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【真題匯編】浙教版七年級下冊期末考前搶分押題卷
數 學
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2023七下·鄠邑期末）據報道：芯片被譽為現代工業的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技術，我國的光刻技術水平已突破到.已知，則用科學記數法表示是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·黔江期末）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是（　　）
A．了解長江水質情況的調查
B．了解某種新型節能燈使用壽命的調查
C．對“五一”乘坐飛機出游的旅客上飛機前的安全檢查
D．對中央電視臺“天氣預報”節目收視率的調查
3．（2024七下·畢節期末） 若多項式 是完全平方式， 則 的值為（　　）
A．3 B．-3 或 1 C．3 或 -5 D．7 或 -9
4．（2020七下·遂寧期末）已知 .當t=1時，s=13，當t=2時s=42，則當t=3時s=（　　）
A．106.5 B．87 C．70.5 D．69
5．（2022七下·惠東期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a//b的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022七下·昆明期末）如圖，小胡同學的家在點處，他在行走速度相同的情況下，想盡快地到達公路邊，他選擇沿線段去公路邊，他這一選擇用到的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短
C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線
7．（2024七下·平果期末） 某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（　　）
A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長
C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長
8．（2024七下·梓潼期末）某玩具車間每天能生產甲種玩具零件200個或乙種玩具零件100個，甲種零件1個與乙種零件2個能組成一個完整的玩具，怎樣安排生產才能在30天內組裝出最多的玩具？設生產甲種零件x天，生產乙種零件y天，則有（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023七下·黃巖期末）如圖，將一副直角三角尺的其中兩個頂點重合疊放．其中含角的三角尺固定不動，將含角的三角尺繞頂點B順時針轉動（轉動角度小于）．當與三角尺的其中一條邊所在的直線互相平行時，的度數是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
10．（2022七下·文山期末）如圖，大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，若用x，y表示四個長方形的兩邊長（），觀察圖案及以下關系式：①；②；③；④；⑤；其中正確的關系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．（2023七下·鄞州期末）已知，則代數式的值為　 　．
12．（2023七下·鐵嶺期末）如圖，直線、相交于點，平分，，則的度數為　 　．
13．（2024七下·大連期末）已知是方程的解，則　 　．
14．（2023七下·瑤海期末）已知關于的二次三項式可分解為，則的值為　 　．
15．（2023七下·百色期末）對于實數、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是通常的實數運算．例如：，則方程的解是　 　．
16．（2020七下·新昌期末）已知∠A與∠B（ ， ）的兩邊-邊平行，另一邊互相垂直，且 ，則∠A的度數為　 　°.
三、解答題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（2023七下·通道期末）因式分解：
（1）
（2）
18．（2024七下·深圳期末）計算：
（1）
（2）
19．（2020七下·蕭山期末）某電器超市銷售每臺進價為80元、200元的A，B兩種型號的電風扇，如表所示是六月份前2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤 銷售收入 進貨成本）
銷售時段 銷售數量 銷售收入
A種型號 B種型號
第一周 6 5 2100元
第二周 4 10 3400元
（1）求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價.
（2）若超市一共采購這兩種型號的電風扇共120臺，售完后該超市能否實現利潤為8000元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.
20．（2021七下·東陽期末）關于x的分式方程：.
（1）當m＝3時，求此時方程的根；
（2）若這個關于x的分式方程會產生增根，試求m的值.
