資源簡介

第06講 有理數的乘法與除法
模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1．會進行有理數的乘法運算，能用乘法運算律簡化運算； 2．會把有理數的除法運算轉化成乘法運算； 3. 會進行有理數的乘除混合運算。
1.認識有理數的乘法法則
小試牛刀：
（1） （2）6×2=
（3）（+5）×（-2）= （4）0×（-1）=
2.有理數的乘法運算律：
（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換 的位置，積相等，即：ab＝ba．
（2）乘法結合律：三個數相乘，先把 相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數 同這兩個數相乘，
再把積 ．即：a(b+c)＝ab+ac．
3.倒數的意義： 乘積是 的兩個數互為倒數．
（1）“互為倒數”的兩個數是 的.如-2的倒數是，-2和是互相依存的；
（2）0和任何數相乘都不等于1，因此0 倒數；
（3）倒數的結果必須化成 ，使分母中不含小數和分數；
（4）互為倒數的兩個數必定 . (同為正數或同為負數)．
4.認識有理數除法法則：
注：1.解題時要靈活運用有理數的除法法則，一般能整除則直接整除，不能整除的則轉化為有理數的乘法運算；2.除法運算應注意商的符號；3若遇小數可化為分數，若遇帶分數應化為假分數。
小試牛刀：
（2）
（3） （4）
考點一：有理數的乘法運算
例1．計算的結果為（ ）
A．2024 B． C． D．
【變式1-1】下列各式中積為正的是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
【變式1-2】如果，，，那么 ．
【變式1-3】計算：
(1)
(2)
考點二：有理數乘法運算律
例2 下邊是嘉淇對一道題的解題過程，下列說法正確的是（ ）
①
②
③
A．解題運用了乘法交換律 B．從①步開始出錯
C．從②步開始出錯 D．從③步開始出錯
【變式2-1】簡化計算，應該運用（ ）
A．加法交換律 B．加法結合律
C．乘法對加法的分配律 D．乘法結合律
【變式2-2】 ．
【變式2-3】下面各題怎樣簡便就怎樣算
(1)
(2)
(3)
(4)
考點三：有理數乘法的應用
例3. 在彈性范圍內，彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比．若一根彈簧掛上物體時長，掛上物體時長，則掛上物體時長（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】高度每增加1千米，氣溫就下降，現在地面氣溫是，那么離地面高度為7千米的高空的氣溫是（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-2】深圳市出租車的收費標準是起步價10元（行程小于或等于2千米），超過2千米每增加1千米（不足1千米按1千米計算）加收元，小鳴從深圳市體育中心打車去深圳圖書館，百度地圖顯示行程約為千米，則出租車費約為 元．
【變式3-3】某特技飛行隊在某風景區進行特技表演．其中一架飛機起飛后高度變化如下，其中上升記為正，下降記為負：
，，，，
(1)最終這架飛機比起飛點高了多少千米？
(2)若飛機平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不計飛機的損耗，每升燃油價格是6.5元．那么這架飛機在這5個特技動作表演后，一共花費多少元？
(3)若這架飛機做完5個特技后，又做兩個表演動作，這兩個動作不確定是上升還是下降，只知道產生的高度變化分別是0.8km和1.7km，請你求出這兩個表演動作結束后飛機離地面的高度．
考點四：倒數
例4．的倒數是（ ）
A． B．2024 C． D．
【變式4-1】的倒數的相反數是（ ）
A．2020 B． C． D．
【變式4-2】的相反數是 ，的絕對值是 ，的倒數是 ．
【變式4-3】閱讀以下材料，完成相關的填空和計算．
(1)根據倒數的定義我們知道，若，則__________；
(2)計算：；
(3)根據以上信息可知＝________．
考點五：有理數的除法運算
例5 的結果是（ ）
A． B．6 C．2 D．
【變式5-1】計算的結果等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
【變式5-2】已知、、都是有理數，其中為正數，若代數式的值為，則代數式的值為 ．
【變式5-3】計算題
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
考點六：有理數除法的應用
例6.某市區今年共購買了13輛電動清潔能源車，至少在同一個月購買車的輛數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式6-1】如圖，一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝有一些水，根據圖中數據，可以算出瓶中水的體積占瓶子容積的（ ）．

A． B． C． D．
【變式6-2】根據工信部組織修訂的《電動自行車安全技術規范》強制性國家標準，電動自行車最高設計車速不超過25公里/小時．已知張老師家距學校5千米，在不違反交通規則的情況下，張老師騎電動自行車從家到學校所需時間至少有 分鐘．
【變式6-3】李老師買了一輛小轎車，他連續7天記錄了他家小轎車每天行駛的路程，以50km為標準，超過或不足部分分別用正數、負數表示，得到的數據如下（單位：km）：
，，，0，，+41，+8
(1)請求出李老師家小轎車這七天平均每天行駛的路程；
