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紫荊中學2024-2025學年第二學期期中考試題（卷）
高一數學
說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.
答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1.已知為虛數單位，（ ）
A. B. C. D.
2.已知，若，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，則的值等于(　　)
A.　　　B．－　　　 C．－　　　D.
4.已知，則（ ）
A. B. C. D.
5.在中，角的對邊分別為，若，且，則角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
6.在正方體中，分別為棱的中點 ，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．在矩形中，,．若點，分別是，的中點，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如圖，在平行四邊形中，是對角線上靠近點的三等分點，點在上，若，則（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
9.如圖，在單位圓中，向量是（ ）
A.有相同起點的向量 B.單位向量
C.模相等的向量 D.相等的向量
10.已知復數，，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．，則為純虛數 D．若，則
11.一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中下列結論正確的是_________．
A.
B．與成
C．與是異面直線
D.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
12．在中，角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的周長為__________.
13.已知點是角終邊上的一點，則的值為________.
14.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________.
四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分13分)已知向量與的夾角為，且，.
(1)求；
(2)；
(3)求向量與向量的夾角.
16．(本小題滿分15分)在中，內角所對的邊分別為，且滿足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17．(本小題滿分15分)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分別是PA和AB的中點，求PA與平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小題滿分17分)如圖，在直三棱柱中，AB＝AC，
P為的中點，Q為BC的中點．
(1)求證：PQ∥平面；
(2)求證：BC⊥PQ.
19．(本小題滿分17分)已知函數.
(1)求的最小正周期和單調遞增區間；
(2)在中，內角所對的邊分別為,若，，的面積為，求c邊的長度.
紫荊中學2024-2025學年第二學期期中考試答題卡
高一數學
第Ⅰ卷（選擇題 共58分） 總分
一、選擇題：1-8小題，每小題5分，9-11小題，每小題6分，共58分
單選題號 1 2 3 4 5 6 7 8
單選答案
多選題號 9 10 11
多選答案
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.
四.解答題：本大題共5小題，共77分. 請在各題目的答題區域內作答，超出黑色矩形邊框限定區域的答案無效
15.（本小題滿分13分）
參考答案
1.B .
2.D 由題意設，則，解得.
3.C ∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝－，
∴cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＝－.
答案：C.
4.B ，則，
，可得.
5.A 且.
6.A
7.C由圖及題意，可得：
，
.
∴.
故選C．
8.C 由題可知點在上，.故選C.
9.BC 本題考查單位向量..所以項正確.
10.ABD 設，，，，，，
對于A： ，由于，所以，
所以，，故，故正確；
對于：由于，則，，所以，，故，故正確；
對于：若，所以，故，即或，故錯誤；
對于：若，所以，而
所以，故正確．
故選：．
11.AC 由正方體性質知：//且有,故A正確，B錯誤.
C,由圖知：與是異面直線，故正確.
D,由正方體的性質知：,故錯誤.
故答案為：AC.
12. 因為，所以，所以的周長為.
13.
15．(1)2 (2) (3)
16..解：（1）由正弦定理有
因為，可得；
（2）由（1）知，
故有.
17.解：過A作AH⊥BC于H，連接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH為PA與平面PBC所成的角，
在邊長為2的菱形ABCD中，
∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，
∴H為BC中點，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.
故PA與平面PBC所成角的正弦值為.
18.證明：(1)如圖，連接B1C與BC1相交于點O，連接OQ
∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1.
∵A1P∥CC1，A1P＝CC1，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，
∴四邊形A1PQO為平行四邊形，∴A1O∥PQ，
∵A1O 平面A1BC1，PQ 平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1.
(2)連接AQ，
∵三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥AA1，
∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，
∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，
∵PQ 平面APQ，∴BC⊥PQ.
19.【答案】(1)最小正周期，單調遞增區間是 （）
(2)
【解析】(1)∵
∴的最小正周期由，
得,,
∴函數的單調遞增區間是 （）．
(2)由（1）得，
∴， ∴，
∵ ∴ .
又， ∴ ，又
解得：

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