21．（2022七下·涇陽期末）如圖，有一塊長方形板材ABCD，長AD為2acm（a＞2），寬AB比長AD少4cm，若擴大板材，將其長和寬都增加2cm．
（1）板材原來的面積（即長方形ABCD的面積）是多少平方厘米？
（2）板材面積增加后比原來多多少平方厘米？
22．（2021七下·襄汾期末）解方程組時，兩位同學的解法如下：
解法一：由①②，得
解法二：由②得③
把①代入③得
（1）反思：上述兩種解題過程中你發現解法　 　的解題過程有錯誤（填“一”或“二”），解二元一次方程組的基本思想　 　．
（2）請選擇一種你喜歡的方法解此方程組．
23．（2022七下·廣安期末）某校為創建書香校園，開展了師生“大閱讀”活動，并制定“大閱讀”星級評選方案（以整數評分），每月評選一次，為了解活動開展情況，某星期學校對全校七年級“大閱讀”星級評選作進行抽樣調查，隨機抽取20名學生閱讀的積分情況進行分析．
20名學生的“大閱讀”積分如下（單位：分）：
32 43 34 35 15 46 48 24 45 10
25 40 60 42 55 30 47 28 37 42
按如下表格分組整理、描述樣本數據．
積分/分
星級 紅 橙 黃 綠 青
頻數（人數） 2 3 5
根據以上數據制成如下不完整的頻數分布直方圖．
（1）填空： 　 　， 　 　；并補全頻數分布直方圖；　 　
（2）已知該校七年級學生小林的積分為 分，是綠星級；小樂的積分為 ，是青星級．如果兩人的積分均未出現在樣本中，求 的最大值．
24．（2021七下·南潯期末）某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動扶梯，以勻速向上行駛。甲，乙兩同學同時從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動的級數是乙的兩倍。已知甲走了24級到扶梯頂部，乙走了16級到扶梯頂部（甲、乙兩同學每次只跨一級臺階）
（1）扶梯露在外面的部分有多少級？
（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺階數與扶梯級數相同，甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計，問甲第1次追上乙時是在扶梯上還是在樓梯上？他已經走動的級數是多少級？
25．（2023七下·上虞期末）如圖1，，，，是線段上一點，過點分別作，，分別交于點，點．
（1）求的度數．
（2）點為直線上的一個動點，連接．
①如圖2，當點在點的左側，且時，判斷與的位置關系，并說明理由．
②在整個運動過程中，是否存在點，使得？若存在，請求出的度數；若不存在，請說明理由．
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【真題匯編】浙教版七年級下冊期末考前搶分押題卷
數 學
（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題(本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2023七下·鄠邑期末）據報道：芯片被譽為現代工業的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技術，我國的光刻技術水平已突破到.已知，則用科學記數法表示是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：28nm=28×10-9=2.8×10-8.
故答案為：D
【分析】絕對值小于1的正數可以用科學記數法的表示，一般形式為a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原數左邊第一個不為0的數字前面的0的個數的相反數.
2．（2023七下·黔江期末）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是（　　）
A．了解長江水質情況的調查
B．了解某種新型節能燈使用壽命的調查
C．對“五一”乘坐飛機出游的旅客上飛機前的安全檢查
D．對中央電視臺“天氣預報”節目收視率的調查
【答案】C
【解析】【解答】解：A、了解長江水質情況的調查，不適宜使用全面調查，A不符合題意；
B、了解某種新型節能燈使用壽命的調查，不適宜使用全面調查，B不符合題意；
C、對“五一”乘坐飛機出游的旅客上飛機前的安全檢查，適宜使用全面調查，C符合題意；
D、對中央電視臺“天氣預報”節目收視率的調查，不適宜使用全面調查，D不符合題意；
故答案為：C
【分析】根據全面調查的定義結合題意即可求解。
3．（2024七下·畢節期末） 若多項式 是完全平方式， 則 的值為（　　）
A．3 B．-3 或 1 C．3 或 -5 D．7 或 -9
【答案】C
【解析】【解答】解：，若該多項式為完全平方式，則，解得.
故答案為：C.
【分析】原多項式若為完全平方式，即等于，展開后對比系數即可求出k值.
4．（2020七下·遂寧期末）已知 .當t=1時，s=13，當t=2時s=42，則當t=3時s=（　　）
A．106.5 B．87 C．70.5 D．69
【答案】B
【解析】【解答】解：由題意可得： ，解得 ，所以 ，當t=3時s=87，
故答案為：B.