(2)若已知該轎車每行駛100km耗用汽油6L，且汽油價格為每升7.7元，請你根據第（1）題估計李老師家一個月（按30天算）的汽油費用．
考點七：有理數乘除混合運算
例7．計算的結果是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【變式7-1】給出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正確的個數是（　?。?br/>A．4 B．3 C．2 D．1
【變式7-2】如圖，正方形的邊長為4，已知正方形覆蓋了三角形面積的，而三角形覆蓋了正方形面積的一半，那么三角形的面積是 ．
【變式7-3】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
1．已知兩個有理數，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．，同號 D．，異號，且正數的絕對值較大
2．運用了（ ）
A．加法交換律 B．乘法結合律
C．乘法分配律 D．乘法交換律和結合律
3．實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．的倒數是（ ）
A． B． C． D．2024
5．如圖，數軸上點A、B、C分別表示數a、b、c，．有下列結論：①；②；③；④；則其中結論正確的序號是（　?。?br/>A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
6．甲乙丙三位同學合乘一輛滴滴車去順路的三個地點，事先約定三人根據路程分攤車費，甲在全程的四分之一處下車，甲下車時，乙離下車點還有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元車費，則三人一共支付多少車費？（ ）
A．36元 B．48元 C．63元 D．81元
7．對于有理數、，定義運算，則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．小明與小剛規定了一種新運算“”：若，是有理數，則，小明計算出，請幫小剛計算 ．
9．在如圖的長方形內，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）的面積為
10．有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則 0（填“”“”“”或“”）．
11．如圖，在長為 20 米，寬為 15 米的池塘上修建寬為2 米的橫向與縱向的觀景道路，則道路的面積為 平方米．
12．對于有理數，，定義新運算“”，規則如下：，如．
(1)求的值．
(2)請你判斷交換律在“”運算中是否成立？并給出證明．
13．某特技飛行隊進行特技表演，飛機高度的變化：上升記為正，下降記為負，其中一架飛機A起飛后的高度變化如下：，，，
(1)求飛機A完成上述四個表演動作后，飛機A的高度是多少千米？
(2)如果飛機A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飛機A在這4個動作表演過程中，一共消耗的燃油需要多少錢？
(3)若另一架飛機B在做特技表演時，起飛后前三次的高度變化為：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飛機B在完成第4個動作后與飛機A完成4個動作后的高度相同，問飛機B的第4個動作是上升還是下降，上升或下降多少千米？
14．閱讀下列材料：，即當時，．用這個結論解決下面問題：
(1)已知，是有理數，
①當，時，則________；
②當，時，則________；
③當，時，則_______；
(2)已知，，是有理數，當時，求
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模塊一 思維導圖串知識 模塊二 基礎知識全梳理 模塊三 核心考點舉一反三 模塊四 小試牛刀過關測 1．會進行有理數的乘法運算，能用乘法運算律簡化運算； 2．會把有理數的除法運算轉化成乘法運算； 3. 會進行有理數的乘除混合運算。
1.認識有理數的乘法法則
（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數同0相乘，都得0．
小試牛刀：
（1） 1 （2）6×2= 12
（3）（+5）×（-2）= -10 （4）0×（-1）= 0
2.有理數的乘法運算律：
（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換 乘數 的位置，積相等，即：ab＝ba．
（2）乘法結合律：三個數相乘，先把 前面兩個數 相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數 分別 同這兩個數相乘，
再把積 相加 ．即：a(b+c)＝ab+ac．
3.倒數的意義： 乘積是 1 的兩個數互為倒數．
（1）“互為倒數”的兩個數是 同等 的.如-2的倒數是，-2和是互相依存的；
（2）0和任何數相乘都不等于1，因此0 沒有 倒數；
（3）倒數的結果必須化成 最簡 ，使分母中不含小數和分數；
（4）互為倒數的兩個數必定 同號 (同為正數或同為負數)．
4.認識有理數除法法則：
（1）除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數（2）兩數相除，同號得正 ，異號得 負 ，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0.
