資源簡介

2024-2025學年四川省達州市大竹縣石河中學八年級（下）月考數學試卷（6月份）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列各式因式分解正確的是( )
A. B.
C. D.
2.若，則下列式子正確的是( )
A. B. C. D.
3.在下列手機手勢解鎖的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
4.如圖，BD為的角平分線，于點E，，，則的面積是( )
A. 5
B. 7
C.
D. 10
5.如圖，中，E是BC的中點，AD平分，于點D，若，，則DE等于( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6.《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多一天，如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間．設規定時間為x天，則可列方程為( )
A. B.
C. D.
7.直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在和中，，，于點E，AE的反向延長線與BD交于點F，連結CD，則線段BF，DF，CD三者之間的關系為( )
A.
B.
C.
D.
9.關于x的分式方程無解，則a的取值是( )
A. 4 B. 0或 C. 或4 D. 0或或4
10.如圖，已知是邊長為3的等邊三角形，點D是邊BC上的一點，且，以AD為邊作等邊，過點E作，交AC于點F，連接BF，CE，則下列結論：
①≌；②四邊形BDEF是平行四邊形；③；④其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。
11.約分：______.
12.若，，則______.
13.若關于x的不等式組的解集是，則m的取值范圍為______.
14.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則______
15.如圖，中，，，，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在外作等邊若F是DE的中點，當CF取最小值時，的周長為______.
三、解答題：本題共10小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題8分
解下列不等式組，并把它們的解集在數軸上表示出來.
；
17.本小題8分
解方程：
；
18.本小題8分
如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標，，都在格點上.
若平移得到，當的坐標為，畫出，則、的坐標分別是______、______.
將繞原點順時針旋轉得到，畫出，則點的坐標是______.
求的面積.
19.本小題8分
在平行四邊形ABCD中，點E，F在對角線AC上，連接DE、BF，求證：
20.本小題8分
如圖，在中，，，垂足為已知，設CD長為
根據勾股定理，得______用含x的代數式表示，結果需化簡
求x的值.
21.本小題8分
2024年11月12日，第15屆中國國際航空航天博覽會在珠海盛大開幕.在博覽會的熱烈氛圍中，某航模小組對其中A、B兩種新款無人機模型產生了濃厚的興趣和購買欲望，于是他們前往模型商店進行咨詢并了解到以下信息：
①A型無人機模型的單價比B型貴800元；
②用12000元購買A型無人機模型的數量與用8000元購買B型無人機模型的數量相同.
求A型和B型無人機模型的單價各是多少元？
若航模小組現有資金20000元，他們決定購買10臺無人機模型，同時要求購買B型的數量不超過A型的2倍.請求出航模小組所有可能的購買方案.
22.本小題8分
如圖，在等腰三角形ABC中，，，于點D，將線段CD繞點C順時針旋轉角后得到線段CE，連接
求的度數；
若，，求BD的長.
23.本小題8分
如圖，是等腰三角形，，點D是AB上一點，過點D作交BC于點E，交CA的延長線于點
證明：是等腰三角形；
若，，，求EC的長.
24.本小題8分
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部數學巨著，他在第二卷“幾何與代數”中，闡述了數與形是一家，即通過“以數解形”和“以形助數”，可以把代數公式與幾何圖形相互轉化.如圖1，可以表示為公式①：
觀察下列圖形，將它們與下列公式對應起來填寫對應公式的序號
公式②：
公式③：
公式④：
圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______填序號；
如圖3，若，，且空白部分的面積為48，求大正方形的邊長x的值.
為了解決這個問題，小敏將陰影部分平移至如圖5所示位置，則空白部分的面積可表示為，小敏運用“整體思想”，設，，結合公式①，則可計算出的值，從而求出邊長請根據材料，幫助小敏完成后續的解答過程：
如圖6，若，空白部分的面積為121，且正方形ABCD與正方形EFGH的面積之和為173，求正方形ABCD與正方形EFGH的面積之差.
25.本小題8分
課本再現：
在學行四邊形的概念后，進一步得到平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分.
如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，求證：，
知識應用
在中，點P為BC的中點.延長AB到D，使得，延長AC到E，使得，連接如圖2，連接BE，若，請你探究線段BE與線段AP之間的數量關系.寫出你的結論，并加以證明.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、，故此選項不符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項不符合題意；
D、，故此選項符合題意；
故選：
根據平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式即可．
本題考查了因式分解：提公因式法、運用公式法，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關鍵．
2.【答案】B
【解析】解：A、若，則，原變形錯誤，不符合題意；
B、若，，正確，符合題意；
