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第4章《因式分解》章節檢測卷
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．單項式與的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多項式中，與相乘的結果為的多項式是（　　）
A． B． C． D．
4．若，則代數式的值為（ ）
A．11 B．7 C．1 D．
5．小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，分別對應下列六個字：勤，健，奮，美，勵，志，現將因式分解，結果呈現的密碼信息應是（ ）
A．勤奮健美 B．健美勵志 C．勵志勤奮 D．勤奮勵志
6．若k為任意整數，且能被k整除，則k不可能是（ ）
A．50 B．97 C．98 D．100
7．若，都是有理數，且，則( )
A． B． C． D．
8．已知，，則多項式的值為（ ）
A． B． C． D．
9．邊長為a的正方形與邊長為b的正方形按如圖所示的方式擺放，點A，D，G在同一直線上．已知，．則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
10．生活中我們經常用到密碼，如到銀行取款．有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項式分解因式，如多項式因式分解的結果是，當取，時，各個因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼．類似地，對于多項式，當取,時，用上述方法可以產生一個六位數密碼．則這個密碼可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若，則代數式的值等于 ．
13．先閱讀材料，再回答問題：
分解因式：
解：設，則原式
再將還原，得到：原式
上述解題中用到的是“整體思想”，它是數學中常用的一種思想．
請你用整體思想分解因式： ．
14．對于二次三項式，如果能將常數項n分解成兩個因數a，b，使a，b的和恰好等于一次項系數m，即，，就能將分解因式．這種分解因式的方法取名為“十字相乘法”．為使分解過程直觀，常常采用圖示的方法，將二次項系數與常數項的因數分列兩邊（如圖），再交叉相乘并求和，檢驗是否等于一次項系數，進而進行分解．則代數式因式分解的結果為 ．
15．正整數p，q（）分別是正整數n的最小質因數和最大質因數，并且，則n＝ ．
16．如果一個自然數A的個位數字不為0，且能分解成，其中M與N都是兩位數，M與N的十位數字相同，個位數字之和為6，則稱此數為“如意數”，并把數A分解成的過程，稱為“完美分解”．例如，因為，21和25的十位數字相同，個位數字之和為6，所以525是“如意數”．
（1）最小的“如意數”是 ；
（2）把一個“如意數”A進行“完美分解”，即，M與N的和記為P，M與N的差記為Q，若能被11整除，則A的值為 ．
三、解答題（8小題，共66分）
17．因式分解：
(1)； (2)．
18．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．請閱讀下面材料，并解答問題：
閱讀材料：利用多項式乘法法則可知，所以因式分解．
例如：．
利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．
(1)因式分解：
①．
②．
(2)利用因式分解求方程的解．
20．請看下面的問題：把分解因式．
分析：這個二項式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？
19世紀的法國數學家蘇菲熱門抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，隨即將此項減去，即可得
人們為了紀念蘇菲熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請你依照蘇菲熱門的做法，將下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
21．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法、運用公式法和十字相乘法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法，等等．
分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法叫作分組分解法例如：
．
拆項法，將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法叫作拆項法例如：
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
（分組分解法）；
（拆項法）；
(2)已知：，，為 ABC的三條邊，，求 ABC的周長．
22．我們常利用數形結合思想探索整式乘法的一些法則和公式．類似的，我們可以借助一個棱長為a的大正方體進行以下探索：
(1)在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖1所示，則得到的幾何體的體積為______；
(2)將圖1中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖2所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似的，長方體②的體積為______，長方體③的體積為______；（結果不需要化簡）
(3)將表示長方體①、②、③的體積相加，并將得到的多項式分解因式的結果為______；
(4)用不同的方法表示圖1中幾何體的體積，可以得到的等式為______．
(5)已知，，求的值．
23．對于任意的正整數n，記，當n等于1，2，…k，…n時，記的值分別為，…，…．
(1)的值為______；與2000最接近的的值為______；
(2)對于任意的n，的值是否一定為正整數？若是，請說明理由；若不是，請舉例說明；
(3)①求的值；
②已知m為小于100的正整數，存在正整數k使得，求出所有可能的m的值．（需寫出過程）
24．配方法是將一個式子的某一部分通過恒等變形轉化為完全平方式的形式．此法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．
解決問題：（1）①29是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式___________；
②若可配方成（m、n為常數），則___________；
探究問題：（2）①已知，則___________；
②已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試寫出符合條件的一個k值___________
拓展結論：（3）已知實數x、y滿足，求的最值，并求出此時x的值．