注：1.解題時要靈活運用有理數的除法法則，一般能整除則直接整除，不能整除的則轉化為有理數的乘法運算；2.除法運算應注意商的符號；3若遇小數可化為分數，若遇帶分數應化為假分數。
小試牛刀：
6 （2）
（3） （4） 0
考點一：有理數的乘法運算
例1．計算的結果為（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了有理數的乘法，解題的關鍵是掌握有理數的乘法運算法則．
根據有理數的乘法運算法則求解即可．
【詳解】．
故選：A．
【變式1-1】下列各式中積為正的是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
本題主要考查了有理數的乘法法則的運用，任何數與零相乘，都得0．多個有理數相乘的法則∶①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正
根據有理數的乘法法則進行計算，再根據所得的結果的符號進行判斷．
【詳解】解：A、，故積為負，不符合題意；
B、，故積為負，不符合題意；
C、，積為0，不符合題意；
D、，故積為正，符合題意；
故選∶D．
【變式1-2】如果，，，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的乘法，推導出是關鍵．
根據，確定，代入計算即可．
【詳解】解：∵，
，
，
故答案為：．
【變式1-3】計算：
(1)
(2)
【答案】(1)33
(2)3
【分析】本題考查有理數的運算．
（1）先算乘法，再進行加減運算即可；
（2）利用乘法分配律，進行計算即可．
掌握相關法則，正確的計算，是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：原式；
（2）原式．
考點二：有理數乘法運算律
例2 下邊是嘉淇對一道題的解題過程，下列說法正確的是（ ）
①
②
③
A．解題運用了乘法交換律 B．從①步開始出錯
C．從②步開始出錯 D．從③步開始出錯
【答案】C
【分析】本題考查利用有理數乘法分配律進行簡便運算，熟練掌握乘法分配律進行研究正確的計算是解的關鍵．
將化成，再運算乘法分配律計算，根據計算過程逐項判定即可．
【詳解】解：A、解題運用了乘法分配律不是交換律，故說法錯誤，不符合題意；
B、①步計算正確，故說法錯誤，不符合題意；
C、②步應為，所以從②步開始出錯，故說法正確，符合題意；
D、從②步就開始開始出錯，故說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式2-1】簡化計算，應該運用（ ）
A．加法交換律 B．加法結合律
C．乘法對加法的分配律 D．乘法結合律
【答案】C
【分析】
本題考查了有理數的混合運算，乘法對加法的分配律是解題關鍵．因為24、12、4都是24的約數，所以本題利用乘法對加法的分配律進行計算．
【詳解】
解：利用乘法對加法的分配律得：，
，
故選：C
【變式2-2】 ．
【答案】153
【分析】本題主要考查了運用乘法運算律進行有理數的乘法運算．
【詳解】解：
，
故答案為：153．
【變式2-3】下面各題怎樣簡便就怎樣算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)5
(2)7623
(3)8686
(4)48
【分析】本題考查了分數的混合運算，以及有理數的乘法運算律，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）運用乘法分配律得出，再運算乘法，最后運算加減，即可作答．
（2）先整理為整百數，再運用乘法分配律進行簡便運算，即可作答．
（3）先整理為整百數，再運用乘法分配律進行簡便運算，即可作答．
（4）先整理原式，再運用乘法分配律進行簡便運算，即可作答．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考點三：有理數乘法的應用
例3. 在彈性范圍內，彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比．若一根彈簧掛上物體時長，掛上物體時長，則掛上物體時長（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的混合運算的應用，先計算出物體增重，彈簧長度增加多少，再根據題意列式計算即可．
【詳解】解：由題意得：物體增重，彈簧長度增加，
掛上物體時長，
故選：B．
【變式3-1】高度每增加1千米，氣溫就下降，現在地面氣溫是，那么離地面高度為7千米的高空的氣溫是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，根據題意正確列出算式是解題的關鍵．
