資源簡介

2024-2025 學年浙江省舟山市定海區八年級（下）4 月期中考試
數學試卷
一、選擇題：本題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求
的。
1.下列四家銀行的標志中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子中屬于最簡二次根式的是( )
A. 27 B. 6 C. 13 D. 0.1
3.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 2 + 1 = 2 B.
2 + = 3 C. 2 + 3 = 4 D. 3 2 = 5
4.下列運算正確的是( )
2
A. 3 + 7 = 10 B. 2 × 6 = 2 3 C. 5 = 5 D. 5 2 = 5
5.某河堤橫斷面如圖所示，堤高 = 10 米，迎水坡 的坡比是 1: 3(坡比是坡面的鉛直高度 與水平寬
度 之比)，則 的長是( )
A. 10 3米 B. 20 米
C. 20 3米 D. 30 米
6.《九章算術》是中國古代最重要的數學經典之一，其中記載：“今有衰分，各以差次分之”.“衰分”就
是指按照一定比例遞減或遞增的分配方法，堪稱世界上最早的增長率計算理論．3 月，定海二中九思圖書館
為響應學?！伴喿x月”活動，向學生全天開放．據統計，第一周進館 128 人次，進館人次每周增加，第三
周進館 392 人次，若進館人次的周平均增長率相同，設進館人次的周平均增長率為 ，則根據題意，可列方
程是( )
A. 128 1 + 2 = 392 B. 128 1 + 2 2 = 392
C. 128 + 128 1 + = 392 D. 128 + 128 1 + + 128 1 + 2 = 392
7.牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個三角形中，至
少有一個內角小于或等于 60 ”時，第一步先假設( )
A.三角形中有一個內角小于 60 B.三角形中有一個內角大于 60
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C.三角形中每個內角都大于 60 D.三角形中沒有一個內角小于 60
8 1.某社團統計成員一周的活動時間情況，列出了方差的計算公式： 2 = 2 2 2 × 2 + 4 × 3 + 3 ×
4 2 + 8 2 ，則 的值是( )
A. 4 B. 3 C. 3.6 D. 4.25
9.對于一元二次方程 2 = 0 ≠ 0 ，下列說法：
①若方程的兩個根是 1 = 1 和 2 = 2，則 2 = 0；
②若 = 是方程的一個根，則一定有 1 = 0 成立；
③若 + = 0，則它有一個根是 = 1；
1
④若方程有一個根是 = ≠ 0 ，則方程 2 + = 0 一定有一個實數根 = ．
其中正確的個數有( )
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
10.如圖，四邊形 ，對角線 ⊥ ，且平分∠ ， 為 的中點．在 上取一點 .使 ⊥ ，
為垂足，取 中點 ，連結 .下列五句判斷：① = 2 ；② // ；③ = 3 ；④連結 ，則四
邊形 是平行四邊形；⑤ = 2 .其中判斷正確的是( )
A.①②③ B.②④
C.②④⑤ D.③④⑤
二、填空題：本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分。
11.二次根式 1中字母 的取值范圍是 ．
12.若一個正多邊形的每個內角都是 120 ，則這個多邊形是正 邊形．
13.學校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能、投球技能、身體素質三方面為選手打分，各項成績均按百分
制計，然后再按控球技能占 30%、投球技能占 30%、身體素質占 40%計算選手的綜合成績(百分制).選手張
少能控球技能得 90 分，投球技能得 80 分．身體素質得 85 分，則張少能的綜合成績為 ．
14.設 ， 是方程 2 + 2025 = 0 的兩個實數根，則 2 + 2 + 的值為 ．
15.已知，關于 的方程 2 3 + 1 + 2 + 2 = 0 根都是整數；若 為整數，則 的值為 ．
16.如圖，在平行四邊形 中， = 3，∠ = 60 ， 是邊 延長線上一點，連接 ，以 為邊作等
邊三角形 ，連接 ，則 的最小值是 ．
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三、計算題：本大題共 2 小題，共 12 分。
17.計算下列各式：
1
(1)2 20 5 + 5 5
2
(2) 5 1 + 15 ÷ 3
18.解下列方程：
(1) 2 4 + 3 = 0
(2)2 2 5 1 = 0
四、解答題：本題共 6 小題，共 48 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.(本小題 8 分)
2
根據愛因斯坦的相對論，當地面上的時間經過 1 秒時，宇宙飛船內時間只經過 1 秒( = 3 × 10