【分析】 分別將t=1時，s=13，t=2時，s=42分別代入 中，可得，然后求出v0，a的值，即得，接著求出當t=3時的s的值即可.
5．（2022七下·惠東期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a//b的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.
a//b，同位角相等，兩直線平行，故該選項不符合題意；
B.
a//b，內錯角相等兩直線平行，故該選項不符合題意；
C. 由，不能判斷a//b，故該選項符合題意；
D.
a//b，同旁內角互補兩直線平行，故該選項不符合題意；
故答案為：C
【分析】平行線的判定定理可得：不能得出a//b.
6．（2022七下·昆明期末）如圖，小胡同學的家在點處，他在行走速度相同的情況下，想盡快地到達公路邊，他選擇沿線段去公路邊，他這一選擇用到的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短
C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線
【答案】C
【解析】【解答】小胡同學的家在點處，他在行走速度相同的情況下，想盡快地到達公路邊，他選擇沿線段去公路邊，是因為垂線段最短；
故答案為： C
【分析】點到直線垂線段最短.
7．（2024七下·平果期末） 某數學興趣小組開展動手操作活動，設計了如圖所示的三種圖形，現計劃用鐵絲按照圖形制作相應的造型，則所用鐵絲的長度關系是（　　）
A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長
C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長
【答案】D
【解析】【解答】
解：由圖形可得出：
甲所用鐵絲的長度為：2a+2b，
乙所用鐵絲的長度為：2a+2b，
丙所用鐵絲的長度為：2a+2b，
故三種方案所用鐵絲一樣長．
故答案為：D．
【分析】
根據圖形的平移：分別表示出甲，乙，丙圖形的周長都為2a+2b，即可得到答案.
8．（2024七下·梓潼期末）某玩具車間每天能生產甲種玩具零件200個或乙種玩具零件100個，甲種零件1個與乙種零件2個能組成一個完整的玩具，怎樣安排生產才能在30天內組裝出最多的玩具？設生產甲種零件x天，生產乙種零件y天，則有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：設生產甲種玩具零件x天，生產乙種玩具零件y天，
依題意，得：，
故答案為：C．
【分析】設生產甲種玩具零件x天，生產乙種玩具零件y天，根據題中的兩個相等關系"工作總量=工作效率×工作時間，結合生產的乙種玩具的零件總數是甲種玩具零件總數的2倍"即可列關于x，y的二元一次方程組，結合各選項即可求解．
9．（2023七下·黃巖期末）如圖，將一副直角三角尺的其中兩個頂點重合疊放．其中含角的三角尺固定不動，將含角的三角尺繞頂點B順時針轉動（轉動角度小于）．當與三角尺的其中一條邊所在的直線互相平行時，的度數是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①當DE∥AC時，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②當DE∥AB時，∠ABE=∠E=45°.
③當DE∥BC時，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
綜上∠ABE的度數為：15°或45°或105°.
故答案為：C.
【分析】畫出示意圖，然后根據平行線的性質以及角的和差關系進行計算.
10．（2022七下·文山期末）如圖，大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，若用x，y表示四個長方形的兩邊長（），觀察圖案及以下關系式：①；②；③；④；⑤；其中正確的關系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【解析】【解答】 ①x-y=b，依據圖示，長方形的長-寬=小正方形邊長，關系式正確；
②，依據圖示，長方形的長+寬=大正方形邊長，關系式正確；
③，依據平方差公式和①②的結論，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，關系式正確；
④，依據完全平方公式，，關系式正確；
⑤ 依據完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，關系式不正確；
故選：A
【分析】依圖能直接看出簡單的數量關系式，復雜的式子用平方差和完全平方公式推導。
二、填空題(本大題有6個小題，每小題3分，共18分)
11．（2023七下·鄞州期末）已知，則代數式的值為　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：設，，
，
，
，
故答案為：8.
【分析】利用整體換元法將代數式進行變形，再通過完全平方公式計算代數式的值.