先根據題意列出算式，然后再根據有理數混合運算法則計算即可．
【詳解】解：根據題意得：，
則離地面高度為7千米的高空的氣溫是．
故選：C．
【變式3-2】深圳市出租車的收費標準是起步價10元（行程小于或等于2千米），超過2千米每增加1千米（不足1千米按1千米計算）加收元，小鳴從深圳市體育中心打車去深圳圖書館，百度地圖顯示行程約為千米，則出租車費約為 元．
【答案】
【分析】本題主要考查有理數的混合運算的應用，根據題意、正確列出算式是正確解答的前提．
根據題意、正確列出算式，然后再計算即可．
【詳解】解：由題意可知：當時，出租車費約為．
故答案為：．
【變式3-3】某特技飛行隊在某風景區進行特技表演．其中一架飛機起飛后高度變化如下，其中上升記為正，下降記為負：
，，，，
(1)最終這架飛機比起飛點高了多少千米？
(2)若飛機平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不計飛機的損耗，每升燃油價格是6.5元．那么這架飛機在這5個特技動作表演后，一共花費多少元？
(3)若這架飛機做完5個特技后，又做兩個表演動作，這兩個動作不確定是上升還是下降，只知道產生的高度變化分別是0.8km和1.7km，請你求出這兩個表演動作結束后飛機離地面的高度．
【答案】(1)最終這架飛機比起飛點高了千米
(2)這架飛機在這5個特技動作表演后，一共花費元
(3)這兩個表演動作結束后飛機離地面的高度為或或或．
【分析】本題考查了正負數的意義，有理數的運算的應用；
（1）將已知數據相加，即可求解；
（2）根據飛機平均上升和下降的油耗求得總耗油，然后乘以燃油單價，即可求解；
（3）根據題意，分4種情況討論，根據加減法進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
答：最終這架飛機比起飛點高了千米
（2）解：
（升）
（元）
答：這架飛機在這5個特技動作表演后，一共花費元
（3）
答：這兩個表演動作結束后飛機離地面的高度為或或或．
考點四：倒數
例4．的倒數是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查絕對值與倒數，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．
根據倒數的定義以及絕對值的性質進行解題即可．
【詳解】解：∵，
∴的倒數為．
故選：C．
【變式4-1】的倒數的相反數是（ ）
A．2020 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查相反數和倒數的定義，掌握定義是解題的關鍵．根據相反數和倒數的定義，即可得到答案．
【詳解】解：∵2020的倒數為，
的相反數為
∴2020的倒數的相反數是．
故選C．
【變式4-2】的相反數是 ，的絕對值是 ，的倒數是 ．
【答案】 / /
【分析】
主要考查相反數，絕對值，倒數的概念及性質．只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0；若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數；一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．根據相關的定義進行解答即可．
【詳解】解：的相反數是，的絕對值是，的倒數是．
故答案為：；；．
【變式4-3】閱讀以下材料，完成相關的填空和計算．
(1)根據倒數的定義我們知道，若，則__________；
(2)計算：；
(3)根據以上信息可知＝________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了倒數的定義，有理數的除法運算，利用分配率進行有理數的運算等知識．
（1）根據倒數的定義即可求解；
（2）先將除法運算化為乘法運算，再利用分配率進行計算即可求解；
（3）根據倒數的定義即可求解．
【詳解】（1）解：根據倒數的定義，若若，則．
故答案為：；
（2）解：
；
（3）解：因為，
所以．
故答案為：
考點五：有理數的除法運算
例5 的結果是（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的除法運算，先把除法化為乘法，再根據有理數的乘法法則進行運算，即可作答．
【詳解】解：
，
故選：B．
