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第2章 《二元一次方程組》章節檢測卷
一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）
1．下列方程中，屬于二元一次方程的是（ ）
A． B． C．X+ =2 D．
2．用加減法解方程組，由②①消去未知數y，所得到的一元一次方程是（　　）
A． B． C． D．
3．我國古代數學名著《九章算術》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”大意是：現在有數人一起去買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問共有多少人，物品的價格是多少錢？若設人數共有人，物品的價格為錢，可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
4．已知，用含x的代數式表示y可得（ ）
A． B． C． D．
5．如果表中給出的每一對，的值都是二元一次方程的解，則表中的值為（ ）
0 1 2 5
3 1
B． C．0 D．7
6．某校購買體育器材，第一次購買籃球7個，排球5個，足球3個，共花費450元，第二次又購買同樣的籃球3個，排球2個，足球1個，共花費175元，則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
7．已知關于x，y的方程組，若，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算術》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2．圖中各行從左到右列出的算籌數分別表示未知數的系數與相應的常數項．把圖1所示的算籌圖用我們現在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖2所示的算籌圖中有一個圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為（ ）
A．| B．|| C．||| D．||||
9．已知關于x、y的二元一次方程組，給出下列結論：①當這個方程組的解x，y的值互為相反數時，；②當時，方程組的解也是方程的解；③無論取什么實數．的值始終不變；④若用表示，則．其中結論正確的序號是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．有五張寫有數字的卡片，分別記為①，②，③，④，⑤，將它們按如圖所示放置在桌上．下表記錄了相鄰兩張卡片上的數的和．
卡片編號 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
兩數的和
則寫有最大數卡片的編號是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）
11．寫出一個二元一次方程，使這個方程與所組成的方程組的解為，這個方程可以是 ．
12．“雞兔同籠”是我國古代的數學名題，《孫子算經》中這樣敘述：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？若設雉只，兔只，則可列方程組為 ．
13．已知關于的二元一次方程組的解為，小強因看錯了系數，得到的解為，則 ．
14．代數式（k≠0，且k、b為常數）的值隨x取值的變化而變化，下表是當x取不同值時代數式對應的值，則關于x的方程的解為 ．
x 0 4 8
4 6 8 10 12
15．對于實數，我們定義如下運算：若為非負數，則；若為負數，則．例如：，．則方程組的解為 ．
16．某樂高創客小組自制了一臺“滑輪塔吊”裝置，如圖，是平衡桿，點O處裝有滑輪組，以的速度在平衡桿上滑動．現要將置于地面且距離障礙物的物體A搬運到障礙物后的置物臺上，障礙物高為，置物臺高為，兩者寬度均為．在搬運過程中，滑輪滑動的同時，吊繩勻速收放．（物體體積、裝置和滑輪組重力及摩擦力均忽略不計）

（1）物體在上升過程中，隨著滑輪組向右滑動，吊繩勻速收起，若物體恰好能越過障礙物，則此時裝置的收繩速度為 ；
（2）在（1）的基礎上，物體緩緩上升，在到達某一高度后裝置開始放繩，通過調整放繩速度，使物體順利運至置物臺．在搬運過程中，若物體恰好能以最小速度運至置物臺，物體離地面最大高度為 ．
三、解答題（8小題，共66分）
17．解方程組：
(1) (2)
