資源簡介

2024- 2025(下)6月月度質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學(xué)
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫在答題
卡上。用 2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用
橡皮擦干凈后，再填涂其他答案。答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置
上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答
案無效。
一、單選題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分，每小題只有一個選項符合要求
1.根據(jù)分類變量 x與 y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到 χ2= 8.988.依據(jù) α= 0.001的獨立性檢驗，正確的結(jié)論為
(附：x0.01= 6.635，x0.005= 7.879，x0.001= 10.828)
A. 變量 x與 y不獨立 B. 變量 x與 y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過 0.001
C. 變量 x與 y獨立 D. 變量 x與 y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過 0.001
2.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率 y和溫度 x(單位： °C)的關(guān)系，在 20個不同的溫度條
件下進(jìn)行種子的發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù) (xi , yi) (i= 1 , 2 , , 20)得到下面的散點圖：
由此散點圖，在 10 °C至 40 °C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率 y和溫度 x的回歸方程
類型的是
A. y= a+ bx B. y= a+ bx2 C. y= a+ bex D. y= a+ blnx
3.已知數(shù)列 3， 5， 7，3， 11， ， 2n+1， ，則 51是這個數(shù)列的
A. 第 12項 B. 第 13項 C. 第 24項 D. 第 25項
4.數(shù)列 an 的通項公式為 a =n2n + kn，則“k≥-2”是“ an 為遞增數(shù)列”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 既不充分也不必要條件 D. 充要條件
5.兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有 3根柱子甲、乙、丙，甲柱上有 n(n≥ 3)個盤子，最
上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上 (如圖).把這n個盤子從甲
柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙 3根柱子都可以利用，且 3
根柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下．設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為 an，則
數(shù)學(xué)試題 第 1 頁 共 8 頁
當(dāng)n≥ 3時，an和 an+1滿足的關(guān)系式是
A. an+1= 4an- 3n B. an+1= 4an- 1 C. an+1= 2an+ 1 D. an+1= 2an+n
6. 1若函數(shù) f x = x22 - 2x- 3lnx，則函數(shù) f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為
A. (-∞ ,-1) ∪ (3 ,+∞) B. -1,3
C. (0 , 3) D. 3,+∞
lnx
x ,x≥17.設(shè)函數(shù) f x = ，若關(guān)于 x的方程 [ f(x)]
2+mf(x) - 1-m= 0恰好有 4個不相等的實數(shù)
- x-1 3 ,x<1
解，則實數(shù)m的取值范圍是
A. -1, 1e -1 B. -1-
1
e ,-1 C. 1,
1
e +1 D. 0,
1
e
8. m∈R f(x) = 1若 ，函數(shù) 2 x
2- x+mlnx有兩個極值點 x1，x2(x 21< x2)，則m x1x2+x2 的最大值為
A. 2 427 B. 27 C.
6 8
27 D. 27
二、多選題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全
部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0分。
9.已知由樣本數(shù)據(jù)點 (x1 , y1)，(x2 , y2)， ，(xn , yn)

求得的回歸直線方程為 y= 1.5x+ 0.5，且 x = 3，現(xiàn)發(fā)
現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點 (1.3 , 2.1)和 (4.7 , 7.9)的誤差較大，剔除后重新求得的回歸直線的斜率為 1.2，則
A. 變量 x和 y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系
B. y 剔除后 不變
C. 剔除后的回歸直線方程為 y= 1.2x+ 1.4
D. 剔除后對應(yīng)于樣本數(shù)據(jù)點 (2 , 3.75)的殘差為 0.05
10.已知數(shù)列 {an}滿足 a1= 3，an+1= 1- 1a ，記數(shù)列 {an}的前n項和為Sn，則n
A. a2= 32 B. S
1
3n+1-S3n=- 2 C. anan+1an+2=-1 D. S19= 22
2
11. f(x) = x -1已知函數(shù) ，g(x) = e f(x)2 ，則以下結(jié)論不正確的是x +1
A. f 12025 f
1
2024 f(1) f(2) f(2025) = 1
B. g 12025 g
1
2024 g(1) g(2) g(2025) = 1
C. 若 af '(a) = bf '(b)，且 a≠ b，則 ab= 1
D. 若 ag'(a)g(b) = bg'(b)g(a)，且 a≠ b，則 ab= 1
數(shù)學(xué)試題 第 2 頁 共 8 頁
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分
12.記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和，若 a1=-2 , a2+ a6= 2，則S10= ．
13.給出下列命題：
①實驗測得四組數(shù)據(jù) (x , y)的值為 (1 , 2.1)，(2 , 2.8)，(3 , 4.1)，(4 , 5)，則 y與 x的回歸直線方程為 y=
2x+ 1 ;
②函數(shù) f(x) = 2sin 3x- π4
π
的圖象向右平移 4 個單位長度，得到函數(shù) g(x) = 2sin 3x的圖象;
③當(dāng) x∈ [0 , 1]時，函數(shù) y= x 1-x2 1的最大值為 2 ;
④冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過點A 4,2 ，則它在A點處的切線方程為 x- 4y+ 4= 0.