【變式5-1】計算的結果等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本題考查了有理數的除法．根據有理數的除法法則計算即可求解．
【詳解】解：，
故選：A．
【變式5-2】已知、、都是有理數，其中為正數，若代數式的值為，則代數式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是絕對值的性質以及有理數的加法運算，根據為正數，得出：中有一個負數，進而即可求解．
【詳解】解∵為正數，
∴中有一個負數，一個正數，
設，，
∴，
故答案為：．
【變式5-3】計算題
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)66
(2)74.1
(3)
(4)
(5)
(6)885
【分析】本題考查有理數的混合計算，注意運算律的使用．
（1）根據乘法結合率計算即可；
（2）根據乘法交換率計算即可；
（3）先去小括號，再利用加法交換律計算中括號內的算式，最后計算除法即可；
（4）帶分數化假分數，再計算除法即可；
（5）原式可改為，再去括號計算即可；
（6）原式可改為，再計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
考點六：有理數除法的應用
例6.某市區今年共購買了13輛電動清潔能源車，至少在同一個月購買車的輛數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查抽屜原理問題，1年有12個月，把這13輛電動清潔能源車平均分在12個月里面，每個月分到1輛，還余1輛，余下的1輛無論是分到哪個月，這個月都至少有2輛，由此求解．
【詳解】解：，
（輛），
故至少有2輛電動清潔能源車是在同一個月購買的．
故選B．
【變式6-1】如圖，一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝有一些水，根據圖中數據，可以算出瓶中水的體積占瓶子容積的（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是有理數的除法的應用，由題意可得第一個瓶子的水的體積等于第二個瓶子上面空余部分的體積，從而可得答案．
【詳解】解：由題意可得：第一個瓶子的水的體積等于第二個瓶子上面空余部分的體積，
∴水的體積占瓶子容積的，
答：瓶中水的體積占瓶子容積的．
故選：B．
【變式6-2】根據工信部組織修訂的《電動自行車安全技術規范》強制性國家標準，電動自行車最高設計車速不超過25公里/小時．已知張老師家距學校5千米，在不違反交通規則的情況下，張老師騎電動自行車從家到學校所需時間至少有 分鐘．
【答案】12
【分析】題目主要考查有理數的除法的應用，根據時間等于路程除以速度計算即可，注意單位的變換．
【詳解】解：根據題意得：小時，
小時分鐘，
故答案為：12．
【變式6-3】李老師買了一輛小轎車，他連續7天記錄了他家小轎車每天行駛的路程，以50km為標準，超過或不足部分分別用正數、負數表示，得到的數據如下（單位：km）：
，，，0，，+41，+8
(1)請求出李老師家小轎車這七天平均每天行駛的路程；
(2)若已知該轎車每行駛100km耗用汽油6L，且汽油價格為每升7.7元，請你根據第（1）題估計李老師家一個月（按30天算）的汽油費用．
【答案】(1)小轎車這七天平均每天行駛；
(2)李老師家一個月的油費是693元．
【分析】本題主要考查了有理數乘除混合計算的實際應用，有理數加法的實際應用：
（1）把所給的行程記錄相加，然后除以7，再加上50即可得到答案；
（2）先求出一個月的總路程，再根據每行駛100km耗用汽油6L，且汽油價格為每升7.7元列式計算即可．
【詳解】（1）解：
，
答：小轎車這七天平均每天行駛；
（2）解：
（元），
答：李老師家一個月的油費是693元．
考點七：有理數乘除混合運算
例7．計算的結果是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】題目主要考查有理數的乘除法混合運算，按照從左到右的順序計算即可，熟練掌握運算法則是解題關鍵
【詳解】解：，
故選：D
【變式7-1】給出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正確的個數是（　?。?br/>A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】此題考查了有理數乘除的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序和方法，并能進行正確地計算．
運用有理數乘除混合運算的方法對各算式進行逐一計算、辨別．