C、若，，原變形錯誤，不符合題意；
D、若，，原變形錯誤，不符合題意；
故選：
根據不等式的性質即可判斷．
本題考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵．
3.【答案】B
【解析】解：A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
B、圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意；
C、圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不合題意；
D、圖形不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意，
故選：
根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合是解題的關鍵．
4.【答案】A
【解析】解：過D點作于H，如圖，
為的角平分線，，，
，
故選：
過D點作于H，如圖，根據角平分線的性質得到，然后根據三角形面積公式計算．
本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
5.【答案】D
【解析】解：延長BD交AC于F，
平分，
，
于點D，
，
，
，
平分，
是BF的中點，
是BC的中點，
是的中位線，
，
，
故選：
延長BD交AC于F，由角平分線定義得到，由垂直的定義得到，由三角形內角和定理推出，得到，由等腰三角形的性質推出D是BF的中點，判定DE是的中位線，推出，求出，即可得到DE的長．
本題考查三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質，關鍵是判定DE是的中位線．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．首先設規定時間為x天，則快馬所需的時間為天，慢馬所需的時間為天，根據等量關系：，由題意得等量關系：慢馬速度快馬速度，根據等量關系，可得方程．
【解答】
解：設規定時間為x天，則快馬所需的時間為天，慢馬所需的時間為天，由題意得：
，
故選：
7.【答案】B
【解析】解：由圖象知：不等式的解集為，
故選：
根據圖象利用一次函數與一元一次不等式的關系即可求解．
本題考查了一次函數與一元一次不等式，屬于基礎題，關鍵是掌握利用圖象獲取信息的能力．
8.【答案】C
【解析】解：如圖，連接CF，
，，
，
，
，，
，
，
，，
是線段BC的垂直平分線，
，
，即，
故選：
由題意可得，由可得，由，可得AE是BC的垂直平分線，可得，根據勾股定理可求的值．
本題主要考查的是勾股定理，根據題意作出輔助線得出是解題的關鍵．
9.【答案】C
【解析】解：根據分式有意義，，，
將分式方程化為整式方程為：，整理得，
分式方程無解，
，
故選：
根據分式有意義的條件可知，，將分式方程化為整式方程后將，代入求出a的值即可．
本題考查了分式方程的解，掌握分式有意義的條件是解答本題的關鍵．
10.【答案】C
【解析】解：作于
，都是等邊三角形，
，，，
，
在與中，
，
≌，故①正確；
，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
四邊形BDEF是平行四邊形，故②正確，
，故③正確，
，，
，，
，
，故④錯誤，
①②③都正確，
故選：
連接EC，作于首先證明≌，根據SAS可證明≌，再證明是等邊三角形即可解決問題．
本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題．
11.【答案】
【解析】解：利用平方差公式把分子分解因式，再約去分子、分母的公因式可得：
故答案為：
化簡分式就是把分式的分子、分母分別分解因式，再約去它們的公因式即可，本題中利用平方差公式把分子分解因式，再約去分子、分母的公因式即可．
本題考查了分式的化簡，正確進行計算是解題關鍵．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案為：
先提公因式，再代入計算即可．
本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解的應用是解題的關鍵．
13.【答案】
【解析】解：關于x的不等式組的解集是，
，
即m的取值范圍是，
故答案為：
根據不等式組的解集，可判斷m與5的大小．
此題考查求不等式的解集，熟知同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了是解題的關鍵．
14.【答案】2
【解析】解：在平行四邊形ABCD中，，
，
的角平分線交AD于點E，
，
，
，
，，
故答案為：
利用平行四邊形的性質得出，進而得出，再利用角平分線的性質得出，進而得出，即可得出AE的長，即可得出答案．
此題主要考查了平行四邊形的性質以及角平分線的性質，得出是解題關鍵．
15.【答案】18
【解析】解：連接BF，過點C作，交BF的延長線于H，
是等邊三角形，點F是DE的中點，
，
點F在射線BF上運動，
當點F與點H重合時，CF最小，
，，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
的周長為：18，
故答案為：
連接BF，過點C作交BF的延長線于H，由等邊三角形的性質可知，則點F在射線BF上運動，當點F與點H重合時，CF最小，從而解決問題．
本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，垂線段最短，含角的直角三角形等知識，確定點F的運動路徑是解題的關鍵．
16.【答案】，解集表示見詳解；
無解，解集表示見詳解．
【解析】，
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
兩邊都除以，得；
解集在數軸上表示為：
，
解：由①得
，
由②得
，
原不等式組無解．
解集在數軸上表示為：
按步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數系數化為1，進行求解即可．
分別求出不等式組中兩不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無解”進行判斷，再在數軸上表示出解集，即可求解．
本題考查了解一元一次不等式組；掌握不等式組的解法是解題的關鍵．
17.【答案】；

