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2025年遼寧省葫蘆島市綏中縣中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.如圖，這是由個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，則這個(gè)幾何體的俯視圖是( )
A.
B.
C.
D.
2.在實(shí)數(shù)，，，中，最小的數(shù)是( )
A. B. C. D.
3.交通是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的“開(kāi)路先鋒”，遼寧正全力建設(shè)交通重點(diǎn)項(xiàng)目一季度，全省完成交通投資億元，同比增長(zhǎng)；集裝箱海鐵聯(lián)運(yùn)量及占比保持全國(guó)前列，交通運(yùn)輸領(lǐng)域工作全面穩(wěn)定向好將數(shù)據(jù)“”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. B. C. D.
4.如圖，在 中，，平分，則的度數(shù)為( )
A.
B.
C.
D.
5.下列計(jì)算正確的是( )
A. B.
C. D.
6.書(shū)架上有社會(huì)科學(xué)類圖書(shū)本，教育類圖書(shū)本，自然科學(xué)類圖書(shū)本，文化藝術(shù)類圖書(shū)本，隨機(jī)從該書(shū)架上取出一本書(shū)，則下列事件發(fā)生的可能性最大的是( )
A. 取出的是社會(huì)科學(xué)類圖書(shū) B. 取出的是教育類圖書(shū)
C. 取出的是自然科學(xué)類圖書(shū) D. 取出的是文化藝術(shù)類圖書(shū)
7.今年是乙巳年，生肖為蛇，則下列關(guān)于蛇的圖片中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：“今有二馬、牛價(jià)過(guò)一萬(wàn)，如半馬之價(jià)；一馬、二牛價(jià)不滿一萬(wàn)，如半牛之價(jià)，問(wèn)牛、馬價(jià)各幾何？”其翻譯成現(xiàn)代文為“現(xiàn)在兩匹馬和一頭牛的價(jià)格超過(guò)一萬(wàn)，其超出的錢(qián)數(shù)相當(dāng)于半匹馬的價(jià)格，一匹馬和兩頭牛的價(jià)格不足一萬(wàn)，所差的錢(qián)數(shù)相當(dāng)于半頭牛的價(jià)格問(wèn)每頭牛、每匹馬的價(jià)格各是多少？”若設(shè)每匹馬的價(jià)格為，每頭牛的價(jià)格為，則根據(jù)題意，可列方程組( )
A. B.
C. D.
9.如圖，在中，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作，若，，則四邊形的面積為( )
A.
B.
C.
D.
10.如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別位于軸，軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.分式方程的解是 ．
12.因式分解： ．
13.如圖，在中，是的中點(diǎn)，，且，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
14.某足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，如果不考慮空氣阻力，足球飛行的高度單位：與足球飛行的時(shí)間單位：之間具有二次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示，則足球從踢出到落地所需的時(shí)間是 ．
15.如圖，在四邊形中，，，，，，為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交，于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____用含的代數(shù)式表示
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
16.本小題分
計(jì)算：．
計(jì)算：．
17.本小題分
某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)產(chǎn)品已知銷售產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，共收入元；銷售產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，共收入元．
求，兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)．
若該工廠銷售，兩種產(chǎn)品共件，總收入不超過(guò)元，則最少要銷售產(chǎn)品多少件？
18.本小題分
隨著遼寧省人工智能創(chuàng)新發(fā)展大會(huì)暨青年創(chuàng)新大賽全面啟動(dòng)，某校為了解全校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行收集、整理、描述和分析測(cè)試滿分為分，學(xué)生測(cè)試成績(jī)均為不小于的整數(shù)，分為四個(gè)等級(jí)：：，：，：，：，部分信息如下：
信息一：
信息二：學(xué)生成績(jī)?cè)诘燃?jí)的數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，．
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．
求所抽取的學(xué)生成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的人數(shù)．
求所抽取的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)．
已知該校共有名學(xué)生，若全校學(xué)生都參加本次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的人數(shù)．
19.本小題分
某網(wǎng)店銷售某種品牌的商品，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的試銷發(fā)現(xiàn)，日銷售量件與每件的售價(jià)元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示．
求與之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍．
若該商品的成本為元，則商品日利潤(rùn)能否達(dá)到元？如果能，求出每件的售價(jià)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
本小題分
某課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備利用光的反射原理來(lái)測(cè)量居民樓的高度如圖，小組首先利用測(cè)角儀從點(diǎn)處測(cè)得居民樓頂端的仰角為，在測(cè)角儀和居民樓之間水平光滑的地面放置一個(gè)平面鏡，當(dāng)平面鏡位于點(diǎn)處時(shí)，觀測(cè)的同學(xué)恰好能從點(diǎn)處看到居民樓頂端，此時(shí)測(cè)得米已知測(cè)角儀的高度米，點(diǎn)，，，，在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)，，在同一條水平直線上．
求．
求居民樓的高度結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，
本小題分
如圖，以為直徑的與的邊交于點(diǎn)，且，是下方半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)．
如圖，若，，求的值．
如圖，若是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)求證：．
22.本小題分