18．已知關于、的二元一次方程組 的解為
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
19．若等式 中的x，y滿足方程組 ，求 的值．
20．已知關于x，y的方程組與有相同的解．
(1)求這個相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同學說：“無論a取何值，（1）中的解都是關于x，y的方程的解．”這句話對嗎？請你說明理由．
21．某鐵件加工廠用如圖1的長方形和正方形鐵片（長方形的寬與正方形的邊長相等），加工成如圖2的豎式與橫式兩種無蓋的長方體鐵容器（加工時接縫材料忽略不計）．

(1)填表：
長方形鐵片張數 正方形鐵片張數
1只豎式無蓋鐵容器中
1只橫式無蓋鐵容器中
(2)現有長方形鐵片300張，正方形鐵片100張，如果將兩種鐵片剛好全部用完，則可加工的豎式和橫式長方體鐵容器各有多少個？
(3)把無蓋鐵容器加蓋可以加工成鐵盒．現工廠準備將35塊鐵板裁剪成長方形鐵片和正方形鐵片，用來加工鐵盒，已知1塊鐵板可裁成3張長方形鐵片或4張正方形鐵片，也可以裁成1張長方形鐵片和2張正方形鐵片．問：該工廠充分利用這35張鐵板，最多可以加工成多少個鐵盒？
22．根據以下素材，探索完成任務．
如何設計采購方案？
素材1 為了迎接今年9月末至10月初在杭州舉行的第19屆亞運會，某旅游商店購進若干明信片和吉祥物鑰匙扣．已知一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元．
素材2 小明在本店購買了1套明信片與4個吉祥物鑰匙扣與共花費130元．
素材3 已知明信片的進價為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進價為18元/個．為了促銷，商店對吉祥物鑰匙扣進行8折銷售．臨近期中考試，某老師打算提前給學生準備獎品，在本店同時購買吉祥物鑰匙扣和明信片兩種商品若干件，本次交易商家一共獲得600元的銷售額．
問題解決
任務1 假設明信片的售價為x元/套，鑰匙扣的售價為y元/個，請協助解決右邊問題． 問：___________（用含x的代數式表示）
任務2 基于任務1的假設和素材2的條件，請嘗試求出吉祥物鑰匙扣和明信片的售價．
任務3 【擬定設計方案】 請結合素材3中的信息，幫助該老師完成此次促銷活動中可行的購買方案．在這些購買方案中，哪種方案商家獲利最高．
23．對于關于x，y的二元一次方程組（其中，，，，，是常數），給出如下定義：若該方程組的解滿足，則稱這個方程組為“美好”方程組．
(1)下列方程組是“美好”方程組的是______（只填寫序號）；
①；②；③；④．
(2)若關于x，y的方程組是“美好”方程組，求a的值；
(3)若對于任意的有理數m，關于x，y的方程組都是“美好”方程組，求的值．
24．已知關于的方程組，其中，為整數．
(1)若方程組有無窮多組解，求實數與的值；
(2)當時，方程組是否有整數解？如有，求出整數解；若沒有，請說明理由．
參考答案
一、選擇題
1．B
【分析】本題考查二元一次方程，根據二元一次方程的定義判斷即可．
【詳解】解：根據二元一次方程的定義：方程中含有兩個未知數，且含未知數的項的次數是1．可得：方程是二元一次方程．
故選：B
2．B
【分析】本題考查了加減法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解題的關鍵．
【詳解】解：②①得：
，
故選：B．
3．D
【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．
根據題意可以找出題目中的等量關系，列出相應的方程組，從而可以解答本題．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：D．
4．C
【分析】本題主要考查了解二元一次方程．根據已知條件，把含有x的項和常數項移到等號右邊即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：C．
5．A
【分析】本題考查了二元一次方程的解，能熟記方程的解的定義（使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫方程的解）是解此題的關鍵．
將代入中求出，再把代入求出，再將代入方程即可求出m．
【詳解】解：把代入，得，
∴，
則，
把代入，得，
∴，
∴二元一次方程為：，
把代入，得，
∴，
∴．
故選：A．
6．A
