資源簡介

2025屆淮濱縣濱城高中、淮濱外國語學校二模聯考
高三數學試題卷
注意事項:
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分?？荚嚂r間120分鐘，滿分150分?？忌鷳紫乳喿x答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效。交卷時只交答題卡。
第I卷(選擇題，共58分)
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。）
1．若集合，當時，集合的非空真子集個數為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
2．佛蘭德現代藝術中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現代設計手法令空間與其展示的藝術品無縫交融，形成一個統一的整體，氣勢恢宏，美輪美央.佛蘭德現代藝術中心的底面直徑為8，高為30，則該建筑的側面積為（ ）
A． B． C． D．
3．設是三個不同平面，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知正方體分別是的中點，則（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
5．2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，文藝晚會等內容．假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有2幅不同的美術作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術作品不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強，大量繁殖會排擠本地植物，容易形成單一優勢種群，導致原有植物種群的衰退甚至消失，使當地生態系統的物種多樣性下降，從而破壞生態平衡.假如不加控制，它的總數量每經過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要（ ）（參考數據：）
A．40年 B．30年 C．20年 D．10年
7．已知雙曲線C：的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點，且，，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
8．設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，下列結論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為：
B．拋物線的準線方程為：
C．當直線過焦點時，以AF為直徑的圓與軸相切
D．
10．已知定義在R上的偶函數，其周期為4，當時，，則（ ）
A． B．的值域為
C．在上單調遞減 D．在上有8個零點
11．已知函數及其導函數的定義域均為，若是奇函數，滿足，且對任意，，，則（ ）
A． B． C． D．
第II卷(非選擇題，共92分)
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計15分）
12．在的展開式中，的系數為 (用數字作答)
13．舉重比賽的規則是：挑戰某一個重量，每位選手可以試舉三次，若三次均未成功則挑戰失敗；若有一次舉起該重量，則無需再舉，視為挑戰成功，已知甲選手每次能舉起該重量的概率是，且每次試舉相互獨立，互不影響，設試舉的次數為隨機變量，則的數學期望 ；已知甲選手挑戰成功，則甲是第二次舉起該重量的概率是 ．
14．若平面直角坐標系內兩點滿足: （1）點都在的圖象上; （2）點關于原點對稱，則稱點對是函數的一個“姊妹點對”，且點對與記為一個“姊妹點對”. 已知函數，則的“姊妹點對”有 個.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．(13分)在中，已知.
(1)求證：；
(2)若D為AB的中點，且，，求的面積.
16．(15分)如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為，點在母線上，且.
(1)求證平面；
(2)若點為線段上的動點.當直線與平面所成角的正弦值最大時，求平面與平面所成角的大小.
17．(15分)如圖，開車從站到站有3條路線.甲、乙、丙路線分別為.開車從站到站需要3分鐘，從站到站需要2分鐘，從站到站需要2分鐘，從站到站需要，2.5分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，受路上的紅綠燈影響，都是隨機變量，且分布列如下.

2 2.5
0.4 0.6
1.5 2.5
0.5 0.5
2 3
m
2 3
0.5 0.5
(1)若選擇甲路線，開車從站到站的總時間為分鐘，求的分布列；
(2)小張從這3條路線中選擇1條，他在每站選擇前進的方向時，都會等可能地選擇其中一個方向，在他開車經過站的前提下，若他開車從站到站的總時間少于5分鐘的概率為0.4，求的值；
(3)以各條路線開車需要的總時間的期望為依據，若三條路線中只有丙路線最快捷，求的取值范圍.
18．(17分)已知拋物線的焦點為，，，為上不重合的三點.
(1)若，求的值；
(2)過，兩點分別作的切線，，與相交于點，過，兩點分別作，的垂線，，與相交于點.
（i）若，求面積的最大值；
（ii）若直線過點，求點的軌跡方程.
19．(17分)若內一點滿足，則稱點為的布洛卡點，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點為的布洛卡點，為的布洛卡角．
(1)若，且滿足，求的大?。?br/>(2)若為銳角三角形．
（?。┳C明：．
（ⅱ）若平分，證明：．
試卷第1頁，共3頁
2025屆淮濱縣濱城高中、淮濱外國語學校二模聯考
高三數學參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C C B C BC AB
題號 11
答案 BD
12．15
13．
14．2
15．（1）因為，
所以，
即，
因為，所以；（5分）
（2）因為D為AB的中點，且，，
所以，
兩邊平方得，
，
即，
又，
即，
由（1）知，
解得，又，且，
所以，則.（8分）
16．（1）如圖，設交于點，連接，由圓錐的性質可知底面，
因為平面，所以，又因為是底面圓的內接正三角形，
由，AC為直徑，則，可得，而，解得，
又，
所以，即，
又因為，所以與相似，所以，即，
又平面，直線平面平面，
所以直線平面.（6分）
（2）因為平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
由于，則，即F為OC的中點，
知，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的法向量為，
則，令，則，
設，可得，
設直線與平面所成的角為，
則，
即，
令，
則
，
當且僅當時，等號成立，所以當時，有最大值4，
即當時，的最大值為1，此時點，所以，
易知即為平面與平面所成的角，
又所以， （9分）
故當直線與平面所成角的正弦值最大時，平面與平面所成角為.
17．（1）的可能取值為9，9.5，10，10.5，
，
則的分布列為 （4分）
9 9.5 10 10.5
0.2 0.3 0.2 0.3
（2）若他開車經過站，則他選擇的路線是甲路線或乙路線，
記選擇甲路線為事件，選擇乙路線為事件，則，
若他開車從站到站的總時間少于5分鐘，則或，
所以由全概率公式得，解得.（4分）
（3）設選擇乙路線開車從站到站的總時間為分鐘，
則
設選擇丙路線開車從站到站的總時間為分鐘，
，
則
若三條路線中只有丙路線最快捷，則
即，
又，所以，即的取值范圍是.（7分）
18．（1）依題意，，
設，，，
由得，，
即，
由拋物線定義得，. （4分）
（2）（i）顯然，直線的斜率不為0，
可設直線的方程為，，，
由得：，
，，.
，則，，
切線的方程為，
同理，切線的方程為，
聯立兩直線方程，解得，即，
則點到直線的距離為，
由，
化簡得：，
，當且僅當時取等號，
面積的最大值為8. （8分）
（ii）若直線過點，由（i），可以設直線的方程為，
，.
直線的方程為，
同理，直線的方程為.
聯立兩直線方程，解得，
整理后可得消去得：，
點的軌跡方程為. （5分）
19．（1）若，即，得，
點滿足，則，
在和中，，，
所以與相似，且，
所以，即，
由余弦定理得：，且，，
得，且，
所以； （5分）
（2）（?。┰趦龋瑧糜嘞叶ɡ硪约叭切蔚拿娣e公式得：
，
，
，
三式相加可得：①
在內，應用余弦定理以及三角形的面積公式得：
，
在和內，同理：，，
三式相等：，
因為，由等比性質得：②
由①②式可證得：； （7分）
（ⅱ）因為，
即，
所以，
在中，
分別由余弦定理得：，，，
三式相加整理得，
，
將代入得：
若平分，則，，
所以③
又由余弦定理可得：④
由③-④得：
所以，
所以. （5分）
答案第1頁，共2頁

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