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第七章《相交線與平行線》核心專題 一點通
(Ⅰ)高頻考點
高頻考點一 對頂角、鄰補角
1.如圖,直線AB 和CD 相交于點O.若∠AOD 與∠BOC 的和為236°,則∠AOC 的度數為 ( )
A.62° B.118° C.72° D.59°
2.如圖,直線a,b,c 兩兩相交,∠1=80°,∠2=2∠3,則∠4=
高頻考點二 垂線
3.過點 B 作線段AC 所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.如圖,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分別為點A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有 ( )
A.2條 B.3條
C.4條 D.5條
5.如圖,兩直線 AB,CD 相交于點O,OE 平分∠BOD,∠AOC:∠AOD=7:11.
(1)求∠COE 的度數;
(2)若OF⊥OE,求∠COF 的度數.
高頻考點三 同位角、內錯角、同旁內角
6.根據圖形填空：
(1)若直線ED,BC被直線AB 所截,則∠1和 是同位角；
(2)若直線ED,BC被直線AF 所截,則∠3和 是內錯角；
(3)∠1和∠3是直線AB，AF 被直線 所截構成的內錯角；
(4)∠2和∠4 是直線 , 被直線 BC 所截構成的同位角.
高頻考點四 平行線與平行公理
7.下列說法錯誤的是 ( )
A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行
B.平行于同一條直線的兩條直線平行
C.若a∥b,b∥c,c∥d,則a∥d
D.同一平面內，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它也和另一條相交
高頻考點五 平行線的判定
8.如圖，下列說法錯誤的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,則a∥c B.若∠1=∠2,則a∥c
C.若∠3=∠2,則b∥c D.若∠3+∠5=180°,則a∥c
9.如圖，在下列條件中，能判斷AD∥BC的是 ( )
A.∠DAC=∠BCA B.∠DCB+∠ABC=180°
C.∠ABD=∠BDC D.∠BAC=∠ACD
10.如圖,∠1=115°,∠2=50°,∠3=65°,EG 為∠NEB 的平分線,那么AB∥CD,EG∥FH 嗎 請說明理由.
高頻考點六 平行線的性質
11.如圖,點 D,E 分別在AB,BC 上,DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°,則∠2= .
12.如圖，一艘船從點 A 出發沿北偏東60°方向航行到點 B，再沿南偏西25°方向航行到點C，則∠ABC 的度數為 .
13.如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度數.
14.如圖是一個漢字“互”字,其中,AB∥CD,HF∥GE,∠HGE=∠HFE,M,H,G 三點在同一直線上,N,E,F 三點在同一直線上.
(1)求證:GH∥EF;
(2)求證:∠CMH=∠BNE.
高頻考點七 命題、定理、證明
15.“直角都相等”的題設是 ，結論是 .
16.命題“兩直線平行，內錯角的平分線互相平行”是真命題嗎 如果是，請給出證明；如果不是，請舉出反例.
高頻考點八 平移
17.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格，三角形ABC 的頂點都在格點上.
(1)畫出將三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格所得到的三角形A B C ;
(2)在(1)中的平移過程中，線段AC 所掃過的面積為 .
核心題型一 推理填空
18.如圖,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AD∥BE.
證明:∵AB∥CD(已知),
).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3= (等量代換).
∵∠1=∠2(已知).
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( ).即 = (角的和差),
∴∠3= .
∴AD∥BE( ).
核心題型二 用平行線的判定與性質證明
19.如圖,AD⊥BC,EG⊥BC,垂足分別為點 D,G,∠E=∠3.請問：AD平分∠BAC嗎 請說明理由.
核心題型三 用平行線的判定與性質求角度
20.如圖，把一張長方形的紙片ABCD沿EF 折疊后，點 D，C 分別落在點D',C'的位置上,ED'與BC交于點G.若∠EFG=50°,求∠1,∠2的度數.
(Ⅱ)核心題型及方法
21.如圖,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.
(1)求證:AB∥CD;
(2)∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,求∠C的度數.
核心方法一 過拐點作平行
22.如圖,已知AB∥CD,EF⊥AB 于點E,∠AEH=∠FGH=20°,∠H=50°,則∠EFG 的度數是 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
23.如圖,AB∥CD,EF平分∠BED,∠DEF+∠D=66°,∠B-∠D=28°,則∠BED 的度數為 .
24.如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個主要星系分別用字母A~H表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知AB∥GF.試說明:∠ABC=∠BCF+∠CFG.
核心方法二 方程思想
25.如圖1,點E在AC上,∠B=∠D,∠ACB+∠AED=180°.
(1)求證:AB∥CD;
(2)如圖2,AG 平分∠BAC,直線 AG 與∠CDE 的鄰補角∠FDE的平分線交于點 H.若∠AED---∠H=60°,求∠AED的度數.
