資源簡介

2025年北票市九年級中考第三次質(zhì)量調(diào)查
數(shù)學試卷
(試卷滿分120分，答題時間120分鐘）
溫馨提示：請把所有的答案都答在答題卡上,答題要求見答題卡，否則不給分.
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，每小題都有四個選項，只有一個最佳選項符合題目要求.）
1．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中對正負數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（　　）
A．0元 B．﹣5元 C．+5元 D．+10元
2．未來將是一個可以預見的AI時代，下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如圖是由5個大小相同的立方體搭成的幾何體，其俯視圖是（　　）
A． B． C． D．
4．為紀念我國著名數(shù)學家蘇步青所做的卓越貢獻，國際上將一顆地球2.18億千米的行星命名為“蘇步青星”，將2.18億用科學記數(shù)法表示為2.18×10n，則n＝（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．下列算式中計算正確的是（　　）
A．x+x2＝x2 B．x6x3＝x18
C．﹣x3﹣（﹣x）3＝0 D．﹣x（x﹣1）＝﹣x2
6．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，線段PQ的兩個端點都在格點上，網(wǎng)格內(nèi)另有A，B，C，D四個格點，下面四個結(jié)論中，正確的是（　　）
A．連接AB，則AB∥PQ B．連接BC，則BC∥PQ
C．連接BD，則BD⊥PQ D．連接AD，則AD⊥PQ
7．一元二次方程x2﹣x+4＝0的根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
8．如圖是甲、乙兩人手中的撲克牌，兩人隨機出一張牌，記甲、乙牌中的數(shù)分別為m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率為（　　）
A． B． C． D．
9．我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設井深為x尺，則下面所列方程正確的是（　　）
A．3（x+4）＝4（x+1） B．3x+4＝4x+1
C．3（x﹣1）＝4（x﹣4） D．3x﹣4＝4x﹣1
10．如圖，在菱形ABCD中，按如下步驟作圖：①分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點M，N；②作直線MN，與CD交于點E，連接BE，若AD＝6，直線MN恰好經(jīng)過點A，則BE的長為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．將點A（﹣2，﹣5）向右平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標是 　 　 ．
12．因式分解：2x2﹣8＝　 　 ．
13．一元一次不等式3x﹣1＞2的解集是 　 　 ．
14．如圖，△ABD和△DEC均為直角三角形，C為BD的中點，若AD⊥CE，AB＝4，ED＝12，則BC的長為 　 　 ．
15．已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，則∠CDP等于 　 　 ．
三、簡答題（共8小題，共75分，解答應寫出文字）
16．(10分)（1）計算：．
（2）計算：．
17．(8分)某校開展“垃圾分類，你我有責”主題活動，為更好地進行垃圾分類，準備購進A，B兩種品牌的垃圾桶，已知購買3個A品牌垃圾桶和4個B品牌垃圾桶共需費用900元，購買3個A品牌垃圾桶的費用和購買2個B品牌垃圾桶費用相同．
（1）求A、B兩種品牌垃圾桶的單價各是多少元？
（2）該校決定購進A、B兩種品牌垃圾桶共20個，購買的總費用不超過2400元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？
18．(8分)為了解某校八、九年級學生的睡眠情況，隨機抽取了該校八、九年級部分學生進行調(diào)查，已知抽取的八年級與九年級的學生人數(shù)相同，利用抽樣所得的數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表．
睡眠情況分組表（單位：時）
組別 睡眠時間x
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根據(jù)圖表提供的信息，回答下列問題：
（1）求統(tǒng)計圖中的a；
（2）抽取的樣本中，九年級學生睡眠時間在C組的有多少人？
（3）睡眠時間少于6.5小時為嚴重睡眠不足，則從該校八、九年級各隨機抽一名學生，被抽到的這兩位學生睡眠嚴重不足的可能性分別有多大？
19．(8分)“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元．假設這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．
（1）他實際花了多少錢購買加油卡？
（2）減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）．
（3）油的原價是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價比原價便宜多少元？
