資源簡介

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姓
名
考場號
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座位號
□□
)秘密★啟用前
涪陵五中高2026屆2025年春期末模擬考試
數學試卷
本試卷共4頁，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。
注意事項：
1．作答前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規定位置上。
2．作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效。
3．考試結束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
A． B． C． D．
2．已知命題，，命題，，則
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
3．現有8名社工，參加兩個社區工作，每個社區4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友關系。他們希望在工作時，至少有一名好友相伴，試問：這樣的工作安排方案共有（ ）種？
A．20 B．38 C．70 D．74
4．的展開式中，含項的系數為
A．120 B．220 C．260 D．280
5．設，則“”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．過坐標原點可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是
A． B． C． D．
7．已知某中學高一、高二、高三年級的學生人數之比為，高一、高二年級學生的近視率分別為25%，35%．若從該校三個年級中隨機抽出一名學生，該學生近視的概率為40%，則高三年級學生的近視率為
A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25%
8．已知，，則
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．已知樣本數據的均值和標準差都是10，下列判斷正確的是
A．樣本數據均值和標準差都等于10；
B．樣本數據均值等于31、標準差等于30；
C．樣本數據的標準差等于0.1，方差等于1；
D．樣本數據的標準差等于2、方差等于4；
10．關于的不等式的解集中有且僅有3個整數，則實數的取值可以是
A．5,6 B．6,7 C．7,8 D．8,9
11．已知函數及其導函數定義域均為，且滿足，，則下列說法正確的有
A．函數在上單調遞增
B．函數存在極小值
C．若，則
D．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知某次數學的測試成績X服從的正態分布，若小明的成績不低于91分，那么他的成績大約超過了 %的學生（精確到0.1%）．（參考數據：，，）
13．已知，都是正數．若，且，則的最小值為 ．
14．已知函數及其導函數的定義域均為，且滿足當時，．若不等式在上恒成立，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
為了研究觀眾對某檔節目的喜愛情況與性別的關聯性，分別調查了該檔節目男、女觀眾各100人，發現共有70名觀眾喜愛該檔節目，且不喜愛該檔節目的女性觀眾數是喜愛該檔節目的男性觀眾數的2倍．
（1）根據題中信息，完成下面列聯表；
單位：人
性別 喜愛情況 合計
喜愛 不喜愛
男
女
合計
（2）根據（1）中的列聯表，依據的獨立性檢驗，能否認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別有關？
附：．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（15分）
設，，．若，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求展開式中系數的絕對值最大的項.
17．（15分）
隨著經濟的發展某地居民收入逐年增長，下表是該地某銀行連續五年的儲蓄存款（年底余額）：
年份 2013 2014 2015 2016 2017
儲蓄存款（千億元） 5 6 7 8 10
為了研究計算的方便，工作人員將上表的數據進行了處理，，得到下表：
時間代號 1 2 3 4 5
0 1 2 3 5
（1）求關于的經驗回歸方程；
（2）通過（1）中的方程，求出關于的經驗回歸方程；
（3）用所求經驗回歸方程預測到2021年年底，該銀行儲蓄存款可達多少？
附：對于經驗回歸方程，其中，．
18．（17分）
DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學習的決心．DeepSeek主要功能為內容生成、數據分析與可視化、代碼輔助、多模態融合、自主智能體等，在金融領域、醫療健康、智能制造、教育領域等多個領域都有廣泛的應用場景．為提高DeepSeek的應用能力，某公司組織A，B兩部門的50名員工參加DeepSeek培訓．
（1）此次DeepSeek培訓的員工中共有6名部門領導參加，恰有3人來自部門．從這6名部門領導中隨機選取2人，記表示選取的2人中來自部門的人數，求的分布列和數學期望；
（2）此次DeepSeek培訓分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優秀”的概率分別為，每輪培訓結果相互獨立，至少兩輪培訓達到“優秀”的員工才能合格．
（?。┣竺课粏T工經過培訓合格的概率；
（ⅱ）經過預測，開展DeepSeek培訓后，合格的員工每人每年平均為公司創造利潤30萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創造利潤20萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓的員工支付3萬元的其他成本和費用．試估計該公司兩部門培訓后的年利潤（公司年利潤員工創造的利潤-其他成本和費用）．
19．（17分）
已知函數
（1）當時，求函數在區間上的最小值；
（2）試討論函數的單調性；
（3）當時，不等式恒成立，求正整數的最大值.
