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2024-2025學年上海市黃浦區格致中學高一（下）月考數學試卷（5月份）
一、單選題：本題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設、，則“”是“”的條件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
2.下列說法正確的是( )
A. 若，則與的長度相等且方向相同或相反
B. 若，且與的方向相同，則
C. 平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上
D. 若，則與方向相同或相反
3.正弦一詞始于阿拉伯人雷基奧蒙坦，他是十五世紀西歐數學界的領導人物，今天我們所使用的符號：，，正割，，余切，余割，是經過了漫長的歷史發展，直到1748年，經過數學家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中，若，則( )
A. B. C. D. 或
4.已知平面向量，，，對任意實數x，y都有，成立．若，則的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.函數的最小正周期為______.
6.復數其中i為虛數單位的虛部是______.
7.已知平面向量，，則在方向上的投影向量為______.
8.設m為實數，點為角的終邊上一點，且，則______.
9.已知i為虛數單位，設，，若z為純虛數，則m的值為______.
10.不等式的解集為______.
11.已知i為虛數單位，若，則的取值范圍為______.
12.已知是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得，則的值為______.
13.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積弦矢+矢弧田是由圓弧及其所對的弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積最接近的整數是______.
14.已知在中，E為AC的中點，D是線段BE上的動點，若，則的最小值為______.
15.若函數在上恰有一個零點，則實數a的值為______.
16.已知，且函數的圖像關于點對稱.若其中，則的最小值為______.
三、解答題：本題共5小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題13分
已知復數
若復數z在復平面上對應點落在第四象限，求m的取值范圍；
已知，若是關于x的方程、的一個根，求的值.
18.本小題13分
設在平面上有兩個向量，
求證：向量與垂直；
當向量與的模相等時，求的大小．
19.本小題13分
在中，已知
求角B的大小；
設角A、B、C的對邊分別為a、b、若，且AC邊上的高為，求的周長.
20.本小題13分
已知函數的部分圖像如圖所示.
求函數的解析式；
將的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖像，求函數的對稱軸方程；
在的前提下，對于任意，是否總存在實數，使得成立？若存在，求出實數m的值或取值范圍；若不存在，說明理由.
21.本小題14分
已知，定義函數表示不小于x的最小整數.例如：，
若，求實數x的取值范圍；
求函數的值域，并求滿足的實數x的取值范圍；
設，，若對于任意的、、都有，求實數a的取值范圍.
答案
1.A
2.B
3.C
4.A
5.
6.
7.
8.
9.3
10.
11.
12.
13.9
14.8
15.2
16.
17.解：復數z在復平面上的對應點落在第四象限，
則，，
解得，
故m的取值范圍為；
由題意，，
則，解得，故，
又是關于x的方程、的一個根，
則，化簡得，
即，，
解得，，
故
18.證明：
，
與垂直．
解：，
兩邊平方得，
又，，
，，
代入數據可得，即，
，即，
又，
或
19.解：，
，
，
，
或舍，
因為，所以，則，
則，故；
令，則，
由三角形面積公式，得，所以，
由余弦定理可，得，
則，解得，
從而，，，
故的周長為
20.解：根據函數的圖象，且，解得，所以；且，由于，故，
故
的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，
令，整理得對稱軸方程為：，
由得，由，
得，
所以，所以，
因為，
所以，所以
由題可知，
得，
解得，所以存在，使得成立．
21.解：定義函數表示不小于x的最小整數，若，
則；
函數定義域為
函數在上單調遞增，值域為
顯然
由，得，所以，
而時，不等式不成立，則，必有，所以，
所以，，解得，所以實數x的取值范圍；
當時，，函數在上單調遞減，
在是單調遞增，因此函數在上單調遞增，在是單調遞減，
所以，而，
所以在上的值域為
依題意，即
當時，，顯然當時，，則，，
當時，，而恒成立，則，
所以實數a的取值范圍

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