其中正確命題的序號是 .
14.對函數(shù) f(x) = 3x做如下操作：先在 x軸找初始點P1(x1 , 0)，然后作 f(x)在點Q1(x1 , f(x1))處的切線，切線
與 x軸交于點P2(x2 , 0)，再作 f(x)在點Q2(x2 , f(x2))處的切線，切線與 x軸交于點P3(x3 , 0)，再作 f(x)在
點Q3(x3 , f(x3))處的切線，依次類推.現(xiàn)已知初始點為P1(0 , 0)，若按上述過程操作，則 x3= ，所
得△PnQnPn+1的面積為 .(用含有n的代數(shù)式表示)
四、解答題：本題共 5小題，共 77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟
15.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市 100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得
到下表 (單位：天)：
鍛煉人
次 [0 , 200] (200 , 400] (400 , 600]
空氣質(zhì)量等級
1(優(yōu)) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(輕度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為 1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為 1或 2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為 3或 4，則稱這天
“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的 2× 2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有 95%的把握認(rèn)為
一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
人次≤ 400 人次> 400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
2= n(ad-bc)
2
附：χ (a+b)(c+d)(a+c)(b+ ，d)
P(χ2≥ k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
數(shù)學(xué)試題 第 3 頁 共 8 頁
16. 3 3a已知數(shù)列 an 的首項 a = n1 5 ，且滿足 an+1= 2a +1．n
(1) 1求證：數(shù)列 a -1 為等比數(shù)列；n
(2) 1 1 1若 a + a + a + ...+
1
a < 100，求滿足條件的最大整數(shù)n.1 2 3 n
17.已知 x= 3是函數(shù) f(x) = aln(1+ x) + x2- 10x的一個極值點．
(1)求實數(shù) a的值;
(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若直線 y= b與函數(shù) y= f(x)的圖象有 3個交點，求實數(shù) b的取值范圍．
18. b已知數(shù)列 {an}，{bn}，{cn}滿足 a1= b1= c1= 1，cn+1= an+1- an，c nn+1= c (n∈N *)．b nn+2
(1)若 {bn}為等比數(shù)列，公比 q> 0，且 b1+ b2= 6b3，求 q的值及數(shù)列 {an}的通項公式；(2)若 {bn}為等差
數(shù)列，公差 d> 0，證明：c1+ c2+ c3+ +c < 1+ 1n ，n∈N *．d
19.在幾何學(xué)中，我們常用曲率來刻畫曲線的彎曲程度．設(shè)光滑連續(xù)曲線C：y= f(x)，定義K=
| f (x)|
為曲線C在點A(x , f(x))處的曲率，其中 f (x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f 3 (x)為 f (x)的導(dǎo)函
1+ f (x) 2 2
數(shù)．已知曲線C：f(x) = (3- x)ex- m 22 x (m∈R)．
(1)當(dāng)m= 0時，求曲線C在點A(0 , f(0))處的曲率；
(2)已知曲線C在不同的兩點M (x1 , f(x1))，N (x2 , f(x2))處的曲率均為 0．
①求實數(shù)m的取值范圍；
②證明：x1+ x 數(shù)學(xué)試題 第 4 頁 共 8 頁
參考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C C B B BC CD ACD
12.25
13. ③④
14. - 2 log9eln3 ；en-1
15.