【詳解】解：∵，原式計算錯誤；
，原式計算錯誤；
，原式計算正確；
，原式計算錯誤．
∴算其中正確的個數是1．
故選：D．
【變式7-2】如圖，正方形的邊長為4，已知正方形覆蓋了三角形面積的，而三角形覆蓋了正方形面積的一半，那么三角形的面積是 ．
【答案】10
【分析】本題主要考查了有理數的乘除混合計算，先求出正方形面積的一半，再根據正方形面積的一半是三角形面積的進行求解即可．
【詳解】解：，
∴三角形的面積是10，
故答案為：10．
【變式7-3】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)36
【分析】本題考查有理數的運算，掌握相關運算法則，正確的計算，是解題的關鍵．
（1）利用加減法則，進行計算即可；
（2）先去絕對值，再利用加減法則，進行計算即可；
（3）除法變乘法，約分即可；
（4）利用乘法分配律進行計算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
1．已知兩個有理數，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．，同號 D．，異號，且正數的絕對值較大
【答案】D
【分析】本題考查了有理數的乘法、加法，熟練掌握和靈活應用有理數的加法法則和乘法法則是解題的關鍵．由有理數的乘法法則，判斷出，異號，再用有理數加法法則即可得出結論．
【詳解】解：，
，異號，
，
正數的絕對值較大，
故選：D．
2．運用了（ ）
A．加法交換律 B．乘法結合律
C．乘法分配律 D．乘法交換律和結合律
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘法，解決本題的關鍵是熟記有理數的乘法分配律，根據有理數的乘法分配律進行作答即可．
【詳解】解：∵
∴上式子運用了乘法分配律，
故選：C
3．實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數軸、有理數的加減法、有理數的乘法，熟練掌握數軸的定義和有理數乘法運算法則是解題關鍵．
先根據數軸的定義可得，且，進一步判斷、、、，再根據有理數乘法法則計算，逐項判斷即可．
【詳解】由數軸的定義得：，且，
、、、，
A、因為，，所以，故此選項不符合題意；
B、因為，，所以，故此選項不符合題意；
C、因為，，所以，故此選項不符合題意；
D、，，所以，故此選項符合題意；
故選：D．
4．的倒數是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】D
【分析】根據乘積為1的兩個數互為倒數計算即可．本題考查了倒數及絕對值的計算，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】的倒數是2024，
故選D．
5．如圖，數軸上點A、B、C分別表示數a、b、c，．有下列結論：①；②；③；④；則其中結論正確的序號是（　?。?br/>A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】本題主要考查了數軸，有理數的混合運算；根據數軸可得，且，再根據有理數的加減乘除運算法則，可以逐項判斷得出正確答案．
【詳解】解：①∵，，
∴，
故①錯誤；
②∵，
∴，
故②正確；
③∵，
∴，
故③正確；
④∵，，
∴，
故④正確．
綜上所述，正確的有②③④．
故選：C．
6．甲乙丙三位同學合乘一輛滴滴車去順路的三個地點，事先約定三人根據路程分攤車費，甲在全程的四分之一處下車，甲下車時，乙離下車點還有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元車費，則三人一共支付多少車費？（ ）
A．36元 B．48元 C．63元 D．81元
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的除法的實際應用，根據題意得到甲乙丙的路程比，即可求得總車費．
【詳解】解：由題意得甲乙丙三人的路程比為，
三人一共支付車費（元），
故選：C．
7．對于有理數、，定義運算，則的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，原式利用題中的新定義計算即可得到結果．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：A．
8．小明與小剛規定了一種新運算“”：若，是有理數，則，小明計算出，請幫小剛計算 ．
【答案】16