20．(8分)某課外活動小組準備利用光的反射原理來測量居民樓的高度．如圖，小組首先利用測角儀從點D處測得居民樓頂端A的仰角為27°，在測角儀和居民樓之間水平光滑的地面放置一個平面鏡，當平面鏡位于點E處時，觀測的同學恰好能從點D處看到居民樓頂端A，此時測得CE＝2米．已知測角儀的高度CD＝1.5米，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，且點B，E，C在同一條水平直線上．
（1）求tan∠AEB．
（2）求居民樓AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
21．(8分)如圖，AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，點D為OB上一點，過點D作DE⊥AB于點D，交AC的延長線于點E，點F為線段DE上一點，且CF＝EF．
求證：CF是⊙O的切線；
22．(12分)如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．直線y＝﹣x+3與拋物線交于點B與點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D是第一象限拋物線上一點，設D點橫坐標為m．連接OD，將線段OD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OE，過點E作EF∥x軸交直線BC于F．求線段EF的最大值；
（3）如圖3，將拋物線y＝ax2+bx+3在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，與原拋物線在x軸下方部分的圖象組成新圖象．若直線y＝5x+n與新圖象有且只有兩個交點，請你直接寫出n的取值范圍．
23．(13分)在數(shù)學活動課上，黃老師給出如下問題：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D和點B位于直線AC異側(cè)，且∠ADC+∠ABC＝90°，
【問題初探】（1）當α＝60°時，
①如圖1，點D在BC的延長線上時，求證：AD2+CD2＝BD2，
數(shù)學活動小組同學經(jīng)過討論得出下面的解題思路并解決了這個問題．
解題思路：如圖2，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE，DE．易證△ADE是等邊三角形，易證CD＝BE，將線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段ED，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系．
數(shù)學活動小組同學解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學思想方法，發(fā)現(xiàn)此題還有不同位置的情況，請你解答；
②如圖3，點D不在BC的延長線上時，連接BD，求證：AD2+CD2＝BD2．
【類比探究】數(shù)學活動小組還有同學提出將其角度變化進行變式，請你解答．
（2）當α＝90°時，
①發(fā)現(xiàn)點D在BC的延長線上時，點D與點C重合（不需要證明）．
②如圖4，點D不在BC的延長線上時，連接BD，判斷（1）②中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，請寫出正確的結(jié)論并說明理由．
【拓展提升】黃老師在此基礎上提出了下面的問題，請你解答．
當α＝60°，點D不在BC延長線上時，連接BD，若AB＝3，，求BD長.
．數(shù)學參考答案
一．選擇題（每題3分，共30分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C B D B A D
填空題（每小題3分，共15分）
11. 　（1，﹣5）． 12．　2（x+2）（x﹣2）．
13．x＞1． 14．　2．　 15．45°．
三、解答題（共8題，共75分）
16.(10分)（1）． （2）＝m．
17 (8分)解：（1）設A種品牌垃圾桶的單價是x元，B種品牌垃圾桶的單價是y元，
由題意得：，
解得：，
答：A種品牌垃圾桶的單價是100元，B種品牌垃圾桶的單價是150元；
（2）設該校此次可購買m個B種垃圾桶，則購買（20﹣m）個A種垃圾桶，
由題意得：100（20﹣m）+150m≤2400，
解得：m≤8，
答：該校此次最多可購買8個B品牌垃圾桶．
18.(8分)解：（1）a＝1﹣10%﹣25%﹣35%﹣25%＝5%，即統(tǒng)計圖中a的值是5%；
（2）由題意得，（6+19+17+10+8）×35%＝60×35%＝21（人）．
答：抽取的樣本中，九年級學生睡眠時間在C組的有21人；
（3）八年級抽到的學生為睡眠嚴重不足的可能性為：；
九年級抽到的學生為睡眠嚴重不足的可能性為：5%+25%＝30%＝0.3．
19.(8分)解：（1）由題意知，1000×0.9＝900（元），
答：實際花了900元購買會員卡；
（2）由題意知，y＝0.9（x﹣0.30），
整理得y＝0.9x﹣0.27，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 y＝0.9x﹣0.27；
（3）當x＝7.30時，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30，
∵7.30﹣6.30＝1.00，
∴優(yōu)惠后油的單價比原價便宜1.00元．
20. (8分)解：（1）根據(jù)題意，可得∠DEC＝∠AEB．
∴，
∴；
（2）過點D作DM⊥AB，交AB于點M．
∵∠ADM＝27°．
由（1），可得，設AB＝3x，BE＝4x，
則DM＝CB＝CE+BE＝2+4x，AM＝AB﹣BM＝3x﹣1.5．
∴，
解得x≈2.63，
∴AB＝3x＝3×2.63≈7.9（米）．
答：高度約為7.9米．
21.(8分)（1）證明：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵DE⊥AB于點D，
