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2024-2025學年第二學期5月月考數學試題
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1．若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
3．已知圓錐的底面周長為，側面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．若向量滿足，且，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
6．某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數據如圖1所示．該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數據如圖2所示．下列說法正確的是（ ）
A．樣本中對平臺一滿意的消費者人數約700
B．樣本中對平臺二滿意的消費者人數為20
C．樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總人數為60
D．若樣本中對平臺三滿意的消費者人數為120，則
7．曲線在點處切線斜率的取值范圍為，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函數，是偶函數，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9．數列的前n項和為，已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．是遞增數列 B．
C．當時， D．當或4時，取得最大值
10．已知實數x，y滿足，則下列關系式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知拋物線E：的焦點為F，準線交y軸于點P，拋物線E上一點到點F的距離為6，點A，B是拋物線C上的兩點，點M是的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若中點M的橫坐標為4，則直線的斜率為2
C．若，則恒過點
D．若直線過點F，則
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，則其離心率為 .
13．已知，則 ．
14．已知正項等比數列的公比不為1，若在的前20項中隨機抽取4項，則這4項按原來的順序仍然成等比數列的概率為 .（用最簡分數作答）
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知的內角所對的邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br/>(2)點在邊上，且，求的周長．
16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面是的中點.
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，說明理由.
17.（15分）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若有極大值，且極大值大于，求的取值范圍.
18．（17分）已知橢圓的離心率為，四個頂點所圍成菱形的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若A、B兩點在橢圓C上，坐標原點為O，且滿足，求的取值范圍.
19.（17分）甲、乙兩盒子中各有枚形狀、大小完全相同的棋子，一紅一黃.稱一次操作是從甲、乙盒中隨機取出一枚棋子交換，記次操作后，甲、乙盒中仍各有一紅一黃棋子的概率為 .
(1)求 ，的值；
(2)求數列的通項公式；
(3)并求使不等式成立的最小值.
試卷第1頁，共3頁
2024-2025學年第二學期5月月考數學試題參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A B D C D B CD ACD ACD
13.5 14.
15．（1）由及正弦定理得，
所以，所以，
因為，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周長．
16．（1）連接，交于點，連接，
因為底面為矩形，所以點是的中點，又點是的中點，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）因為底面為矩形，底面，
所以以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，則，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，又，
設，
則，
設直線與平面的夾角為，
則，
整理得，所以，解得或，
又，
當時，，當時，，則的長為或.
17．（1），
①當時，在上單調遞增，無遞減區間，
②當時，，可得，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上當時，在上單調遞增，無遞減區間，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）因為有極大值，且極大值大于，
故，且在處取極大值，
，即，令，
恒成立，在上單調遞增，
又，當且僅當時成立，故，當且僅當時成立，
因此的取值范圍是．
18．（1）由已知可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，
聯立，得，
，即，
，，.
，.,
，即，由，則
，
由，則，且，
所以，且，則，
當直線的斜率不存在時，設，，即，
又，所以，的取值范圍是.
19．（1）設事件第次操作時，從甲盒中取出的是紅色棋子為，
事件第次操作時，從乙盒中取出的是紅色棋子為，
則事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一紅一黃棋子可表示為，
又，事件與事件互為互斥事件，事件與事件獨立，
所以，
所以，
若第1次操作后甲、乙盒中各有一紅一黃棋子，
則第二次操作后甲、乙盒中仍各有一紅一黃棋子的概率為，
若第1次操作后甲盒中為兩個紅色棋子，乙盒中為兩個黃色棋子或甲盒中為兩個黃色棋子，乙盒中為兩個紅色棋子，
則第二次操作后甲、乙盒中仍各有一紅一黃棋子的概率為，
所以.
（2）因為，故
所以，又，
所以數列為首項為，公比為的等比數列，
所以，
所以，
（3）因為，由（2）可得，
所以
整理得，又，，函數為增函數，
所以的最小值為.
答案第1頁，共2頁

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