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石家莊市第一中學2024級高一級部6月階段檢測數(shù)學學科試題
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．下列不是基本事實的是（ ）
A．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
B．平行于同一條直線的兩條直線平行
C．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)
D．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
3．某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機抽了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績（單位：分），五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93，下列說法正確的是（ ）
A．這種抽樣方法是一種分層隨機抽樣
B．這種抽樣方法是一種簡單隨機抽樣
C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D．該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
4．用一個平行于圓雉底面的平面去截圓雉，截得的圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺側(cè)面積為，則原圓雉的母線長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在如圖分布形態(tài)中，分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是△ABC的外心，且滿足，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C． D．
7．如圖所示，將繪有函數(shù)（其中）的部分圖像的紙片沿軸折成針二面角，此二面角的平面角為，此時之間的距離為，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知均為銳角，且，則下列格式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．某次測驗中，高一（1）班位同學參加考試，平均分為，方差為，高一（2）班位同學參加考試平均分為，方差為，兩個班總的平均分為，方差為，則下列說法一定正確的是（ ）
（參考公式：
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．已知都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)
B．為奇函數(shù)
C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱
D．為偶函數(shù)
11．如圖，在三棱雉中，，為的中點，點是棱上的中點，則（ ）
A．與平面所成的角為 B．異面直線與所成角的正弦值為
C．二面角的余弦值為 D．點到平面的距離為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
12．甲同學自進入高一以來，前四次數(shù)學考試的分數(shù)逐次遞增，第一次的分數(shù)為116，第四次的分數(shù)為132，且中位數(shù)為120，則甲同學這四次數(shù)學考試的平均分為___________．
13．若向量與向量的夾角為，我們定義“”為向量與向量的“外積”．兩個向量的外積是一個向量，它的長度定義為，在中，，則的最大值為___________．
14．一個水平放置的裝有一定量水的四棱雉密閉容器（容器材料厚度不算），底面為平行四邊形，現(xiàn)將容器以棱為軸向左側(cè)傾斜（如圖乙），這時水面恰好經(jīng)過，且分別為棱的中點，設(shè)棱雉的高為2，則圖甲中，上方的小四棱雉的高為___________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
如圖，在長方體中，．
（1）設(shè)分別為和中點，求證：平行于平面；
（2）求異面直線與所成角的正切值．
16．（本小題滿分15分）
某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用電，計劃調(diào)整居民生活用電收費方案，擬確定一個合理的月用電量標準（千瓦時）：月用電量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解居民用電情況，通過抽樣，獲得了100位居民每人的月均用電量（千瓦時），將數(shù)據(jù)按照分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中的值以及所有樣本的平均用電量（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）；
（2）假設(shè)該市有900萬居民，估計全市居民中月均用電量不低于400千瓦時的人數(shù)，并說明理由；
（3）該市政府希望使的居民每月的用電量不超過標準（千瓦時），估計的值（保留整數(shù)），并說明理由．
17．（本小題滿分15分）
記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，的面積為，求邊上的高．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為．
（1）求證：平面；
（2）若點為棱的中點，求三棱雉的體積；
（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，請求出的長度，若不存在，請說明理由．
石家莊市第一中學2024級高一級部6月階段數(shù)學檢測參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．ACD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
12．122 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【解答】解：（1）取中點，連接、，如圖所示：因為為中點，所以，且，又是長方體，為中點，所以，且，即
，且，四邊形為平行四邊形，所以．
又在平面內(nèi)，在平面外，因此，平面．
（2）連接，如圖所示：
因為平面，平面，所以，
又，所以是異面直線與所成角（或其補角），
因此，異面直線與所成角的正切值為．
16．【解答】解：（1）由題意有，
解得，則所有樣本的平均用電量為
千瓦時；
（2）由題意知，用電量不低于400千瓦時的頻率為
，
∴估計人數(shù)為萬人；
（3）∵前5組的頻率和為，
前6組的頻率和為，
∴，∴，解得．
17． 【解答】（1）由正弦定理及，得，
即，整理得，，即，
因為，所以，所以，即．
（2）因為的面積為，所以，即，
由余弦定理，得，所以，
設(shè)邊上的高，
由，解得．
18．【解答】（1）因為是偶函數(shù)，所以恒成立，
即，化簡得，解得；
（2）因為與的圖象有且只有一個公共點，所以
只有一個解，由等式成立可得，
即方程有且只有一個解，
令，原方程化簡為，在上只有一個解，
①當時，，所以成立；
②當時，若或此時的解分別為或
∴可取；
③當時，，所以在上只有一個解，所以成立；
④當時，對稱軸，不合題意舍去．
綜上：或．
19．【詳解】（1）如圖所示，連接，由題意可知面，四邊形是菱形．
∵面，∴，
又∵是中點，是正三角形，∴，
顯然面，∴面，
∵面，∴，在菱形中，有，
而分別是線段的中點，則，∴，
∵面，
∴面；
（2）如圖所示，取的中點，連接，過作交于，
過作分別交、的延長線于、，
易知、分別是、的中點，
則由條件可得，面，面，故面，
即到面的距離等于到面的距離，
由（1）得，面，所以面，是直角三角形，
在菱形中，易得，
所以，即到面的距離為，
，所以，
（3）如圖所示，假設(shè)存在點滿足題意，取的中點，連接，過作交于，
連接，易得，面，面，故面，
又結(jié)合（1）的結(jié)論有，故二面角為，所以，
在菱形中，作，易得
，
易知為直角三角形，故．

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