資源簡介

灌南縣惠澤高級中學第二學期第一次月考
高二數學試題
考試時間120分鐘 滿分150分
一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）
1．設隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．袋中共有個球，其中有個紅球、個黃球和個綠球，這些球除顏色外完全相同，若從袋中一次隨機抽出個球，則取出的個球顏色相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
3． 的展開式中項的系數為（　　）
A． B． C．80 D．200
4．中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設a，b，為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
5．德國數學家萊布尼茨是世界上第一個提出二進制記數法的人.二進制數被廣泛應用于電子電路 計算機等領域.某電子電路每運行一次都隨機出現一個四位二進制數，其中出現0的概率為，出現1的概率為，記，當電路運行一次時，的數學期望（ ）
A． B．2 C． D．3
6．已知離散型隨機變量X的分布列為，其中a為常數，則（ ）
A． B． C． D．
7．為慶祝中國共產黨成立100周年，重溫黨的光輝歷程，歌頌黨的偉大成就，繼承和發揚黨的優良革命傳統，充分展現當代中學生愛黨 愛國 愛社會主義的深厚情懷，我校計劃舉辦2021年“荔枝杯”中學生演講比賽，要求從5名男生，2名女生中隨機選出4人進行現場比賽，且至少要選1名女生，如果2名女生同時被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同的演講順序共有（ ）
A．120種 B．480種 C．600種 D．720種
8．設集合，設集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差稱為集合的直徑. 那么集合所有直徑為的子集的元素個數之和為（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題（本大題共4題，每題5分，錯選得0分，漏選得2分，共計20分）
9． 、、、、五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（ ）
A．若、兩人站在一起有種方法 B．若、不相鄰共有種方法
C．若在左邊有種排法 D．若不站在最左邊，不站最右邊，有種方法
10．一個袋中有大小 形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅 黃 藍，從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件，則（ ）
A． B．為互斥事件
C． D．相互獨立
11．下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的號碼，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題（本大題共4題，每題5分，共計20分）
13．若某地區60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）接種率為60%，加強免疫接種（第三針）的接種率為36%，則在該地區完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機抽取一人，此人完成了加強免疫接種的概率為________.
14．若隨機變量X的分布列如下表所示，則a2＋b2的最小值為________．
X 0 1 2 3
P a b
15．已知的展開式中第三項的二項式系數比第二項的系數大，則展開式中的系數為________（用數字作答）．
16．在一次新兵射擊能力檢測中，每人都可打5槍，只要擊中靶標就停止射擊，合格通過；5次全不中，則不合格．新兵A參加射擊能力檢測，假設他每次射擊相互獨立，且擊中靶標的概率均為，若當時，他至少射擊4次合格通過的概率最大，則___________．
四、解答題（共6題，17題10分，其余每題12分）
已知
求（1） （2） （3）
18.（1）由0，1，2，…，9這十個數字組成的無重復數字的四位數中，十位數字與千位數字之差的絕對值等于7的四位數的個數共有幾種？
（2）我校高三學習雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現在從中任選3人，要求這三人不能是同一個班級的學生，且在三班至多選1人，求不同的選取法的種數.
19.已知數列是遞增的等比數列且
求數列的通項公式
設是數列的前項和，數列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數的最大值
20.2020年1月15日教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（ 也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃.強基計劃上要選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生.據悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試環節.已知甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立.若某考生報考甲大學，每門科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門科目通過的概率依次為，其中.
（1）若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環節恰好通過一門科目的概率；
（2）強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作出決策，當該考生更希望通過乙大學的筆試時，求的范圍.
21.函數
已知，求的值
銳角三角形中，若，求三角形周長的取值范圍
22.已知函數，且曲線在處的切線方程為．
（1）求實數，的值；
（2）若對任意，都有恒成立，求的取值范圍．
灌南縣惠澤高級中學第二學期第一次月考
高二數學試題答案
一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）
1 , A 2, C 3, B 4, D 5, C 6, B 7, C 8, C
二、多項選擇題
9,AC 10,AC 11,AC D 12,AD
三、填空題
13， 14， 15, 560 16，
四、 解答題
17. 解（1）1094 （2）2187 （3）
18.解（1）280 （2）472
19解（1）
（2）
對遞增，的最小值為 所以的最大值為
20.解：（1）甲、乙兩所大學在筆試環節恰好通過一門科目的概率分別為
（2）設該考生報考甲、乙大學通過的科目數分別為
則服從，
隨機變量的分布列為
0 1 2 3
由得
21.解：（1）由得，由，
得
（2）由得，在銳角三角形中，，
由正弦定理
周長在上遞減，
所以周長的取值范圍為
22.解：（1）對于函數，當時，，
此時，切線的斜率為，
故此處的切線方程為，即．
再根據曲線在處的切線方程為，
可得，且，
，且．
（2）對任意，都有恒成立，
當時，恒成立．
，則，由于，，
而是上的增函數，
故存在實數，使，故在上小于零，在上大于零，
故在上遞減，在上遞增，故的最小值為．
而，故在上，恒成立，即在上單調遞減．
當時，，故在上單調遞增，故的最小值為，，故的范圍為，．

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