7．A
【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，解一元一次方程，熟練掌握方程組的解法是解題關鍵．先利用方程組中的第二個方程減去第一個方程得，再根據得到的一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：
由得，，即
解得：．
故選：A．
8．B
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用．設被墨水所覆蓋的圖形表示的數據為，根據題意列出方程組，把代入，求得的值便可．
【詳解】解：設被墨水所覆蓋的圖形表示的數據為，根據題意得，
，
把代入，得
由③得，，
把代入④得，，
，
故選：B．
9．C
【分析】本題考查二元一次方程組的解法和應用，正確的解出方程組的解是解決問題的關鍵．根據方程組的解法可以得到，①令，即可求出a的值，驗證即可；②由①得，而，將代入驗證得出答案；③根據方程組的解得到，即可判斷；④用含有x的代數式表示a，代入得出x、y的關系．
【詳解】解：①，
解得：，
∵x，y的值互為相反數，
∴，
解得：，故正確；
②原方程組的解滿足，
當時，，
而方程的解不滿足，故錯誤；
③∵，
∴，
即的值始終不變，故正確；
④∵，
∴，代入，
得：，即，故正確；
故選：C．
10．A
【分析】本題考查了等式的性質，由題意得關于①②③④⑤的方程，利用等式的性質求出它們的值，最后根據題意得結論．
【詳解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③ ．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故選：A．
二、填空題
11．（答案不唯一）
【分析】本題考查二元一次方程的定義及二元一次方程組解的定義，
根據二元一次方程的解的定義求得的值，然后寫出一個符合題意的方程即可．
【詳解】解：∵的一組解為，
∴，
解得：，
則它的解為，
那么所組成的方程組的解為的二元一次方程為，
故答案為：（答案不唯一）．
12．
【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列出相應的方程組．根據“雉的數量兔的數量，雉的腳的數量兔子的腳的數量”可列方程組．
【詳解】解：根據題意可得：，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了二元一次方程組的解．根據題意把代入二元一次方程組可得的值，根據小強看錯系數得到解為，由此可得新的方程組，運用加減消元法可求出的值，代入計算即可求解．
【詳解】解：把代入二元一次方程組得，
，
∴由得，，
∵小強看錯了系數得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案為：11．
14．
【分析】本題考查解方程和方程組．根據表中和，得到關于和的二元一次方程并求解，將和的值代入解方程即可．
【詳解】解：由和，
得，
解得，
將代入，
解得，
故答案為：．
15．或
【分析】此題考查了解二元一次方程組，實數的新定義運算，分類討論與分別為非負數和負數四種情況考慮，方程組利用題中的新定義化簡求出與的值，即可作出判斷．
【詳解】解：當，，即，時，
解得：
當，，即，時，
解得：，
當，，即，時，
解得： （舍去）
當，，即，時，
解得：（舍去）
綜上所述，或
故答案為：或．
16． 3 50
【分析】本題考查了有理數的加減法、除法，以及二元一次方程組，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關鍵．
（1）根據題意得滑輪組向右滑動的距離為，時間為秒，吊繩勻速收起，障礙物高為，故裝置的收繩速度為：；
（2）設從點A到最高點的時間為，則，設為兩個矩形的頂點，由題意得，只有貼著障礙物右側P點滑下來，滑到平臺的最右側Q點，物體恰好能以最小速度運至置物臺，從點P到點Q分析，水平方向是勻速的，即，從點P到點Q，即水平方向從點C到點E，距離為，則時間為，而豎直方向的時間也為，點P與點Q的豎直高度差為，故從點P到點Q的豎直速度為，設從點F到點Q的時間為，則豎直下落的高度，由，而水平方向從點A到點E的距離為，，故，可得，解得：，故．
【詳解】解：（1）根據題意得滑輪組向右滑動的距離為，
時間為秒，
吊繩勻速收起，障礙物高為，
∴裝置的收繩速度為：，
故答案為：3；
（2）由（1），設從點A到最高點的時間為，則，如圖：