涪陵五中高2026屆2025年春期末模擬考試
數學答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B C B D B C BD BC ACD
8. 由題意得，，要比較與0的大小，即比較的大小. 由，，可得，故；又， 故，所以，故選：C. 另外本題還可以通過考慮函數的單調性來解決問題.
11. 由已知可得，構造函數，
則，所以，其中為常數，
所以，可得，故，所以，解得，故，A選項，函數在上單調遞增，A正確；
B選項，，令，其中，則，令，則，當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增.
故，所以函數在上單調遞增，即函數無極值，B錯誤；C選項，因為，所以，
則，當且僅當時，等號成立，故C正確；D選項，由，則，，故，
不等式，可化為，即，即，由，不等式又可化為，
令，即.下面證明：任意，.
證明：原不等式，令，即證，構造函數，，則，
故在單調遞減，由，則，故得證.
因此，成立，故D項正確；故選：ACD.
12． 13．2 14．
14. 令，則，故為R上的偶函數，當 時，．所以在單調遞減，在單調遞增．等價于，即在上恒成立．所以，平方后化簡得到．
由一次函數性質可得，解得，即.
15. （1）設喜愛該檔節目的男性觀眾數為x，則喜愛該檔節目的女性觀眾數為，不喜愛該檔節目的女性觀眾數為， 則，得．
故列聯表完成如下．
單位：人
性別 喜愛情況 合計
喜愛 不喜愛
男 30 70 100
女 40 60 100
合計 70 130 200
（2）零假設為：觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．
根據（1）中列聯表的數據，計算得到．
根據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為觀眾對該檔節目的喜愛情況與性別無關．
16. （1）由二項式定理可得展開式的通項為，所以，
所以.
整理可得，解得或（舍去負值）.
（2）由（1）知，
令，可得.
(3)設展開式中第項系數的絕對值最大，則，
解得，又，所以，所以第三項系數的絕對值最大.
17. （1）設關于的線性回歸方程為，經計算得：，，，
， ∴，，
∴；
（2）將，代入得：，即；
（3）時，（千億元），
預測到年年底，該銀行儲蓄存款額可達千億元．
18. （1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．
的分布列為
0 1 2
的數學期望．
（2）（?。┯洝懊课粏T工經過培訓合格”，“每位員工第輪培訓達到優秀”（），
，根據概率加法公式和事件相互獨立定義得，
．
即每位員工經過培訓合格的概率為．
（ⅱ）記兩部門開展DeepSeek培訓后合格的人數為，則，
，則（萬元）
即估計兩部門的員工參加DeepSeek培訓后為公司創造的年利潤為1100萬元．
19. （1）當時，，
當時；當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
故在區間上的最小值為.
（2）
當時，由，得；由，得，
此時，在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，由，得；由，得或，
此時，在上單調遞減，在和上單調遞增；當時，對任意的恒成立，此時，在上單調遞增；
當時，由，得；由，得或，
此時，在上單調遞減，在和上單調遞增.
綜上可知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在和上單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在和上單調遞增.
（3）當時，不等式恒成立，
整理可得，原題意等價于對任意恒成立，
令，則，
令，則，所以在區間上單調遞增，因為，，所以在區間內存在唯一零點，即，所以，當時，，即；當時，，即；可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；所以，因為，則，即，且為正整數，則，所以整數的最大值是.

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