(1) 2+16+25 43解： 空氣質(zhì)量等級為 1的概率為P= 100 = 100 ;
5+10+12 27
空氣質(zhì)量等級為 2的概率為P= 100 = 100 ;
6+7+8 21
空氣質(zhì)量等級為 3的概率為P= 100 = 100 ;
4 P= 7+2 9空氣質(zhì)量等級為 的概率為 100 = 100 ;
(2)一天中該公園鍛煉的平均人次的估計值為
100× 2+5+6+7100 + 300×
16+10+7+2
100 + 500×
25+12+8
100 = 350；
(3)
人次≤ 400 人次> 400
空氣質(zhì)量好 33 37
空氣質(zhì)量不好 22 8
2= 100(33×8-22×37)
2
χ ( + )( + )( + )( + ) ≈ 5.82> 3.841，33 22 33 37 22 8 37 8
有 95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．
3a
16. 證明：(1) ∵ a nn+1= 2an+1
，
∴ 1 2 1a = 3 + 3a ，n+1 n
∴ 1 1a - 1= 3
1
a -1 ，n+1 n
∵ a = 31 5 ，
∴ 1 - 1= 2a1 3
，
∴ 1 -1
2 1
a 為以n 3 為首項，以 3 為公比的等比數(shù)列；
(2) (1) 1 - 1= 2 × 1
n-1
由 知 a 3 3 ，n
∴ 1 = 2× 1
n
a 3 + 1，n
數(shù)學(xué)試題 第 5 頁 共 8 頁
1 - 1
∴S = 1 + 1
n+1
+ + 1 =n+ 2× 1 + 1 + + 1 = + × 3n 2 3 =n+ 1- 1n a1 a 2 n n ，2 an 3 3 3 1- 1 33
∵Sn< 100，
∴Sn=n+ 1- 1 < 100，3n
因為函數(shù) y=n+ 1- 1n 單調(diào)遞增，3
∴最大整數(shù)n為 99．
17. 解：(1)因為 f ' x = a 1+x + 2x- 10，
所以 f ' 3 = a 4 + 6- 10= 0，
因此 a= 16，
2 x2-4x+3 2 x-1 x-3
則 f( x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x，x∈ (-1 ,+∞)，f ' x = 1+x = 1+x ，
可得 f '(x)在 x= 3兩邊異號，即 x= 3是函數(shù) f(x) = 16ln(1+ x) + x2- 10x的一個極值點，
故 a= 16．
2 x-1 x-3( 2)由 (1)知，f ' x = 1+x ，x∈ (-1 ,+∞)，
當(dāng) x∈ (-1 , 1) ∪ (3 ,+∞)時，f '(x)> 0，
當(dāng) x∈ (1 , 3)時，f '(x)< 0，
所以 f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 (-1 , 1)，(3 ,+∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 (1 , 3)；
(3)由 (2)知，f(x)在 (-1 , 1)內(nèi)單調(diào)遞增，在 (1 , 3)內(nèi)單調(diào)遞減，在 (3 ,+∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng) x= 1或 x= 3
時，f '(x) = 0，
所以 f(x)的極大值為 f(1) = 16ln2- 9，極小值為 f(3) = 32ln2- 21．
因為 f(16)> 162- 10× 16> 16ln2- 9= f(1)，f(e-2- 1)<-32+ 11=-21< f(3)，
所以要使直線 y= b與函數(shù) y= f(x)的圖象有 3個交點，
則在 f(x)的三個單調(diào)區(qū)間 (-1 , 1)，(1 , 3)，(3 ,+∞)內(nèi)，直線 y= b與 y= f(x)的圖象各有一個交點，
當(dāng)且僅當(dāng) f(3)< b< f(1)，
因此，b的取值范圍為 (32ln2- 21 , 16ln2- 9)．
18. (1)解：由題意，b2= q，b 23= q ，
∵ b1+ b2= 6b3，∴ 1+ q= 6q2，
整理，得 6q2- q- 1= 0，
1 1
解得 q=- 3 (舍去)，或 q= 2 ，
∴ = bc nn+1 c = 1n cn= 1 c = 1 c = 4 c ，bn+2 bn+2 q2 n 2 n n
b
1
n 2
∴數(shù)列 {cn}是以 1為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴ cn= 1 4n-1= 4n-1，n∈N *．