12．（2023七下·鐵嶺期末）如圖，直線、相交于點，平分，，則的度數為　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵直線AB、CD相交于點O，
∴∠AOC=∠BOD=42°（對頂角相等），
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOD=84°，
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角的意義），
∴∠AOE=180°-84°=96°.
故答案為：96°.
【分析】由直線AB、CD相交，得出對頂角相等，求得∠BOD，再由角平分線意義，求得∠BOE，然后利用平角的意義求出∠AOC.
13．（2024七下·大連期末）已知是方程的解，則　 　．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵是方程的解 ，
∴將x=-2，y=1代入得：
-2-a=5，
解得：a=-7
故答案為：-7.
【分析】根據 是方程的解 ，將x=-2，y=1代入求解即可.
14．（2023七下·瑤海期末）已知關于的二次三項式可分解為，則的值為　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：由題意可得：，
∴，
∴m=1，n=-6，
∴3m-n=3+6=9，
故答案為：9.
【分析】根據題意先求出，再求出m=1，n=-6，最后代入計算求解即可。
15．（2023七下·百色期末）對于實數、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是通常的實數運算．例如：，則方程的解是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根據題意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴方程的解是．
故答案為：x=5.
【分析】根據新定義運算法則列出常規分式方程，然后在分式方程兩邊同時乘以各個分母的最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程，解整式方程求出x的值，再檢驗即可求出原方程根的情況.
16．（2020七下·新昌期末）已知∠A與∠B（ ， ）的兩邊-邊平行，另一邊互相垂直，且 ，則∠A的度數為　 　°.
【答案】36或96
【解析】【解答】解：①如下圖：
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=90°
∵
∴3∠A=108°
∴∠A=36°
②如下圖
∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=360°-90°=270°
∵
∴3∠A=288°
∴∠A=96°
故答案為：36或96
【分析】本題主要考查了分類討論的思想，根據題意分為兩種兩種情況：①垂直的兩邊的交點在平行的兩邊之間的內部，根據兩直線平行，內錯角相等即可得到答案；②垂直的兩邊的交點在平行的兩邊之間的外部，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到答案.
三、解答題(本大題有9個小題，每小題8分，共72分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（2023七下·通道期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
=
=
【解析】【分析】（1）先提公因式-1，再根據完全平方公式進行分解因式即可.
（2）先根據平方差公式進行分解，再把式子化簡，最后再利用平方差把各因式中能分解的分解即可.
18．（2024七下·深圳期末）計算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）根據有理數的乘方的定義，任何非零數的零次冪等于1，負整數指數冪的定義以及絕對值的性質計算即可；
（2）根據平方差公式計算即可
19．（2020七下·蕭山期末）某電器超市銷售每臺進價為80元、200元的A，B兩種型號的電風扇，如表所示是六月份前2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤 銷售收入 進貨成本）
銷售時段 銷售數量 銷售收入
A種型號 B種型號
第一周 6 5 2100元
第二周 4 10 3400元
（1）求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價.
（2）若超市一共采購這兩種型號的電風扇共120臺，售完后該超市能否實現利潤為8000元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由.
【答案】（1）解：設A種型號的電風扇的銷售單價為x元，B種型號的電風扇的銷售單價為y元，
依題意，得： ，
解得： .
答：A種型號的電風扇的銷售單價為100元，B種型號的電風扇的銷售單價為300元.
（2）解：設采購A種型號的電風扇m臺，B種型號的電風扇n臺，
依題意，得： ，
解得： .
答：能實現利潤為8000元的目標，可采購A種型號的電風扇50臺，B種型號的電風扇70臺.
【解析】【分析】（1）觀察表格可得兩個相等關系：“6臺A種型號的電風扇×單價+5臺B種型號的電風扇×單價=2100，4臺A種型號的電風扇×單價+10臺B種型號的電風扇×單價=3400”，根據相等關系列方程組即可求解；
（2）由題意可得兩個相等關系：“A種型號的電風扇的臺數+B種型號的電風扇的臺數=120，A種型號的電風扇的臺數×單個利潤+B種型號的電風扇的臺數×單個利潤=8000”，根據相等關系列方程組即可求解.
