，互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系．如果坐標系中兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖1，是斜坐標系中的任意一點，與直角坐標系相類似，過點分別作兩坐標軸的平行線，與軸、軸交于點、，若在軸、軸上分別對應實數，則有序數對叫做點在斜坐標系中的坐標．如圖2，在斜坐標系中，已知點、點，是線段上的任意一點，試用含代數式表示，則
三、解答題
19．化簡求值：；其中
20．解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來，
21．在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知直線y＝﹣x+2分別與x軸、y軸交于點A、B，一個正比例函數的圖象與這直線交于點C，點C的橫坐標是1．
（1）求正比例函數的解析式；
（2）將正比例函數的圖象向上或向下平移，交直線y＝﹣x+2于點D，設平移后函數圖象的截距為b，如果交點D始終落在線段AB上，求b的取值范圍．
22．為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護區開展了尋找古樹活動．如圖所示，在一個坡度（或坡比）的山坡上發現有一棵古樹．測得古樹底端到山腳點的距離米，在距山腳點水平距離3米的點處，測得古樹頂端的仰角（古樹，山坡的坡面和點在同一平面上，古樹與直線垂直），
(1)古樹的高度約為多少米？
(2)為了保護古樹，考古隊員準備在樹頂下方0.5米的處拉一根保護繩，其中離距離為6.5米．求繩至少多少米？（結果精確到0.1米，繩子打結處的長度忽略不計）
（參考數據：，
23．如圖，已知在正方形中，點在邊上，過點作交延長線于點，連接，過點作交于點，
(1)求證：；
(2)連接．如果為的中點，求證：．
24．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），經過點的直線與軸負半軸交于點，與拋物線的另一個交點為，且．點是直線上方的拋物線上的動點．
(1)若時，點正好位于拋物線頂點，求的長．
(2)求直線的函數表達式（其中、用含的式子表示）；
(3)若的面積的最大值為，求的值；
25．已知四邊形是邊長為10的菱形，對角線、相交于點，過點作交延長線于點，連接交于點，
(1)如圖1，當時，求；
(2)如圖2，以EF為直徑作，經過點交邊于點，
①若，求的長；
②連接，當是以為腰的等腰三角形時，求的長．
《 上海市寶山區三校2024-2025學年九年級下學期5月月考數學試題》參考答案
1．C
解：A. 是無理數，不符合題意；
B. 是無理數，不符合題意；
C. 是有理數，符合題意；
D. 是無理數，不符合題意；
故選：C．
2．D
A．a2 a4＝a2+4=a6，故此選項計算錯誤，
B．（a3）4＝a3×4=a12，故此選項計算錯誤，
C．（ab）4＝a4b4，故此選項計算錯誤，
D．a6÷a3＝a6-3=a3，故此選項計算正確．
故選D．
3．A
解：A、當時，函數中，函數值隨自變量的值增大而增大，符合題意；
B、當時，函數中，函數值隨自變量的值增大而減小，不符合題意；
C、拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，當時，函數值隨自變量的值增大而減小，不符合題意；
D、當時，函數中，函數值隨自變量的值增大而減小，不符合題意；
故選：A．
4．C
解：∵原來的中位數158厘米，將160厘米寫成166厘米，最中間的數還是158厘米，
∴a＝158，
故選：C．
5．D
解：由題意可知：
A. 周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合，周長相等說明等邊三角形的邊長相等，且等邊三角形的每一個角都為，故說法正確，不符合題意；
B. 面積相等的兩個圓一定能夠重合，面積相等說明圓的直徑相等，故說法正確，不符合題意；
C. 面積相等的兩個正方形一定能夠重合，面積相等說明正方形的邊長相等，且正方形的每個角都為，故說法正確，不符合題意；
D. 周長相等的兩個菱形一定能夠重合，周長相等雖然可以說明菱形的邊長相等，但是不能保證菱形的每個角對應相等，故說法不正確，符合題意；
故選：D
6．C
解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，
∴，
∵BO＝2OA，
∴OA＝10，OB＝20，
過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，
∴，，
∴，，
∴OE＝16，OD＝6，
當⊙O過點C時，連接OC，根據勾股定理得，
如圖，∵以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，
∴r＝6或10或16或，
故選：C．
7．
解：
；
故答案為：．
8．
解：，
故答案為： ．
9．x≠﹣2
解：∵函數y＝，
∴x+2≠0，
解得，x≠-2，
故答案為：x≠-2．
10．m≥ 4
