資源簡介

2025屆光山縣一高、二高二模聯考
高三數學試題
注意事項:
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。考試時間120分鐘，滿分150分。考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效。交卷時只交答題卡。
第I卷(選擇題，共58分)
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。）
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．設集合，若，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若是周期為π的奇函數，則可以是（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點，則（ ）
A．直線∥平面PCD B．直線AF與平面PBC所成角的最小值是
C．直線直線PC D．三棱錐的體積隨BF的增大而減小
5．兩個圓錐有等長的母線，它們的側面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側面積之比為，則它們的體積比是（ ）
A． B． C． D．
6．已知拋物線和直線，點為拋物線C上任意一點，設點P到直線的距離為d，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．在不斷發展的過程中，我國在兼顧創新創造的同時，也在強調已有資源的重復利用，廢棄資源的合理使用，如土地資源的再利用是其中的重要一環.為了積極響應國家號召，某地計劃將如圖所示的四邊形荒地改造為綠化公園，并擬計劃修建主干路與.為更好的規劃建設，利用無人機對該地區俯視圖進行角度勘探，在勘探簡化圖中，平分，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知橢圓：的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17
B．一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5
C．用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好
D．以模型 去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
10．在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內一點（含邊界），若平面，則下列結論正確的是（ ）
A． B．三棱錐的體積為
C．點N的軌跡長度為 D．的取值范圍為
11．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則（ ）
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若長度為定值，則時三棱錐體積最大
D．當時，直線與所成角的余弦值的最小值為
第II卷(非選擇題，共92分)
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計15分）
12．以拋物線的焦點為圓心的圓交于兩點，交的準線于兩點，已知，則 ．
13．已知 ，則
14．如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為 .
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．(13分)已知向量，，，圖象上相鄰的最高點與最低點之間的距離.
(1)求的值及在上的單調遞增區間；
(2)設的內角，，的對邊分別為，，，且，求的值域.
16．(15分)對于各項均不為零的數列，我們定義：數列為數列的“比分數列”.已知數列滿足，且的“比分數列”與的“2-比分數列”是同一個數列.
(1)若是公比為2的等比數列，求數列的前項和；
(2)若是公差為2的等差數列，求.
17．(15分)已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．
(1)求的方程；
(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．
18．(17分)已知雙曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標原點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
19．(17分)若數列若滿足遞推關系其中為常數，我們稱該數列為k階常系數齊次線性遞推數列，并稱方程為遞推關系式（*）的特征方程，該方程的根稱為數列的特征根.我們有以下結論：對于k階常系數齊次線性遞推數列，若其不同的特征根為，，…，，且特征根的重數為，則數列的通項公式為
其中，，這里都是常數，它們由數列初始值可以確定.
(1)若數列滿足，且，，，求數列的通項公式；
(2)若數列滿足對于所有非負整數m，n（），都成立，且，求數列的通項公式；
(3)設邊長為1的正六邊形ABCDEF，O是六邊形的中心，除了六邊形的每一條邊，我們還從點O到每個頂點連一條線段，共得到12條長度為1的線段，一條路徑是指動點沿著上述線段（全部或部分）移動，始點終點均為點O的一條移動路線.求長度為2024的路徑共有多少條？（注：根的重數就是方程中同樣根的數量）
試卷第1頁，共3頁
2025屆光山縣一高、二高二模聯考
高三數學試題參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A B A B BCD BD
題號 11
答案 BCD
12．
13．/
14．
15．（1）依題意可得
，
由條件圖象上的相鄰的最高點與最低點之間的距離為，設函數的最小正周期為，
則，解得（負值已舍去），則，解得.
.
令，
解得，
所以的單調遞增區間為，
又，故在上的單調遞增區間為.（8分）
（2）因為，，
由余弦定理，
又且，所以，當且僅當時取等號，
所以，又，所以，
所以，則，
則，所以的值域為.（5分）
16．（1）由題意知，
因為，且是公比為2的等比數列，所以，
因為，所以數列首項為1，公比為4的等比數列，
所以；（7分）
（2）因為，且是公差為2的等差數列，所以，
所以，
所以，
所以，因為，
所以.（8分）
17．（1）設．
因為點的坐標為，所以，
由得，
則，
從而
得，所以的方程為．（6分）
（2）證明：因為點的坐標為，直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為．
設，由可得，
則
所以．
由（1）可知，
因為點A，P的縱坐標分別為，且，所以
可得，即．（9分）
18．（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，
因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設，，由于，則點為的中點，所以，
又點在雙曲線上，所以，整理得：
因為的面積為8，所以，則，
故雙曲線的方程為；（7分）
（2）由（1）可得，所以為
當直線的斜率存在時，設方程為：，，
則，所以，則
恒成立，所以，
假設在軸上是否存在定點，設，則
要使得為常數，則，解得,定點，；
又當直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，
若，則，符合上述結論；
綜上，在軸上存在定點，使為常數，且.（10分）
19．（1）依題意，對應的特征方程為：，
即，其根為 (重數為2)和1(重數為1)，
設，即，由，
得，解得，
所以.（5分）
（2）由于所有非負整數成立，
令得，令得，
令得，得，
令得，
聯立消去得，即有，
因此，對應的特征方程為，解得其根為1(重數為3)，
設，
由，得，解得，
所以.（6分）
（3）設表示從O到O的長度為的路徑條數，表示從到O的長度為的路徑條數，則有
，對任何正整數成立，顯然，即，
其特征方程為，解得(重數為1)，
因此，由，
得，解得，
因此
所以長度為2024的路徑共有條.（6分）
答案第1頁，共2頁

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