20．（2021七下·東陽期末）關于x的分式方程：.
（1）當m＝3時，求此時方程的根；
（2）若這個關于x的分式方程會產生增根，試求m的值.
【答案】（1）解：把m=3代入方程得：，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，
解得：x=-5，
檢驗：當x=-5時，（x+2）（x-2）≠0，
∴分式方程的解為x=-5；
（2）解：去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵這個關于x的分式方程會產生增根，
∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，
解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6.
【解析】【分析】（1）將m=3代入原方程得關于x的分式方程，然后方程兩邊同時乘以最簡公分母（x+2）（x-2）約去分母，將分式方程轉化為整式方程，求解再進行檢驗即可；
（2）方程兩邊同時乘以最簡公分母（x+2）（x-2）約去分母得mx+2x+4=3x-6，根據方程會產生增根可得x=2或x=-2，代入求解可得m的值.
21．（2022七下·涇陽期末）如圖，有一塊長方形板材ABCD，長AD為2acm（a＞2），寬AB比長AD少4cm，若擴大板材，將其長和寬都增加2cm．
（1）板材原來的面積（即長方形ABCD的面積）是多少平方厘米？
（2）板材面積增加后比原來多多少平方厘米？
【答案】（1）解：∵ AD=2acm ，
∴ AB=（2a-4）cm ，
∴ 長方形ABCD的面積 =AD·AB=2a·（2a-4）
=cm2；
（2）解：由題意得：擴大后的面積=（AD+2）·（AB+2）
=（2a+2）·（2a-4+2）
=4a2-4，
∴ 板材擴大后增加的面積=4a2-4-（4a2-8a）
=（8a-4）cm2.
【解析】【分析】(1)根據題意先表示出AB長，再根據長方形的面積公式把長方形ABCD的面積表示出來即可；
(2)先求出擴大后的長方形板材的面積，再求板材面積增加后比原來多多少平方厘米，即可解答.
22．（2021七下·襄汾期末）解方程組時，兩位同學的解法如下：
解法一：由①②，得
解法二：由②得③
把①代入③得
（1）反思：上述兩種解題過程中你發現解法　 　的解題過程有錯誤（填“一”或“二”），解二元一次方程組的基本思想　 　．
（2）請選擇一種你喜歡的方法解此方程組．
【答案】（1）一；消元
（2）解：選解法一：由①②，得：，
，
將代入①，得：，
，
因此方程組的解為 ：；
選解法二：由②得：③
把①代入③得，
，
把代入①得，
，
所以方程組的解為．
【解析】【解答】解：（1）上述兩種解題過程中解法一的解題過程有錯誤，解二元一次方程組的基本思想消元，
故答案為：一，消元；
【分析】（1）利用解方程的方法和步驟觀察求解即可；
（2）利用加減消元法求解二元一次方程組即可。
23．（2022七下·廣安期末）某校為創建書香校園，開展了師生“大閱讀”活動，并制定“大閱讀”星級評選方案（以整數評分），每月評選一次，為了解活動開展情況，某星期學校對全校七年級“大閱讀”星級評選作進行抽樣調查，隨機抽取20名學生閱讀的積分情況進行分析．
20名學生的“大閱讀”積分如下（單位：分）：
32 43 34 35 15 46 48 24 45 10
25 40 60 42 55 30 47 28 37 42
按如下表格分組整理、描述樣本數據．
積分/分
星級 紅 橙 黃 綠 青
頻數（人數） 2 3 5
根據以上數據制成如下不完整的頻數分布直方圖．
（1）填空： 　 　， 　 　；并補全頻數分布直方圖；　 　
（2）已知該校七年級學生小林的積分為 分，是綠星級；小樂的積分為 ，是青星級．如果兩人的積分均未出現在樣本中，求 的最大值．
【答案】（1）8；2；補全頻數分布直方圖如下：
（2）解：由題意知，b的最大值為59， a的最小值為41，
∴b-a的最大值為：59-41=18.