【分析】此題考查了有理數混合運算的應用，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．根據題中的新定義，將，代入計算，即可求出的值．
【詳解】解：根據題中的新定義得：
．
故答案為：．
9．在如圖的長方形內，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）的面積為
【答案】36
【分析】本題考查了幾何圖形面積的計算，掌握幾何圖形的特點是解題的關鍵．
根據長方形的長與寬，圖形結合，可得三號正方形的邊長為：，根據長方形的寬為兩個三號正方形與陰影部分正方形邊長之和，由此可得陰影部分正方形的邊長，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意，三號正方形的邊長為：，
∴中間正方形的邊長為：，
∴中間小正方形（陰影部分）的面積為：，
故答案為： ．
10．有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則 0（填“”“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本題考查了數軸，實數的比較大小，有理數的加法，減法，除法．
根據數軸上右邊的點表示的數總比左邊的大，有理數的加法，除法法則判斷即可；
【詳解】觀察數軸可知，，，
，，
∴．
故答案為：．
11．如圖，在長為 20 米，寬為 15 米的池塘上修建寬為2 米的橫向與縱向的觀景道路，則道路的面積為 平方米．
【答案】92
【分析】本題考查有理數運算的實際應用，根據圖形，列出算式進行計算即可．
【詳解】解：；
故答案為：92．
12．對于有理數，，定義新運算“”，規則如下：，如．
(1)求的值．
(2)請你判斷交換律在“”運算中是否成立？并給出證明．
【答案】(1)
(2)成立，見解析
【分析】本題考查了有理數的混合運算；
（1）根據新定義進行計算即可求解；
（2）根據交換律結合新定義進行計算即可求解．
【詳解】（1）
（2）交換律在“”運算中成立
證明如下：
即交換律在“”運算中成立．
13．某特技飛行隊進行特技表演，飛機高度的變化：上升記為正，下降記為負，其中一架飛機A起飛后的高度變化如下：，，，
(1)求飛機A完成上述四個表演動作后，飛機A的高度是多少千米？
(2)如果飛機A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飛機A在這4個動作表演過程中，一共消耗的燃油需要多少錢？
(3)若另一架飛機B在做特技表演時，起飛后前三次的高度變化為：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飛機B在完成第4個動作后與飛機A完成4個動作后的高度相同，問飛機B的第4個動作是上升還是下降，上升或下降多少千米？
【答案】(1)
(2)元
(3)飛機的第4個動作是下降千米．
【分析】本題主要考查了有理數加法的實際應用，有理數乘法的實際應用；
（1）求出四次高度變化的四個數值的代數和即可得出結論；
（2）分別計算表格中四個數值的絕對值的和，再乘以2升求出燃油量，再乘以油的單價即可得出結論；
（3）計算飛機的前三次的高度的代數和與飛機的高度作比較即可得出結論．
【詳解】（1）解：
，
答：飛機A完成上述四個表演動作后，飛機A的高度是；
（2）解：
，
元，
答：飛機在這4個動作表演過程中，共消耗的燃油需要元．
（3）解；飛機完成3個動作后的高度為：
，
飛機的高度是1千米，
要使飛機在完成第4個動作后與飛機完成4個動作后的高度相同，飛機的第4個動作是下降，
（千米），
飛機的第4個動作是下降千米．
14．閱讀下列材料：，即當時，．用這個結論解決下面問題：
(1)已知，是有理數，
①當，時，則________；
②當，時，則________；
③當，時，則_______；
(2)已知，，是有理數，當時，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本題考查了有理數的除法， 絕對值的意義；
（1）①根據由，時，則，代入即可求解；
②根據由，時，則，代入即可求解；
③根據由，時，則，代入即可求解；
（2）當時，分兩種情況討論：①，，，②，，，進行求解即可．
【詳解】（1）解：①由，時，則，
∴；
故答案為：．
②由，時，則，
∴；
故答案為：0．
③由，時，則，
∴；
故答案為：．
（2）當時，
都小于，或中一個小于，另外兩個都大于，分兩種情況討論：
①當，，時，
；
②當，，時，
；
綜上所述：或．
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