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江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中學情調研檢測數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．已知向量，且，則x的值為（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知事件，若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．某射手射擊所得環數的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知的數學期望，則的值為（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3
5．為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學雷鋒紀念日來臨之際，鹽城某中學舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文比賽．此次征文共4個題目，三位參賽學生從中隨機選取一個題目準備作文，則甲、乙，丙三位同學選到互不相同題目的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．設，展開式中二項式系數的最大值為x，展開式中二項式系數的最大值為y，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知三棱柱的側棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點．則（ ）
A． B．2 C． D．
8．二進制數是用0和1表示的數，它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，二進制數(）對應的十進制數記為，即其中， ，則在中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的總和為（ ）
A．1910 B．1990 C．12252 D．12523
二、多選題
9．若隨機變量下列說法中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
10．在正方體 中，點分別是面和面的中心，則下列結論正確的是（ ）
A．與共面
B．與夾角為
C．平面與平面夾角的正弦值為
D．若正方體棱長為2，則點到直線的距離
11．甲箱中有2紅球，3個白球和2個黑球，乙箱中有3個紅球和3個黑球，先從甲箱中隨機摸出一個球放入乙箱中，再從乙箱中摸出2個球，分別用表示從甲箱中摸出的球是紅球，白球和黑球的事件，用B表示從乙箱中摸出的2個球顏色不同的事件，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．甲、乙兩人獨立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是， ，那么兩人都解錯的概率是 .
13．展開式中的系數為 .
14．某校甲、乙等6位同學五一計劃到漣水戰役烈士紀念館、周恩來紀念館、劉老莊八十二烈士陵園研學，每個地方至少去1人．（用數字表示）
（1）有 種不同的安排方法；
（2）由于特殊情況五一節時甲取消研學且乙不去漣水戰役烈士紀念館，有 種不同的安排方法．
四、解答題
15．已知二項式(N*)展開式中，前三項的二項式系數和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展開式中的常數項．
16．2025年3月12日是我國第47個植樹節，為建設美麗新鹽城，鹽城市伍佑中學高二年級7名志愿者參加了植樹節活動，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用數字作答）
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種
(2)全體站成一排，男生彼此不相鄰的站法有多少種
(3)甲、乙兩人至少間隔2人的站法有多少種
17．甲，乙兩小朋友參加“歡樂六一”游戲比賽，記分規則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分，設一輪比賽中甲贏的概率為，乙贏的概率為，求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的均值與方差．
18．如圖，在三棱柱中，平面，已知，點是棱的中點.
(1)求平面與平面夾角的余弦值.
(2)在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
19．已知函數，其中，．
(1)若n＝8，，求的最大值；
(2)若，求；（用n表示）
(3)若，求證：．
江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中學情調研檢測數學試題參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C C D D D AB ACD
題號 11
答案 ABD
1．C
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：C.
2．D
【詳解】根據可得存在實數滿足，即，
即可得，解得.
故選：D
3．A
【詳解】由題可知，，
故選：A．
4．C
【詳解】由表格可知，,解得.
故選：C
5．C
【詳解】記甲、乙、丙三位同學選到互不相同題目的事件記為，
則，
故選：C.
6．D
【詳解】由題意可得或，
故，解得，
故選：D
7．D
【詳解】如下圖所示：

根據題意可知令，且，；
可得
；
所以
.
故選：D
8．D
【詳解】根據題意得 ，因為在中恰好有2個0的有=28種可能，即所有符合條件的二進制數 的個數為28．
所以所有二進制數對應的十進制數的和中，出現=28次，，…，2，均出現=21次，所以滿足中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的和為
故選：D．
9．AB
【詳解】對于A，若隨機變量，，則，故A正確；
對于B，期望，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：AB
10．ACD
【詳解】選項A，因為，所以與，共面，即選項A正確；
選項B，連接，
因為，所以或其補角即為與的夾角，
因為，所以△是等邊三角形，所以，
所以與夾角為，即選項B錯誤；
選項C，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為2，則,,，，
所以,1,，,2,，
設平面的法向量為,,，則，
取，則，，所以,1,，
易知平面的一個法向量為,0,，
設平面與平面夾角為，
則,，
所以，即選項C正確；
選項D，由對稱性知，，
由勾股定理知，，
設到直線的距離為，
因為，
所以，解得，
所以到直線的距離為，即選項D正確．
故選：ACD．
11．ABD
【詳解】因為，，，故A正確；
若發生，則乙箱中有4個紅球和3個黑球，所以，
若發生，則乙箱中有3個紅球，1個白球和3個黑球，所以，故B正確；
若發生，則乙箱中有3個紅球和4個黑球，所以，故C錯誤；
所以
，故D正確.