設為兩個矩形的頂點，由題意得，只有貼著障礙物右側P點滑下來，滑到平臺的最右側Q點，物體恰好能以最小速度運至置物臺，
∵從點P到點Q分析，水平方向是勻速的，即，從點P到點Q，即水平方向從點C到點E，距離為，則時間為，而豎直方向的時間也為，
∵點P與點Q的豎直高度差為，
∴從點P到點Q的豎直速度為，
設從點F到點Q的時間為，
∴豎直下落的高度，
∵，
∵水平方向從點A到點E的距離為，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：50．
三、解答題
17．（1）解：，
得，
解得，
將代入得，
解得，
∴方程組的解為：；
（2）解：，
原方程組化簡為：，
得：，
解得，
將代入得，
解得，
∴方程組的解為：．
18．（1）解：根據題意得：，
解得：，
，；
（2），，
，
的立方根為．
19．解：∵
∴
解得
將 代入方程組 得 解得
∴原式
20．（1）解：由題意可得：，
解得；
（2）解：將代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（3）解：將代入，得：
，
化簡得：，
該說法錯誤．
21．（1）解：根據圖2可知：1只豎式無蓋鐵容器中長方形鐵片4張，正方形鐵片1張；1只橫式無蓋鐵容器中長方形鐵片3張，正方形鐵片2張；
填表：
長方形鐵片張數 正方形鐵片張數
1只豎式無蓋鐵容器中 4 1
1只橫式無蓋鐵容器中 3 2
（2）解：設可以加工豎式長方體鐵容器x個，橫式長方體鐵容器y個，
依題意，得：，
解得：．
答：可以加工豎式長方體鐵容器60個，橫式長方體鐵容器20個．
（3）解：設用m塊鐵板裁成長方形鐵片，n塊鐵板裁成正方形鐵片，則用塊鐵板裁成長方形鐵片和正方形鐵片，依題意，得：
，
∴，
∵m，n，均為非負整數，
∴或，
當，時，；
當，時，；
∵，
∴最多可以加工成19個鐵盒．
22．解：任務1：
由題意可知，一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元，
設明信片的售價為x元/套，鑰匙扣的售價為y元/個，
則，
故答案為：；
任務2：
∵小明在本店購買了1套明信片與4個吉祥物鑰匙扣與共花費130元，
，
解得，
，
答：吉祥物鑰匙扣的售價為30元，明信片的售價為10元；
任務3：
設購買吉祥物鑰匙扣m個，明信片n張，
根據題意得：，
，
是非負整數，
或或或或或，
∵吉祥物鑰匙扣每件利潤為（元），明信片每張利潤為（元），
∴購買吉祥物鑰匙扣0個，明信片60張，商家獲利300元；
購買吉祥物鑰匙扣5個，明信片48張，商家獲利270元；
購買吉祥物鑰匙扣10個，明信片36張，商家獲利240元；
購買吉祥物鑰匙扣15個，明信片24張，商家獲利210元；
購買吉祥物鑰匙扣20個，明信片12張，商家獲利180元；
購買吉祥物鑰匙扣25個，明信片0張，商家獲利150元；
答：可行的購買方案有：購買吉祥物鑰匙扣0個，明信片60張或購買吉祥物鑰匙扣5個，明信片48張，或購買吉祥物鑰匙扣10個，明信片36張或購買吉祥物鑰匙扣15個，明信片24張或購買吉祥物鑰匙扣20個，明信片12張或購買吉祥物鑰匙扣25個，明信片0張；其中購買吉祥物鑰匙扣0個，明信片60張商家獲利最高．
23．（1）解：①，解得：，此時；
②，解得：，此時；
③，解得：，此時；
④，解得：，此時；
故答案為：②③；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵關于x，y的方程組是“美好”方程組，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵關于x，y的方程組都是“美好”方程組，
∴，
聯立得：，
解得：或，
把代入得：
，
∴，
∵m為任意有理數，
∴，解得：，
∴；
把代入得：
，
∴，
∵m為任意有理數，
∴，解得：，
∴；
綜上所述，得值為或．
24．（1）解：依題意，
由①得，，③
將③代入②得，
整理得出，④
∵方程組有無窮多組解
∴且時，
即，則，
∴，
（2）解：沒有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①當時，即，
∵
∴此時方程組為
則
∵為整數
∴原方程沒有整數解
②當時，即，此時，
若時，顯然無解，
若時，，代入得
∵a為整數，
∴不可能為整數，
∴原方程無整數解；
綜上：原方程沒有整數解

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