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第1章《解直角三角形》章節檢測卷
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。)
1．的值等于( )
A． B． C． D．
2．在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是( )
A． B． C． D．
3．如圖，廣場上空有一個氣球A，若，，則氣球A離地面的高度的長為( )
A． B． C． D．
4．在中，，則的長為(　　)
A．8 B．12 C．13 D．18
5．如圖所示，已知在中，弦的長為，測得圓周角，則直徑為( )

A． B． C． D．
6．如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長度米，則坡面的水平寬度長為( )

A． B． C． D．
7．某停車場入口欄桿如圖，欄桿從水平位置繞點旋轉到的位置，已知，若欄桿的旋轉角，則欄桿端點上升的垂直高度的長為( )
A． B． C． D．
8．如圖，在中，，，點P是BC延長線上一點，，且，則的取值范圍是( )

A． B． C． D．
9．中國最早的一部數學著作《周髀算經》中記載著勾股定理，約1400年后的漢代數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的證明．這就是如圖所示的“趙爽弦圖”，若，則小正方形與直角三角形的面積比為( )

A． B．1∶1 C． D．1∶5
10．如圖，矩形，，點E，F分別在邊，上，，連結，，過D作，垂足為G，交于P，連結BP，若，則的值是(　　)

A． B． C． D．
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
11．若，則銳角的度數是 ．
12．已知在中，，，，那么的值是 ．
13．已知中，，，則 ．
14．如圖，建筑物上有一旗桿，從與相距的處，觀測旗桿頂部的仰角為，觀測旗桿底部的仰角為，則旗桿的高度為 (結果保留整數，參考數據：，，)

15．如圖，在矩形ABCD中，，，P是上一個動點，過點P作，垂足為G，連接，取中點E，連接，則線段的最小值為 ．

16．下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，，四邊形，是正方形．過點，將紙片分別沿與平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形，拼成圖2．

(1)若，的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為 ．
(2)若，則 ．
三、解答題(本大題共7小題,共66分)
17．(1)計算：． (2)計算：．
18．在中，，，為銳角且．
(1)求的度數；
(2)求的正切值．
19．圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數．
(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在発子上，最高可以把籃網掛到離地面米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．(參考數據：)
20．如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從港出海捕魚，甲船以千米/小時的速度沿北偏西方向前進，乙船以千米/小時的速度沿東北方向前進，甲船航行小時到達處，此時甲船發現漁具丟在乙船上，于是甲船加快速度(勻速)沿北偏東的方向追趕乙船，結果兩船在處相遇．

(1)甲船從處追趕上乙船用了多少時間？
(2)求甲船追趕乙船時的速度．(結果保留根號)
21．如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈，底座的高為，長度均為的連桿，與始終在同一平面上．

(1)轉動連桿，，使成平角，，如圖2，求連桿端點D離桌面l的高度．
(2)將(1)中的連桿再繞點C逆時針旋轉，使，如圖3，問此時連桿端點D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？(精確到，參考數據：，)
22．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線上的兩點(點E在點F左側)，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當，，時，求的長．
23．如圖，矩形中，，點M是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于E，連接．

(1)求證：平分
(2)求證：．
(3)若，，求的值．
24．如圖，四邊形內接于，，為直徑，為一動點，連結交于點，交于點，連結．

(1)設為，請用表示的度數．
(2)如圖1，當時，
①求證：．
②當時，求半徑的長．
(3)如圖2，當過圓心時，若，直接寫出的值(用含的代數式表示．)
參考答案
一、選擇題
1．C
【分析】根據特殊角的三角函數值進行解答即可．
【詳解】解：，故C正確．
故選：C．
2．C
【分析】根據在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可．
【詳解】解：如圖，
∴
故選C．
3．B
【分析】由題意可得即可得到氣球A離地面的高度的長．
【詳解】解：∵,
∴，
∵，
∴，
故選：B
4．C
【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：在中，∵，
∴，
∴，
故選：C．
5．B
【分析】連接，可證，，由即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

，
，
∵是直徑，
∴，
()，
故選：B．
6．D
【分析】根據坡度的概念得到，根據勾股定理計算即可．
【詳解】解：坡面的坡度為：，
，即，
由勾股定理得，，
則，
解得，
故斜坡的水平寬度的長為米．
故選：D．
7．A
【分析】過點D作于E，由題意得米，根據求出答案．
【詳解】解：如圖，過點D作于E，
由題意得O米，
在中，，，
∴欄桿端點A上升的垂直距離米，
故選：A．
8．A
【分析】根據，，求出，則，求出，分別求出當時，當時的的度數，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
當時，
∴，
∴，則；
當時，
∴，
∴，則；
∵，
∴，
故選：A．
9．B
【分析】在中，根據銳角三角函數的定義得出，代入，兩邊平方得出，由“趙爽弦圖”，結合圖形可知等于小正方形的邊長，那么．再根據，即可求解．
【詳解】解：如圖．