【解析】，
方程兩邊同時乘，得，
解得：，
檢驗：把代入，
分式方程的解為；
，
方程兩邊同時乘，得，
去括號，得，
解得：，
檢驗：把代入，
分式方程的解為
根據解分式方程的方法，先把分式方程轉變為整式方程，解整式方程求出x的值，然后檢驗即可；
根據解分式方程的方法，先把分式方程轉變為整式方程，解整式方程求出x的值，然后檢驗即可．
本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解題的關鍵．
18.【答案】畫圖見解答；；
畫圖見解答；

【解析】如圖，即為所求．
由圖可得，，
故答案為：；
如圖，即為所求．
由圖可得，點的坐標是
故答案為：
的面積為
根據平移的性質作圖，即可得出答案．
根據旋轉的性質作圖，即可得出答案．
利用割補法求三角形的面積即可．
本題考查作圖-旋轉變換、作圖-平移變換，熟練掌握旋轉的性質、平移的性質是解答本題的關鍵．
19.【答案】證明見解析．
【解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
，，
，
在與中，
，
≌，
，
，
結合平行四邊形的性質，證明≌，得出，，得出，進而可求證DE與BF平行．
本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定及性質、平行線的判定，難度一般，關鍵是能夠運用其性質解決一些簡單的證明問題．
20.【答案】；

【解析】解：，
，
，，
，
長為x，
，
故答案為：；
，，，，，
，
，，
，
解得
根據題意可知，，，，再根據勾股定理可以求得AD的長，然后根據和，即可用含x的代數式表示出；
根據和勾股定理，可以求得x的值．
本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用勾股定理的知識解答．
21.【答案】A型無人機模型的單價是2400元，B型無人機模型的單價是1600元；
航模小組共有2種購買方案，
方案1：購買4臺A型無人機模型，6臺B型無人機模型；
方案2：購買5臺A型無人機模型，5臺B型無人機模型．
【解析】解：設B型無人機模型的單價是x元，則A型無人機模型的單價是元，.
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
元
答：A型無人機模型的單價是2400元，B型無人機模型的單價是1600元；
設購買y臺A型無人機模型，則購買臺B型無人機模型，
根據題意得：，
解得：，
又為非負整數，
可以為4，5，
航模小組共有2種購買方案，
方案1：購買4臺A型無人機模型，6臺B型無人機模型；
方案2：購買5臺A型無人機模型，5臺B型無人機模型．
設B型無人機模型的單價是x元，則A型無人機模型的單價是元，利用數量=總價單價，結合用12000元購買A型無人機模型的數量與用8000元購買B型無人機模型的數量相同，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出x的值即B型無人機模型的單價，再將其代入中，即可求出A型無人機模型的單價；
設購買y臺A型無人機模型，則購買臺B型無人機模型，利用總價=單價數量，結合總價不超過20000元且購買B型的數量不超過A型的2倍，可列出y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結合y為非負整數，即可得出各購買方案．
本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．
22.【答案】

【解析】，
將線段CD繞點C順時針旋轉角后得到線段CE，
，，
，
≌，
將線段CD繞點C順時針旋轉角后得到線段CE，
，，
由知，，
，
由旋轉得，，可得證明≌，可得
由旋轉得，，則由勾股定理得，即可得
本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
23.【答案】證明：，
，
，
，，
，
而，
，
，
是等腰三角形；
解：，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，

【解析】由，可知，再由，可知，，然后余角的性質可推出，再根據對頂角相等進行等量代換即可推出，于是得到結論；
根據含30度的直角三角形的性質和等邊三角形的性質即可得到結論．
本題主要考查等腰三角形的判定與性質，直角三角形的性質，關鍵根據相關的性質定理，通過等量代換推出，即可推出結論．
24.【答案】③，④，②；
大正方形的邊長x的值為10；
正方形ABCD與正方形EFGH的面積之差為
【解析】由題意知，圖2對應公式，圖3對應公式，圖4對應公式，
故答案為：③，④，②；
設，，
，，
由題意知，，
，
由公式①，可得，即，
，
或，
或，
解得，或舍去，
大正方形的邊長x的值為10；
由題意知，，，
或舍去，
，整理得，
，
或舍去，
，
正方形ABCD與正方形EFGH的面積之差為
由題意知，圖1對應公式，圖2對應公式，圖3對應公式，圖4對應公式，然后作答即可；
由，，可得，，由題意知，，由公式①，可得，可得的結果，計算求出滿足要求的解即可；
由題意知，，，可得，，整理得，則，即，根據，代值求解即可．
本題考查了完全平方公式、平方差公式在幾何中的應用．熟練掌握完全平方公式、平方差公式在幾何中的應用是解題的關鍵．
25.【答案】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
，，
，，
≌，
，；
解：，證明如下：
如圖所示，過點B作交DE于H，連接PH，CH，
，
，，
，即，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，
，
又，
四邊形ABHC是平行四邊形，
點P為對角線BC的中點，
點P也是另一條對角線的中點，
、P、H三點共線，
，BC互相平分，
，
在和中，
，
≌，
，

【解析】由平行四邊形的性質得到，，證明≌，即可證明，；
過點B作交DE于H，連接PH，CH，則，先證明是等邊三角形，得到，，進而證明是等邊三角形，得到，接著證明四邊形ABHC是平行四邊形，得到AH，BC互相平分，則，進一步證明≌，得到，則
本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定等等，添加輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．

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