如圖，在中，，點(diǎn)在上，連接，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，，連接，，是上的一點(diǎn)，連接．
如圖，求證：四邊形是菱形．
如圖，將沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
如圖，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，與交于點(diǎn)．
求證：．
若，，求的值．
23.本小題分
將函數(shù)在軸一側(cè)的部分沿軸對(duì)折，對(duì)折后的圖象與對(duì)折前的圖象構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，我們將這樣的函數(shù)圖象稱為“偶函數(shù)圖象”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為“偶函數(shù)”，圖象上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)稱為“對(duì)偶點(diǎn)”求一個(gè)“偶函數(shù)圖象”的表達(dá)式，一般情況我們可以先求軸一側(cè)部分的表達(dá)式，然后找出部分點(diǎn)，求出其“對(duì)偶點(diǎn)”，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出軸另一側(cè)部分的表達(dá)式即可例如：如圖，函數(shù)圖象在左邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則點(diǎn)，的“對(duì)偶點(diǎn)”分別為，，設(shè)左邊部分的表達(dá)式為，右邊部分的表達(dá)式為將點(diǎn)，，，，分別代入，解得，，，“偶函數(shù)圖象”的表達(dá)式為．
如圖，當(dāng)時(shí)，該圖象為反比例函數(shù)圖象的一部分，若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求“偶函數(shù)圖象”的表達(dá)式．
若點(diǎn)與點(diǎn)是一個(gè)“偶函數(shù)”上的“對(duì)偶點(diǎn)”，求的值．
如圖，若“偶函數(shù)”位于軸左側(cè)的表達(dá)式為．
求該“偶函數(shù)”位于軸右側(cè)的表達(dá)式．
記該“偶函數(shù)圖象”的兩個(gè)最高點(diǎn)分別為，，與軸的交點(diǎn)為，判定的形狀．
在的條件下，在象限內(nèi)不含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)是否存在一點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案和解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
．
原式
．
17.解：設(shè)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為元，產(chǎn)品的銷售單價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：產(chǎn)品的銷售單價(jià)為元，產(chǎn)品的銷售單價(jià)為元；
設(shè)銷售產(chǎn)品件，則銷售產(chǎn)品件，
根據(jù)題意得：，
解得：，
的最小值為．
答：最少要銷售產(chǎn)品件．
18.被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，
等級(jí)的人數(shù)為：人；
把所抽取的學(xué)生成績(jī)的從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是：分，分，所以所抽取的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為：分；
人，
答：估計(jì)成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的人數(shù)為人．
19.由題意，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
根據(jù)圖象，可得該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將其代入函數(shù)關(guān)系式，
，
解得，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
能．
由題意列方程得，，
整理得，，
解得，．
即商品日利潤(rùn)能達(dá)到元，此時(shí)每件的售價(jià)為元或元，
答：商品日利潤(rùn)能達(dá)到元，此時(shí)每件的售價(jià)為元或元．
20根據(jù)題意，可得．
，
；
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．
．
由，可得，設(shè)，，
則，．
，
解得，
米．
答：高度約為米．
21.解：是的直徑，
，
．
，
，
．
在直角三角形中，，
由勾股定理得：．
，
，
；
證明：是的中點(diǎn)，是的直徑，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
，，
，
∽，
．
平分，
，．
，，
，
，
．
，
22.證明：由條件可知是的垂直平分線，
，．
，
，
四邊形是菱形．
證明如下：
證明：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
由折疊的性質(zhì)，可得，．
由菱形的性質(zhì)可知，，
．
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
∽，
，
，
．
證明：由折疊的性質(zhì)，可得，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
．
如圖，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
，．
，
，
∽，
，
．
由折疊的性質(zhì)，可得，．
由菱形性質(zhì)可知：，，
，
，
，
，
由平行線可知∽，
，
，
，
．
23.當(dāng)時(shí)，該圖象為反比例函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
的對(duì)偶點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為，
“偶函數(shù)圖象”的表達(dá)式為：；
點(diǎn)與點(diǎn)是一個(gè)“偶函數(shù)”上的“對(duì)偶點(diǎn)”，
依題意得：，，
解得：，，
或；
，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象的形狀與開(kāi)口方向不變，
當(dāng)時(shí)，；
在象限內(nèi)不含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)存在一點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；點(diǎn)的坐標(biāo)為或理由如下：
如圖，由得，，，
，
，
是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形；
存在，理由如下：
由得，，，
設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
在軸上，不符合題意，舍去；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為：即，
，
解得：，，
符合題意；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為：即，
，
解得：，，
符合題意；
綜上所述，在象限內(nèi)不含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)存在一點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

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