在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
設，則，
∴，
∴．
故選：B．
10．D
【分析】作于點H，交于點I，可證明，得，由等腰三角形的性質得，再證明四邊形是矩形，則，由，，得所以，再根據即可得出答案
【詳解】解：作于點H，交于點I，
∵于點G，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四邊形是矩形，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
故選：D．

二、填空題
11．
【分析】利用特殊角的三角函數值計算即可得到銳角的度數．
【詳解】解：∵，
∴，
那么銳角的度數為．
故答案為：．
12．
【分析】畫出圖形，直接利用正弦函數值的定義進行求解即可．
【詳解】
在中，，，
∴．
故答案為：．
13．2
【分析】過點A作交于點D，根據三角形內角和定理，得到，進而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．
【詳解】解：過點A作交于點D，

，
，
，
，
在中，，
，
∵，
∴，
故答案為：2．
14．8
【分析】根據正切的定義，得出，再根據三角形的內角和定理，結合等腰三角形的定義，得出是等腰直角三角形，進而得出，再根據線段之間的數量關系，計算即可得出答案．
【詳解】解：由題意得：，，，，
在中，
，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴旗桿的高度為．
故答案為：8．
15．
【分析】取的中點F，連接，作于H，作于T，設，分別表示出，進而表示出和，進而表示出，進一步得出結果．
【詳解】解：如圖，取的中點F，連接，作于H，作于T，設，

∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵E是的中點，
∴，
∴，
，
在中，
，
∴當時，的最小值為．
故答案為：
16． 9
【分析】(1)在圖1中，過作于，由，可得，，故，而的面積為16，即可得紙片Ⅲ的面積為；
(2)標識字母如圖，設，證明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
【詳解】(1)在圖1中，過作于，如圖：

，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面積為16，
，
，
，
紙片Ⅲ的面積為；
故答案為：9；
(2)如圖：

，
，
設，則，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
當時，，這情況不符合題意，舍去；
當時，，
而，，
．
故答案為：．
三、解答題
17．解：(1)
；
(2)
．
18．解：(1)∵∠B為銳角且，
∴∠B＝60°；
(2)作AD⊥BC于D，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝，
∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．
19．(1)解：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)該運動員能掛上籃網，理由如下．
如圖，延長交于點，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴該運動員能掛上籃網．
20．(1)解：如圖，過作于點，作交于點，

∵甲船沿北偏西方向前進，乙船沿東北方向前進，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∵甲船沿北偏東的方向追趕乙船，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∵甲船以千米/小時的速度航行小時到達處，
∴(千米)；
在中，，
∴(千米)，
∴(千米)，
∵，，
∴(千米)，
且乙船以千米/小時的速度沿東北方向前進，
故甲船從處追趕上乙船的時間是：(小時)．
(2)解：在中，，
∴(千米)，
故甲船追趕乙船的速度是(千米/小時)．
21．(1)如圖2中，作于點O．

根據題意有：，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴()，
∴()；
(2)作于F，于P，于G，于H．
則四邊形是矩形，

∵根據(1)求出，，
∴，
∵，
∴，
∴()，()，
∴()，
∴下降高度：()．
22．(1)∵，
∴，，
∴
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
(2)∵在中，，
∴設，，
∵在中，，
即，
解得或(舍去)
∴，．
由(1)得：四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，
解得：或(舍去)，
即，
由(1)得，
∴，
∴．
23．(1)證明：∵四邊形是矩形，
∴，
由折疊性質可得：，
∵延長交于E，
∴，
∴，
∵點M是的中點，
∴，
由折疊性質可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
(2)證明：由折疊性質可得：，
由(1)得：，
∵，
∴，
∵∠B=90°，
∵，
∴，
∵，
∴；
(3)解：由(2)得：，
∵，
∴，
由(2)得：，
由折疊性質得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由(1)得：，
∴，
∴，
由折疊性質的：，
∴，
∴，
∴；
24．(1)為直徑，

，
又，，
．
，
，
．
(2)①連接．
，，，
，
，．
，
，
又，，
，
，，
．
②過點作，垂足為．

，，
，，
，，
．
由，得．
．
，
，
∵
∴．
由勾股定理得．
(3)解：如圖所示，連接交于點，

，，
，
為直徑，
．
為中點．
為的中位線，
，．
，
，
，
．
，
，
令，則，，
，，
．

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