∴ an+1- an= c nn+1= 4 ，
則 a1= 1，
a 12- a1= 4 ，
a3- a2= 42，
數(shù)學(xué)試題 第 6 頁 共 8 頁
a - a = 4n-1n n-1 ，(n≥ 2 ,n∈N *)，
各項相加，可得n≥ 2，n∈N *時，
1-4n na = 1+ 41+ 42+ +4n-1n = 1-4 =
4 -1
3 ，
當(dāng)n= 1時代入適合，
n
∴ an= 4 -13 ．
(2) b證明：依題意，由 c nn+1= cn(n∈N *)，可得bn+2
bn+2 cn+1= bn cn，
兩邊同時乘以 bn+1，可得
bn+1bn+2cn+1= bnbn+1cn，
∵ b1b2c1= b2= 1+ d，
∴數(shù)列 {bnbn+1cn}是一個常數(shù)列，且此常數(shù)為 1+ d，
bnbn+1cn= 1+ d，
∴ c = 1+d = 1+d d = b 1+ 1 n+1
-bn
n =b b d b b d b b 1+
1 1 - 1 ，
n n+1 n n+1 n n+1 d bn bn+1
∴ c + c + +c = 1+ 1 1 - 1 + 1+ 1 1 - 1 + + 1+ 1 1 - 11 2 n =d b1 b2 d b2 b3 d bn bn+1
1+ 1 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1+ 1 1 - 1 = 1+ 1 1- 1d b1 b2 b2 b3 bn bn+1 d b1 b n+1 d bn+1 < 1+
1
，
d
∴ c1+ c2+ +cn< 1+ 1 ，故得證． d
19. 解：(1)當(dāng)m= 0時，f (x) = (2- x)ex，f (x) = (1- x)ex，
所以 f (0) = 2，f (0) = 1，
故曲線C在點A(0 , f(0)) K= 1 5處的曲率 3 = ，
(1+22) 2 25
(2)f (x) = (1- x)ex-m，由題意可知，f (x1) = f (x2) = 0，
則方程 (1- x)ex=m有兩個根 x1，x2，
設(shè) g(x) = (1- x)ex，則 g (x) =-xex，
當(dāng) x∈ (-∞ , 0)時，g (x)> 0，當(dāng) x∈ (0 ,+∞)時，g (x)< 0，
所以 g(x)在 (-∞ , 0)上單調(diào)遞增，在 (0 ,+∞)上單調(diào)遞減．
又 x→-∞時，g(x) → 0，g(1) = 0，且 g(x)max= g(0) = 1，
①由題可知，直線 y=m與函數(shù) g(x)的圖象有兩個不同的交點，
所以 0故實數(shù)m的取值范圍為 (0 , 1)．
②證明：由上可知，0下面證明：當(dāng) x∈ (0 , 1)，g(x)<-ex+ e，
設(shè) h(x) = (1- x)ex+ ex- e , x∈ (0 , 1)，則 h (x) =-xex+ e，
令 φ(x) = h (x) =-xex+ e(0< x< 1)，則 φ (x) =- (x+ 1)ex< 0，所以 φ(x)在 (0 , 1)上單調(diào)遞減，
則 h (x)> h (1) = 0，所以 h(x)在 (0 , 1)上單調(diào)遞增，且 h(x)< h(1) = 0，
即 (1- x)ex+ ex- e< 0，故 x∈ (0 , 1)，g(x)<-ex+ e．
設(shè)點 x3,m 在直線 y=-ex+ e上，則m=-ex3+ e，即 x3= 1- me ，
數(shù)學(xué)試題 第 7 頁 共 8 頁
所以-ex2+ e> g(x2) =m=-ex3+ e，
x < x = 1- m即 2 3 e ，
要證 x1+ x2m
e 1
e ，
需證 x1又 (1- x )ex11 -m= 0，只需證 x1<(1- x x1 x11)e - 1，即證 (1- x1)e - x1- 1> 0(x1< 0)．
令F(x) = (1- x)ex- x- 1> 0(x< 0)，則F (x) =-xex- 1，
令P(x) =-xex- 1(x< 0)，則P (x) =- (x+ 1)ex，
當(dāng) x<-1時，P (x)> 0，P(x)單調(diào)遞增，當(dāng)-1< x< 0時，P (x)< 0，P(x)單調(diào)遞減，
1
所以P(x)≤P(-1) = e - 1< 0，即F
(x)< 0，
所以F(x)在 (-∞ , 0)上單調(diào)遞減，所以F(x)>F(0) = 0成立，
故 x1+ x2數(shù)學(xué)試題 第 8 頁 共 8 頁

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