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2025年河北省張家口市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.在，，，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是( )
A. B. C. D.
2.下列命題中，是真命題的是( )
A. 有兩邊及其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 平分弦的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧
C. 一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形
D. 兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等
3.如圖的幾何體是由個(gè)完全相同的小正方體組成，該幾何體的俯視圖是( )
A. B.
C. D.
4.至年月日，國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影哪吒之魔童鬧海全球累計(jì)票房已突破億元人民幣將數(shù)據(jù)億元用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. B. C. D.
5.在一個(gè)不透明的袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的個(gè)球，每個(gè)球上都寫有一個(gè)漢字，分別為“少”“年”“強(qiáng)”“則”“國(guó)”“強(qiáng)”從中依次任意取出個(gè)球第次取出的球不放回袋中，則取出的個(gè)球上為“強(qiáng)”“國(guó)”兩個(gè)漢字的概率是( )
A. B. C. D.
6.下列各式計(jì)算正確的是( )
A. B.
C. D.
7.如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，若，，則的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D.
8.貨車行駛千米與小車行駛千米所用的時(shí)間相同．已知貨車每小時(shí)比小車少行駛千米，則兩車的速度各是多少？設(shè)小車的速度為千米時(shí)，依題意列方程，正確的是( )
A. B. C. D.
9.在中，，，，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡提供的信息，求出線段的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D.
10.已知一元二次方程兩根為、，則( )
A. B. C. D.
11.已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的交點(diǎn)位于軸下方，且時(shí)，，下列結(jié)論正確的是( )
A. B. C. D.
12.如圖，在中，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、正方形、正方形，點(diǎn)在邊上若，則陰影部分的面積和為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.計(jì)算：______．
14.不等式組的整數(shù)解是______．
15.如圖，是的中線，是的中線，于點(diǎn)若，，則長(zhǎng)為_(kāi)_____．
16.如圖，在中，，，，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)，則陰影部分的面積為_(kāi)_____．
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.本小題分
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
18.本小題分
解下列不等式組．
解不等式；
解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
19.本小題分
某校為掌握九年級(jí)學(xué)生每周的自主學(xué)習(xí)情況，學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取九年級(jí)的部分學(xué)生，調(diào)查他們每周自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，并把自主學(xué)習(xí)的時(shí)間分為四組：組，組，組，組，將分組結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
求出本次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)；
補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中所在扇形的圓心角的度數(shù)；
根據(jù)調(diào)查結(jié)果可知，自主學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)落在______組；
若該校九年級(jí)有名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)一周自主學(xué)習(xí)的時(shí)間少于的人數(shù)．
20.本小題分
圖是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖是安裝熱水器的側(cè)面示意圖已知屋面的傾斜角為，長(zhǎng)為米的真空管與水平線的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管的長(zhǎng)度為米求安裝熱水器的鐵架水平橫管的長(zhǎng)度結(jié)果精確到米．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
21.本小題分
如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右邊推動(dòng)矩形框，矩形的形狀會(huì)發(fā)生改變四邊形具有不穩(wěn)定性通過(guò)觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以，我們還可以得到，；
求證：；
已知，，若恰好經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)，求與之間的距離．
22.本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，有一張直角三角形紙片和一張等邊三角形紙片，其中，，，點(diǎn)在第二象限．
Ⅰ填空：如圖，的度數(shù)為_(kāi)_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
Ⅱ?qū)⒌冗吶切渭埰剌S向右平移，得到，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，設(shè)，等邊三角形紙片與重疊部分的面積為．
如圖，與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)冗吶切闻c重疊部分為四邊形時(shí)，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
當(dāng)時(shí)，求的取值范圍直接寫出結(jié)果即可．
23.本小題分
綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：如圖，是學(xué)校操場(chǎng)一角的勞動(dòng)基地示意圖，其外輪廓可以近似看成一條拋物線的一部分，經(jīng)測(cè)量米，米，根據(jù)學(xué)校開(kāi)展勞動(dòng)教育的需要，現(xiàn)要對(duì)該土地進(jìn)行種植區(qū)域劃分，設(shè)計(jì)如下方案：
方案設(shè)計(jì)：取的中點(diǎn)，在的區(qū)域內(nèi)種植西紅柿；過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于點(diǎn)，測(cè)得米，又分出的兩個(gè)區(qū)域分別種植菠菜和豆角．
方案實(shí)施：學(xué)校課程中心的老師以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．
請(qǐng)求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
為了保證種植前期幼苗的成活率，需要在拋物線上選取一點(diǎn)，安裝一個(gè)形狀的遮陽(yáng)網(wǎng)，如圖請(qǐng)求出該遮陽(yáng)網(wǎng)面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
請(qǐng)你直接寫出中遮陽(yáng)網(wǎng)面積最大時(shí)，點(diǎn)到的距離．
24.本小題分
綜合與實(shí)踐：
綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“特殊四邊形旋轉(zhuǎn)”為主題，開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
如圖，在矩形中，：：，點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)分別作和的垂線，垂足為，，則四邊形為矩形請(qǐng)問(wèn)線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
【拓展探究】
如圖，將圖中的矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)利用圖說(shuō)明理由．
【解決問(wèn)題】
如圖，當(dāng)矩形的邊時(shí)，點(diǎn)為直線上異于，的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)為正方形的中心，連接，若，，求的長(zhǎng)．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】，．
【解析】原式
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18.【解析】
；
，
，
，
，
，
，
該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：
19.【解析】本次抽樣調(diào)查的樣本容量為：；
由得：抽樣調(diào)查的學(xué)生有人，
組人數(shù)有：人，
組所在扇形的圓心角的度數(shù)，
自主學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)是第、個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)均落在組，
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組，
故答案為：；
人．
答：估計(jì)一周自主學(xué)習(xí)的時(shí)間少于的人數(shù)有人．
20.【解析】由題意知，米，米，，
如圖，作于，
，
四邊形是矩形，
，，
米，米，
米，
米，
米，
21.【解析】證明：四邊形是矩形，
，，，
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
；
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
距離為．
22.【解析】，，，
，，，
直角三角形紙片，
，
，
過(guò)點(diǎn)作軸，
等邊三角形紙片，
，，
，
；
故答案為：；；
等邊三角形紙片，平移，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，
，
作，則，
，
，
由題意可知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合開(kāi)始不包括點(diǎn)，到與點(diǎn)重合時(shí)，等邊三角形與重疊部分為四邊形，
；
綜上：，的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，如圖，
同可知：為直角三角形，，，
，
，
，即：；
當(dāng)時(shí)，如圖，
由知：，
那么其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，有最小值，；
當(dāng)時(shí)，有最大值，，
；
當(dāng)時(shí)，如圖：
同可知：，
，
由題意，得：，
，
，

，
那么其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，最大為，
當(dāng)時(shí)，最小為：，
；
時(shí)，如圖：
，
，
，
那么其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，
；
綜上：．
23.【解析】設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
由題意可知：，，，
將點(diǎn)，，代入中，
得，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
連接．
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
有最大值，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
；
，
，
由可得有最大值，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，
解得：，
即點(diǎn)到的距離為．
24.【解析】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】在矩形中，：：，
：：，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
即，
；
【拓展探究】仍然成立．理由如下：圖中，，，
∽，
，
圖中，由旋轉(zhuǎn)可得：，
∽，
，
：：，
，
，
；
【解決問(wèn)題】分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接、，
四邊形，四邊形為正方形，
，，
，
∽，
，
，，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，連接、，
四邊形，四邊形為正方形，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
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