解：根據題意得Δ＝（ 4）2 4×（ m）≥0，
解得m≥ 4，
即m的取值范圍是m≥ 4．
故答案為：m≥ 4．
11．
解：∵擲一次這枚骰子，向上的一面的點數為素數的有2，3，5共3種情況，
∴擲一次這枚骰子，向上的一面的點數為素數的概率是：．
故答案為．
12．
解：正邊形的中心角為，由于個外角的和為，所以每一個外角為，
因此正邊形的中心角與外角相等，
所以它的中心角是度，
故答案為：．
13．/
解：∵，，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案為：．
14．
解：設將⊙A繞著點C順時針旋轉，點A至點A′時，⊙A′與直線BC相切相切于點D，
連接A′D，則∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋轉的性質可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值為 ，
故答案為： ．
15．0.5
解：這個月中，空氣質量為良的天數的頻率為＝0.5．
故答案為：0.5．
16．30.8
由圖象可知，出租車的起步價是14元，在3千米內只收起步價，
設超過3千米的函數解析式為y＝kx+b，
則，
解得，
∴超過3千米時（x＞3）所需費用y與x之間的函數關系式是y＝2.4x+6.8，
∴出租車行駛了10千米則y＝2.4×10+6.8＝30.8（元），
故答案為：30.8．
17．
解：點是的黃金分割點，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
18．
解：如圖，過點分別作，分別交，于點E，F，
∵點、點，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，即．
故答案為：．
19．，
解：
；
當時，原式.
20．﹣4＜x≤2，在數軸上表示見解析
解：，
解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≤2，
故不等式組的解集為﹣4＜x≤2，
將解集表示在數軸上如下：
21．（1）；（2）﹣6≤b≤2
解：（1）把x＝1代入y＝﹣x+2得，y＝，
∴C（1，），
設正比例函數解析式為y＝kx，
把C的坐標代入得k＝，
∴正比例函數的解析式為y＝x；
（2）直線y＝﹣x+2中，令y＝0，則x＝4，
∴A（4，0），B（0，2），
設平移后的直線解析式為y＝x+b，
把A（4，0）代入得，×4+b＝0，
解得b＝﹣6，
把B（0,2）代入得，b=2，
∴符合題意的b的取值范圍是﹣6≤b≤2．
22．(1)古樹的高度約為
(2)繩至少為
（1）解：解：如圖，延長交點H，則，

山坡上坡度，
，
，
設，則，
在中，
，
，
解得：，
，，
在中，，
答：古樹的高度約為
（2）解：過B點作與交與M，
則，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：繩至少為
23．(1)見解析
(2)見解析
（1）證明：∵四邊形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由三角形內角和定理得：，
在和中，
∴．
（2）解：設正方形的邊長為a，
∵為的中點，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)；
(2)；
(3)．
（1）解：過點作軸于，如圖，
當時，，解得，，
，，
對稱軸為直線，
，
，
，
當時，，即頂點坐標為，
當時，，即，
∵時，點正好位于拋物線頂點，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）知，，
將，代入得，
，
解得：，
∴；
（3）解：過點作軸交于點，如圖，
設，則，
，
的面積的面積的面積，
的面積，
當時，的面積有最大值為，
，
解得．
25．(1)
(2)①；②或
（1）解：∵四邊形是菱形，
∴和互相垂直平分，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∴，
當時，，
，
∴，即，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，
∴，
∴；
（2）①，
，
，
，
是的直徑，
，
，
設，
，
，
由（1）知，
，
∴，
∴，
∴，，
過作于，如圖所示：
∴，
過作于，延長交于，連接，如圖所示：
則，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
，
∴，
；
②設，，
連接，如圖所示：
則，
，且，
∴，
∴，
在中，，
∴；
當時，有，
，
，
，
，即為的中點，
又，
是梯形的中位線，
∴，
∴，
∴，
解得x；
當時，連接，如圖所示：
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
綜上所述，的長為或．

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