故選：ABD.
12．
【詳解】由題意知，甲、乙解對題的概率分別是和 ，且甲、乙兩人相互獨立，
所以兩人都解錯的概率為.
故答案為：.
13．
【詳解】得項類型一：從6個因式中選擇1個提供，5個提供2，
此時的系數為；
類型二：從6個因式中選擇2個提供，4個提供2，
此時的系數為；
合并同類項，含的項為.
故答案為：.
14． 540 100
【詳解】（1）6位同學分為3組可以分三類.
第一類：1人，1人，4人分組，有種；
第二類：1人，2人，3人分組，有種；
第三類：2人，2人，2人分組，有種.
根據分類加法計數原理，共種.
再將3組按照全排列的方式分到漣水戰役烈士紀念館、周恩來紀念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.
根據分步乘法計數原理，共種.
（2）由題意可知，還有乙與4位同學，其中乙不去漣水戰役烈士紀念館.
按照去漣水戰役烈士紀念館的人數可以分為3類.
第一類：恰有1人去漣水戰役烈士紀念館.
第一步，除去乙同學外的4人選取1人去漣水戰役烈士紀念館，有種；第二步，含乙在內的4位同學分兩組，有種；第三步，兩組同學分到周恩來紀念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第一類共種.
第二類：恰有2人去漣水戰役烈士紀念館.
第一步，除去乙同學外的4人選取2人去漣水戰役烈士紀念館，有種；第二步，含乙在內的3位同學分兩組，有種；第三步，兩組同學分到周恩來紀念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第二類共種.
第三類：恰有3人去漣水戰役烈士紀念館.
第一步，除去乙同學外的4人選取3人去漣水戰役烈士紀念館，有種；第二步，含乙在內的2位同學分到周恩來紀念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第三類共種.
根據分類加法計數原理，共種.
故答案為：540；100.
15．（Ⅰ）10 （Ⅱ）
【詳解】試題分析：（Ⅰ）前三項二項式系數分別為,由題意根據組合數的運算可求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,根據二項式的展開式,令的系數為0可求得的值,從而可求得其常數項．
試題解析：解析：（Ⅰ）
（舍去）．
（Ⅱ） 展開式的第項是，
，
故展開式中的常數項是．
16．(1)2880
(2)1440
(3)2400
【詳解】（1）甲不在中間也不在兩端，故甲可選個位置，其余六人可全排種，
故共有種；
（2）先排女生共種排法，男生在五個空中安插，有種排法，故共有種排法；
（3）共七人排隊，甲、乙兩人中間有2個人的排法有種，
甲、乙兩人中間有3個人的排法有種，
甲、乙兩人中間有4個人的排法有種，
甲、乙兩人中間有5個人的排法有種，
則共有種排法.
17．(1)答案見解析
(2)甲的得分的均值與方差分別為
【詳解】（1）一輪比賽中，甲得分的可能取值為，
，
則的概率分布列為：
（2）甲在二輪比賽中的得分可能取值為，
，
，
，
，
所以甲的得分的均值為，
甲的得分的方差為，
甲的得分的均值與方差分別為.
18．(1)；
(2)存在滿足題意的點，且或．
【詳解】（1）中，，即，所以，，
分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，
，，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，，即，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，，即，
，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
（2）假設存在滿足題意的點，且，即，
，
設與平面所成角為，
則，
解得或，
所以存在滿足題意的點，且或．
19．(1)1792
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1），
，
不妨設中，則
，
中的最大值為；
（2）若，，兩邊求導得，
令得，.
（3）若，，
，
因為，
所以
．

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