【解析】【解答】解：(1)由樣本數據得： 40≤x≤49的有8人，50≤x≤60的有2人，
∴m=8， n=2，
【分析】(1)根據樣本中的數據，得出滿足40≤x≤49的共8個；滿足50≤x≤60有共2個， 即可求出m， n的值，再根據綠星級對應的頻數是8，青星級對應的頻數是2，補全頻數分布直方圖即可；
(2)根據題意，找到b的最大值、a的最小值，求出這兩個數的差即可解答.
24．（2021七下·南潯期末）某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動扶梯，以勻速向上行駛。甲，乙兩同學同時從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動的級數是乙的兩倍。已知甲走了24級到扶梯頂部，乙走了16級到扶梯頂部（甲、乙兩同學每次只跨一級臺階）
（1）扶梯露在外面的部分有多少級？
（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺階數與扶梯級數相同，甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計，問甲第1次追上乙時是在扶梯上還是在樓梯上？他已經走動的級數是多少級？
【答案】（1）解：設扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數為a級，則甲每分鐘走動的級數為2a級，扶梯每分鐘向，上運動b級
由題意得：
①+②得：
整理得：b=2a，
代入②得x=48
答：扶梯露在外面的部分有48級
（2）解：設追上乙時，甲扶梯走了m遍，樓梯走了n遍，則乙走扶梯（m-1）遍，走樓梯（n-1）遍
由題意得：
整理得：m+6n=16，
這里m，n中必有一個是整數，且0≤m-n≤1．
①若m為整數，則n=
∴ （不合，舍去），
（不合，舍去）
（符合條件）
（不合，舍去）
（不合，以后均不合，舍去）
②若n為整數，m=16-6n，
∴ 這些均不符合要求，
∴ ，此時，甲在樓梯上
∴（ ）×2a=24m+48n=24×3+48× =176級
【解析】【分析】（1） 設扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數為a級，則甲每分鐘走動的級數為2a級，扶梯每分鐘向，上運動b級 ，再根據題意列出方程組，求解即可。
（2） 設追上乙時，甲扶梯走了m遍，樓梯走了n遍，則乙走扶梯（m-1）遍，走樓梯（n-1）遍 。
根據題意列出二元一次方程，化簡得到： m+6n=16， 根據題意解上述不定方程即可。
25．（2023七下·上虞期末）如圖1，，，，是線段上一點，過點分別作，，分別交于點，點．
（1）求的度數．
（2）點為直線上的一個動點，連接．
①如圖2，當點在點的左側，且時，判斷與的位置關系，并說明理由．
②在整個運動過程中，是否存在點，使得？若存在，請求出的度數；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
．
．
，
．
．
；
（2）解：①．
理由如下：
，
．
，
．
．
；
②存在點N，使得∠FMN=2∠MNF．
下分兩種情況：
Ⅰ．如圖，當點N在點A的左側時．
，
．
，
．
，
，
；
Ⅱ．如圖，當點N在點A的右側時．
，
．
，
．
，
，
．
【解析】【分析】（1）根據二直線平行，同旁內角互補得出∠BAD+∠B=180°，∠BME+∠B=180°，∠BCD+∠CMF=180°，由同角的補角相等得∠BME=∠BAD=62°，然后根據平角的定義可算出∠EMF的度數；
（2）①MN⊥MF，理由如下：由角的和差可得∠BMF=100°，由二直線平行，內錯角相等，得∠BMN=∠MNF=10°，再由角的和差求出∠NMF=90°，從而根據垂直的定義可得結論；
②存在點N，使得∠FMN=2∠MNF，分類討論：當點N在點A的右側時，當點N在點A的右側時，分別畫出圖形，根據平行線的性質結合圖形，即可求解.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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