5千
米/秒， 是宇宙飛船的速度).假定宇宙飛船的速度是 2.4 × 105千米/秒時，當地面經過 5 分鐘時，宇宙飛船
內經過多少時間？
20.(本小題 8 分)
如圖，在平行四邊形 中，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡)．
(1)在 上作出點 ，使 = ；
(2)若點 是 上一點，連結 ，請過點 作線段 的平行線段 ，并交 于點 ．
21.(本小題 8 分)
某校舉辦了一次趣味數學競賽，滿分 100 分，學生得分均為整數，達到成績 60 分及以上為合格，達到 90
分及以上為優秀，這次競賽中，甲、乙兩組學生成績如下(單位：分)
甲組：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙組：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
組別平均分中位數方差合格率優秀率
甲組68 分 376 90% 30%
乙組 196 90% 10%
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(1)以上成績統計分析表中 = 分， = 分， = 分
(2)小亮同學說：“這次競賽我得了 70 分，在我們小組中屬中游略偏上!”觀察上面表格判斷，小亮可能是
甲、乙哪個組的學生？并說明理由．
(3)如果你是該校數學競賽的教練員，現在需要你選一組同學代表學校參加復賽，你會選擇哪一組？并說明
理由
22.(本小題 8 分)
如圖，在平行四邊形 中， ， 是直線 上的兩點， = ．
(1)求證：四邊形 是平行四邊形；
(2)若 ⊥ ， = 10， = 6，且 = 4，求 的長．
23.(本小題 8 分)
根據以下素材，探索完成任務．如何設計實體店背景下的網上銷售價格方案？
如何設計實體店背景下的網上銷售價格方案？
素材 1 某公司在網上和實體店同時銷售一種自主研發的小商品，成本價為 50 元/件．
該商品的網上銷售價定為 70 元/件，平均每天銷售量是 200 件，在實體店的銷售價定為 90 元
素材 2 /件，平均每天銷售量是 100 件．按公司規定，實體店的銷售價保持不變，網上銷售價可按實
際情況進行適當調整，需確保網上銷售價始終高于成本價．
據調查，網上銷售價每降低 1 元，網上銷售量平均每天多售出 40 件，同時實體店的銷售量受
素材 3
網上影響，平均每天銷售量減少 5 件．
問題解決
當該商品網上銷售價為 60 元/件時，求公司在網上銷售該商品每天的毛利潤與
任務 1 計算所獲利潤
實體店銷售該商品每天的毛利潤各是多少元？
公司要求每天的總毛利潤(總毛利潤=網上毛利潤+實體店毛利潤)達到 8640
任務 2 擬定價格方案
元，求每件商品的網上銷售價下降多少元？
當每件商品的網上銷售價下降多少元時，該公司在網上銷售與實體店銷售的總
任務 3 優化價格方案
毛利潤最大？
24.(本小題 8 分)
類比于等腰三角形的定義，我們定義：有組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
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(1)如圖 1，四邊形 的頂點 、 、 在網格格點上，請你在 5 × 7 的正方形網格中分別畫出 3 個不同形
狀的等鄰邊四邊形 ，要求頂點 在網格格點上；
(2)如圖 2，在平行四邊形 中， 是 上一點， 是 上一點， = ，∠ = ∠ ，請說明四邊形
是“等鄰邊四邊形”；
(3)如圖 3，在平行四邊形 中，∠ = 60 ， 平分∠ ，交 于點 ， = 4， = 2， 是線段
上一點，當四邊形 是“等鄰邊四邊形”時，請求出 的長度．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 1
12.六
13.85
14.2024
15. 1，0，1
16.3 32
17. 2 20 5 + 5 1（1）解： 5
= 4 5 5 + 5
= 4 5
2
（2） 5 1 + 15 ÷ 3
= 5 2 5 + 1 + 5
= 6 5
18.（1）解：∵ 2 4 = 3，
∴ 2 4 + 4 = 3 + 4，
即 2 2 = 1，
∴ 2 =± 1，
∴ 1 = 3， 2 = 1；
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（2）解：∵ = 2， = 5， = 1，
∴ = 5 2 4 × 2 × 1 = 33 > 0，
∴ = ±
2 4 = 5± 332 4 ，
即 1 =
5+ 33 = 5 334 ， 2 4 ．
5
19. 2.4×10解：依題意，當地面時間經過 5 分鐘即 300 秒時 = 3×105 = 0.8
2 4 2 3
1 = 1 5 = 5
3
飛船內經過的時間為 300 × 5 = 180 秒
答：當地面經過 5 分鐘時，宇宙飛船內經過時間 180 秒．
20.（1）解：如圖，點 即為所求；
∵四邊形 是平行四邊形，
∴ = , = ，
（2）如圖，線段 即為所求．
∵四邊形 是平行四邊形，