核心方法三 參數思想
26.如圖1,已知AB∥CD,BN∥AP,DN∥PC.
(1)求證:∠BND=∠APC;
(2)如圖2,若 且∠AMD=150°,求∠APC 的度數.
1. A 2.140° 3. C 4. D
5.解:(1)∵∠AOC:∠AOD=7:11,∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOC=70°,∠AOD=110°,
∴∠BOD=∠AOC=70°,∠BOC=∠AOD=110°.
又∵OE 平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE= ∠BOD=35°,
∴∠COE=∠BOC+∠BOE=110°+35°=145°;
(2)∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°,
∴∠FOD=∠FOE-∠DOE=90°-35°=55°,
∴∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°.
6.(1)∠2 (2)∠4 (3)DE (4)AB AF 7. A 8. C 9. A
10.解:AB∥CD,EG∥FH.11.70°12.35°
13.解:∵AB∥CD,∠1=65°,∴∠ABC=∠1=65°.
∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=130°.
∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°,
∴∠2=∠BDC=180°-∠ABD=180°-130°=50°.
14.證明:(1)∵HF∥GE,∴∠HFE+∠GEF=180°.
又∵∠HGE=∠HFE,∴∠HGE+∠GEF=180°,∴GH∥EF;
(2)延長EF,與CD交于點I.
∵GH∥EF,∴∠CMH=∠MIF.
又∵AB∥CD,∴∠MIF=∠BNE,∴∠CMH=∠BNE.
15.兩個角是直角 這兩個角相等
16.解：是真命題，證明略.
17.解:(1)圖略;(2)25.
18.∠EAB 兩直線平行，同位角相等
∠EAB 等式的性質 ∠BAE
∠CAD ∠CAD 內錯角相等,兩直線平行
19.解:AD平分∠BAC.理由:∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠ADC=∠EGC=90°,∴AD∥EG,
∴∠3=∠2,∠E=∠1.
∵∠3=∠E,∴∠1=∠2,即AD 平分∠BAC.
20.解:∵AD∥BC,∠EFG=50°,
∴∠DEF=∠EFG=50°,∠2=∠GED.
由折疊知∠GEF=∠DEF=50°,∴∠GED=100°,
∴∠1=180°-∠GED=80°,∠2=∠GED=100°.
21.解:(1)∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴AE∥GF,∴∠2=∠A.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,∴AB∥CD;
(2)∵AB∥CD,∴∠D+∠CBD+∠3=180°.
∵∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,
∴∠3=25°.∵AB∥CD,∴∠C=∠3=25°.
22. C 解:過點 H,F 分別向右作HM∥AB,FN∥AB,
∴∠AEH=∠EHM=20°,∵∠EHG=50°,
∴∠GHM=50°-20°=30°=∠HGC,
∴∠NFG=∠CGF=30°+20°=50°,∴∠EFG=140°.
23.80°
24.解:過點 C 向左作CQ∥AB.
∵AB∥GF,∴CQ∥AB∥GF,
∴∠BCQ+∠ABC=180°,∠FCQ+∠CFG=180°,
∴∠BCQ=180°-∠ABC,∠BCQ+∠BCF+∠CFG=180°,
∴180°-∠ABC+∠BCF+∠CFG=180°,即∠ABC=∠BCF+∠CFG.
25.解:(1)∵∠ACB+∠AED=180°,∠DEC+∠AED=180°,∴∠ACB=∠DEC,∴DE∥BC,∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠B=∠D,∴∠B+∠DCB=180°,∴AB∥CD;
(2)過點 E 作EM∥AB,過點 H 作HN∥AB,點 M 在點 E 左側,點N 在點 H 右側,則EM∥AB∥CD,HN∥AB∥CD,易證∠AED=∠CDE+∠CAB,∠AHD=∠FDH-∠BAG.
∵AG平分∠CAB,DH 平分∠FDE,
∴設∠EAG=∠BAG=x,∠FDH=∠EDH=y,
∴∠AED=2x+180°-2y,
∠AHD=y-x.∵∠AED-∠AHD=60°,
∴2(x-y)+180°-(y-x)=60°,∴y-x=40°,
∴∠AED=180°-2×40°=100°.
26.解:(1)連 PN 并延長到點 E,
則∠BNE=∠APN,∠DNE=∠CPE,
∴∠BNE+∠DNE=∠APN+∠CPN,即∠BND=∠APC;
(2)過點 M 作MF∥CD,點 F 在點 M 的右側,
過點 P 作PH∥CD,點 H 在點 P 右側,
易證:AB∥MF∥CD∥PH,設∠BAP=3x,∠NDC=3y,
則∠AMD=180°-2x+2y=180°+2(y-x)=150°,
x-y=15°,∠APC=180°-3x+3y=180°+3(y-x)=
135°.

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