∴∠ODE＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，
∵∠OCA+∠OCF+∠FCE＝180°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CF是⊙O的切線；
22 (12分)解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴點C的坐標為（0，3），
設點D的坐標為（m，﹣m2+2m+3），
過點D和點E作DG⊥x軸，EH⊥x軸，垂足分別為點G，H，
得OG＝m，DG＝﹣m2+2m+3，
由線段OD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得OE＝OD，∠DOE＝90°，
∵∠DOE＝∠DGO＝90°，
∴∠DOG+∠EOH＝90°，∠DOG+∠ODG＝90°，
∴∠EOH＝∠ODG，
∵∠EHO＝∠OGD＝90°，OE＝OD，
∴△EOH≌△ODG（AAS），
∴EH＝OG＝m，OH＝DG＝﹣m2+2m+3，
∴點E的坐標為（m2﹣2m﹣3，m），
∵EF∥x軸，
∴點F的坐標為（﹣m+3，m），
∴EF＝（﹣m+3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+6，
當m時，EF取得最大值，最大值為；
（3）由翻折可知，x軸下方的拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3），
當y＝5x+n與y＝﹣x2+2x+3只有一個交點時，y＝5x+n與新圖象只有一個交點，
聯(lián)立，
得5x+n＝﹣x2+2x+3，
整理得x2+3x+n﹣3＝0，
得Δ＝32﹣4 1 （n﹣3）＝0，
解得，
得，
解得，
得y＝5x+n與y＝﹣x2+2x+3的交點在點A的左側(cè)，
將直線向下平移直至y＝5x+n經(jīng)過點B之前時，y＝5x+n與新圖象有2個交點，
當y＝5x+n經(jīng)過點B時，15+n＝0，
解得n＝﹣15，
聯(lián)立，
解得，（不合題意，舍去），
∴當y＝5x+n經(jīng)過點B時，直線與新圖象仍有2個交點，
將直線繼續(xù)向下平移直至直線與y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）只有一個交點時，
聯(lián)立，
得5x+n＝x2﹣2x﹣3，
整理得x2﹣7x﹣n﹣3＝0，
得Δ＝（﹣7）2﹣4 1 （﹣n﹣3）＝0，
解得，
得，
解得，
交點位于點B的右側(cè)上方部分，
∴此時直線與新圖象仍有2個交點，
繼續(xù)往下平移，y＝5x+n與新圖象有2個交點，
綜上所述，當時，直線y＝5x+n與新圖象有且只有兩個交點．
23.(13分)（1）①證明：將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE，DE，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE＝AD，∠AED＝60°．
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝30°．
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°．
∴△BED為直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
②將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE，DE，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE＝AD，∠AED＝60°．
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°．
∴△BED為直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴AD2+CD2＝BD2．
（2）（1）②中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論為：2AD2+CD2＝BD2，理由：
將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，DE，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴DEAD，∠AED＝45°．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠BEA＝∠ADC＝45°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°．
∴△BED為直角三角形，
∴BE2+ED2＝BD2，
∴2AD2+CD2＝BD2．
（3）①過點C作CE⊥AD于點E，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC＝AB＝3，∠ABC＝60°，
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴CECD，
∴DE，AE，
∴AD＝AE+DE＝6．
由（1）②的結(jié)論可得：AD2+CD2＝BD2，
∴BD3．
②過點C作CE⊥AB于點E，
∵AB＝AC＝3，α＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝3
∵∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD6．
綜上，BD的長為6或3．

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