∴ // ，即 // ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ = , ∠ = ∠ ，
∴ ≌ ，
∴ =
又∵ // ，，
∴四邊形 是平行四邊形，
∴ // ．
21.（1）60；68；70
（2）解：小亮得了 70 分，在小組中屬中游略偏上，說明中位數小于 70，因此在甲組；
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（3）解：選擇甲組，雖然甲組的方差大，數據不穩定，但是甲組的優秀率高于乙組，并且有考滿分的同學，
很有可能獲得個人第一名．(答案不唯一)
22.（1）證明：∵四邊形 是平行四邊形，
∴ // ， = ．
∴ ∠ = ∠ ．
∴ ∠ = ∠ ．
在 和 中，
=
∠ = ∠ ,
=
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ，∠ = ∠ ．
∴ // ，
∴四邊形 是平行四邊形；
（2）解：∵ ⊥ ， = 10， = = 6，
∴ = 2 2 = 102 62 = 8，
連接 交 于 ，
∴ = = 12 = 4，
∵四邊形 是平行四邊形，
∴ = = 12 ，
∴ = ，
設 = = ，
∴ = 2 + 8，
∵ = 4，
∴ = 2 + 4，
∵ 2 = 2 + 2，
∴ (2 + 4)2 = 62 + (8 + )2，
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∴ = 2 7(負值舍去)，
∴ 的長為 2 7．
23.解：任務 1：由題意，當網上售價降至 60 元/件時，下降幅度為：70 60 = 10(元)；
網上銷量增加 40 × 10 = 400 件，
∴總銷量為 200 + 400 = 600 件．
∴網上毛利潤為： 60 50 × 600 = 10 × 600 = 6000(元)．
又實體店銷量減少：5 × 10 = 50(件)，總銷量為 100 50 = 50(件)．
∴實體店毛利潤為： 90 50 × 50 = 40 × 50 = 2000(元)．
任務 2：由題意，設網上售價下降 元，總毛利潤為 8640 元，
∴網上毛利潤為： 70 50 200 + 40 = 20 200 + 40 ．
∴實體店毛利潤為： 90 50 100 5 = 40 100 5 = 4000 200 .
∴總利潤方程為： 20 200 + 40 + 4000 200 = 8640．
∴ 40 2 + 400 + 8000 = 8640．
∴ 40 2 + 400 640 = 0．
∴ = 8 或 = 2．
∴每件商品的網上銷售價下降 2 元或 8 元．
任務 3：依據題意，由總利潤函數為：
40 2 + 400 + 8000
= 40 5 2 + 9000
∴當 = 5 時，總利潤最大
∴網上銷售價下降 5 元時總毛利潤最大
24.（1）如圖所示，
圖(甲)和圖(乙)中， = = 12 + 32 = 10；
圖(丙)中 = 32 + 42 = 5 = ；
∴四邊形 是等鄰邊四邊形；
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（2）∵四邊形 是平行四邊形
∴ // ， = ，∠ + ∠ = 180
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ + ∠ = 180 ，∠ + ∠ = 180 ，∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
又∵ =
∴ ≌
∴ =
∵ =
∴ =
∴四邊形 是“等鄰邊四邊形”；
（3）如圖所示，過點 作 ⊥ 交 于點
∵四邊形 是平行四邊形，∠ = 60
∴ ∠ = ∠ = 60 ，
∵ 平分∠
∴ ∠ = ∠ = 30 ，
∵ //
∴ ∠ = ∠ = 30
∴ = = 4
∵ ⊥
1
∴ = 2 = 2
∴ = 2 2 = 2 3
∴ = 2 = 4 3
∴當四邊形 是“等鄰邊四邊形”，且 = = 2 時，
∴ = = 4 3 2；
如圖所示，當 = 時，過點 作 ⊥ 交于點 ，連接
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∴ ∠ = ∠ = 30
∵ = = + = 6， ⊥
∴ = = 3， = 12
1 2∵ 2 + 2 = 2，即32 + 2 =
2
∴ = 2 3
∴ = = 2 3， = = 4 3 2 3 = 2 3
∴ =
∴此時四邊形 是“等鄰邊四邊形”；
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60
∵ =
∴ 是等邊三角形
∴ ∠ = 60 ， = = 2 3
如圖所示，當 = = 4 時，過點 作 ⊥ 交 于點
∴ ∠ = 30
1
∴ = 2 = 3
∴ = 2 2 = 3
∴ = 2 2 = 7
∴ = = 4 3 7 3 = 3 3 7
綜上所述，當四邊形 是“等鄰邊四邊形”時， 的長度為 4 3 2 或 2 3或 3 3 7．
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