參考答案
一、選擇題
1．A
【分析】根據因式分解的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A. 從左至右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
B.從左至右的變形不屬于因式分解且計算錯誤，故本選項不符合題意；
C. 從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
D.從左至右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
故選：Ａ．
2．（C
【分析】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關鍵．根據公因式的概念分別求得系數的最大公因數，相同字母的次數的最低次數即可．
【詳解】解：單項式與的公因式是．
故選：C．
3．D
【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵．
根據題意，利用平方差公式的性質，得到答案．
【詳解】解：根據題意得：
故選：．
4．D
【分析】本題考查的是求解代數式的值，添括號的應用，把化為，再整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
；
故選D
5．A
【分析】先把代數式分解因式，再對照密碼手冊求解即可．
【詳解】解：
，
根據題意可得對應的密碼文字為：“健”，“奮”，“勤”，“美”，
故選：A．
6．B
【分析】本題主要考查了分解因式，把因式分解成是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
∴能被50，98，100整除，不能被97整除，
故選B．
7．B
【分析】首先利用完全平方公式變形，再利用非負數的性質求出與的值，然后代入所求式子進行計算即可．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴，
解得：，
∴
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了因式分解的應用，代數式求值，先利用分組分解法對多項式進行因式分解，再把已知條件代入計算即可求值，掌握因式分解的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
，
，
，
故選：．
9．B
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提，先根據用代數式表示陰影部分的面積，再利用公式變形后，代入，計算即可．
【詳解】解：由圖可知：，
正方形邊長為a，正方形邊長為b，
，
，
，
，
，
將，代入得：
，
故選：B．
10．C
【分析】根據用“因式分解”法產生的密碼的原理，先將因式分解，再模仿例子方法可得六位數密碼．
【詳解】解：
，
∵，，
∴，
∴這個密碼可以101030，
故選：C．
二、填空題
11．
【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案為：．
12．4
【分析】本題考查整式的化簡求值，先根據平方差公式化簡原式，然后代值求解即可．
【詳解】解：∵，
∴
，
∴原式，
故答案為：4．
13．
【分析】本題考查利用公式法因式分解，理解“整體思想”是解題的關鍵．
設，將原式換元后利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】解：設，
則原式
，
將還原可得原式，
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了因式分解的另一種方法—用十字相乘法分解因式，理解題意是關鍵．仿照題中分解方法進行即可．
【詳解】解：
．
15．20
【分析】利用因式分解變形等式，討論求值即可．
【詳解】解：∵正整數p，q（）分別是正整數n的最小質因數和最大質因數，
∴可以設，
∵，
∴，
當時，有，
∵，
∴，
∵，p為質因數，
∴，
∴，
∴；
故答案為：20．
16． 165 1088
【分析】本題考查了因式分解的應用、整式加減的應用等知識點，正確理解“如意數”的定義是解題關鍵．
（1）根據“如意數”的定義進行判斷即可得；
（2）設兩位數M和N的十位數字均為，M的個位數字為，則N的個位數字為，且m為1至9的自然數，從而可得，，
，再求出，根據，自然數M的個位數字不為0，以及 ，可得為5或者4 ，然后根據能被11整除，分別求出、的值，由此即可得．
【詳解】解：（1）∵自然數A的個位數字不為0，
∴根據“如意數”的定義可得最小的“如意數”為：，
故答案為：；
（2）由題意，設兩位數M和N的十位數字均為，M的個位數字為，則N的個位數字為，且m為1至9的自然數，
，，
，，
∵，自然數A的個位數字不為0，
∴，
解得：，
∴為5 、4或者3，
∵，
∴，
∴為5或者4 ，
，即的分子是奇數，
當時，，分子是奇數，分母是偶數，則該數不是整數，
不符合題意，舍去；
當時，，
能被11整除，且m為1至9的自然數，
滿足條件的整數只有3，
，
即，
故答案為：1088．
三、解答題
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
19．（1）解：①，
②；
（2），
，
或，
或，
方程的解是或．
20．（1）解：
；
（2）解：
．
21．（1）
（2），
．
．
，，．
．
的周長為．
22．（1）解：由大的正方體的體積為，截去的小正方體的體積為，
所以截去后得到的幾何體的體積為：
故答案為：
（2）∵，，
由長方體的體積公式可得：長方體②的體積為，
∵，，所以長方體③的體積為
故答案為：，
（3）由題意得：
故答案為：
（4）由（1）（3）的結論，可以得到的等式為：
故答案為：
（5）∵，，
∴
∴，
23．（1）解：的值為；
，
，即，
，，，
，
，
，
故答案為：10，2024；
（2）是正整數，證明如下：
，由于2和3為質數，
故需證明既能被2整除，也能被3整除即可．
當n為偶數時，為兩個偶數與一個奇數的積，積也為偶數，能被2整除，
當n為奇數時，為兩個奇數與一個偶數的積，積也為偶數，能被2整除；
當n是3的倍數時，能被3整除，
當n除3余1時，則能被3整除，故能被3整除，
當n除3余2時，則能被3整除，故能被3整除，
綜上所述，的值是正整數；
（3）①，，
，
，
；
②
，
整理可得：，
由于k是正整數，所以可取1，2，3，4，5，6，7，
故m可能的值為11，19，29，41，55，71，89．
24．解：（1）①根據題意得：；
②根據題意得：，
，，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
②當時，為“完美數”，理由如下：
，
，是整數，
，也是整數，
是一個“完美數”；
（3）∵，
∴，即，
∴
，
∵，
∴，
∴
∴當時，最大，最大值為．

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